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Sistemas de control
INTRODUCCIÓN
DEFINICIONES:
− Automática: Ciencia que trata de sustituir en un proceso
al operador humano, por dispositivos mecánicos,
eléctricos ó electrónicos.
− Automatización: Aplicación de la automática a los
procesos industriales.
− Sistema: Conjunto de elementos que relacionados entre
sí ordenadamente, contribuyen a alcanzar un objetivo.
− Sistema automático de control: Conjunto de
componentes físicos conectados o relacionados entre sí,
de manera que regulen o dirijan su actuación por sí
mismos, es decir, sin intervención de agentes exteriores,
corrigiendo además los posibles errores que se presenten
en su funcionamiento.
Variables del Sistema: Son las magnitudes que se someten a
control y que
definen su comportamiento (velocidad, temperatura, posición,…).
En Regulación Automática, solo se tendrá en cuenta la relacion
entrada/salida de los sistemas que se van a someter a control.
Lo importante será entonces conocer cual sera la respuesta
del sistema (salida) cuando se le comunica una cierta entrada.
Entrada.- Excitación que se aplica a un sistema de control desde
una fuente de energía externa, con el fin de provocar una
respuesta
Salida.- Respuesta que proporciona el sistema de control.
Perturbación.- Señales no deseadas que influyen de forma
adversa en el funcionamiento del sistema.
Diagrama de bloques.
Es la forma de representación más sencilla de los sistemas de
control, en el que se da una idea de las relaciones existentes
entre la entrada y la salida de un sistema.
A cada componente del sistema de control se le denomina
elemento, y se representa por un rectángulo.
La interacción entre los bloques se representa por medio de
flechas, que indican el sentido de flujo de la información.
El diagrama de bloques más sencillo es el bloque simple, que
consta de un elemento, una sola entrada y una sola salida.
TIPOS DE SISTEMAS DE
CONTROL
Sistemas de control de lazo abierto: en estos
circuitos la señal de salida no influye sobre la señal
de entrada.
Sistemas de control de lazo cerrado: son los circuitos en los
que existe una realimentación de la señal de salida, de manera
que la salida ejerce un efecto sobre la acción de control,
mediante comparación de los valores .
TIPOS DE SISTEMAS DE
CONTROL
Comparación con las de lazo abierto
Elementos de un sistema de
control
Sistema de mando y transductor: Señal de referencia
de entrada que es convertida en una señal electrica.
Comparador: calcula la diferencia entre el valor real
(captador) y el valor deseado (sistema de mando).
Elementos de control o regulador: Condiciona la
acción del elemento “actuador”, en función del error
obtenido. Su acción de control puede ser: proporcional
(p), derivativa (d), integral (i), ó una combinación de
éstas ( PD,PI,PDI).
Captador: Dispositivo (sensor) utilizado en el bloque
de realimentación , es el elemento que mide el valor
real alcanzado por una variable.
Actuador: Elemento final del sistema de control. Actúa
directamente sobre el proceso ó sobre la salida
TRANSFORMADA DE LAPLACE

Previos

La mayoría de los sistemas de control utilizan elementos
básicos como las resistencias, bobinas y condensadores.
Salvo en las primeras, en los demás elementos aparecen
términos diferenciales o integrales .Para simplificar los cálculos,
se recurre a una herramienta matemática denominada
“transformada de Laplace”, que convierte de forma sencilla las
ecuaciones integro-diferenciales en simples ecuaciones
algebraicas.

Dada una función f(t), se llama transformada de Laplace de
dicha función a :
siendo s = σ + jω
Ejemplo: f(t) = 1 (función escalón unitario)

La anti transformada de Laplace se define
como: L ¹ F(s) = f(t).⁻
Ejercicio
1. Obtener la transformada de la función de la
gráfica
2. Obtener la transformada inversa:
a)
b)
F (S)=
0,5⋅(S+ 2)
S2
+ S
G(S)=
1
(S+ 1)
2
⋅(S+ 3)
Ejemplo de resolución
La razón del uso de la transformada
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
La manera de enfocar el estudio de los sistemas
de control, dará lugar a dos teorías: la clásica y
la moderna.
La más sencilla es la teoría clásica de control ,
pues en ella no interesa conocer en detalle qué
sucede dentro del sistema, sino solamente la
relación entrada-salida del mismo.
