Este documento presenta los conceptos de modelos matemáticos, diagramas de bloques, transformada de Laplace y álgebra de bloques. Explica cómo estos conceptos se pueden usar para modelar y analizar sistemas eléctricos, mecánicos y de control. También muestra ejemplos de cómo simplificar diagramas de bloques complejos mediante el uso del álgebra de bloques.

1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión Maturín
Esc. Ing. Electrónica y Eléctrica
Modelos matemáticos. Diagramas de bloques
Maturín, mayo de 2011
Facilitadora: Ing. Mariángela Pollonais

2. Aplicaciones transformada de Laplace
Las ecuaciones de la malla, de acuerdo a la ley de voltajes
de Kirchhoff
Circuito RLC serie

3. Aplicaciones Transformada de Laplace
Obteniendo la Transformada de Laplace, con
condiciones iniciales igual a cero se obtiene :

4. Aplicaciones Transformada de Laplace
Haciendo el cociente de la señal de
salida con respecto a la entrada
se tiene:
Con esta relación, se puede obtener la respuesta a
diferentes señales de entrada típicas y saber el
comportamiento del sistema.

5. Aplicaciones Transformada de Laplace
Sistema Masa Resorte
 Utilizando las leyes de Newton, se obtiene:
 donde m es la masa, b es el coeficiente de
fricción viscosa, k es la constante del resorte, y(t)
es el desplazamiento y r(t) es la fuerza aplicada.
m
b
k
y(t)
r(t)
)()(2
2
trtky
dt
dy
b
dt
yd
m =++

6. Aplicaciones Transformada de Laplace
Su transformada de Laplace es:
( ) ( ) )()()0()()0()0()( '2
sRsKYyssYbysysYsM =+−+−−
KbsMssR
sY
++
= 2
1
)(
)(
0)0(,0)0('
== yy
)()()()(2
sRsKYsbsYsYMs =++
considerando:

7. Función de Transferencia
La función de transferencia de un sistema se define
como la transformada de Laplace de la variable de salida y
la transformada de Laplace de la variable de entrada,
suponiendo condiciones iniciales cero.
[ ]
[ ])(
)(
tr
tc
ciatransferendeFunción
L
L
=
entradatr
salidatc
=
=
)(
)(
ceroinicialesscondicionecon

8. Función de Transferencia
Observaciones
Es una descripción entrada salida del comportamiento
del sistema.
Depende de las características del sistema y no de la
magnitud y tipo de entrada.
No proporciona información acerca de la estructura
interna del sistema.

9. Función de Transferencia
Para el sistema:
donde y(t)=entrada y u(t)= salida n≥m
Aplicando Transformada de Laplace en ambos
miembros queda:
ubububyayayaya m
m
n
n
n
n 01
)(
01
)1(
1
)(
'' +++=++++ −
− 
01
)1(
1
)(
01
)(
)(
)(
)(
asasasa
bsbsb
sG
sU
sY
n
n
n
n
m
m
++++
+++
== −
− 


10. Función de Transferencia
A la potencia más alta del denominador de G(s)
(ecuación característica) se le denomina orden del
sistema.
A las raíces de la ecuación característica se les
denominan polos del sistema, mientras que a las raíces
del numerador se le llaman ceros del sistema.

11. Diagrama de polos y ceros
El diagrama de polos y ceros de la Función de
Transferencia de un sistema es una gráfica en el plano
complejo s donde los ceros se destacan con un símbolo ‘o’
y los polos con un símbolo ‘x’ .
POLOS: p es un polo de un sistema si G(p) → ∞
CEROS: c es un cero de un sistema si G(c) → 0
“

12. Diagrama de polos y ceros
43p,43p,2p,3p
nasersistemadelpoloslos
c,5c
nasersistemadelceroslos
)43)(43)(2)(3(
))(5(
)(
)256)(2)(3(
))(5(
)(
ciaTransferendenoFuncilaporexplicase
reposo,enteinicialmenaestquesistema,Un
4321
21
2
jj
j
jsjsss
jss
sH
ssss
jss
sH
+−=−−=−=−=
=−=
−+++++
−+
=
++++
−+
=





13. Diagrama de polos y ceros
Representación en el plano complejo
Re(s) = σ
j Imag(s) = jω
1
4
-4
-2-3-5

14. Modelo Matemático
En líneas generales, por modelo de un proceso se
entiende una representación de los aspectos esenciales
del mismo. Los modelos han probado su utilidad en
diferentes aspectos del diseño, operación y desarrollo
de procesos.

15. Modelo Matemático
Representan el proceso en términos matemáticos
(símbolos), en cuanto a sus propiedades, características, y
relaciones internas y externas. Son extensivamente usados
en una gran cantidad de campos.
• Ventajas de los modelos matemáticos:
•Lenguaje preciso, sin ambiguedades.
• Facilidad de manipulación analítica e implementación
computacional

16. Diagramas de Bloque
• Los diagramas de bloques de un sistema son bloques
operacionales y unidireccionales que representan la
función de transferencia de las variables de interés.
• Ventajas:
• Representan en forma más gráfica el flujo de señales
de un sistema.
• Con los bloques es posible evaluar la contribución de
cada componente al desempeño total del sistema.
• No incluye información de la construcción física del
sistema (Laplace).

