sfasdaSD

1. Representación
Espectral

2. SISTEMA FINITO

3. OBJETIVOS
• Poder dar a entender que son los autómatas finitos.
• Presentar ejemplos de ellos para su mejor entendimiento.
• Ver su uso.
• Ver sus operaciones y su utilización del lenguaje
• Etc.

4. SISTEMA FINITO
• Un autómata finito (AF) o máquina de estado finito es un modelo
computacional que realiza cómputos en forma automática sobre
una entrada para producir una salida.
• Este modelo está conformado por un alfabeto, un conjunto
de estados finito, una función de transición, un estado inicial y un
conjunto de estados finales.

5. LOS LENGUAJES QUE RECONOCEN
Estado inicial Estado Final
Introducimos W:01101110.
Estados por los que pasó: abcabcdd.
Lo que nos indica que nuestro autómata
aceptó w y pudo reconocer el lenguaje
introducido.
El 1 nos indica la
transición de poder
pasar de un estado a
otro.

6. PUNTOS GENERALES
• El autómata acepto “w” debido a que llego a su estado final y aun se
mantiene allí.
• El conjunto de transiciones o alfabetos se representa por “Σ” que en
este caso es: Σ = { 0,1}, debido a que solo 0 y 1 son nuestras
posibles transiciones.
• La longitud de w es | w |.
• “ε” representa una entrada vacía.
• L(M): Es el lenguaje aceptado por el autómata: { w | w es aceptado
por M }.

7. SISTEMA FINITO
Está formato por una lista de 5 (Q, Σ, δ, q 0, F) donde:
• Q es la cantidad finita de estados.
• Σ es la cantidad finita de alfabeto.
• δ=Q ×Σ→ Q donde esta es la function de transición. Esta formada
por el estado, la transición y el estado que esta justo con esa
transición. Esta puede ser representado por tablas.
• q0 es el estado inicial.
• F es el estado final.

8. EJEMPLO
De la lista de 5 (Q, Σ, δ,
q0, F) tenemos el
siguiente ejemplo:
Q
{a,b,c,d}
Σ{0,1}
Q0{a}
F {d}
δ=a la tabla
de
transiciones

9. EJEMPLOS DE SISTEMA FINITO
• Hacer un autómata finito que L(M) = { w ∈ { 0,1 }* | w acepte la
cadena 101}.
• L = { w ∈ { 0,1 }* | w no contenga 00
o 11 como una subcadena}.
En este autómata se puede notar que
“d” es un estado trampa, provocando
que dicha cadena no sea valida

10. OPERACIONES DEL LINGÜÍSTICAS
Estas son operaciones que nos permiten construir lenguajes a
partir de otros lenguajes.
Entre las operaciones tenemos:
• La union: L1 ∪ L 2.
• Intersección: L1 ∩ L 2 .
• Complemento: L c.
• Establecer diferencia: L1 - L 2
• También tenemos operaciones especialmente para los
strings:
• Concatenation: L1 ◦ L2 o solo L1 L 2.
• Star: L*

11. CONCATENACIÓN
• L 1 ◦ L2 = { XY | X ∈ L 1 y Y ∈ L2 }
• El objetivo es poner los strings (digito o cadena aceptada) de cada lenguaje y
concatenarlos.
Ejemplo:
• Σ = { 0, 1 }, L1 = { 0, 00 }, L2 = { 01, 001 }
• L1 ◦ L2 = { 001, 0001, 00001 }

12. OPERACIÓN DE ESTRELLA
• L* = { x | x = Y1 Y2 … Yk para algún k ≥ 0, donde cada Y esta en L }
• =L0 ∪ L1 ∪ L2 ∪ …está en L* por cada L, desde que esto es L0
• ε.
Ejemplos:
• ¿Que es ∅* ?
• Se aplica la definición:
∅* = ∅0 ∪ ∅1 ∪ ∅2 ∪ …
El resto de ∅1 ∪ ∅2 es ∅, por lo que el resultado es ε debido a que L 0 =
{ ε }.