Sin embargo la teoría moderna de control ,
analiza los sistemas automáticos desde el punto
de vista interno, conociendo lo que sucede
dentro del sistema en cada momento.
Por medio de la teoría clásica, que introduce el
concepto de función de transferencia, se
puede conocer de forma sencilla:
- Cómo va a comportarse el sistema en cada
situación: según la entrada que se produzca
en el sistema, sabremos cuál será la respuesta
ó salida.
- La estabilidad del mismo: (saber si la respuesta
del sistema se mantendrá siempre dentro de
unos límites determinados, o llegará en algún
momento a ser inestable).
- Qué valores se podrán aplicar a ciertos
parámetros del sistema de manera que éste
sea estable.
La función de transferencia de un sistema de
control se define como el cociente entre las
transformadas de Laplace de las señales de
salida y de entrada
POLOS Y CEROS de la función de transferencia.
Al denominador de la función de transferencia se le
denomina “función característica”, que igualada a cero se
conoce como “ecuación característica” del sistema.
Las raíces de la ecuación característica (valores para los
cuales ésta se hace nula) se denominan polos del sistema.
Las raíces del numerador de la función de transferencia
reciben el nombre de ceros del sistema.
A ) en serie
Calculo de la función de
transferencia
b) Comparación
c) Realimentación simple diferencial.
d) Realimentación simple sumatiba.
e) Realimentación compuesta
Ejercicio
3. Obtener la función de transferencia del
siguiente diagrama.
Estabilidad
Sistema estable:
Es aquel que permanece en reposo a no ser que se excite por
una fuente externa, en cuyo caso alcanzara de nuevo el reposo una
vez que desaparezcan las excitaciones.
Condiciones de estabilidad:
Para que el sistema sea estable, las raíces de su ecuación
característica (sus polos) deben estar situadas en la parte negativa
del plano complejo de Laplace.
Ejemplo
Ejemplo: Determinar el valor de K para que el
sistema sea estable:
Ejercicios
4. Obtén la transformada de Laplace de la
siguiente función.
5. Obtener la inversa de la transformada de
Laplace.
6. Determinar la estabilidad del sistema.
a)
b)
f (t)=e
−4t
+ t
2
⋅e
−2t
F (S)=
10
(S+ 4)(S+ 2)
3
0=5S2
+ 3S+ 7
0=8S
2
+ S+ 24
Ejercicios
7. Determina la estabilidad de la función de
este bucle.
8. Utilizando el método de Routh determinar si
un sistema con la ecuación característica
siguiente es estable o no.
M (S)=
1
S
2
+ 15S+ 2
9. A partir del diagrama de bloques del sistema de
transferencia indicado, calcular para que valores de k
el sistema es estable.
10. Dado el diagrama de bloques de la figura
a) Obtenga la función de transferencia Z = f(Y).
b) Obtenga la función de transferencia Z = f(X)
11. En los sistemas mostrados se utilizan un comparador y un
amplificador, con las siguientes funciones de transferencia individuales:
12. En el sistema realimentado mostrado se cumple que el valor de la
salida es 2 (Z = 2). En esta condición rellene una tabla como la
mostrada con los valores de la señal en los puntos indicados.
13. La figura representa un sistema de control del llenado un depósito. El
detector de nivel entrega una tensión relacionada con la altura de líquido
almacenada, según la siguiente expresión: X(voltios)=O,8.h (h: altura en m
alcanzada por el líquido) Esta señal es procesada y se aplica a la válvula que
controla la entrada de líquido al depósito. En la figura se indica la función de
transferencia de la válvula, que relaciona el caudal de entrada al depósito (C:
litros/s) con la tensión Y. Resuelva las siguientes cuestiones:
a) Obtenga el valor de la constante K, para que cuando el depósito esté vacío,
el caudal de entrada al mismo sea máximo (40 litros/s).
b) ¿Qué altura de líquido en el depósito provoca el cierre de la válvula (caudal
nulo)? Suponga un valor de K= 3.
14. Cuestión nº3 B (2 puntos) En el diagrama de bloques de la
figura se utiliza un amplificador de ganancia (G=-5) y dos
comparadores con la siguiente función de transferencia: E ≥ -2 → S
= 5 E <-2 → S = -5
a) Obtenga la función de transferencia Y=f(X).
b) Obtenga la función de transferencia Z=f(X). (1 punto)
15.

