Este documento explica el concepto de límite de una función cuando la variable se aproxima a un valor. Define formalmente el límite como el valor al que tiende la función cuando la variable tiende a cierto valor. Presenta algunas propiedades básicas para calcular límites, como que el límite de una suma es la suma de los límites, y ejemplos de cálculo de límites directos e indeterminados.

1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

2. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE
UNA FUNCIÓN
LÍMITE TIENDE A….
Si f(x) se acerca a un valor L conforme x se
aproxima a un valor a, podemos escribir:
lim f(x) L
x a
Lo leeremos así: “ límite de f(x) cuando x tiende a a es L”

3. y=f(x)
Veamos un ejemplo: Sea la
función dada por:
L
3
x 1
x a x f (x)
x 2 x f(x)
1,9 1,5023
1,99 1,7245
1,999 1,7474
1,99999 1,74997
2 ?
2,00001 1,75003
3 2,001 1,7526
x 1 7 2,01 1,7757
lim f ( x )
x 2 x 2 4 2,1 2,0149

4. LÍMITES
lim f(x) L
x a
lim f(x)
x a lim f(x) L
x a
Si L es finito y ambos límites laterales
coinciden, se dice que el límite existe y vale L
y=f(x)
L
a
x a- x a+

5. Propiedades para el cálculo de
límites
a) lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)
x a x a x a
b) lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)
x a x a x a
c ) lim f(x)/g(x) lim f(x) / lim g(x)
x a x a x a
d ) lim K g(x) K lim g(x)
x a x a
n n
e ) lim f(x) lim f(x)
x a x a

6. Cálculo de límites
• Para el cálculo de límites 1º se sustituye la
variable x por el punto en el que queremos
calcular el límite (incluso si es ):
– Si da un valor finito ese es el límite
– Si el valor es uno de los siguientes:
k 0
, , , 1 ,
0 0
Diremos que hay una indeterminación que
intentaremos resolver con el procedimiento
adecuado

7. Ejemplos
2
x 3x 1 4 6 1 9
a) lim este es el límite
x 2 x 2 2
2 2
x 2 x 2 Por tanto el límite
x 2 lim 1
b) f ( x) x lim f ( x ) x 2 x es 1
x 2
2x 3 x 2 lim 2 x 3 1
x 2
2
x 2x 3 0
c) lim es una indetermin ación
x 1 x 1 0

8. EJERCICIO 1
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1? y
2
1
x
1 5
Lim f(x) no existe
x 1

9. EJERCICIO 2
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1? y
3
2
x
1 5
Lim f(x) = L =2
x 1

10. EJERCICIO 3
¿Qué ocurre con f(x) cerca de y
x=1?
2
1
x
1 5
Lim f(x) si existe, pero no coincide con f(1)
x 1

11. EJERCICIO 4
Dado el gráfico de f(x) :
f(x)
5
3.5
3
x
-3 -2 3
Encuentre:
a) lim
x 3
f(x) b) lim x 3
f(x)
c) lim
x 0
f(x) d) lim
x 2
f(x)

12. PASOS A SEGUIR PARA EL
CÁLCULO DE LÍMITES
# 1:
• Evaluar para saber si se trata de un límite directo o
estamos en presencia de una forma indeterminada
# 2:
• INTENTAR desaparecer la indeterminación a través
de operaciones algebraicas: factorización, productos
notables, racionalización, sustitución de alguna
identidad trigonométrica ...si fuera el caso...

13. PROBLEMA 1
Evalúe los siguientes límites:
x 4 2
1) lim , Rpta : 1/4
x 0 x
1 x 1 x
2) lim , Rpta : 1
x 0 x
1/3 1/3
2
x x 2 3 3
3) lim 3 2
; Rpta : 3
x 1 x 4x 3x 2 2
2
x 2, si x 3
4) lim f(x); donde f(x)
x 3 1/ x 1, si x 3

14. PROBLEMA 2
Utilice las reglas para calcular límites para
determinar:
4
x 1 x 2
1) lim 2) lim
x -1 2
x 1 x 2 4-x
x b a b
3) lim , a b
2 2
x a x a
2
4x x
4) lim
x 4 2 x
2x 4, x 0
5) lim f(x); f(x)
x 0 x 1, x 0