1. ESTADÍSTICA MATEMÁTICA
Juan Carlos Ballabriga
Departamento de Matemáticas
IES Benjamín de Tudela

2. Estadística para qué
• Un sondeo de opinión
• El control de calidad de un artículo
• Un estudio para conocer la efectividad de un
medicamento
• Calcular la composición futura de una
población…
.... esto es estadística

3. Tipos de Estadística
• La Estadística descriptiva:
– Trata del recuento, ordenación y clasificación de los
datos obtenidos de las observaciones:
• Construcción de tablas, gráficos y cálculo de parámetros.
• La Estadística inferencial:
– Utiliza los resultados de la estadística descriptiva y se
apoya en el cálculo de probabilidades para la obtención
de conclusiones sobre una población a partir de los
resultados obtenidos de una muestra.

4. Centralización
Parámetros
Dispersión
Estadística
descriptiva Gráficos
Estadística
Inferencia
estadística Investigación

5. Nociones básicas
Población: Conjunto de elementos que se quiere estudiar.
• Votantes de una ciudad, comunidad, país
• Televisores fabricados en una fábrica.
•Alumnos de primero de bachillerato…
Muestra: Cualquier subconjunto de una población. El número de
elementos de una muestra se llama tamaño.

6. Población No representativa
muestra
Con sesgo
Representativa Sin sesgo

7. Tipos de muestreo
 Probabilístico: sabemos la probabilidad de que un
individuo sea elegido en la muestra
 Muestreo aleatorio simple (m.a.s.): Todos tienen las mismas
posibilidades de ser elegidos
 Muestreo aleatorio estratificado: Se divide la población en
estratos y se hace un m.a.s. en cada uno
 Muestreo sistemático: Se selecciona el primer individuo al azar
y los siguientes estableciendo una pauta
 Muestreo no probabilístico: no se sabe la probabilidad
de que un individuo sea elegido

8. Variable estadística: Cada uno de los rasgos o características que
se quiere estudiar de los elementos de la población, susceptible o no
de medida.
Ejemplos:
• Color del pelo: negro, castaño, rubio o pelirrojo
• Sexo: hombre o mujer
• Miembros asalariados de una familia: 0, 1 , 2 , 3 ,4 , 5
• Alturas de alumnos:178, 169, 172, 183, …
•Nº de suspensos en determinada asignatura: 0, 1, 2, 3,…
•Gastos en vacaciones de una familia: 1000€,1500€,..

9. Variables cualitativas y cuantitativas
Población: Alumnos de bachillerato de una localidad determinada
•Sexo
Cualitativas •Modelo de zapatillas deportivas
 •Barrio de la localidad en que vive
 (modalidad) •Deporte preferido

 •Número de hermanos
 •Núm.de suspensos en la 1ª evaluación
Variables  Discretas •Núm de libros leídos trimestralmente
  (Recuentos) •Num. de llamadas telefónicas diarias
Cuantitativas 

 
 (números)  •Tiempo diario delante del televisor

  •Tiempo de estudio
Continuas
 •Altura
(Cualquier •Peso
cantidad en •Tiempo empleado en llamadas
un intervalo)

10. Frecuencias
 Frecuencia absoluta: Nº de veces que aparece un
determinado valor de la variable fi
Si sumamos todas las frecuencias obtenemos el º de datos
N  f1  f 2  f 3    f r
 Frecuencia relativa: fi
ni 
N
 Frecuencia absoluta acumulada: Acumula las
frecuencias absolutas hasta determinado valor de la
variable, Fi
 Frecuencia relativa acumulada: Acumula las
frecuencias relativas hasta determinado valor de la
variable Ni

11. Tabla de frecuencias
Población : Alumnos de
Bachillerato
Variable: Preferencias musicales Tipo: Cualitativa
Tamaño de la muestra 120
fi Fi ni Ni
Clásica 1 1 0,00833333 0,00833333
Rock 36 37 0,3 0,30833333
Pop 49 86 0,40833333 0,71666667
Jazz 4 90 0,03333333 0,75
Flamenco 2 92 0,01666667 0,76666667
Techno 28 120 0,23333333 1
N 120

12. Variables cualitativas: Representación gráfica
50
45 1
40
35 Clásica
30 2 28 36 Rock
25 Pop
20 4 Jazz
15 Flamenco
10 49 Techno
5
0
Clásica Rock Pop Jazz Flamenco Techno
Diagrama de Barras Diagrama de Sectores

13. Variable discreta
Ejemplo: Un profesor tiene anotadas en su cuaderno las
notas de 30 alumnos de un clase:
5 3 4 1 2 8 9
8 7 6 6 7 9 8
7 7 1 0 1 5 9
9 8 0 8 8 8 9
5 7
Lo primero que tenemos que hacer es contar los datos