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  • 2. INTRODUCCIÓN DEFINICIONES: − Automática: Ciencia que trata de sustituir en un proceso al operador humano, por dispositivos mecánicos, eléctricos ó electrónicos. − Automatización: Aplicación de la automática a los procesos industriales. − Sistema: Conjunto de elementos que relacionados entre sí ordenadamente, contribuyen a alcanzar un objetivo. − Sistema automático de control: Conjunto de componentes físicos conectados o relacionados entre sí, de manera que regulen o dirijan su actuación por sí mismos, es decir, sin intervención de agentes exteriores, corrigiendo además los posibles errores que se presenten en su funcionamiento.
  • 3. Variables del Sistema: Son las magnitudes que se someten a control y que definen su comportamiento (velocidad, temperatura, posición,…). En Regulación Automática, solo se tendrá en cuenta la relacion entrada/salida de los sistemas que se van a someter a control. Lo importante será entonces conocer cual sera la respuesta del sistema (salida) cuando se le comunica una cierta entrada. Entrada.- Excitación que se aplica a un sistema de control desde una fuente de energía externa, con el fin de provocar una respuesta Salida.- Respuesta que proporciona el sistema de control. Perturbación.- Señales no deseadas que influyen de forma adversa en el funcionamiento del sistema.
  • 4. Diagrama de bloques. Es la forma de representación más sencilla de los sistemas de control, en el que se da una idea de las relaciones existentes entre la entrada y la salida de un sistema. A cada componente del sistema de control se le denomina elemento, y se representa por un rectángulo. La interacción entre los bloques se representa por medio de flechas, que indican el sentido de flujo de la información. El diagrama de bloques más sencillo es el bloque simple, que consta de un elemento, una sola entrada y una sola salida.
  • 5. TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROL Sistemas de control de lazo abierto: en estos circuitos la señal de salida no influye sobre la señal de entrada.
  • 6. Sistemas de control de lazo cerrado: son los circuitos en los que existe una realimentación de la señal de salida, de manera que la salida ejerce un efecto sobre la acción de control, mediante comparación de los valores . TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROL
  • 7. Comparación con las de lazo abierto
  • 8. Elementos de un sistema de control Sistema de mando y transductor: Señal de referencia de entrada que es convertida en una señal electrica. Comparador: calcula la diferencia entre el valor real (captador) y el valor deseado (sistema de mando). Elementos de control o regulador: Condiciona la acción del elemento “actuador”, en función del error obtenido. Su acción de control puede ser: proporcional (p), derivativa (d), integral (i), ó una combinación de éstas ( PD,PI,PDI). Captador: Dispositivo (sensor) utilizado en el bloque de realimentación , es el elemento que mide el valor real alcanzado por una variable.
  • 9. Actuador: Elemento final del sistema de control. Actúa directamente sobre el proceso ó sobre la salida
  • 11.  La mayoría de los sistemas de control utilizan elementos básicos como las resistencias, bobinas y condensadores. Salvo en las primeras, en los demás elementos aparecen términos diferenciales o integrales .Para simplificar los cálculos, se recurre a una herramienta matemática denominada “transformada de Laplace”, que convierte de forma sencilla las ecuaciones integro-diferenciales en simples ecuaciones algebraicas.  Dada una función f(t), se llama transformada de Laplace de dicha función a : siendo s = σ + jω Ejemplo: f(t) = 1 (función escalón unitario)
  • 12.  La anti transformada de Laplace se define como: L ¹ F(s) = f(t).⁻
  • 13. Ejercicio 1. Obtener la transformada de la función de la gráfica 2. Obtener la transformada inversa: a) b) F (S)= 0,5⋅(S+ 2) S2 + S G(S)= 1 (S+ 1) 2 ⋅(S+ 3)
  • 15. La razón del uso de la transformada
  • 16. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA La manera de enfocar el estudio de los sistemas de control, dará lugar a dos teorías: la clásica y la moderna. La más sencilla es la teoría clásica de control , pues en ella no interesa conocer en detalle qué sucede dentro del sistema, sino solamente la relación entrada-salida del mismo. Sin embargo la teoría moderna de control , analiza los sistemas automáticos desde el punto de vista interno, conociendo lo que sucede dentro del sistema en cada momento.