17. Diagramas de Bloque
• Elementos de un diagrama de bloques
Función de
transferencia
)(sG
Variable
de entrada
Variable
de salida

18. Diagramas de Bloque
 Bloque:
Representa la operación matemática que sufre la señal
de entrada para producir la señal de salida. Las
funciones de transferencia se introducen en los bloques.
A los bloques también se les llama ganancia.
Flecha:
Representa una y solo una variable. La punta de la
flecha indica la dirección del flujo de señales.

19. Diagramas de Bloque
Forma general
G(s)
P(s)
R(s) E(s)
H(s)
C(s)
+ B(s)
Bifurcación.Bifurcación.
SumadorSumador

20. Diagramas de Bloque
R(s) Entrada de referencia: Es la señal de entrada al
sistema de control.
 C(s) Salida del sistema: Es la cantidad física que debe
mantenerse en un valor predeterminado.
P(s) Perturbaciones: Son señales que afectan la salida del
sistema.

21. Diagramas de Bloque
E(s) Señal activa de error: Esta señal es la diferencia
entre la señal de entrada de referencia y la salida del
sistema, actúa sobre el bloque de control para mantener
la salida de un valor deseado.
 B(s) Señal de retroalimentación: Es la señal de salida
despues que pasa por el elemento H(s).

22. Diagramas de Bloque
Sumadores: Representan operaciones de adición o
sustracción de las señales que intervienen. También se les
llama comparadores. (La adición o sustracción depende del
signo con que las señales entran)

23. Diagramas de Bloque
Bifurcación: Un punto de toma es aquel a partir del
cual la señal de un bloque va de modo concurrente a
otros bloques o puntos de suma.

24. Diagramas de Bloque

25. Diagrama de bloques
El diagrama de bloques se obtiene a partir de las ecuaciones
dinámicas que describen el comportamiento de cada
componente a las que previamente se las aplica la
Transformada de Laplace, conectando finalmente los
componentes del diagrama de bloques completo.
A partir del diagrama de bloques de un sistema se pueden
realizar modificaciones con objeto de simplificar o reducir el
diagrama original, hasta quedar un solo bloque equivalente.
Reducción del diagrama de bloques original por aplicación
de las reglas del algebra de bloques.

26. Funciones de transferencia
De trayectoria directa.
De lazo abierto.
De lazo Cerrado.
Diagramas de bloques

27. Función de transferencia trayectoria directa
)(
)(
)(
sG
sE
sC
=
G(s)E(s)
H(s)
C(s)R(s)
B(s)
Diagramas de bloques

28. Función de transferencia de lazo abierto
)(*)(
)(
)(
sHsG
sE
sB
=
G(s)E(s)
H(s)
+ B(s)
C(s)R(s)
Diagramas de bloques

29. Función de transferencia de lazo cerrado
)(*)(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
+
=
G(s)
R(s) C(s)
H(s)
-
+
Diagramas de bloques

30. Álgebra de bloques
Representa las equivalencia que existen entre un conjunto
de elementos de un diagrama de bloques agrupados en
una forma específica.

31. Bloques en serie
Álgebra de bloques

32. Álgebra de Bloques
Bloques en paralelo
G1(s)
G2(s)
R(s) C(s)

33. Adelantar punto de bifurcación
)(
)(
1
2
sG
sG
Álgebra de Bloques

34. Atrasar un punto de bifurcación
G1(s)
X2(s)
X1(s)
)(2 sG
Álgebra de bloques

35. Adelantar un punto de suma
G1(s)
X2(s)
X1(s)
)(
)(
1
2
sG
sG
Álgebra de bloques

36. Atrasar un punto de suma
G1(s)
X2(s)X1(s)
)(2 sG
Álgebra de bloques

37. Propiedad asociativa de la suma
X4X1
X2 X3
X4X1
X2
X3
-
-
-
Álgebra de bloques
-
+
+

38. Retroalimentación
G(s)
H(s)
C(s)
+
_
R(s)
Álgebra de bloques
R(s) C(s)
)()(1
)(
sHsG
sG
+

39. Tablas…
Álgebra de bloques

40. Continuación…
Álgebra de bloques

41. Simplificación de Diagramas de
Bloques
Se basa en el uso del “álgebra de bloques“ para
agrupar y sustituir partes de un diagrama inicial por
equivalentes reducidos. Realizando esto en forma
sucesiva, se logra llevar el problema inicial a un sólo
resultado o bloque, el cual representará la función de
transferencia entre las señales involucradas.

42. Ejemplos
C(s)5 10
H
R(S)
C(S)5 10
H
R(S)
1/10
1/5
++
_
_
_
_
Simplificación de Diagramas de Bloques

43. Continuación…
C(S)5 10
H
R(S)
1/10
1/5
C(S)50R(S)
H/5 1/10
_
_
_
+
+
Simplificación de Diagramas de Bloques

44. Continuación…
C(S)50R(S)
(10H+5)/50
R(s) C(s)
)()(1
)(
sHsG
sG
+
_
+
Simplificación de Diagramas de Bloques

45. Ejemplo
R(s)
Ha
GcGbGa
Hb
C(s)
R(s)
Ha
GcGbGa
Hb
C(s)+
+
_
_
_
_
+
+
1/Ga
1/Gc
Simplificación de Diagramas de Bloques

46. Continuación..
R(s)
Ha
GcGbGa
Hb
C(s)+
_
_
+
1/Ga
1/Gc
R(s) GaGbGc C(s)+
_
(Ha/Ga)+(Hb/Gc)
Simplificación de Diagramas de Bloques