Este documento explica las distribuciones discretas de probabilidad, incluyendo la distribución binomial y la distribución de Poisson. Proporciona ejemplos y ejercicios para ilustrar cómo calcular probabilidades usando estas distribuciones.

1. Distribuciones discretas de probabilidad
Por Lic. Gabriel Leandro, MBA
www.auladeeconomia.com

2. Distribuciones discretas
• Una variable discreta asume cada uno de sus
valores con una cierta probabilidad.
• La mayoría de las veces se representan con
una fórmula todas las probabilidades de una
variable aleatoria.
– Esta fórmula debe ser una función de los valores
numéricos de X, que se expresa generalmente por
f(x) y se define como distribución de probabilidad
de la variable aleatoria.

3. Distribución binomial

4. Ejemplo
• Usted es un vendedor con muchos años de
experiencia.
• Sabe que realiza la venta en el 30% de los
casos.
• Todos los días visita 10 prospectos de venta.
• Este porcentaje se ha mantenido constante a
lo largo de mucho tiempo.
• Generalmente cada cliente no tiene contacto
con los demás.

5. Proceso de Bernoulli
• Si dice que un proceso cuyos resultados sean
variables aleatorias discretas y que cumple con
las suposiciones presentadas a continuación, es
un proceso de Bernoulli:
– Existen solamente dos resultados posibles en cada
ensayo, llamados, arbitrariamente, éxitos y fracasos.
– Existe un número fijo n de intentos o ensayos.
– La probabilidad de un éxito, representada por
p, permanece constante en todos los intentos.
– Todos los n intentos repetidos son independientes.

6. ¿Es la situación del vendedor anterior
un proceso de Bernoulli?
• ¿Variables aleatorias discretas? Sí
• ¿Dos resultados posibles en cada
ensayo? Sí
• ¿Número fijo de intentos? Sí
• ¿La probabilidad de un éxito
permanece constante en todos los Sí
intentos?
• ¿Todos los intentos son
Sí
independientes?

7. Distribución binomial
La distribución de probabilidad de la variable
aleatoria X es:
x n x
P( X / n, p) C (n, x) p q
Donde X es el número establecido de éxitos
n el número de ensayos u observaciones
p la probabilidad de éxito
q la probabilidad de fracaso: q = 1 – p

8. Distribución binomial
La expresión anterior puede ser escrita como:
x n x n! x n x
P ( X / n, p ) C (n, x) p q p q
x !( n x ) !
Para la distribución binomial, su media y su
desviación estándar corresponden a:
µ = np
npq

9. Distribución binomial
• Se utiliza para describir un proceso donde los
resultados se pueden etiquetar como un
evento o evento fallido si, por ejemplo, un
elemento pasa o no pasa una inspección o un
partido político gana o pierde.
• Se utiliza frecuentemente en control de
calidad, sondeos de opinión
pública, investigaciones médicas y seguros.

10. Ejemplo
• Al probar una cierta clase de neumático en un
terreno escabroso se encontró que el 25% de los
vehículos terminaban la prueba con los
neumáticos dañados.
• Encuentre la probabilidad de que de 10 vehículos
que participan en la prueba,
1. exactamente 3 tengan los neumáticos dañados.
2. por lo menos 3 tengan los neumáticos dañados.
3. menos de 6 tengan los neumáticos dañados.
4. a lo más 5 no tengan los neumáticos dañados.
5. más de 7 no tengan los neumáticos dañados.

11. Pregunta 1:
Exactamente 3 tengan los neumáticos dañados
Datos: Solución:
n = 10
P( X ) C (n, x) p x q n x
x=3
10 !
p = 0,25 P( X 3) (0.25 ) 3 (0.75 )10 3
3!(10 3) !
q = 0,75
P(X 3) 0.2503
Respuesta:
La probabilidad de que exactamente 3 vehículos tengan los
neumáticos dañados es de 25,03%.

12. Pregunta 2:
Por lo menos 3 tengan los neumáticos dañados
Datos: Solución:
n = 10 P( X ) C (n, x) p x q n x
x≥3
p = 0,25 P( X 3) P( X 3) P( X 4) ... P( X 10)
q = 0,75 P( X 3) 1 P( X 0) P( X 1) P( X 2)
P(x > 3) = 1 – 0.0563 – 0.1877 – 0.2816 = 0.4744
Respuesta:
La probabilidad de que por lo menos 3 vehículos tengan los
neumáticos dañados es de 47,44%.

