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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE
          UNA FUNCIÓN


LÍMITE                          TIENDE A….


     Si f(x) se acerca a un valor L conforme x se
     aproxima a un valor a, podemos escribir:

                 lim f(x)         L
                 x   a

Lo leeremos así: “ límite de f(x) cuando x tiende a a es L”
y=f(x)


                                  Veamos un ejemplo: Sea la
                                  función dada por:
    L
                                               3
                                           x       1
x         a           x            f (x)
                                           x       2      x      f(x)


                                                           1,9    1,5023
                                                          1,99    1,7245
                                                         1,999    1,7474
                                                       1,99999   1,74997
                                                             2         ?
                                                       2,00001   1,75003
                  3                                      2,001    1,7526
              x       1   7                               2,01    1,7757
lim f ( x )
x   2         x       2   4                                2,1    2,0149
LÍMITES
                                lim        f(x)   L
                                x   a
    lim       f(x)
      x   a                     lim        f(x)   L
                                x   a



Si L es finito y ambos límites laterales
coinciden, se dice que el límite existe y vale L
                                        y=f(x)




              L

                     a
              x a-       x a+
Propiedades para el cálculo de
             límites
a) lim f(x)       g(x)               lim f(x)                lim g(x)
  x       a                          x       a               x       a


b) lim f(x)       g(x)           lim f(x)                lim g(x)
  x       a                          x       a           x       a


c ) lim f(x)/g(x)                lim f(x) / lim g(x)
  x       a                      x       a           x       a


d ) lim K g(x)               K lim g(x)
      x       a                          x       a
                  n                              n
e ) lim f(x)             lim f(x)
      x       a          x   a
Cálculo de límites
• Para el cálculo de límites 1º se sustituye la
  variable x por el punto en el que queremos
  calcular el límite (incluso si es ):
  – Si da un valor finito ese es el límite
  – Si el valor es uno de los siguientes:
             k       0
                 ,       ,   ,   1 ,
             0       0
    Diremos que hay una indeterminación que
    intentaremos resolver con el procedimiento
    adecuado
Ejemplos

                       2
                   x               3x       1       4       6       1   9
a)       lim                                                                este es el límite
         x     2               x                            2           2

                           2                                                                  2
                       x            2                                                     x           2       Por tanto el límite
                                            x       2                             lim                     1
b)   f ( x)                    x                                lim f ( x )       x   2           x           es 1
                                                                x   2
                       2x           3       x       2                             lim 2 x             3   1
                                                                                  x   2



                           2
                       x           2x           3       0
c)        lim                                               es una indetermin             ación
          x        1           x        1               0
EJERCICIO 1
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
 x=1?                               y



                                2

                                1

                                                                   x
                                        1                     5


                                            Lim f(x)   no existe
                                            x      1
EJERCICIO 2
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
 x=1?                               y



                                3

                                2

                                                                x
                                        1                 5



                                              Lim f(x) = L =2
                                              x     1
EJERCICIO 3
¿Qué ocurre con f(x) cerca de       y
 x=1?


                                2

                                1

                                                                x
                                        1                 5



                    Lim f(x) si existe, pero no coincide con f(1)
                    x           1
EJERCICIO 4
Dado el gráfico de f(x) :
                                f(x)

                        5

                      3.5
                            3

                                                                    x
            -3   -2                     3


                                       Encuentre:
                                       a)   lim
                                            x   3
                                                    f(x)   b)   lim x   3
                                                                            f(x)

                                       c)   lim
                                            x   0
                                                    f(x)   d)   lim
                                                                x       2
                                                                            f(x)
PASOS A SEGUIR PARA EL
             CÁLCULO DE LÍMITES
# 1:
• Evaluar para saber si se trata de un límite directo o
  estamos en presencia de una forma indeterminada

# 2:
• INTENTAR desaparecer la indeterminación a través
  de operaciones algebraicas: factorización, productos
  notables, racionalización, sustitución de alguna
  identidad trigonométrica ...si fuera el caso...
PROBLEMA 1
Evalúe los siguientes límites:
             x       4        2
1)   lim                          ,        Rpta : 1/4
     x   0           x
             1       x            1       x
2)   lim                                      , Rpta : 1
     x   0               x
                                              1/3                        1/3
                     2
                 x           x        2                              3                     3
3)   lim         3            2
                                                    ; Rpta :                           3

     x   1   x           4x           3x                            2                      2
                                                           2
                                                      x        2, si x         3
4) lim f(x);             donde            f(x)
     x   3                                            1/       x   1, si x         3
PROBLEMA 2
Utilice las reglas para calcular límites para
determinar:
                           4
                       x        1                                x       2
        1) lim                                  2) lim
                           x -1                                          2
           x       1                                    x   2   4-x
                           x      b             a       b
        3) lim                                              ,        a       b
                                    2           2
           x       a            x           a
                                        2
                           4x       x
        4) lim
               x       4   2            x
                                                    2x          4, x         0
        5) lim f(x);                f(x)
           x       0                                x       1, x         0

