Notas de geometría analítica.

1. Notas de Geometría Analítica
Tzihué Cisneros Pérez
1. Plano Cartesiano
El plano cartesiano es un sistema coordenado que se construye a partir de
dos segmentos que se intersectan perpendicularmente en un punto dado que
se dene como origen. Cada uno de estos segmentos está formado por una
cantidad innita de puntos consecutivos. Para utilizarlos necesitamos darles
una graduación especíca, es decir, denimos intervalos de una medida nita
en cada uno de ellos y los numeramos de 0 hasta innito y de 0 hasta menos
innito: (∞, 0), (−∞, 0), (0, ∞), (0, −∞).
Es claro que solo utilizaremos una parte nita del plano cartesiano, por ejem-
plo: (10, 0),(−10, 0), (0, 10), (0, −10), en ambos segmentos, que también lla-
maremos ejes coordenados. Estos ejes reciben el nombre de eje X para el
segmento horizontal y eje Y para el vertical los cuales no son exclusivos ya
que pueden llevar cualquier otro nombre que se requiera. La enorme utilidad
del plano cartesiano en las matemáticas radica en la posibilidad de represen-
tar grácamente los puntos, rectas, curvas y guras que tenemos en forma
algebraica, esto signica que si tenemos una ecuación es posible conocer su
forma gráca.
Eje Y
10
5
Eje X
10 5 5 10
5
10
Figura 1: Puntos (10, 0),(−10, 0), (0, 10), (0, −10).
1

2. 1.1. Distancia entre dos puntos
En los cursos de trigonometría trabajamos con el teorema de Pitágoras
h2 = a2 + b2 (1)
que relaciona los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo con
su hipotenusa. En geometría analítica también utilizamos este teorema para
conocer la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano. Un punto se
representa por un par de números (x, y) que corresponden al eje X y al eje Y
respectivamente y los llamamos abscisa y ordenada. Si tenemos dos puntos
A = (1, 2) y B = (3, 4) y queremos conocer la distancia entre ellos podríamos
trazar dos segmentos paralelos al eje X y al eje Y a partir del punto 2 en Y y
otro a partir del punto 3 en X . Así, formamos un triángulo cuya hipotenusa
es el segmento del punto A al punto B . Si medimos la longitud de los dos
catetos que se formaron y aplicamos el teorema de Pitágoras calcularíamos
√
que la hipotenusa tiene una longitud de 8.
B
4
Y
8
3
b
a
2
A
1
X
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Figura 2: Catetos a y b para los puntos A y B .
Lo que hicimos para calcular la longitud del segmento AB fue encontrar
la longitud del cateto a y la del cateto b de la siguiente manera
a = 3 − 1 = x2 − x 1 , b = 4 − 2 = y2 − y1 (2)
y entonces se aplicó el teorema de Pitágoras
√
h= a2 + b2 = (3 − 1)2 + (4 − 2)2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 (3)
De esta forma hemos deducido la ecuación de la distancia entre dos puntos
en el plano cartesiano
d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 (4)
2

3. Esta ecuación nos muestra que los catetos son la diferencia entre las dos ab-
scisas y la diferencia entre las dos ordenadas.
Ejemplo: Encontrar la distancia entre el punto C = (−2, −1) y D = (0, 3).
Tomemos el punto C como la coordenada (x1 , y1 ) y el punto D como (x2 , y2 ),
aplicando la ecuación de la distancia entre dos puntos tenemos
√ √
d= (0 − (−2))2 + (3 − (−1))2 = (0 + 2)2 + (3 + 1)2 = 22 + 42 = 20
(5)
Ejemplo: Encontrar el perímetro del triángulo formado por las coordenadas:
A = (1, 1), B = (3, 4) y C = (0, 2).
Para encontrar el perímetro debemos calcular la distancia entre cada par de
coordenadas
√ √
dAB = (3 − 1)2 + (4 − 1)2 = 13 3 2 + 22 = (6)
√
dBC = (0 − 3)2 + (2 − 4)2 = (−3)2 + (−2)2 = 13 (7)
√
dAC = (0 − 1)2 + (2 − 1)2 = (−1)2 + 12 = 2 (8)
√ √ √
por lo que la distancia es d = 13 + 13 + 2.
4 Y
B
3 13
13
2
C
2
1
A
X
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Figura 3: Triángulo formado por los puntos A, B y C .
Ejemplo: Encontrar el área del triángulo formado por las coordenadas
del ejemplo anterior. √
En este caso multiplicamos la longitud del segmento AC = 2 por la longitud
√
del segmento BC = 13 y lo dividimos entre 2
√ √ √
2 × 13 26
A= = (9)
2 2
3

4. 1.2. Punto medio
Muchas veces es muy útil encontrar el punto medio de un segmento for-
mado por dos puntos por lo que se tiene una ecuación para encontrar la
abscisa y otra para encontrar la ordenada. La forma de la coordenada del
punto medio está dada como
x1 + x2 y1 + y2
Pm = , (10)
2 2
donde la primera parte es la suma de las dos abscisas divididas entre dos y la
segunda parte es la suma de las dos ordenadas también divididas entre dos.
Ejemplo: Encontrar la coordenada del punto medio del segmento que une
los puntos A = (1, 5) y B = (3, 2).
Tomamos A como (x1 , y1 ) y B como (x2 , y2 ), entonces
1+3 5+2
Pm = , = (2, 3,5) (11)
2 2
donde Pm = (2, 3,5) es el punto medio del segmento AB .
5
Y
A
4
Pm
3
2
B
1
X
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Figura 4: Punto medio Pm entre los puntos A y B .
1.3. Pendiente
Ya que hemos comenzado a trabajar con puntos y segmentos en el plano
cartesiano los cuales no siempre son horizontales o verticales sino inclinados
la mayoría de las veces entonces debemos conocer dicha inclinación pues es
otra característica intrínseca a los segmentos al igual que su longitud. Para
4

5. calcular la inclinación o pendiente de un segmento lo hacemos respecto al eje
X con la siguiente ecuación
y2 − y1
m= (12)
x2 − x 1
donde m denota pendiente. En esta ecuación podemos ver la utilización de
las abscisas y ordenadas para conocer otra propiedad de un segmento.
Ejemplo: Encontrar la pendiente entre los puntos A = (1, 2) y B = (3, 5).
Aplicamos directamente la ecuación de la pendiente
5−2 3
m= = = 1,5 (13)
3−1 2
y obtenemos nuestra pendiente.
5 Y
B
4
m 1.5
3
2
A
1
X
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Figura 5: Pendiente m entre los puntos A y B .
Es importante notar que si tomamos el punto B como (x1 , y1 ) y el punto
A como (x2 , y2 ), o viceversa, así los debemos mantener porque intercambiar
los órdenes nos dará resultados erróneos.
Ejemplo: Calcular la pendiente del segmento que une los puntos A = (−2, −1)
y B = (−3, 0).
Aplicamos la ecuación
0 − (−1) 1
m= = = −1 (14)
−3 − (−2) −1
Una vez que hemos obtenido la pendiente podemos notar que este número es
la razón del cateto vertical entre el cateto horizontal de cualquier triángulo
representado en el plano cartesiano.
cateto vertical
m= (15)
cateto horizontal
5