14. Tabla de frecuencias
Notas Frec. Abs. Frec. Abs. Frec. Relat. Frec. Relat.
Acumuladas Acumuladas
xi fi Fi ni Ni
0 2 2 0,07 0,07
1 3 5 0,10 0,17
2 1 6 0,03 0,20
3 1 7 0,03 0,23
4 1 8 0,03 0,27
5 3 11 0,10 0,37
6 2 13 0,07 0,43
7 5 18 0,17 0,60
8 7 25 0,23 0,83
9 5 30 0,17 1,00
Suma 30 1

15. Algunos diagramas
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Frecuencias absolutas
Diagrama de barras y polígono de frecuencias

16. Con frecuencias acumuladas
35
30
25
20
15
10
5
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Frecuencias absolutas acumuladas
Diagrama de barras y polígono de frecuencias

17. Cuidado al interpretar datos
120
100
80
60
40
20
0
E F M A My J Jl A S O N D
Evolución de las ventas de coches en un
determinado concesionario

18. …la cruda realidad
16
14
12
10
8
6
4
2
0
E F M A My J Jl A S O N D

19. Parámetros estadísticos
 Centralización:
 Media aritmética: La suma de todos los valores dividido por el
número de datos
X
 Moda: Valor que más se repite. Si hay más de una, se llama
bimodal, trimodal,…
Mo
 Mediana: La mediana de una colección de datos ordenados de
menor a mayor es el valor que está en medio, es decir que la mitad
de los datos son mayores que él y la otra mitad son menores que
él, si hay un número impar de datos; si el número de datos es par, la
mediana es la media aritmética entre los dos valores centrales.
Me

20. Cálculo de parámetros
La media aritmética cuando tenemos la tabla de frecuencias
se calcula así
x  x  x3    xN x1  f1  x2  f 2    xr  f r
X 1 2  
x  f
i i
N f1  f 2    xr f i
xi fi x i* f i Fi
0 2 0 2
1 3 3 5
2 1 2 6
3 1 3 7
4 1 4 8
5 3 15 11
6 2 12 13
7 5 35 18
8 7 56 25
9 5 45 30
30 175
Media 5,83

21. La moda y mediana
La moda por simple observación: Mo = 8
xi fi x i* f i Fi
0 2 0 2
1
2
3
1
3
2
5
6
La mediana: Es el valor que
3 1 3 7
4 1 4 8 ocupa el sitio “central”. Se puede
5 3 15 11
6 2 12 13 plantear de la siguiente manera
7 5 35 18
8 7 56 25
9 5 45 30  Si N impar Me  x N 1
30 175

 2
 xN  xN
1
Si N par Me  2 2

 2
N
N  30 como es par  15 buscamoslos valores que ocupen
2
N N
las posiciones  15 y  16, es decir Me  7
2 2

22. Dispersión
 Rango: Diferencia entre el mayor y el menor valor de la
variable
Rango: V max V min
 Desviación Media D.M. D.M . 
x X  f
i i
f
 x  X 
2 i
 fi
 Varianza:  2
 i
f i
 Desviación típica: 

23. Dispersión
 Coeficiente de variación: 
C.V . 
 Sin unidades X
 No depende de la variable
 Permite comparar poblaciones y variables distintas
Ejemplo 1 Ejemplo 2
Desv. Coeficiente
Media Típica variación
Clase A Clase B
Variable Notas 7 2 0,28571429
Nota media 7,4 6,5
Desv. Típica 2,8 2,5 Variable Ingresos 1500 145 0,09666667

24. Cálculo de parámetros
Variable: Notas asignatura
Tipo: Discreta
Población: Alumnos Bachillerato
TABLA PARA UNA VARIABLE ESTADÍSTICA DISCRETA
Datos (xi) Frecuencias (fi) Fr. Relativas (hi) xi*fi xi-X (xi-X)2 (xi-X)2 * fi Fr. Acumuladas
0 2 0,0667 0 -5,83 33,9889 67,9778 2
1 3 0,1 3 -4,83 23,3289 69,9867 5
2 1 0,0333 2 -3,83 14,6689 14,6689 6
3 1 0,0333 3 -2,83 8,0089 8,0089 7
4 1 0,0333 4 -1,83 3,3489 3,3489 8
5 3 0,1 15 -0,83 0,6889 2,0667 11
6 2 0,0667 12 0,17 0,0289 0,0578 13
7 5 0,1667 35 1,17 1,3689 6,8445 18
8 7 0,2333 56 2,17 4,7089 32,9623 25
9 5 0,1667 45 3,17 10,0489 50,2445 30
30 1 175 256,167
MEDIA (X) 5,83
MODA (Mo) 8
MEDIANA (Me) 7
VARIANZA 8,5389
DESVIACIÓN TÍPICA 2,9221
COEFICIENTE DE VARIACIÓN 0,5012 50,12%
RANGO 9

25. Los gráficos
DIAGRAMA DE BARRAS Y
POLÍGONO DE FRECUENCIAS DIAGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS
8 ACUMULADO
35
7
30
6
25
5
20
4
15
3
10
2
5
1
0
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Valores de la variable
Valores de la variable

26. Variable continua: Agrupación de datos
 Si la variable es continua, o discreta con un número de datos muy grande, es aconsejable
agrupar los datos en CLASES.
 ¿Cuál es el número idóneo de clases?
 El número clases debe ser aproximadamente igual a la raíz cuadrada positiva del número de
datos.
 ¿Cómo escoger las clases?
 Es aconsejable que los límites de clase (tanto el superior como el inferior) sean números
“redondos”, como múltiplos de 5, 10, …
 Se debe procurar que todas las clases tengan la misma amplitud o tamaño.
 Los intervalos se deben construir de modo que el límite superior de una clase coincida con el
límite inferior de la siguiente.
 Adoptaremos el criterio de que los intervalos sean cerrados por la izquierda y abiertos por la
derecha.