13. OPERACIÓN ESTRELLA
Ejemplos:
• ¿Que es { a }*?
• Se aplica la definición:
Abreviar todo esto solo para { a
}*.
Ejemplos:
• ¿Que es Σ*?
• Se aplica la definición:

14. SISTEMA FINITO NO DETERMINÍSTICO
• Un autómata finito determinista (abreviado AFD) es
un autómata finito que además es un sistema determinista; es
decir, para cada estado en que se encuentre el autómata, y con
cualquier símbolo del alfabeto leído, existe siempre no más de
una transición posible desde ese estado y con ese símbolo.

15. SISTEMA FINITO DETERMINISTA
Está formato por una lista de 5 (Q, Σ, δ, q 0, F) donde:
• Q es la cantidad finita de estados.
• Σ es la cantidad finita de alfabeto.
• Q × Σ ε → P(Q) donde esta es la function de transición. Esta formada
por el estado, la transición y el estado que esta justo con esa
transición. Esta puede ser representado por tablas.
• q0 ∈ Q= es el estado inicial.
• F ⊆ Q= es el estado final.

16. EJEMPLOS
• P(Q) = { ∅, {a}, {b}, {c},
{a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} }
• Q = { a, b, c }
• Σ = { 0, 1 }
• q 0 = {a}
• F = { c }
δ:

17. VARIABLES DE ESTADO
Según: Tecnológico de estudios superiores de Jocotitlan son un conjunto
mínimo de variables necesarias para caracterizar o describir todos aquellos
aspectos de interés del sistema en un cierto instante de tiempo. a estas
variables las denominaremos variables de estado.
Por ejemplo, en la cola de un banco (por ejemplo, un cajero) se podría
calcular cuantas personas llegaron en el tiempo t1,t2,etc., sabiendo que la
distribución de llegadas es poison (o exponencial, o binomial o cualquier otra)
con promedio m y una varianza v (por decir). en ese caso, la variable
personas(t) [personas en el tiempo t] controla el estado del sistema {la cola}.

18. ¿Qué son las Variables de Estado?
Describen el estado de un sistema o de uno de sus componentes,
ya sea al comienzo, al final o durante un periodo de tiempo. Estas
variables interaccionan con las exógenas y las endógenas del
sistema, de acuerdo a las relaciones funcionales dispuestas.

19. 1. Las variables de estado pueden tener o no sentido físico.
2. Las variables de estado pueden o no ser medibles.
3. Para un mismo sistema dinámico las variables de estado no son
únicas; de hecho, se pueden definir infinitos conjuntos de variables que
sirvan como variables de estado.
Características de las variables de Estado

20. Representación de Estado
Es solamente es posible para sistemas lineales y puede expresarse en
forma general para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de
primer orden, en donde las variables de estado del sistema son las x(t), las
entradas u(t) y las posibles salidas y(t) tal como de muestra a continuación.

21. Ecuaciones de Estado
En el análisis en el espacio de estados, hay tres tipos de variables involucrados
en el modelado de sistemas dinámicos:
– Variables de entrada,
– Variables de salida
– Variables de estado.
No es única la representación de estado par a un sistema determinado, excepto
en que la cantidad de variables de estado es igual para cualquiera de las
diferentes representaciones en el espacio de estados del mismo sistema

22. Suponga que un sistema de entradas y salidas múltiples contiene n integradores.
También suponga que existen r entradas u 1, u 2 ( t), u r ( t ) y m salidas y 1 ( t), y
2 ( t), ... , y m, y ( t ). 1 ( ), y 2 ( ), , y m ( )
Definan salidas de los integradores como variables de estado: xl(t), x 2 ( t), , . . , x
n ( t)
A continuación el sistema se describe mediante:

23. Las salidas del sistema, y 1, y 2, …, y m ( t) mediante:
Se definen:

24. De tal modo que las ecuaciones anteriores pueden ser expresadas
en una forma más compacta por medio de:
La primera es la ecuación de estado y la segunda es la y ( t ) = g (x, u , t )
La primera es la ecuación de estado y la segunda es la ecuación de la salida.
Si las funciones vectoriales f y/o g involucran explícitamente el tiempo t, el sistema se
denomina sistema variante con el tiempo
Si se linealizan las ecuaciones alrededor del estado de operación, se tienen las siguientes
ecuaciones de estado y de salida linealizadas:

25. En donde:
A ( t) se denomina matriz de estado
B ( t ) Matriz de entrada
C ( t) matriz de salida
D ( t ) matriz de transmisión directa
Si las funciones vectoriales f y g no involucran el tiempo t
explícitamente, explícitamente, el sistema se denomina sistema
invariante con el tiempo.