13. Pregunta 3:
menos de 6 tengan los neumáticos dañados
Datos: Solución:
n = 10 P( X ) C (n, x) p x q n x
x<6
p = 0,25 P( X 6) P( X 0) P( X 1) ... P( X 5)
q = 0,75 P(x < 6) = 0.0563 + 0.1877 + 0.2816 + 0.2503
+ 0.1460 + 0.0584 = 0.9803
Respuesta:
La probabilidad de que menos de 6 vehículos tengan los
neumáticos dañados es de 98,03%.

14. Pregunta 4:
a lo más 5 no tengan los neumáticos dañados
Datos: Solución:
n = 10 P( X ) C (n, x) p x q n x
x≤5
p = 0,75 P( X 5) P( X 0) P( X 1) ... P( X 5)
q = 0,25 P(x ≤ 5) = 0.0781
Respuesta:
La probabilidad de que a lo más 5 vehículos no tengan los
neumáticos dañados es de 7,81%.

15. Pregunta 5:
más de 7 no tengan los neumáticos dañados
Datos: Solución:
n = 10 P( X ) C (n, x) p x q n x
x>7
P( X 7) 1 P( X 7)
p = 0,75
P( X 7) P( X 8) P( X 9) P( X 10)
q = 0,25
= 0.5256
Otra alternativa:
P(x > 7) = 1 – P(x ≤ 7) = 1 – 0.4744 = 0.5256
Respuesta:
La probabilidad de que más 7 vehículos no tengan los
neumáticos dañados es de 52,56%.

16. Ejercicio
Si la probabilidad de que cierto componente
falle ante una carga axial específica es de 5%,
calcule la probabilidad de que entre 16 de tales
componentes:
1. fallen entre 2 y 5 (inclusive)
2. no fallen como máximo 12

17. Pregunta 1:
fallen entre 2 y 5 (inclusive)
Datos: Solución:
n = 16 P( X ) C (n, x) p x q n x
2≤x≤5
P(2 X 5)
p = 0,05 P( X 2) P( X 3) P( X 4) P( X 5)
q = 0,95
= 0,1463 + 0,0359 + 0,0061 + 0,0007 =
= 0.1891
Respuesta:
La probabilidad de que fallen entre 2 y 5 componentes es de
18,91%.

18. Pregunta 2:
no fallen como máximo 12
Datos: Solución:
n = 16 P( X ) C (n, x) p x q n x
x ≤ 12 P( X 12) P( X 0) P( X 1) ... P( X 12)
p = 0,95
P ( X 12 )
q = 0,05
1 P( X 13) P( X 14 ) P( X 15 ) P( X 16 )
P(X ≤ 12) = 0.0071
Respuesta:
La probabilidad de que no fallen como máximo 12 de los
componentes es de 0,71%.

19. Ejercicio
• Una empresa de mercadeo por Internet tiene una
promoción por e-mail que produce una respuesta de
15%.
• Si se hace un envío de dicha promoción a 10 clientes
(independientes), la probabilidad de que nadie
responda es:
( ) 0,0000 ( ) 0,8031
( ) 0,1969 ( ) Ninguna de las anteriores

20. Solución
Datos: Solución:
n = 10 P( X ) C (n, x) p x q n x
x=0
p = 0,15 P( X 0) C (10 ,0)( 0,15 ) 0 (0,85 )10
q = 0,85 = 0,1968
Respuesta:
La probabilidad de que nadie responda es de
19,68%.

21. Ejercicio
• Una empresa de mercadeo por Internet tiene una
promoción por e-mail que produce una respuesta de
15%.
• Si se hace un envío de dicha promoción a 10 clientes
(independientes), la probabilidad de que la
probabilidad de que exactamente dos personas
respondan es:
( ) 0,0000 ( ) 0,8241
( ) 0,2759 ( ) Ninguna de las anteriores

22. Solución
Datos: Solución:
n = 10 P( X ) C (n, x) p x q n x
x=2
p = 0,15 P( X 2) C (10 ,2)( 0,15 ) 2 (0,85 )8
q = 0,85 = 0,2759
Respuesta:
La probabilidad de que dos respondan es de
27,59%.