6. Si recordamos las funciones trigonométricas nos daremos cuenta que la razón
anterior es la denición de la función tangente de un ángulo dado
y y2 − y1
tanθ = = =m (16)
x x2 − x1
por lo que hemos encontrado la relación entre la pendiente de un segmento
y la tangente del ángulo que forma con el eje X
tanθ = m (17)
Este nuevo resultado nos sirve para encontrar el ángulo especíco que un
segmento forma con el eje X utilizando la función tangente inversa
θ = tan−1 (m) (18)
Ejemplo: La pendiente de un segmento es 0,8 encontrar el ángulo que forma
con el eje X
Simplemente aplicamos la función inversa
θ = tan−1 (0,8) = 38,65o (19)
y obtenemos el ángulo.
Y
5
4
3
m 0.8
2
1
Θ 38.65 º X
4 2 2 4
1
Figura 6: Angulo θ a partir de la pendiente m de un segmento.
1.4. Angulo entre dos segmentos
Otra aplicación de la pendiente nos sirve para conocer el ángulo que
forman dos segmentos que se intersectan en el plano cartesiano. Para esto
simplemente obtenemos las pendientes de cada uno y utilizamos la ecuación
m2 − m1
tanθ = (20)
1 + m1 m2
6

7. donde m1 y m2 denotan las pendientes del primer y segundo segmento en
cuestión respectivamente.
Ejemplo: Encontrar el ángulo que forman los segmentos cuyas pendientes
son m1 = 2 y m2 = −3.
Aplicamos la ecuación
m2 − m1 −3 − 2 −5
tanθ = = = =1 (21)
1 + m1 m2 1 + (2)(−3) −5
y mediante la tangente inversa tenemos
θ = tan−1 (1) = 45o (22)
lo que signica que el ángulo entre los dos segmentos es de 45o .
Y
30
m1 2
20
10
Θ 45 º
m2 3
X
10 5 5 10
10
20
Figura 7: Angulo θ entre la pendiente m1 y la pendiente m2 .
7

8. Ejemplo: Encontrar el ángulo entre los segmentos cuyas pendientes son
m1 = 2
3
y m2 = −3 .
2
Aplicamos la ecuación
−2 − 2
3
− 13
tanθ = 3
= 6
(23)
1+ 2 − 3
3 2
1−1
en este caso tenemos un cero en el último denominador de la ecuación ante-
rior porque el a«gulo que forman estos dos segmentos es de 90o y la tangente
de dicho ángulo no existe.
Ejemplo: Encontrar el ángulo entre los segmentos cuyas pendientes son
m1 = 1 y m2 = 2.
Aplicamos la ecuación
2−1 1
tanθ = = (24)
1 + (1)(2) 3
y el ángulo está dado por
1
θ = tan−1 = 18,43o (25)
3
1.5. Segmentos y pendientes
Cuando un segmento es perpendicular a otro se tiene un ángulo de 90o
entre ellos y cuando el ángulo entre dos segmentos es 0o o 180o entonces
estos son paralelos o antiparalelos. Cuando hablamos de segmentos parale-
los o antiparalelos nos referimos al sentido del segmento dado por lo que se
trata también de segmentos dirigidos en cierto sentido. Para conocer analíti-
camente estas tres situaciones dados dos segmentos tenemos las siguientes
relaciones
Si m1 m2 = −1 entonces θ = 90o (26)
Si m1 = m2 entonces θ = 0o (27)
Si m1 = −m2 entonces θ = 180o (28)
Ejemplo: Encuentre la pendiente de un segmento perpendicular al segmento
con pendiente m1 = 4 .
5
Sustituyendo m1 en la ecuación m1 m2 = −1 y despejando m2 tenemos
−1 5
m2 = 4 =− (29)
5
4
Ejemplo: Se tiene un segmento con pendiente m1 = 4 y otro segmento con
pendiente m2 = −3. Determina qué ángulo hay entre esos dos segmentos.
8

9. Evidentemente estos dos segmentos no son perpendiculares, paralelos o an-
tiparalelos por lo que se debe buscar el ángulo que forman con la ecuación
(20).
Ejercicios de la sección 1
En los siguientes ejercicios encontrar la distancia entre cada par de
coordenadas.
1. (2, 2), (−1, 4)
2. (−1, −3), (0, −1)
3. (4, 4), (5, 6)
4. (0, 1), (1, 0)
5. (3, −1), (0, 0)
En los siguientes ejercicios encontrar la pendiente entre cada par de
coordenadas.
1. (3, 5), (−2, 4)
2. (1, 1), (−2, −2)
3. (0, 4), (9, 7)
4. (−3, −8), (1, 1)
5. (2, 6), (−6, 1)
En los siguientes ejercicios encontrar el punto medio entre cada par de
coordenadas.
1. (1, 5), (3, 5)
2. (0, 0), (1, 3)
3. (2, 3), (−3, −1)
En los siguientes ejercicios encontrar el ángulo entre los segmentos us-
ando cada par de pendientes.
1. m1 = −1, m2 = 3
2. m1 = 1/2, m2 = 3/4
3. m1 = 1,2, m2 = 2,5
4. m1 = 4, m2 = 3,4
5. m1 = 2, m2 = −5
9

10. En los siguientes ejercicios encuentre el ángulo entre cada par de pen-
dientes.
1. m1 = −1/3, m2 = 3
2. m1 = 2, m2 = −2
3. m1 = 0, m2 = 1
Problemas varios.
1. Encuentre el área del triángulo formado por las coordenadas A =
(1, 3), B = (−2, 1) y C = (0, 4).
2. Encuentre la pendiente del segmento que une las coordenadas
(a, 2a) y (−3a, a).
3. Encuentre el ángulo que forma el segmento que une las coorde-
nadas (2, 2) y (3, 4) con el eje X .
10

11. 2. La Recta
En la sección anterior estudiamos el plano cartesiano, los puntos y los
segmentos, ahora comenzaremos con la recta. Una recta se dene como el
lugar geométrico comprendido por una sucesión innita de puntos cuya razón
entre sus ordenadas y abscisas es constante. Al igual que un segmento, una
recta también tiene una pendiente pero a diferencia del primero la recta no
tiene una longitud nita. Una recta que no sea paralela al eje X o al eje Y
siempre tendrá un punto de intersección con cada eje.
2.1. Ecuación Ordinaria
La forma más simple de la ecuación de una recta es la ecuación ordinaria
y = mx + b (30)
donde m es la pendiente entre dos puntos que pertenezcan a la recta y b es
la ordenada donde dicha recta intersecta al eje Y .
Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y
(1, 4).
El primer paso es encontrar la pendiente entre esos dos puntos
4−3 1
m= = = −1 (31)
1−2 −1
el siguiente paso es sustituir la pendiente en la ecuación (30)
y = mx + b = (−1)x + b = −x + b (32)
ahora debemos elegir cualquiera de las dos coordenadas que nos dieron y
sustituir la ordenada y la abscisa en y y en x de la ecuación anterior
3 = (−1)(2) + b (33)
hacemos las operaciones y despejamos b
3 = −2 + b → 3 + 2 = b → 5 = b (34)
de esta forma encontramos que b = 5 y nalmente sustituimos este valor
en la ecuación (32) y tenemos la ecuación de la recta que pasa por esos dos
puntos
y = −x + 5 (35)
11

12. Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−1, −6)
y (0, 4).
La pendiente es
4 − (−6) 10
m= = = 10 (36)
0 − (−1) 1
sustituyendo en la ecuación (30)
y = 10x + b (37)
sustituyendo ahora cualquiera de las dos coordenadas dadas en la ecuación
anterior
4 = 10(0) + b → 4 = b (38)
por lo que b = 4 y la ecuación de la recta es
y = 10x + 4 (39)
Y
15
10
y 10 x b
5
X
1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5
5
10
Figura 8: Gráca de la recta y = 10x + 4.
Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos
(3, −2) y (0, 2) y también encuentre la ecuación de la recta perpendicular a
la anterior y que pasa por el punto (1, 3).
Calculemos la pendiente entre los primeros dos puntos
2 − (−2) 4
m= = (40)
0−3 −3
sustituyamos en la ecuación de la recta
4
y =− x+b (41)
3
12

