Distribuciones discretas estadis ii

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Distribuciones discretas de probabilidad

          Por Lic. Gabriel Leandro, MBA
               www.auladeeconomia.com
Distribuciones discretas
• Una variable discreta asume cada uno de sus
  valores con una cierta probabilidad.
• La mayoría de las veces se representan con
  una fórmula todas las probabilidades de una
  variable aleatoria.
  – Esta fórmula debe ser una función de los valores
    numéricos de X, que se expresa generalmente por
    f(x) y se define como distribución de probabilidad
    de la variable aleatoria.
Distribución binomial
Ejemplo
• Usted es un vendedor con muchos años de
  experiencia.
• Sabe que realiza la venta en el 30% de los
  casos.
• Todos los días visita 10 prospectos de venta.
• Este porcentaje se ha mantenido constante a
  lo largo de mucho tiempo.
• Generalmente cada cliente no tiene contacto
  con los demás.
Proceso de Bernoulli
• Si dice que un proceso cuyos resultados sean
  variables aleatorias discretas y que cumple con
  las suposiciones presentadas a continuación, es
  un proceso de Bernoulli:
  – Existen solamente dos resultados posibles en cada
    ensayo, llamados, arbitrariamente, éxitos y fracasos.
  – Existe un número fijo n de intentos o ensayos.
  – La probabilidad de un éxito, representada por
    p, permanece constante en todos los intentos.
  – Todos los n intentos repetidos son independientes.
¿Es la situación del vendedor anterior
       un proceso de Bernoulli?
• ¿Variables aleatorias discretas?   Sí
• ¿Dos resultados posibles en cada
  ensayo?                            Sí
• ¿Número fijo de intentos?          Sí
• ¿La probabilidad de un éxito
  permanece constante en todos los   Sí
  intentos?
• ¿Todos los intentos son
                                     Sí
  independientes?
Distribución binomial
La distribución de probabilidad de la variable
aleatoria X es:
                                    x   n x
         P( X / n, p)    C (n, x) p q
  Donde X es el número establecido de éxitos
  n el número de ensayos u observaciones
  p la probabilidad de éxito
  q la probabilidad de fracaso: q = 1 – p
Distribución binomial
La expresión anterior puede ser escrita como:
                           x     n x         n!      x n   x
 P ( X / n, p )   C (n, x) p q                      p q
                                       x !( n x ) !
   Para la distribución binomial, su media y su
   desviación estándar corresponden a:
                         µ = np
                               npq
Distribución binomial
• Se utiliza para describir un proceso donde los
  resultados se pueden etiquetar como un
  evento o evento fallido si, por ejemplo, un
  elemento pasa o no pasa una inspección o un
  partido político gana o pierde.
• Se utiliza frecuentemente en control de
  calidad, sondeos de opinión
  pública, investigaciones médicas y seguros.
Ejemplo
• Al probar una cierta clase de neumático en un
  terreno escabroso se encontró que el 25% de los
  vehículos terminaban la prueba con los
  neumáticos dañados.
• Encuentre la probabilidad de que de 10 vehículos
  que participan en la prueba,
  1.   exactamente 3 tengan los neumáticos dañados.
  2.   por lo menos 3 tengan los neumáticos dañados.
  3.   menos de 6 tengan los neumáticos dañados.
  4.   a lo más 5 no tengan los neumáticos dañados.
  5.   más de 7 no tengan los neumáticos dañados.
Pregunta 1:
 Exactamente 3 tengan los neumáticos dañados
Datos:           Solución:
n = 10
                  P( X )    C (n, x) p x q n   x

x=3
                                     10 !
p = 0,25          P( X     3)               (0.25 ) 3 (0.75 )10   3

                                 3!(10 3) !
q = 0,75
                  P(X      3)   0.2503



Respuesta:
La probabilidad de que exactamente 3 vehículos tengan los
neumáticos dañados es de 25,03%.
Pregunta 2:
 Por lo menos 3 tengan los neumáticos dañados
Datos:        Solución:
n = 10        P( X )        C (n, x) p x q n     x

x≥3
p = 0,25      P( X     3)      P( X    3)      P( X         4) ... P( X    10)
q = 0,75      P( X     3) 1 P( X            0)       P( X    1)   P( X    2)