23. Ejercicio
• Una empresa de mercadeo por Internet tiene una
promoción por e-mail que produce una respuesta de
15%.
• Si se hace un envío de dicha promoción a 10 clientes
(independientes), la probabilidad de que la
probabilidad de que más de la mitad respondan es:
( ) 0,0000 ( ) 0,9986
( ) 0,0014 ( ) Ninguna de las anteriores

24. Solución
Datos: Solución:
n = 10 P( X ) C (n, x) p x q n x
x>5
P( X 5) P( X 6) ... P( X 10)
p = 0,15
q = 0,85 = 0,0014
Respuesta:
La probabilidad de que más de la mitad respondan es de
0,14%.

25. Ejercicio
• Un informe reciente de la revista Business Week,
señalaba que 20 de cada 100 de los empleados
roban algún artículo de la empresa cada año.
• Calcule cada una de las siguientes probabilidades:
1. Menos de 5 empleados de un total de 12, roben a la
empresa.
2. Exactamente 12 empleados de 15, no roben a la
empresa.
3. Más de 8 de un total de 14, roben a la empresa.
4. Menos de 6 y más de 10 de un total de 12, roben a la
empresa.

26. 1. Menos de 5 empleados de un total
de 12 roben a la empresa
La probabilidad de que menos de 5 empleados de un total
de 12 roben a la empresa es de 92,74%.

27. 2. Exactamente 12 empleados de 15
no roben a la empresa
La probabilidad de que exactamente 12 empleados de 15
no roben a la empresa es de 25,01%.

28. 3. Más de 8 de un total de 14 roben a
la empresa
La probabilidad de que más de 8 de un total de 14
roben a la empresa es de 0,04%.

29. 4. Menos de 6 y más de 10 de un total
de 12 roben a la empresa
La probabilidad de que Menos de 6 y más de 10 de un total
de 12 roben a la empresa es de 98,06%.

30. Distribución de Poisson

31. Distribución de Poisson
• Representa el número de resultados que ocurren
en un intervalo de tiempo dado o en un área o
volumen específico.
• La probabilidad se obtiene por medio de:
x
e
P( X / )
X!
X: número establecido de éxitos
: media
e 2,7183

32. Ejemplo
• En una intersección de carreteras ocurren en
promedio 3 accidentes de tránsito por mes.
• Calcule las siguientes probabilidades:
1. en un mes cualquiera ocurran exactamente 6
accidentes.
2. en 4 meses de comportamiento similar ocurran
entre 5 y 15 accidentes.

33. Pregunta 1:
ocurran exactamente 6 accidentes
Datos: Solución:
x
x=6 P( X / )
e
=3 X!
x
e 36 e 3
P( X 6)
X! 6!
P(X 6) 0.0504
Respuesta:
La probabilidad de que ocurran exactamente 6 accidentes es de
5,04%.

34. Pregunta 1:
en 4 meses ocurran entre 5 y 15 accidentes
Datos: Solución:
5 ≤ x ≤ 15 P( X / )
x
e
= 4 * 3 = 12 X!
P(5 X 15) 0.8368
Respuesta:
La probabilidad de que ocurran exactamente 4 accidentes es de
83,68%.

35. Ejercicio
• El número de fallas en la superficie de un
calentador de cierto tipo sigue una
distribución de Poisson.
• El número medio de fallas por calentador es
de 5.
• Determine la probabilidad de que al
seleccionar un calentador al azar:
1. menos de 5 fallas.
2. tenga más de 2 fallas.

36. Solución:
• Respuesta 1:
P(x < 5) = 0.4405
• Respuesta 2:
P(x > 2) =
1 - P(x = 0) - P(x = 1) - P(x = 2)
= 0.8753

37. Ejercicios

38. Distribución Hipergeométrica
• Está estrechamente relacionada con la distribución de
probabilidad binomial. La diferencia entre ambas está en
la independencia de los intentos y en que la probabilidad
de éxito cambia de uno a otro
• Se usa para calcular la probabilidad de que una muestra
aleatoria de n artículos seleccionados sin
reemplazo, obtengamos x elementos identificados como
éxitos, y n-x como fracasos. Para que suceda esto
debemos obtener x éxitos de los r de la población, y n-x
fracasos de los N-r de la población
r N r
x n x
f ( x) 0 x r
N
n