13. sustituyamos una de las coordenadas en la ecuación anterior y despejemos b
4
2 = − (0) + b → 2 = b (42)
3
y ya que b = 2 escribamos la ecuación de la recta
4
y =− x+2 (43)
3
Y
4
3
2
4
y x 2
3
3 9 1
y x
4 4
X
2 1 1 2
Figura 9: Rectas perpendiculares.
Para encontrar la ecuación de una recta perpendicular a la anterior y que
pase por el punto (1, 3) aplicamos la condición (26) a la pendiente de la recta
anterior
4 −1 3
m1 m2 = −1 → − m2 = −1 → m2 = 4 → m2 = (44)
3 −3 4
13

14. ahora sustituimos la pendiente m2 en la ecuación de la recta
3
y = x+b (45)
4
y sustituimos la coordenada del punto por donde pasa dicha recta
3 3 3 9
3 = (1) + b → 3 = + b → 3 − = b → = b (46)
4 4 4 4
y sustituimos b en la ecuación de la recta
3 9
y = x+ (47)
4 4
Finalmente hemos obtenido la ecuación de una recta perpendicular a la an-
terior.
2.2. Ecuación General de la Recta
Habíamos dicho que la forma y = mx + b era la más sencilla de las
ecuaciones de la recta, ahora veremos la forma general de la ecuación de la
recta.
Ax + By + C = 0 (48)
Donde A, B y C son coecientes numéricos.
Ejemplo: Escribir la ecuación y = 2x + 3 en su forma general.
A partir de la ecuación ordinaria es muy sencillo escribirla en su forma general
simplemente pasando y al lado derecho
0 = 2x − y + 3 (49)
donde A = 2, B = −1 y C = 3.
Ejemplo: Escribir la ecuación y = 3 x − 1 en la forma general.
2
3
Nuevamente pasamos y del otro lado y tenemos
2 1
0= x−y+ (50)
3 3
donde A = 2 , B = −1 y C = 3 .
3
1
2.3. Distancia entre un punto y una recta
si desearamos encontrar la distancia del origen a un punto una recta, sin
ninguna otra consideración, utilizamos la ecuación de la distancia entre dos
puntos (4). Lo mismo se puede hacer para encontrar la distancia entre dos
14

15. puntos en dos rectas distintas. Pero si queremos encontrar la distancia entre
un punto arbitrario en el plano cartesiano y una recta cualquiera tal que esta
distancia sea el segmento perpendicular que une a ese punto con la recta
necesitamos la siguiente ecuación
|Ax1 + By1 + C|
d= √ (51)
A2 + B 2
donde A, B y C son los coecientes de la ecuación general de la recta (48)
y (x1 , y1 ) son la abscisa y la ordenada del punto a donde queremos conocer
la distancia. Los símbolos | | signican valor absoluto, esto es, si a = −5
entonces |a| = 5.
Ejemplo: Encontrar la distancia entre el punto (1, 1) a la recta y = x + 1.
Escribimos la ecuación de la recta en su forma general
0=x−y+1 (52)
de donde tenemos A = 1, B = −1 y C = 1. Ahora sustituimos estos coe-
cientes y la abscisa y la ordenada en la ecuación (51)
|(1)(1) + (−1)(1) + 1| |1 − 1 + 1| |1| 1
d= √
2 + 12
= √ =√ =√ (53)
1 2 2 2
√
y la distancia entre el punto (1, 1) y la recta y = x + 1 es 1/ 2.
3.0
Y
2.5
y x 1
2.0
1.5
1
d
2
1.0
1, 1
0.5
X
1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
Figura 10: Distancia d entre el punto (1, 1) y la recta y = x + 1.
Ejemplo: Encontrar la distancia entre el punto (−2, 4) y la recta y =
3x + 2.
15

16. La forma general de la ecuación es 0 = 3x − y + 2 por lo que los coecientes
son A = 3, B = −1 y C = 2 y la distancia entre el punto y la recta se obtiene
mediante
|(3)(−2) + (−1)(4) + 2| | − 6 − 4 + 2| | − 8| 8
d= = √ = √ =√ (54)
32 + (−1)2 9+1 10 10
√
y la distancia buscada es 8/ 10.
2.4. Distancia entre rectas
Para conocer la distancia de un segmento perpendicular a una recta hasta
otra recta es obvio que necesitamos que las dos rectas sean paralelas, de la
condición (27) las pendientes deben cumplir m1 = m2 , lo que implica que
A1 = A2 y B1 = B2 , por lo que, de la ecuación (51) tenemos que
|Ax1 + By1 + C| |C1 − C2 |
d= √ =√ (55)
A2 + B 2 A2 + B 2
Ejemplo: Encontrar la distancia entre las rectas paralelas y = −x + 2 y
y = −x + 1.
Las formas generales de ambas ecuaciones son: 0 = −x−y+2 y 0 = −x−y+1.
De lo anterior tenemos los coecientes A = −1, B = −1, C1 = 2 y C2 = 1,
entonces tenemos
|C1 − C2 | |2 − 1| 1
d= √ = =√ (56)
A2 + B 2 (−1)2 + (−1)2 2
y la distancia entre las rectas paralelas es √1
2
.
16

17. 3.0 Y
2.5
2.0 y x 2
1.5
1.0 3
d
2
y x 1
0.5
X
1.0 0.5 0.5 1.0
Figura 11: Distancia d entre las rectas y = −x + 2 y y = −x + 1.
Ejemplo: Encontrar la distancia entre las rectas y = 2x + 4 y y = 2x − 1.
Las formas generales de ambas ecuaciones son: 0 = 2x−y +4 y 0 = 2x−y −1.
Y los coecientes son: A = 2, B = −1, C1 = 4 y C2 = −1. Aplicando la
ecuación (55) tenemos
|4 − (−1)| 5
d= =√ (57)
22 + (−1)2 5
y la distancia entre las rectas paralelas es √5
5
.
2.5. Otras formas de la recta
Forma punto y pendiente.
En este caso tenemos una pendiente de la recta y un punto por el cual pasa
esta y su forma es
y − y1 = m(x − x1 ) (58)
17

18. donde y1 y x1 son la ordenada y la abscisa del punto dado respectivamente
y m es la pendiente.
Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 1) y
tiene un ángulo de inclinación de 122o .
Mediante
tanθ = m (59)
encontramos la pendiente
m = tan(122o ) = −1,6 (60)
sustituyendo m = −1,6 y el punto (2, 1) en la ecuación (58) tenemos
y − 1 = (−1,6)(x − 2) → y − 1 = −1,6x + 3,2 → y = −1,6x + 4,2 (61)
y nuestra ecuación es y = −1,6x + 4,2.
Recta que pasa por dos puntos.
En este caso tenemos dos puntos dados por lo que podemos utilizar la
ecuación de la recta en la forma
y1 − y2
y − y1 = (x − x1 ) (62)
x1 − x2
donde todas las x y y con subíndices hacen referencias a abscisas y ordenadas
respectivamente.
Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, −2)
y (3, 3).
Aplicamos la ecuación anterior
−2 − 3 −5 5 9
y − (−2) = (x − 1) → y + 2 = (x − 1) → y = x − (63)
1−3 −2 2 2
y nuestra ecuación es y = 5 x − 9 .
2 2
Forma simétrica
Si nos dieran dos puntos con la forma (a, 0) y (0, b), utilizando la ecuación
(62) tendríamos
0−b −b
y−0 = (x−a) → y = (x−a) → ay = −bx+ab → bx+ay = ab (64)
a−0 a
y dividiendo entre ab ambos miembros de la última ecuación anterior tenemos
x y
+ =1 (65)
a b
la cual es la forma simétrica de la ecuación de la recta. Los puntos (a, 0) y
(0, b) son las intersecciones con los ejes X y Y respectivamente.
18

19. Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta cuyas intersecciones con los ejes
son: (1, 0) y (0, 3).
Según la ecuación (65)
x y
+ =1 (66)
1 3
donde es claro que a = 1 y b = 3.
Forma normal de la recta
Para cualquier recta podemos trazar un segmento a partir de ella y hasta el
origen del plano cartesiano de tal forma que este segmento sea perpendicular
a la recta. Si utilizamos este segmento como la hipotenusa de un triángulo
rectángulo entonces las coordenadas del punto donde intersecta a la recta
serán
x1 = rcosθ y1 = rsenθ (67)
donde r es la longitud del segmento y θ es el ángulo positivo que forma con
el eje X .
La forma normal de la ecuación de la recta es
xcosθ + ysenθ − r = 0 (68)
Ejemplo: Encontrar la forma normal de la ecuación de la recta que pasa por
el punto (2, 3).
Si gracamos el punto dado y formamos un triángulo tenemos que x = 2 y
√
y = 3 y por lo tanto la hipotenusa es r = 13 y por trigonometría tenemos
que
2 3
cosθ = √ , senθ = √ (69)
13 13
por lo que, sustituyendo en la ecuación (68)
2 3 √
x √ +y √ − 13 = 0 (70)
13 13
√
y multiplicando todo por 13 obtenemos la ecuación de la recta en su forma
general
2x + 3y − 13 = 0 (71)
19

20. 5
4 2 x 3 y 13 0
2, 3
3
2
r 13
y 3
1
Θ
x 2
1 1 2 3 4
Figura 12: Gráca de la ecuación normal en el punto (2, 3).
Ejemplo: Encontrar la ecuación normal de la recta que pasa por el punto
(−1, 2). √
Según estas coordenadas tendríamos r = 5 y sustituyendo en la ecuación
(68)
−1 2 √
x √ +y √ − 5=0 (72)
5 5
√
multiplicando toda la ecuación por 5 tenemos
−x + 2y − 5 = 0 (73)
2.6. Intersecciones con los ejes coordenados
Toda recta que no sea paralela a los ejes coordenados tiene un punto
de intersección con cada uno de ellos. Para conocer estos puntos debemos
sustituir en la ecuación de la recta las coordenadas: (x, 0) y (0, y).
Ejemplo: Encuentre los puntos donde la recta y = 3x + 2 intersecta a los
ejes coordenados.
Primero sustituimos (x, 0)
−2
y = 3x + 2 → 0 = 3x + 2 → −2 = 3x → x = (74)
3
entonces la recta y = 3x + 2 intersecta al eje X en el punto (−2/3, 0). Ahora
sustituyamos el punto (0, y)
y = 3(0) + 2 → y = 0 + 2 → y = 2 (75)
20

21. por lo que la recta y = 3x + 2 intersecta al eje Y en el punto (0, 2).
Ejercicios de la sección 2
En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación ordinaria de la recta
con cada par de coordenadas.
1. (−1, 2), (3, 4)
2. (0, 3), (1, −1)
3. (2, 4), (1, 0)
4. (0, 4), (−3, 6)
5. (2, −4), (6, 2)
En los siguientes ejercicios escriba cada ecuación en su forma general.
1. y = 2x + 3
2. y = −x + 5
3. y = −2x + 4
4. y = −3x + 1
2
5. y = 1x + 4
2
En los siguientes ejercicios calcule la distancia entre la ecuación y el
punto dados.
1. y = 5x + 2, (1, 3)
2. y = −x + 3, (2, 2)
3. y = 2x + 2, (−1, 0)
4. y = x + 3, (3, −5)
5. y = 7x − 2, (1, 2)
En los siguientes ejercicios calcule la distancia entre las rectas dadas.
1. y = x + 3, y = x − 2
2. y = −2x + 1, y = −2x
3. y = 3x + 1, y = 3x + 4
4. y = −5x + 2, y = −5x + 1
5. y = 6x + 1, y = 6x + 2
21

22. En los siguientes ejercicios calcule la ecuación normal de la recta.
1. (1, 3)
2. (−1, 4)
3. (2, 7)
4. (3, 3)
5. (−2, −5)
Problemas varios.
1. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (a, 2a)
y (−a, 4a).
2. Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a la recta y =
2x − 4.
3. Encuentre la distancia entre las rectas y = x + 2a y y = x − 3a.
22

23. 3. Circunferencia
Ahora comenzaremos el estudio de las secciones cónicas, llamadas así
por que surgen a partir de hacer cortes o seccionar un par de conos, unidos
por sus puntas, mediante un plano. Las secciones cónicas comprenden la
circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola. Una circunferencia es el
conjunto de todos los puntos que equidistan de un punto llamado centro.
La distancia entre el conjunto de puntos y el centro se llama radio de la
circunferencia y en la forma básica de su ecuación es lo que la dene.
3.1. Ecuación canónica de la circunferencia
La ecuación canónica de la circunferencia es la forma básica y se escribe
como
x2 + y 2 = r 2 (76)
donde x representa las abscisas, y las ordenadas y r es el radio. La carac-
terística principal de esta ecuación es que representa una circunferencia con
centro en el origen del plano cartesiano.
Ejemplo: Grafíque la circunferencia que corresponde a la ecuación
x2 + y 2 = 22 (77)
Esta ecuación nos dice que la gura está en el centro del plano cartesiano y
que tiene un radio r = 2
2
Y
1
r 2
2 1 1 2
X
1
2
Figura 13: Gráca de x2 + y 2 = 22 .
También pudimos escribir la ecuación (77) como
x2 + y 2 = 4 (78)
23

24. √ √
es decir, r = 22 = 4 = 2.
Ejemplo:Grafíque la ecuación x2 + y 2 = 5.
√
Sabemos que r2 = 5 por lo que r = 5, y como es la ecuación canónica de
la circunferencia entonces su centro se encuentra en el punto (0, 0) del plano
cartesiano por lo que la gráca es
Y
2
1
r 5
X
2 1 1 2
1
2
Figura 14: Gráca de x2 + y 2 = 5.
3.2. Ecuación ordinaria de la circunferencia
En la sección anterior tratamos con la ecuación canónica de la circunferen-
cia, es decir, la que cuyo centro se encuentra en el origen del plano cartesiano.
Ahora abordaremos la ecuación ordinaria de la circunferencia cuyo centro se
encuentra en cualquier punto del plano cartesiano. La forma de esta ecuación
es la siguiente
(x − h)2 + (y − k)2 = r2 (79)
donde h y k denotan la abscisa y la ordenada del centro de la circunferencia:
(h, k).
Ejemplo:Grafíque la ecuación de la circunferencia (x + 2)2 + (y + 1)2 = 4.
Para obtener el centro (h, k) tomamos los números de la ecuación con signos
contrarios, es decir, h = −2 y k = √ de donde nuestro centro es: C =
−1
(−2, −1). El radio está dado por r = 4 = 2 y la gráca tiene la forma
24

25. Y1
X
4 3 2 1
2, 1
1
r 2
2
3
Figura 15: Gráca de (x + 2)2 + (y + 1)2 = 4.
Ejemplo:Grafíque la ecuación (x − 1)2 + (y − 3)2 = 3. √
Tenemos que nuestro centro es: C = (1, 3), y nuestro radio es: r = 3, por
lo que la gráca es
Y
4.5
4.0
3.5 r 3
3.0
1, 3
2.5
2.0
X
0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Figura 16: Gráca de (x − 1)2 + (y − 3)2 = 3.
Ejemplo: Grafíque la ecuación (x − 2)2 + (y + 1)2 = 2√
.
Nuestro centro es: C = (2, −1), y nuestro radio es: r = 2. Por lo que la
gráca es
25