27. Variable continua
 Ejemplo
Se ha aplicado un test sobre satisfacción en el trabajo a 88 empleados de una
fábrica, obteniéndose las resultados:
Puntuaciones Núm. de trabajadores
[38-44) 7
[44-50) 8
[50-56) 15
[56-62) 25
[62-68) 18
[68-74) 9
[74-80) 6

28. Variable: Satisfacción empleados
Tipo: Continua
Población: Empleados de una fábrica
TABLA PARA UNA VARIABLE ESTADÍSTICA CONTINUA
Intervalo Marca (xi) Frecuencias (fi) Fr. Relativas (hi) xi*fi xi-X (xi-X)2 (xi-X)2 * fi Fr. Acumuladas
38 44 41 7 0,0795 287 -18,14 329,06 2303,4172 7
44 50 47 8 0,0909 376 -12,14 147,38 1179,0368 15
50 56 53 15 0,1705 795 -6,14 37,6996 565,494 30
56 62 59 25 0,2841 1475 -0,14 0,0196 0,49 55
62 68 65 18 0,2045 1170 5,86 34,3396 618,1128 73
68 74 71 9 0,1023 639 11,86 140,66 1265,9364 82
74 80 77 6 0,0682 462 17,86 318,98 1913,8776 88
88
88
88
88 1 5204 7846,3648
MEDIA (X) 59,14
INTERVALO MODAL [56,62) MODA (Mo) 59
INTERVALO MEDIANA [56,62) MEDIANA (Me) 59
VARIANZA 89,1632
DESVIACIÓN TÍPICA 9,4426
COEFICIENTE DE VARIACIÓN 0,1597 15,97%
RANGO 42

29.  Gráficos: Histograma
HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS
30
25
20
15
10
5
0
[38,44) [44,50) [50,56) [56,62) [62,68) [68,74) [74,80)
Valores de la variable

30. HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADO
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
[38,44) [44,50) [50,56) [56,62) [62,68) [68,74) [74,80)
Valores de la variable

31. Parámetros en variable continua
 Cuando estamos trabajando con variable continua algunas de las fórmulas
utilizadas se deben “ajustar” para que sean más fiables
f i  f i 1
Mo  Li 1  ai
 Moda  f i  f i 1    f i  f i 1 
N
 Fi 1
 Mediana Me  Li 1  2 ai
fi
rN
 Fi 1
 Percentiles Pr  Li 1  100 ai
fi

33. Del anterior test sobre satisfacción en el trabajo a 88 empleados de una fábrica,
cuyos resultados son:
Puntuaciones Núm. de trabajadores
[38-44) 7
[44-50) 8
[50-56) 15
[56-62) 25
[62-68) 18
[68-74) 9
[74-80) 6
Calcular: a) El cuartil primero.
b) Los percentiles de orden 40 y 90

34. Q1 deja la cuarta parte de la distribución a su izquierda :N/4=22
Clases fi Fi
[38-44) 7 7
[44-50) 8 15 <22
[50-56) 15 30 >22 Clase del primer
[56-62) 25 55 cuartil: [50-56)
[62-68) 18 73
[68-74) 9 82
[74-80) 6 88
Aplicando la fórmula:
Li-1 = 50
ai = 6 22  15
N/4 = 22
Q1  50  6   52.8
15
Fi-1 = 15
fi = 15

35. P40 deja el 40% de los datos a su izquierda :88.40/100=35.2
Clases fi Fi
[38-44) 7 7
[44-50) 8 15
[50-56) 15 30 < 35.2
[56-62) 25 55 > 35.2 Clase de P40:
[62-68) 18 73 [56-62)
[68-74) 9 82
[74-80) 6 88
Aplicando la fórmula:
Li-1 = 56
ai = 6 35.2  30
40.N/100 = 35.2 P40  56  6   57.25
Fi-1 = 30 25
fi = 25

36. P90 deja el 90% de los datos a su izquierda :88.90/100=79.2
Clases fi Fi Clase de P90:
[38-44) 7 7 [68-74)
[44-50) 8 15
9 6.2
[50-56) 15 30 
6 x
[56-62) 25 55
[62-68) 18 73 < 79.2 9
[68-74) 9 82 > 79.2 6.2
[74-80) 6 88
x
Aplicando la fórmula:
68 6 74
Li-1 = 68
ai = 6
79.2  73
90.N/100 = 79.2 P90  68  6   72.13
Fi-1 = 73 9
fi = 9