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Cálculo de límites indeterminados

  • 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
  • 2. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LÍMITE TIENDE A…. Si f(x) se acerca a un valor L conforme x se aproxima a un valor a, podemos escribir: lim f(x) L x a Lo leeremos así: “ límite de f(x) cuando x tiende a a es L”
  • 3. y=f(x) Veamos un ejemplo: Sea la función dada por: L 3 x 1 x a x f (x) x 2 x f(x) 1,9 1,5023 1,99 1,7245 1,999 1,7474 1,99999 1,74997 2 ? 2,00001 1,75003 3 2,001 1,7526 x 1 7 2,01 1,7757 lim f ( x ) x 2 x 2 4 2,1 2,0149
  • 4. LÍMITES lim f(x) L x a lim f(x) x a lim f(x) L x a Si L es finito y ambos límites laterales coinciden, se dice que el límite existe y vale L y=f(x) L a x a- x a+
  • 5. Propiedades para el cálculo de límites a) lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x) x a x a x a b) lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x) x a x a x a c ) lim f(x)/g(x) lim f(x) / lim g(x) x a x a x a d ) lim K g(x) K lim g(x) x a x a n n e ) lim f(x) lim f(x) x a x a
  • 6. Cálculo de límites • Para el cálculo de límites 1º se sustituye la variable x por el punto en el que queremos calcular el límite (incluso si es ): – Si da un valor finito ese es el límite – Si el valor es uno de los siguientes: k 0 , , , 1 , 0 0 Diremos que hay una indeterminación que intentaremos resolver con el procedimiento adecuado
  • 7. Ejemplos 2 x 3x 1 4 6 1 9 a) lim este es el límite x 2 x 2 2 2 2 x 2 x 2 Por tanto el límite x 2 lim 1 b) f ( x) x lim f ( x ) x 2 x es 1 x 2 2x 3 x 2 lim 2 x 3 1 x 2 2 x 2x 3 0 c) lim es una indetermin ación x 1 x 1 0
  • 8. EJERCICIO 1 ¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=1? y 2 1 x 1 5 Lim f(x) no existe x 1
  • 9. EJERCICIO 2 ¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=1? y 3 2 x 1 5 Lim f(x) = L =2 x 1
  • 10. EJERCICIO 3 ¿Qué ocurre con f(x) cerca de y x=1? 2 1 x 1 5 Lim f(x) si existe, pero no coincide con f(1) x 1
  • 11. EJERCICIO 4 Dado el gráfico de f(x) : f(x) 5 3.5 3 x -3 -2 3 Encuentre: a) lim x 3 f(x) b) lim x 3 f(x) c) lim x 0 f(x) d) lim x 2 f(x)
  • 12. PASOS A SEGUIR PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES # 1: • Evaluar para saber si se trata de un límite directo o estamos en presencia de una forma indeterminada # 2: • INTENTAR desaparecer la indeterminación a través de operaciones algebraicas: factorización, productos notables, racionalización, sustitución de alguna identidad trigonométrica ...si fuera el caso...
  • 13. PROBLEMA 1 Evalúe los siguientes límites: x 4 2 1) lim , Rpta : 1/4 x 0 x 1 x 1 x 2) lim , Rpta : 1 x 0 x 1/3 1/3 2 x x 2 3 3 3) lim 3 2 ; Rpta : 3 x 1 x 4x 3x 2 2 2 x 2, si x 3 4) lim f(x); donde f(x) x 3 1/ x 1, si x 3
  • 14. PROBLEMA 2 Utilice las reglas para calcular límites para determinar: 4 x 1 x 2 1) lim 2) lim x -1 2 x 1 x 2 4-x x b a b 3) lim , a b 2 2 x a x a 2 4x x 4) lim x 4 2 x 2x 4, x 0 5) lim f(x); f(x) x 0 x 1, x 0