26. Y
X
1.5 2.0 2.5 3.0
0.5
2, 1
1.0
r 2
1.5
2.0
Figura 17: Gráca de (x − 2)2 + (y + 1)2 = 2.
Ejemplo: Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyo centro es la
intersección de la recta y = 2x + 4 con el eje X y radio r = 1.
Primero sustituimos la coordenada (x, 0) en la ecuación de la recta
0 = 2x + 4 → −4 = 2x → −2 = x (80)
por lo que la intersección con el eje X es el punto (−2, 0) y la ecuación de la
circunferencia está dada por
(x + 2)2 + (y + 0)2 = 1 → (x + 2)2 + y 2 = 1 (81)
Ejemplo: Calcular la ecuación normal de la recta que pasa por el centro de
la circunferencia dada por (x − 3)2 + (y − 1)2 = 3.
El centro de la circunferencia es (3, 1) de donde tenemos que la√
√ distancia de
este punto al origen del plano cartesiano es 10 y cosθ = 3/ 10, senθ =
√
1/ 10, sustituyendo en la ecuación (68), tenemos
3 1 √
x √ +y √ − 10 = 0 (82)
10 10
√
y multiplicando por 10 tenemos la ecuación pedida 3x + y − 10 = 0.
3.3. Ecuación general de la circunferencia
Si desarrollamos la ecuación ordinaria de la circunferencia obtenemos
x2 + y 2 − 2hx − 2ky + h2 + k 2 − r2 = 0 (83)
26

27. la cual podemos escribir en la forma
x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 (84)
donde D = −2h, E = −2k y F = h2 + k 2 − r2 . Por lo que las coordenadas
del centro de la circunferencia están dadas por
D E
C= − ,− (85)
2 2
√
y el radio es r = 1/2 D2 + E 2 − 4F .
Ejemplo: Grafíque la ecuación de la circunferencia x2 + y 2 − 2x + 3y − 1 = 0.
Tenemos que D = −2, E = 3 y F = −1 por lo que el centro está dado por
(−2) 3
C= − ,− = (1, −1,5) (86)
2 2
y el radio está dado por
√ √
r = 1/2 (−2)2 + 32 − 4(−1) = 1/2 4 + 9 + 4 = 17/2. (87)
Y
X
1 1 2 3
1
1, 1.5
17
2 r
2
3
Figura 18: Gráca de x2 + y 2 − 2x + 3y − 1 = 0.
Ejemplo: Escriba la ecuación x2 + y 2 + 3x + 4y − 2 = 0 en la forma
ordinaria de la ecuación de la circunferencia.
El procedimiento es completar los cuadrados
x2 + 3x + (3/2)2 − (3/2)2 + y 2 + 4y + (4/2)2 − (4/2)2 − 2 = 0 (88)
27

28. y simplicar
2
3 9
x+ + (y + 2)2 − −4−2=0 (89)
2 4
por lo que tenemos
2
3 33
x+ + (y + 2)2 = (90)
2 4
donde C = (−1,5, −2) y r = 33/4.
Ejercicios de la sección 3
En los siguientes ejercicios grafíca la ecuación canónica de la circunfer-
encia dada.
1. x2 + y 2 = 3
2. x2 + y 2 = 4
3. x2 + y 2 = 5
√
4. x2 + y 2 = 3
5. x2 + y 2 = 32
En los siguientes ejercicios grafíca la ecuación ordinaria de la circunfer-
encia dada.
1. (x − 2)2 + (y + 2)2 = 3
2. (x + 1)2 + (y + 4)2 = 1
3. (x − 2)2 + (y − 3)2 = 2
4. (x + 3)2 + (y − 1)2 = 1
5. (x − 5)2 + y 2 = 3
En los siguientes ejercicios grafíca la ecuación general de la circunfer-
encia dada.
1. x2 + y 2 − x + y − 2 = 0
2. x2 + y 2 + 3x + 3y − 1 = 0
3. x2 + y 2 + 2x − y + 1 = 0
4. x2 + y 2 + 4x − 4y − 2 = 0
5. x2 + y 2 − x − y − 1 = 0
Problemas varios.
28

29. 1. Escribe la ecuación ordinaria de la circunferencia cuyo centro es
la intersección de la recta y = 4x − 1 con el eje Y y su radio es la
distancia entre el punto (3, 2) y la misma recta.
2. Escribe la ecuación x2 + y 2 + 3x − 1 = 0 en su forma ordinaria.
3. Escribe la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto
medio de las intersecciones de la recta y = x + 4 con los ejes X y
Y , y cuyo radio es r = 3.
29

30. 4. Parábola
La parábola es el conjunto de puntos cuya distancia a una recta ja
llamada directríz es igual a la distancia de un punto jo llamado foco
como se muestra en la sifuiente gura
4
Directríz
L
P
2
V F
0.5 1.0 1.5 2.0
2
L’
4
Figura 19: Denición de la parábola.
donde el segmento LL es el lado recto de la parábola y V es el vértice.
4.1. Ecuación de la parábola con vértice en el origen
El caso más sencillo para las ecuaciones de la parábola es cuando su
vértice se encuentra en el origen del plano cartesiano ya sea que los brazos
de la parábola abran hacia la derecha o izquierda, o hacia arriba o abajo, y
tienen la forma
y 2 = 4px, x2 = 4py (91)
donde p es la distancia entre el foco y el vértice.
Primer caso: La ecuación y 2 = 4px nos describe una parábola con eje focal
en el eje X , que abre hacia la derecha si 4p es positivo o hacia la izquierda
si 4p es negativo. La coordenada de su foco es F = (±p, 0), la de su vértice
es V = (0, 0) y la longitud de su lado recto es LL = |4p|.
Segundo caso: La ecuación x2 = 4py describe una parábola con eje focal en
el eje Y , que abre hacia arriba si 4p es positivo o hacia abajo si 4p es negativo.
La coordenada de su foco es F = (0, ±p), la de su vértice es V = (0, 0) y la
longitud de su lado recto es LL = |4p|.
Ejemplo: Grafíque la ecuación de la parábola x2 = 3y .
30

31. Esta ecuación nos dice que el eje focal está en el eje Y y que abre hacia arriba.
Tenemos que 4p = 3 por lo que p = 3/4 entonces su foco es F = (0, p) =
(0, 3/4), su vértice es V = (0, 0) y su lado recto es LL = |4p| = |4(3/4)| =
|3| = 3, y su gráca es
1.0 Y
F 0, 0.75
L L’
0.5
X
3 2 1 1 2 3
0.5
Directríz: y 0.75
Figura 20: Gráca de la parábola x2 = 3y .
La parábola en la gura (20) no tiene la misma escala en el eje X y en el
eje Y por lo que la medida del lado recto puede parecer incorrecta.
Ejemplo: Grafíque la ecuación de la parábola y 2 = −5x.
La ecuación nos dice que la parábola tiene su eje focal en el eje X y que abre
hacia la izquierda y tenemos que 4p = −5 por lo que p = −5/4 de donde el
foco es F = (p, 0) = (−5/4, 0), el vértice es V = (0, 0) y el lado recto está
dado por LL = |4p| = |4(−5/4)| = | − 5| = 5. Gracando
1 Directríz
V
4 2 2 4
1 F
L L’
2
3
4
5
Figura 21: Gráca de la parábola y 2 = −5x.
31