              P(x > 3) = 1 – 0.0563 – 0.1877 – 0.2816 = 0.4744


Respuesta:
La probabilidad de que por lo menos 3 vehículos tengan los
neumáticos dañados es de 47,44%.
Pregunta 3:
    menos de 6 tengan los neumáticos dañados
Datos:        Solución:
n = 10        P( X )    C (n, x) p x q n   x

x<6
p = 0,25      P( X     6) P( X     0) P( X 1) ... P( X   5)
q = 0,75      P(x < 6) = 0.0563 + 0.1877 + 0.2816 + 0.2503
                         + 0.1460 + 0.0584 = 0.9803



Respuesta:
La probabilidad de que menos de 6 vehículos tengan los
neumáticos dañados es de 98,03%.
Pregunta 4:
   a lo más 5 no tengan los neumáticos dañados
Datos:        Solución:
n = 10         P( X )    C (n, x) p x q n   x

x≤5
p = 0,75       P( X     5) P( X     0) P( X 1) ... P( X     5)
q = 0,25       P(x ≤ 5) = 0.0781




Respuesta:
La probabilidad de que a lo más 5 vehículos no tengan los
neumáticos dañados es de 7,81%.
Pregunta 5:
   más de 7 no tengan los neumáticos dañados
Datos:        Solución:
n = 10         P( X )     C (n, x) p x q n   x

x>7
               P( X     7) 1 P( X        7)
p = 0,75
               P( X     7) P( X      8) P( X     9) P( X 10)
q = 0,25
                           = 0.5256
              Otra alternativa:
              P(x > 7) = 1 – P(x ≤ 7) = 1 – 0.4744 = 0.5256

Respuesta:
La probabilidad de que más 7 vehículos no tengan los
neumáticos dañados es de 52,56%.
Ejercicio
Si la probabilidad de que cierto componente
falle ante una carga axial específica es de 5%,
calcule la probabilidad de que entre 16 de tales
componentes:
  1. fallen entre 2 y 5 (inclusive)
  2. no fallen como máximo 12
Pregunta 1:
             fallen entre 2 y 5 (inclusive)
Datos:        Solución:
n = 16        P( X )    C (n, x) p x q n   x

2≤x≤5
              P(2 X       5)
p = 0,05         P( X     2)   P( X    3)      P( X   4)   P( X   5)
q = 0,95
                  = 0,1463 + 0,0359 + 0,0061 + 0,0007 =
                  = 0.1891


Respuesta:
La probabilidad de que fallen entre 2 y 5 componentes es de
18,91%.
Pregunta 2:
               no fallen como máximo 12
Datos:       Solución:
n = 16       P( X )     C (n, x) p x q n   x

x ≤ 12       P( X     12)    P( X    0)    P( X       1) ... P( X      12)
p = 0,95
             P ( X 12 )
q = 0,05
                 1 P( X      13)    P( X       14 )   P( X   15 )   P( X   16 )

              P(X ≤ 12) = 0.0071


Respuesta:
La probabilidad de que no fallen como máximo 12 de los
componentes es de 0,71%.
Ejercicio
• Una empresa de mercadeo por Internet tiene una
   promoción por e-mail que produce una respuesta de
   15%.
• Si se hace un envío de dicha promoción a 10 clientes
   (independientes), la probabilidad de que nadie
   responda es:
( ) 0,0000                ( ) 0,8031
( ) 0,1969                ( ) Ninguna de las anteriores
Solución

Datos:       Solución:
n = 10        P( X )     C (n, x) p x q n   x

x=0
p = 0,15      P( X     0) C (10 ,0)( 0,15 ) 0 (0,85 )10
q = 0,85                 = 0,1968




Respuesta:
La probabilidad de que nadie responda es de
19,68%.
Ejercicio
• Una empresa de mercadeo por Internet tiene una
   promoción por e-mail que produce una respuesta de
   15%.
• Si se hace un envío de dicha promoción a 10 clientes
   (independientes), la probabilidad de que la
   probabilidad de que exactamente dos personas
   respondan es:
( ) 0,0000                ( ) 0,8241
( ) 0,2759                ( ) Ninguna de las anteriores
Solución

Datos:       Solución:
n = 10        P( X )     C (n, x) p x q n   x

x=2
p = 0,15      P( X     2) C (10 ,2)( 0,15 ) 2 (0,85 )8
q = 0,85                 = 0,2759