  • 17. Por medio de la teoría clásica, que introduce el concepto de función de transferencia, se puede conocer de forma sencilla: - Cómo va a comportarse el sistema en cada situación: según la entrada que se produzca en el sistema, sabremos cuál será la respuesta ó salida. - La estabilidad del mismo: (saber si la respuesta del sistema se mantendrá siempre dentro de unos límites determinados, o llegará en algún momento a ser inestable). - Qué valores se podrán aplicar a ciertos parámetros del sistema de manera que éste sea estable.
  • 18. La función de transferencia de un sistema de control se define como el cociente entre las transformadas de Laplace de las señales de salida y de entrada
  • 19. POLOS Y CEROS de la función de transferencia. Al denominador de la función de transferencia se le denomina “función característica”, que igualada a cero se conoce como “ecuación característica” del sistema. Las raíces de la ecuación característica (valores para los cuales ésta se hace nula) se denominan polos del sistema. Las raíces del numerador de la función de transferencia reciben el nombre de ceros del sistema.
  • 20. A ) en serie Calculo de la función de transferencia
  • 21. b) Comparación c) Realimentación simple diferencial.
  • 24. Ejercicio 3. Obtener la función de transferencia del siguiente diagrama.
  • 25. Estabilidad Sistema estable: Es aquel que permanece en reposo a no ser que se excite por una fuente externa, en cuyo caso alcanzara de nuevo el reposo una vez que desaparezcan las excitaciones. Condiciones de estabilidad: Para que el sistema sea estable, las raíces de su ecuación característica (sus polos) deben estar situadas en la parte negativa del plano complejo de Laplace.
  • 26. Ejemplo Ejemplo: Determinar el valor de K para que el sistema sea estable:
  • 27.
  • 28. Ejercicios 4. Obtén la transformada de Laplace de la siguiente función. 5. Obtener la inversa de la transformada de Laplace. 6. Determinar la estabilidad del sistema. a) b) f (t)=e −4t + t 2 ⋅e −2t F (S)= 10 (S+ 4)(S+ 2) 3 0=5S2 + 3S+ 7 0=8S 2 + S+ 24
  • 29. Ejercicios 7. Determina la estabilidad de la función de este bucle. 8. Utilizando el método de Routh determinar si un sistema con la ecuación característica siguiente es estable o no. M (S)= 1 S 2 + 15S+ 2
  • 30. 9. A partir del diagrama de bloques del sistema de transferencia indicado, calcular para que valores de k el sistema es estable. 10. Dado el diagrama de bloques de la figura a) Obtenga la función de transferencia Z = f(Y). b) Obtenga la función de transferencia Z = f(X)
  • 31. 11. En los sistemas mostrados se utilizan un comparador y un amplificador, con las siguientes funciones de transferencia individuales: 12. En el sistema realimentado mostrado se cumple que el valor de la salida es 2 (Z = 2). En esta condición rellene una tabla como la mostrada con los valores de la señal en los puntos indicados.
  • 32. 13. La figura representa un sistema de control del llenado un depósito. El detector de nivel entrega una tensión relacionada con la altura de líquido almacenada, según la siguiente expresión: X(voltios)=O,8.h (h: altura en m alcanzada por el líquido) Esta señal es procesada y se aplica a la válvula que controla la entrada de líquido al depósito. En la figura se indica la función de transferencia de la válvula, que relaciona el caudal de entrada al depósito (C: litros/s) con la tensión Y. Resuelva las siguientes cuestiones: a) Obtenga el valor de la constante K, para que cuando el depósito esté vacío, el caudal de entrada al mismo sea máximo (40 litros/s). b) ¿Qué altura de líquido en el depósito provoca el cierre de la válvula (caudal nulo)? Suponga un valor de K= 3.
  • 33. 14. Cuestión nº3 B (2 puntos) En el diagrama de bloques de la figura se utiliza un amplificador de ganancia (G=-5) y dos comparadores con la siguiente función de transferencia: E ≥ -2 → S = 5 E <-2 → S = -5 a) Obtenga la función de transferencia Y=f(X). b) Obtenga la función de transferencia Z=f(X). (1 punto)
  • 34. 15.