32. 4.2. Ecuación de la parábola con vértice en cualquier
punto
Ahora abordaremos la forma de la ecuación de una parábola cuyo vértice
se encuentra en cualquier punto del plano cartesiano. Tenemos nuevamente
dos casos
(y − k)2 = 4p(x − h), (x − h)2 = 4p(y − k) (92)
donde (h, k) es el vértice de la parábola.
Primer caso: La ecuación (y − k)2 = 4p(x − h) describe una parábola con
eje focal paralelo al eje X que abre a la derecha si p 0 y a la izquierda si
p 0, vértice en (h, k), foco en (h + p, k) y lado recto LL = |4p|.
Segundo caso: La (x − h)2 = 4p(y − k) describe una parábola con eje focal
paralelo al eje Y que abre hacia arriba si p 0 y hacia abajo si p 0, vértice
en (h, k), foco en (h, k + p) y lado recto LL = |4p|.
Ejemplo: Grafíca la ecuación de la parábola (y − 2)2 = 3(x − 1).
La ecuación nos dice que el eje de la parábola es paralelo al eje X , y abre
hacia la derecha. El parámetro p está dado por 4p = 3 por lo que p = 3/4, el
vértice es V = (h, k) = (1, 2), el foco es F = (h+p, k) = (1+3/4, 2) = (7/4, 2)
y el lado recto es LL = |4p| = |4(3/4)| = |3| = 3. Finalmente, la gráca es
5
Y
4
3
V F
2
1
X
1 2 3 4
1
Figura 22: Gráca de la parábola (y − 2)2 = 3(x − 1).
Ejemplo: Grafíca la ecuación de la parábola (x − 1)2 = −2(y + 3).
De la ecuación podemos ver que el eje focal es paralelo al eje Y y abre hacia
abajo. El parámetro p está dado por 4p = −2 por lo que p = −2/4 = −1/2.
El vértice es V = (1, −3), el foco es F = (h, k+p) = (1, −3−1/2) = (1, −7/2)
y el lado recto es LL = |4p| = |4(−1/2)| = | − 2| = 2. Y la gráca es
32

33. 3 2 1 1 2 X 3
1
2
V
3
F
4
5 Y
Figura 23: Gráca de la parábola (x − 1)2 = −2(y + 3).
Ejemplo: Encuentre la ecuación de la parábola con vértice en (1, 2) con
eje focal el eje X y que pasa por el punto (−1, 4).
Sustituimos el vértice en la ecuación (y − k)2 = 4p(x − h) y también sustitu-
imos el punto (−1, 4)
(4 − 2)2 = 4p(−1 − 1) → (2)2 = 4p(−2) → 4 = −8p → −4/8 = p (93)
por lo que p = −1/2 y la ecuación de la parábola es (y − 2)2 = −2(x − 1).
Ejemplo: Encuentra la ecuación de la parábola cuyo vértice está dado por
la intersección de la recta y = 2x + 2 con el eje X y su lado recto mide 4.
Para encontrar la intersección de la recta con el eje X sustituimos la coorde-
nada (x, 0) en su ecuación y = 2x + 2
0 = 2x + 2 → −2 = 2x → −1 = x (94)
por lo que la coordenada de la intersección y también del vértice es (−1, 0).
Ya que el lado recto mide 4, entonces 4p = 4 por lo que p = 1 y la ecuación
de la parábola es
(y − 0)2 = 4(x + 1) → y 2 = 4(x + 1) (95)
Ejercicios de la sección 4
En los siguientes ejercicios grafíque la ecuación de la parábola dada.
1. y 2 = −4x
2. y 2 = −x
3. y 2 = 3x
33

34. 4. x2 = 9y
5. x2 = −y
En los siguientes ejercicios grafíque la ecuación de la parábola dada.
1. (y − 1)2 = −(x + 2)
2. (y − 2)2 = 4(x − 1)
3. (x + 3)2 = 2(y + 1)
4. (x − 1)2 = 4y
5. (x + 4)2 = −2(y − 3)
Problemas varios
1. Encuentre la ecuación de la parábola con vértice (1, 1), eje focal
paralelo al eje Y y que pasa por el punto (−1, 3)
2. Encuentre la ecuación de la parábola cuyo vértice está dado por
la intersección de la recta y = x + 1 con el eje Y y lado recto es 3.
3. Encuentre la ecuación de la parábola cuyo vértice es el centro de
la circunferencia x2 + y 2 − 2x − y − 1 = 0 y la distancia entre el
vértice y el foco es 3.
34

35. 5. Elipse
En esta sección estudiaremos la elipse que también es una sección cónica,
la cual se dene como el conjunto de puntos tal que la suma de sus distancias
a dos puntos distintos jos llamados focos es constante.
1.0
P B
Y
L L
0.5
F C F’
2 1 1 2
V V’
X
0.5
L’
L’
B’
1.0
Figura 24: Denición de la elipse
El segmento V V es el eje mayor que se encuentra sobre el eje focal y el
segmento BB es el semieje menor. La distancia LL es el lado recto y C es
el centro de la elipse.
5.1. Ecuación de la elipse con centro en el origen
Las ecuaciones de la elipse con centro en el origen del plano cartesiano
son de dos tipos: con eje focal en el eje X como en la gura (24) o con el eje
focal en el eje Y .
Primer caso: La ecuación para una elipse con eje focal en el eje X es
x2 y 2
+ 2 =1 (96)
a2 b
donde a y b son parámetros que se relacionan entre sí y con un tercer
parámetro c por medio de la ecuación
c2 = a2 + b2 (97)
estos parámetros se relacionan también con las distancias entre vértices, focos
y semieje menor de la siguiente manera
V V = 2a, F F = 2c, BB = 2b (98)
35

36. por lo que sus coordenadas son: V = (a, 0), V = (−a, 0), F = (c, 0), F =
(−c, 0), B = (0, b) y B = (0, −b).
Segundo caso: La ecuación para una elipse con eje focal en el eje Y es
x2 y 2
+ 2 =1 (99)
b2 a
donde a, b y c cumplen con las mismas características que en el primer caso.
Nótese que la diferencia entre la ecuación para el eje X y el eje Y es la
posición del parámetro a. El denominador numérico de x2 o y 2 que sea mayor
determinará en qué eje estará el eje focal. Las coordenadas para el vértice,
el foco y el semieje menor serán: V = (0, a), V = (0, −a), F = (0, c),
F = (0, −c), B = (b, 0) y B = (−b, 0).
El lado recto para ambos casos es: LL = 2b .
2
a
Ejemplo: Grafíque la ecuación de la elipse x5 + y4 = 1.
2 2
Sabemos que es √ elipse con centro en el origen y eje focal el eje √ , con
una √ √ √ X
parámetros a = 5 = 2,23, b = 4 = 2 y c = a 2 − b2 = 5−4 = 1 = 1
por lo que las coordenadas son de la siguiente forma: V, V = (±2,23, 0),
F, F = (±1, 0) y B, B = (0, ±2), y el lado recto LL = 2(4)/2,23 = 3,58, y
la gráca tiene la forma
2
Y B
L L
1
V F C F’ V’
2 1 1 2
X
1
L’ L’
B’
2
Figura 25: Gráca de la elipse x2
5
+ y2
4
=1
Ejemplo: Grafíque la ecuación de√ elipse x6 + y9 √ 1.
la
2 2
=
√ √
Los parámetros son a = 9 = 3, b = 6 = 2,44 y c = a2 − b2 = 9 − 6 =
36

37. √
3 = 1,73. De lo anterior vemos que el número más grande es a2 = 9 y que
se encuentra como denominador de y 2 por lo que el eje focal de la elipse se
encuentra sobre el eje Y y las coordenadas son de la forma: V, V = (0, ±3),
F, F = (0, ±1,73) y B, B = (±2,44, 0), y el lado recto LL = 2(6)/3 = 4, la
gráca tiene la forma
3
Y V
L F L’
2
1
B C B’
2 1 1 2
X
1
2
L L’
F’
V’
3
Figura 26: Gráca de la elipse x2
6
+ y2
9
=1
Ejemplo: El foco de una elipse con eje focal sobre el eje X es (2, 0) y la
distancia entre los vértices es 6. Encuentra la ecuación de la elipse.
Tenemos que c √ 2 y ya √ V V = 2a = 6 entonces a = 3, por lo que
√ = que
b= a 2 − c2 = 9 − 4 = 5 y la ecuación de la elipse es
x2 y 2
+ =1 (100)
9 5
5.2. Ecuación de la elipse con centro en cualquier punto
Ahora estudiaremos el caso cuando el centro de la elipse se encuentra en
cualquier punto del plano cartesiano. También se tienen dos versiones de la
ecuación: cuando el eje focal es paralelo al eje X y cuando el es eje paralelo
37