39. Ejemplo
• Se debe seleccionar 2 miembros de un
comité, entre 5, para que asistan a una
convención en Santiago. Suponga que el comité
está formado por 3 mujeres y 2 hombres.
Determine la probabilidad de seleccionar 2
mujeres al azar
– Tenemos N=5, n=2, r=3 y x=2
– Luego el cálculo de la probabilidad es:
3 2
2 0 3
f (2) 0.3
5 10
2

40. Ejemplo 2:
Una empresa durante la semana fabricó 50 DVDs
(N=50). Operaron sin problemas 40 (r=40) y 10
tuvieron al menos un defecto. Se selecciona al azar
una muestra de 5 (n=5). ¿Cuál es la probabilidad que
cuatro (x=4) de los cinco operarán sin problemas?
Sol : 0.431

41. Ejercicio 3:
Se acaba de recibir un embarque de 10 TV. Poco después de
recibirlos, el fabricante llamó para informar que por descuido
se habían enviado tres aparatos defectuosos.
Se decidió probar dos de estos ¿Cuál es la probabilidad que
ninguno de los dos este defectuoso?
• R/ 0.466667

42. Ejercicio 4 :
Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha
colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que
contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en
apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3
tabletas aleatoriamente para analizarlas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea
arrestado por posesión de narcóticos?.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por
posesión de narcóticos?.
R/a. 0.815384
R/b. 0.184615

43. ESPERANZA MATEMATICA DE UNA
VARIABLE HIPERGEOMETRICA
µ = E(X) = n*r
N
VARIANZA DE UNA VARIABLE HIPERGEOMETRICA
σ2= E[(X - µ)2]

44. Ejercicio
• Un equipo de ingenieros está probando un nuevo
material en una construcción. Según el fabricante
existe una probabilidad de 95% de que el
material supere ciertas condiciones extremas. Los
ingenieros están realizando 10 pruebas y desean
saber la probabilidad de que, de las diez pruebas:
1. Exactamente en dos casos el material no supere la
prueba.
2. En cinco o más casos el material supere prueba.
3. En todos los casos el material supera la prueba.

45. 1. Exactamente en dos casos el
material no supere la prueba
Binomial:
n = 10
p = 0.05
q = 0.95
X=2
La probabilidad de que exactamente en dos casos el
material no supere la prueba es de 7.46%.

46. 2. En cinco o más casos el material
supere prueba
Binomial:
n = 10
p = 0.95
q = 0.05
X≥5
La probabilidad de que en 5 o más casos el
material supere la prueba es prácticamente de 100%.

47. 3. En todos los casos el material
supera la prueba
Binomial:
n = 10
p = 0.95
q = 0.05
X = 10
La probabilidad de que en todos los casos el
material supere la prueba es 59.87%.

48. Ejercicio
• El jefe de un departamento de recursos humanos
de una empresa grande, estudia con frecuencia el
grado de satisfacción de los trabajadores dentro
de la empresa, y ha encontrado que 5 de cada 12
empleados se siente insatisfecho con su salario.
• Esta proporción se ha mantenido constante
durante mucho tiempo.
• Si se seleccionan aleatoriamente 8 personas
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de
ellas se sientan insatisfechas con su salario?

49. Exactamente 5 de ellas se sientan
insatisfechas con su salario
Binomial:
n=8
p = 5/12 = 0.4166
q = 0.5834
X=5
La probabilidad de que exactamente cinco
se muestren insatisfechos con su salario es de 13.95%.

50. Ejercicio
• Durante el plazo de inscripción para una
actividad, la oficina encargada procesa
aproximadamente 75 solicitudes por hora, en
promedio, de acuerdo con un proceso de
Poisson.
• ¿Cuál es la probabilidad de que este proceso
dé más de 80 solicitudes en una hora escogida
al azar?

51. Más de 80 solicitudes en una hora
Poisson:
= 75
X > 80
La probabilidad de que el proceso de más de 80
solicitudes en una hora es de 25.89%.