26. MÉTODO PARA TRANSFORMAR ECUACIONES
DIFERENCIALES EN ECUACIONES DE ESTADO
Sistema de una entrada – una salida (SISO)
La función de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo
se define como la relación entre la transformada de laplace de la variable
de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada,
suponiendo que todas las condiciones iniciales se hacen iguales a cero.
Esta forma de representar sistemas se denomina representación externa,
ya que atiende a las señales presentes en sus terminales de entrada y
salida. Así, dado el sistema de la Figura

27. SU FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
SERÁ:
Esquema conceptual del
proceso de resolución de una
ecuación diferencial mediante
la transformada de Laplace.

28. Forma canónica controlable
Sistema lineal de una entrada:
Sea la matriz de controlabilidad , el sistema
es controlable si:
Definiendo: donde
inversa
es
de
la última fila de la
Se cumple que:
9
CONSTRUCCIÓN DE LAS ECUACIONES DE ESTADO UTILIZANDO MODELOS MATEMÁTICOS

29. Forma canónica controlable
Sistema lineal de una entrada:
O equivalentemente:
,
Ecuación característica de :
Luego:
10

30. Una representación de espacios de estados es un modelo matemático
de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas
y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de
primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de
primer orden.
Para prescindir del número de entradas, salidas y estados, las variables
son expresadas como vectores y las ecuaciones algebraicas se escriben
en forma matricial (esto último solo puede hacerse cuando el sistema
dinámico es lineal e invariante en el tiempo). La representación de
espacios de estado (también conocida como aproximación en el
dominio del tiempo) provee un modo compacto y conveniente de
modelar y analizar sistemas con múltiples entradas y salidas.
REPRESENTACIÓN DE LOS SISTEMAS EN ECUACIONES DE
ESTADO

31. Para obtener la función de transferencia de un sistema
seguimos los siguientes pasos:
1. Obtener la ecuación diferencial del sistema.
2. Se toma la transformada de Laplace de la ecuación
con condiciones iniciales igual a cero.
3. Obtener el cociente entre la salida y la entrada del
sistema, cuyo resultado es la función de
transferencia.
METODOS DE
ECUACIONES DE ESTADO

32. SERIE DE FOURIER

33. QUIEN FUE JEAN BAPTISTE JOSEPH FOURIER?
• fue un matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la
descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas
convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual
consiguió resolver la ecuación del calor, La transformada de Fourier
recibe su nombre en su honor, Fue el primero en dar una explicación
científica al efecto invernadero en un tratado.

34. QUE ES LA SERIE DE FOURIER?
• Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una
función periódica y continua a trozos (o por partes).
• Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del
análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la
descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones
sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con
frecuencias enteras).

35. • Las series de Fourier tienen la forma :
• Donde se denominan coeficientes de Fourier de la serie
de Fourier de la función

36. • Si es una función (o señal) periódica y su periodo
es T la serie de Fourier asociada a
es:
• Donde son los coeficientes de Fourier que
toman los valores:

37. • Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden
expresarse también en su forma compleja:
Los coeficientes ahora serían:

38. • Otra forma de definir la serie de Fourier es:
• a esta forma de la serie de Fourier se le conoce como la serie
trigonométrica de Fourier.

39. EJEMPLO :
En este caso los coeficientes de Fourier nos dan esto:
Si la serie de Fourier converge hacia: ƒ(x) de cada punto x donde ƒ es
diferenciable:

40. Grafico de una función periódica
Animación de la suma de los 5 primeros armónicos

41. En la teoría de procesos estocásticos, el Teorema de Karhunen-Loève (así
llamado debido a Kari Karhunen y Michel Loève) es una representación de un
proceso estocástico como una combinación lineal infinita de funciones
ortogonales.
Esta representación es análoga a la representación en series de Fourier de una
función definida en un intervalo acotado de números reales. A diferencia de una
serie de Fourier, en la cual los coeficientes son números reales y la base de
expansión está compuesta por funciones senoidales (es decir, funciones seno y
coseno), los coeficientes del teorema de Karhunen-Loève son variables
aleatorias y la base de expansión depende del proceso.
Transformada de Karhunen