38. al eje Y .
Primer caso: Eje focal paralelo al eje X . La ecuación es
(x − h)2 (y − k)2
+ =1 (101)
a2 b2
donde el centro de la elipse es C = (h, k) y las coordenadas son: V, V =
(±a + h, k), F, F = (±c + h, k) y B, B = (h, ±b + k).
Segundo caso: Eje focal paralelo al eje Y . La ecuación es
(x − h)2 (y − k)2
+ =1 (102)
b2 a2
las coordenadas son: V, V = (h, ±a + k), F, F = (h, ±a + k) y B, B =
(±b + h, k). El lado recto en ambos casos es LL = 2b .
2
a
Ejemplo: Grafíque la ecuación de la elipse (x−1) + (y+2) = 1.
2 2
5 7
Tenemos que el eje focal es paralelo al eje Y y el centro es C = (1,√ . Los
√ √ √ −2)
parámetros son: a = 7 = 2,64, b = 5 = 2,23 y c = a
√
2 − b2 = 7−5 =
2 = 1,41. Las coordenadas son: V = (h, a + k) = (1, 2,64 − 2) = (1, 0,64),
V = (h, −a+k) = (1, −2,64−2) = (1, −4,64), F = (h, c+k) = (1, 1,41−2) =
(1, −0,59), F = (h, −c + k) = (1, −1,41 − 2) = (1, −3,41), B = (h + b, k) =
(1 + 2,23, −2) = (3,23, −2) y B = (1 − 2,23, −2) = (−1,23, −2). El lado recto
es LL = 2(5)/2,64 = 3,78. La gráca tiene la forma
Y
V
1 1 2 3 X
F
1
B C B’
2
3
F’ ’
4
V’
(x−1)2 (y+2)2
Figura 27: Gráca de la elipse 5
+ 7
= 1.
Ejemplo: Grafíque la ecuación de la elipse (x+1) + (y−1) = 1.
2 2
9 4
El eje focal es paralelo al eje X y el centro es C = (−1, 1). Los parámetros son
38

39. √ √ √ √
a = 9 = 3, b = 4 = 2 y c = 9 − 4 = 5 = 2,23. Las coordenadas son:
V = (−1 + 3, 1) = (2, 1), V = (−1 − 3, 1) = (−4, 1), F = (−1 + 2,23, 1) =
(1,23, 1), F = (−1 − 2,23, 1) = (−3,23, 1), B = (−1, 2 + 1) = (−1, 3) y
B = (−1, −2 + 1) = (−1, −1). El lado recto LL = 2(4)/3 = 2,66. La gráca
tiene la forma
3 Y
B
2
V F C F’ ’ V ’
1
X
4 3 2 1 1 2
B’
1
(x+1)2 (y−1)2
Figura 28: Gráca de la elipse 9
+ 4
= 1.
Ejemplo: El centro de una elipse con eje focal paralelo al eje Y es C =
(2, 3). Si la elipse pasa por el punto (4, −1) y su semieje menor tiene una
longitud de 10 calcular su ecuación.
La ecuación es de la forma
(x − 2)2 (y − 3)2
+ =1 (103)
a2 b2
y sustituyendo el punto (4, −1)
(4 − 2)2 (−1 − 3)2 4 16
2
+ 2
=1 → 2 + 2 =1 (104)
a b a b
ya que BB = 2b = 10 entonces b = 5, y la ecuación toma la forma
4 16 4 16 4 9 100
2
+ =1 → 2 =1− → 2 = → a= (105)
a 25 a 25 a 25 9
por lo que a = 3,33. Finalmente la ecuación es
(x − 2)2 (y − 3)2
+ =1 (106)
11,11 25
Ejemplo: Encuentre la ecuación de la elipse con eje focal paralelo al eje X ,
con centro (2, 1), foco (3, 1) y vértice (4, 1).
39

40. Tenemos de la coordenada del foco que: c + h = 3 → c + 2 = 3 por lo que
c = 1, de la misma manera, del vértice tenemos: a + h √ 4 → a + 2 = 4 por
√ = √
lo que a = 2 y para obtener b hacemos b = a 2 − c2 = 4 − 1 = 3 = 1,73.
Entonces la ecuación es
(x − 2)2 (y − 1)2
+ =1 (107)
4 3
Ejercicios de la sección 5
En los ejercicios siguientes grafíque la ecuación de la elipse dada.
1. x2
5
+ y2
6
=1
2. x2
9
+ y2
8
=1
3. x2
3
+ y2
4
=1
4. x2
7
+ y2
6
=1
5. x2
3
+ y2
2
=1
En los ejercicios siguientes grafíque la ecuación de la elipse dada.
(x+1)2 (y+1)2
1. 11
+ 10
=1
(x−1)2 (y−3)2
2. 9
+ 7
=1
(x+2)2 (y+2)2
3. 10
+ 4
=1
(x−2)2 (y+2)2
4. 12
+ 5
=1
(x−3)2 (y−4)2
5. 2
+ 6
=1
Problemas varios.
1. El foco de una elipse con centro en el origen está dado por (3, 0)
y su vértice por (3,5, 0), calcula la ecuación.
2. Una elipse tiene su eje focal paralelo al eje X , la distancia entre
los focos es de 8 y la distancia entre los vértices es de 9, obtén la
ecuación.
3. El centro de una elipse está dado por la intersección de la recta
y = 3x − 1 con el eje Y , si la distancia entre sus focos es de 6 y la
distancia entre sus vértices es de 7, encuentra la ecuación.
40

41. 6. Hipérbola
La hipérbola es la sección cónica denida como el conjunto de puntos cuyo
valor absoluto de la diferencia de las distancias a dos puntos jos llamados
focos es positiva y menor que la distancia entre los focos.
Y
4
L L
2 B
P
F’ V’ C V F
X
3 2 1 1 2 3
B’
2
L’ L’
4
Figura 29: Denición de la hipérbola.
6.1. Ecuación de la hipérbola con centro en el origen
El caso de la hipérbola es semejante al de la elipse ya que también tenemos
dos ecuaciones según el eje focal se encuentre en el eje X o en el Y .
Primer caso: Eje focal en el eje X . La ecuación para este caso es
x2 y 2
− 2 =1 (108)
a2 b
donde a y b son parámetros relacionados con las coordenadas y con el tercer
parámetro c mediante c2 = a2 + b2 . Las coordenadas de vértices, focos y
semieje menor están dadas como: V, V = (±a, 0), F, F = (±c, 0) y B, B =
(0, ±b). La distancia entre vértices, focos y semieje menor es: V V = 2a,
F F = 2c y BB = 2b.
Segundo caso: Eje focal en el eje Y . La ecuación para este caso es
y 2 x2
− 2 =1 (109)
a2 b
41