52. Ejercicio
• Un informe reciente de la revista Business
Week, señalaba que 20 de cada 100 de los empleados
roban algún artículo de la empresa cada año.
• Calcule cada una de las siguientes probabilidades:
1. Menos de 5 empleados de un total de 12, roben a la
empresa.
2. Exactamente 12 empleados de 15, no roben a la
empresa.
3. Más de 8 de un total de 14, roben a la empresa.
4. Menos de 6 y más de 10 de un total de 12, roben a la
empresa.
R./ 0.9274, 0.2501, 0.0004, 0.9806

53. Ejercicio
• Se ha observado que en promedio 4 personas por mes
solicitan vía Internet, un cierto modelo de cámara
fotográfica digital, dada las ventajas tecnológicas que
ofrece este medio de compra.
• ¿Cuál es la probabilidad de que en un periodo de:
1. medio mes, exactamente 3 personas soliciten ese
modelo de cámara?
2. mes y medio, se soliciten menos de 4 cámaras de ese
modelo?
3. un mes, entre 6 y 12 personas (incluyendo los
extremos), soliciten ese modelo de cámara?
4. ¿Cuántas cámaras, se espera sean solicitadas en un
periodo de 3 meses?

54. 1. medio mes, exactamente 3 personas
soliciten ese modelo de cámara

55. 2. mes y medio, se soliciten menos de
4 cámaras de ese modelo

56. 3. un mes, entre 6 y 12 personas (incluyendo los
extremos), soliciten ese modelo de cámara

57. Ejercicio
• Supongamos que la probabilidad de tener una
unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es
de 0.05.
• Si el conjunto de unidades terminadas constituye
un conjunto de ensayos
independientes, determine:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades
dos se encuentren defectuosas?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades
a lo sumo dos se encuentren defectuosas?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades
por lo menos una se encuentre defectuosa?

58. 1. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades
dos se encuentren defectuosas?
n = 10
p = 0,05
q = 0,95
P(X = 2)
La probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas
es de 7,46%.

59. 2. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades a
lo sumo dos se encuentren defectuosas?
n = 10
p = 0,05
q = 0,95
P(X ≤ 2) =
P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
La probabilidad de que entre diez unidades se encuentren a lo sumo dos
defectuosas es de 98,85%.

60. 3. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades
por lo menos una se encuentre defectuosa?
n = 10
p = 0,05
q = 0,95
P(X ≥ 1) =
= P(X=1) + P(X=2) +…+ P(X=10)
= 1 – P(X = 0)
La probabilidad de que entre diez unidades por lo menos una se encuentre
defectuosa es de 40,13%.

61. Ejercicio
• Una empresa electrónica observa que el número
de componentes que fallan antes de cumplir 100
horas de funcionamiento es una variable
aleatoria de Poisson.
• Si el número promedio de estos fallos es
ocho, determine:
– ¿Cuál es la probabilidad de que falle un componente
en 25 horas o menos?
– ¿Cuál es la probabilidad de que fallen no más de dos
componentes en 50 horas?
– ¿Cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos
diez componentes en 125 horas?

62. ¿Cuál es la probabilidad de que falle un
componente en 25 horas o menos?

63. ¿Cuál es la probabilidad de que fallen no más
de dos componentes en 50 horas?

64. ¿Cuál es la probabilidad de que fallen por lo
menos diez componentes en 125 horas?

65. Ejercicio
• La contaminación constituye un problema en la
fabricación de discos de almacenamiento óptico.
• El número de partículas de contaminación que
ocurre en un disco óptico tiene una distribución
de Poisson y el número promedio de partículas
por centímetro cuadrado de superficie del disco
es 0.1.
• El área de un disco bajo estudio es 100
centímetros cuadrados.
• Encuentre la probabilidad de que ocurran 12
partículas en el área del disco bajo estudio.

66. Encuentre la probabilidad de que ocurran 12
partículas en el área del disco bajo estudio

67. Distribución Hipergeométrica (variable discreta)
• Ejemplo:Un inspector de aduanas decide revisar 3 de 16 embarques. Si la selección
es aleatoria y 5 de los embarques contienen contrabando encuentre las
probabilidades de que el inspector de aduanas
• a) No encuentre ningún embarque con contrabando
• b) Encuentre contrabando

68. Distribución Hipergeométrica (variable discreta)
• Ejemplo 2: en un lote de 10 juegos de pólvora, 3 son defectuosos. Si se escogen 4
al azar, cual es la probabilidad de que los 4 sí funcionen? Y al menos 2 no
exploten?

69. Distribución Hipergeométrica (variable discreta)
• Ejemplo 3: un grupo de 9 estudiantes de los cuales 4 son menores de edad,
solicitan bebidas alcohólicas. ¿Cúal es la probabilidad de que como máximo 2 de
las identificaciones pertenezcan a menores de edad si la mesera hace una
verificación aleatoria de 5 identificaciones?