42. De hecho, la base de funciones ortogonales que se usa para la
representación queda determinada por la función de covarianza del proceso.
Si vemos un proceso estocástico como una función aleatoria F, es decir, una
en la que el valor aleatorio es una función en un intervalo [a, b], entonces
este teorema puede considerarse como una expansión ortonormal aliatoria
de F.
En el caso de un proceso estocástico centrado {Xt} t ∈ [a, b] (donde centrado
se refiere a que los valores esperados E(Xt) están definidos y son iguales a 0
para todo t), el satisfacer una condición de continuidad técnica, admite la
descomposición
Transformada de Karhunen

43. Donde Zk son variables aleatorias no correlacionadas de a pares y las
funciones ek son funciones reales continuas en [a, b], ortogonales de a pares
en L2[a, b]. El caso general de un proceso no centrado puede representarse
expandiendo la función de expectación (que es un función no-aleatoria) en la
base ek.
Aún más, si el proceso es Gaussiano, entonces las variables aleatorias Zk
son Gaussianas y estocásticamente independientes. Este resultado
generaliza la transformada de Karhunen-Loève. Un ejemplo importante de un
proceso estocástico real centrado en [0,1] es el proceso de Wiener y el
teorema de Karhunen-Loève permite obtener una representación ortogonal
canónica de éste. En este caso, la expansión consiste de funciones
senoidales. A la expansión anterior en variables aleatorias no correlacionadas
se la conoce también como la expansión de Karhunen-Loève.
Transformada de Karhunen

44. Formulamos el teorema en el caso que las variables aleatorias sean
reales, aunque el teorema es válido aún para funciones con valores
vectoriales.
Si X e Y son variables aleatorias, el producto interno está definido
por
El producto interno está bien definido en caso que X e Y tengan
momentos de segundo orden finitos, es decir, que X e Y sean de
cuadrado integrable. El producto interno tiene estrecha relación con
la covariancia y la correlación. Por ejemplo, para variables aleatorias
cuyo valor esperado es nulo, la covariancia y el producto interno son
idénticos. Si {Xt}t es un proceso centrado, la función de covariancia
de {Xt}t es

45. Nótese que si {Xt}t es un proceso centrado y t1, ≤ t2, ..., ≤ fN son puntos en el
intervalo [a, b], entonces
Teorema. Consideremos un proceso estocástico {Xt}t en que el índice t
recorre el intervalo [a, b], y con función de covariancia CovX.
Supongamos además que la función CovX(t,s) sea conjuntamente
continua en las variables t, s. Entonces CovX puede ser considerado
como un núcleo positivo definido.
Por el Teorema de Mercer, el operador integral T correspondiente que
actúa en L2[a,b] (relativo a la medida de Lebesgue en [a,b]) tiene una
base ortonormal de vectores propios. Sea {ei}i la secuencia de los
vectores propios de T correspondientes a los valores propios no nulos y
definamos:

47. En el enunciado del teorema, la integral que define Zi puede ser definida
como el límite en la media de sumas de Cauchy de variables aleatorias:
Dado que el límite en la media de variables aleatorias Gaussianas conjuntas
es Gaussiana conjunta, y dado que las variables aleatorias Gaussiana
conjuntas (centradas) son independientes si y solo si son ortogonales,
podemos concluir que:

48. Teorema. Las variables Zi tienen una distribución Gaussiana conjunta y son
estocásticamente independientes si el proceso original {Xt}t es Gaussiano.
En el caso Gaussiano, dado que las variables Zi son independientes, podemos
agregar:
Dado que el límite en la media de variables aleatorias Gaussianas conjuntas es
Gaussiana conjunta, y dado que las variables aleatorias Gaussiana conjuntas
(centradas) son independientes si y solo si son ortogonales, podemos concluir
que:
casi seguramente.
Nótese que al generalizar el teorema de Mercer, podemos reemplazar el
intervalos [a, b] con otros espacios compactos C y la medida de Lebesgue en
[a, b] con una medida de Borel que tenga soporte en C

49. TRABAJO GRUPAL
ELABORA UNA MAPA CONCEPTUAL DE
SISTEMAS FINITO, VARIABLES DE
ESTADO, TRANSFORMADA DE FOURIER Y
KARHUNEN DEMOSTRANDO CON UN
EJEMPLO