42. de donde las coordenadas son: V, V = (0, ±a), F, F = (0, ±c) y B, B =
(±b, 0). El lado recto para ambos casos es LL = 2b . Para las ecuaciones de
2
a
la hipérbola el término que sea positivo es el que determinará sobre qué eje
se encuentra el eje focal de la hipérbola.
Ejemplo: Grafíque la ecuación de la hipérbola x4 − y9 = 1.
2 2
Ya que el término positivo es el de x2 entonces el eje focal se encuentra
√ √
sobre el eje√ . Los parámetros son: a = 4 = 2, b = 9 = 3 y c =
√ X √
a2 + b2 = 4 + 9 = 13 = 3,6, por lo que las coordenadas son: V = (2, 0),
V = (−2, 0), F = (3,6, 0), F = (−3,6, 0), B = (0, 3) y B = (0, −3). El lado
recto es LL = 2b = 2(9)/2 = 9. Y la gráca tiene la forma
2
a
Y
L L
4
B
2
F’ V’ V F
X
4 2 2 4
2
B’
4
L’ L’
Figura 30: Gráca de la hipérbola x2
4
− y2
9
= 1.
Ejemplo: Grafíque la ecuación de la hipérbola y5 − x9 = 1.
2 2
El término positivo nos dice que el eje focal está en el eje Y . Los parámetros
√ √ √
son: a = 5 = 2,223, b = 9 = 3 y c = 14 = 3,74. Sus coordenadas
son: V, V = (0, ±2), F, F = (0, ±3,74) y B, B = (±3, 0). El lado recto es
LL = 2b = 2(9)/5 = 3,6. La gráca tiene la forma
2
a
42

43. Y
6
4 F
L’ L
2
V
B’ B
X
4 2 2 4
V’
2
L’ L
4 F’ ’
6
Figura 31: Gráca de la hipérbola y2
5
− x2
9
= 1.
Ejemplo: Encuentre la ecuación de la hipérbola con eje focal en el eje Y
que pasa por el punto (−2, 1) y la distancia del semieje menor es 6.
Sustituimos los datos dados en la ecuación (109)
(1)2 (−2)2 1 4
− =1 → 2 − 2 =1 (110)
a2 b2 a b
y ya que V V = 2b = 6 entonces b = 3 y sustituyendo en la ecuación anterior
1 4 1 4 9
2
− 2 =1 → 2 = +1 → a= = 0,83 (111)
a 3 a 9 13
por lo que, la ecuación de la hipérbola es
y2 x2
− =1 (112)
0,69 9
6.2. Ecuación de la hipérbola con centro en cualquier
punto
Ahora estudiaremos las hipérbolas con centro en cualquier punto del
plano cartesiano. En este caso también tenemos dos versiones de la ecuación.
Primer caso: Eje focal paralelo al eje X . La ecuación es
(x − h)2 (y − k)2
− =1 (113)
a2 b2
El centro está dado por (h, k). Las coordenadas para vértices, focos y semieje
menor son: V, V = (h ± a, k), F, F = (h ± c, k) y B, B = (h, k ± b).
43

44. Segundo caso: Eje focal paralelo al eje Y . La ecuación es
(y − k)2 (x − h)2
− =1 (114)
a2 b2
Las coordenadas para vértices, focos y semieje menor son: V, V = (h, ±a+k),
F, F = (h, ±c + k) y B, B = (±b + h, k). El lado recto para ambos casos es:
LL = 2b .
2
a
Ejemplo: Grafíque la ecuación de la hipérbola (x−1) − (y−1) = 1.
2 2
5 6
El eje focal es paralelo al eje X y el centro de la hipérbola es (1, 1). Los
√ √
parámetros de la hipérbola son: a = 5 = 2,23, b = 6 = 2,44 y c =
√ √ √
a2 + b2 = 5 + 6 = 11 = 3,31. Las coordenadas de vértices, focos y
semieje menor son: V = (1 + 2,23, 1) = (3,23, 1), V = (1 − 2,23, 1) =
(−1,23, 1), F = (1 + 3,31, 1) = (4,31, 1), F = (1 − 3,31, 1) = (−2,31, 1),
B = (1, 1 + 2,44) = (1, 3,44) y B = (1, 1 − 2,44) = (1, −1,44). El lado recto
es LL = 2b2 /a = 2(6)/5 = 2,4. La gráca tiene la forma
Y
6
4
B L
L
2
F’ V’ C V F
X
6 4 2 2 4 6 8
L’ B’ L’
2
4
(x−1)2 (y−1)2
Figura 32: Gráca de la hipérbola 5
− 6
= 1.
Ejemplo: Grafíque la ecuación de la hipérbola (y+2) − (x−1) = 1.
2 2
3 4
El eje focal es paralelo al eje Y y el√
√ centro es (1, −2). Los parámetros de la
√ √
hipérbola son: a = 3 = 1,73, b = 4 = 2 y c = 3 + 4 = 7 = 2,64. Las
coordenadas de los vértices, focos y semieje menor son: V = (1, −2 + 1,73) =
(1, −0,27), V = (1, −2 − 1,73) = (1, −3,73), F = (1, −2 + 2,64) = (1, 0,64),
F = (1, −2 − 2,64) = (1, −4,64), B = (1 + 2, −2) = (3, −2) y B = (1 −
2, −2) = (−1, −2). El lado recto está dado por LL = 2b2 /a = 2(4)/3 = 2,66.
La gráca es
44

45. Y
4
2
L F L’
X
4 2 2 4 6
V
B C B’
2
V’
4
L L’
F’
6
8
(y+2)2 (x−1)2
Figura 33: Gráca de la hipérbola 3
− 4
= 1.
Ejemplo: El centro de una hipérbola con eje paralelo al eje Y está dado
por la intersección de la recta y = 4x + 2 con el eje Y y su distancia entre
vértices es 4. Si la hipérbola pasa por el punto (1, 5), encontrar su ecuación.
Sustituyendo la coordenada (0, y) en la ecuación de la recta tenemos y =
0 + 2 entonces y = 2 y el centro es (0, 2). La distancia entre vértices es
V V = 2a = 4 por lo que a = 2, si sustituimos todos estos datos en la
ecuación (114), tenemos
(5 − 2)2 (1 − 0)2 9 1 9 1 4
− 2
=1 → − 2 =1 → −1= 2 → b= (115)
4 b 4 b 4 b 5
por lo que b = 0,89 y la ecuación es
(y − 5)2 (x − 1)2
− =1 (116)
4 0,8
Ejemplo: El centro de una hipérbola con eje paralelo al eje X es (3, −1) , su
distancia focal es 6 y su distancia entre vértices es 4, encuentre la ecuación
de la hipérbola.
La distancia entre los focos es: F F = 2c = 6, y entre los vértices es: V V =
√
2a = 4 por lo que c = 3 y a = 2. El parámetro b está dado por b = c − a =
√
3 − 2 = 1, de donde la ecuación tiene la forma
(x − 3)2 (y + 1)2
− =1 (117)
4 1
Ejercicios de la sección 6
En los ejercicios siguientes grafíca la ecuación de la hipérbola dada.
45

46. 1. x2
3
− y2
4
=1
2. x2
5
− y2
2
=1
3. y2
6
− x2
1
=1
4. y2
2
− x2
5
=1
5. y2
4
− x2
3
=1
En los ejercicios siguientes grafíca la ecuación de la hipérbola dada.
(x−2)2 (y−4)2
1. 3
− 4
=1
(x+1)2 (y−1)2
2. 12
− 3
=1
(x−2)2 (y+1)2
3. 5
− 2
=1
(y−3)2 ) (x+2)2
4. 2
− 5
=1
(y+6)2 (x−0,5)2
5. 3
− 8
=1
Problemas varios
1. El centro de una hipérbola con eje paralelo al eje Y es (2, −3),
su distancia focal es 5 y su distancia en el semieje menor es 3.
Encuentra la ecuación de la hipérbola.
2. El centro de una hipérbola con eje paralelo al eje X es (1, −2), su
distancia entre vértices es 6 y pasa por el punto (−3, 3). Encuentra
la ecuación de la hipérbola.
3. Una hipérbola tiene coordenadas F = (4, 1), F = (2, 1), V =
(3, 1) y V = (1, 1), escribe su su ecuación.
46