Respuesta:
La probabilidad de que dos respondan es de
27,59%.
Ejercicio
• Una empresa de mercadeo por Internet tiene una
   promoción por e-mail que produce una respuesta de
   15%.
• Si se hace un envío de dicha promoción a 10 clientes
   (independientes), la probabilidad de que la
   probabilidad de que más de la mitad respondan es:
( ) 0,0000                ( ) 0,9986
( ) 0,0014                ( ) Ninguna de las anteriores
Solución

Datos:       Solución:
n = 10        P( X )    C (n, x) p x q n   x

x>5
              P( X     5) P( X      6) ... P( X 10)
p = 0,15
q = 0,85                 = 0,0014




Respuesta:
La probabilidad de que más de la mitad respondan es de
0,14%.
Ejercicio
• Un informe reciente de la revista Business Week,
  señalaba que 20 de cada 100 de los empleados
  roban algún artículo de la empresa cada año.
• Calcule cada una de las siguientes probabilidades:
  1. Menos de 5 empleados de un total de 12, roben a la
     empresa.
  2. Exactamente 12 empleados de 15, no roben a la
     empresa.
  3. Más de 8 de un total de 14, roben a la empresa.
  4. Menos de 6 y más de 10 de un total de 12, roben a la
     empresa.
1. Menos de 5 empleados de un total
     de 12 roben a la empresa




 La probabilidad de que menos de 5 empleados de un total
          de 12 roben a la empresa es de 92,74%.
2. Exactamente 12 empleados de 15
       no roben a la empresa




La probabilidad de que exactamente 12 empleados de 15
          no roben a la empresa es de 25,01%.
3. Más de 8 de un total de 14 roben a
             la empresa




   La probabilidad de que más de 8 de un total de 14
           roben a la empresa es de 0,04%.
4. Menos de 6 y más de 10 de un total
     de 12 roben a la empresa




 La probabilidad de que Menos de 6 y más de 10 de un total
          de 12 roben a la empresa es de 98,06%.
Distribución de Poisson
Distribución de Poisson
• Representa el número de resultados que ocurren
  en un intervalo de tiempo dado o en un área o
  volumen específico.
• La probabilidad se obtiene por medio de:
                               x
                                e
                   P( X / )
                                X!

  X: número establecido de éxitos
   : media
  e 2,7183
Ejemplo
• En una intersección de carreteras ocurren en
  promedio 3 accidentes de tránsito por mes.
• Calcule las siguientes probabilidades:
  1. en un mes cualquiera ocurran exactamente 6
     accidentes.
  2. en 4 meses de comportamiento similar ocurran
     entre 5 y 15 accidentes.
Pregunta 1:
          ocurran exactamente 6 accidentes
Datos:           Solución:
                               x
x=6               P( X / )
                               e
 =3                            X!
                                   x
                                   e    36 e 3
                  P( X   6)
                                   X!     6!

                  P(X     6)       0.0504



Respuesta:
La probabilidad de que ocurran exactamente 6 accidentes es de
5,04%.
Pregunta 1:
    en 4 meses ocurran entre 5 y 15 accidentes
Datos:           Solución:
5 ≤ x ≤ 15        P( X / )
                             x
                             e
  = 4 * 3 = 12               X!

                   P(5   X   15)   0.8368




Respuesta:
La probabilidad de que ocurran exactamente 4 accidentes es de
83,68%.
Ejercicio
• El número de fallas en la superficie de un
  calentador de cierto tipo sigue una
  distribución de Poisson.
• El número medio de fallas por calentador es
  de 5.
• Determine la probabilidad de que al
  seleccionar un calentador al azar:
  1. menos de 5 fallas.
  2. tenga más de 2 fallas.
Solución:
• Respuesta 1:

            P(x < 5) = 0.4405

• Respuesta 2:
                 P(x > 2) =
      1 - P(x = 0) - P(x = 1) - P(x = 2)
                 = 0.8753
Ejercicios
Distribución Hipergeométrica
• Está estrechamente relacionada con la distribución de
  probabilidad binomial. La diferencia entre ambas está en
  la independencia de los intentos y en que la probabilidad
  de éxito cambia de uno a otro
• Se usa para calcular la probabilidad de que una muestra
  aleatoria    de      n     artículos seleccionados     sin
  reemplazo, obtengamos x elementos identificados como
  éxitos, y n-x como fracasos. Para que suceda esto
  debemos obtener x éxitos de los r de la población, y n-x
  fracasos de los N-r de la población

                                r   N    r
                                x   n    x
                       f ( x)                0   x   r
                                    N
                                     n
Ejemplo

• Se debe seleccionar 2 miembros de un
  comité, entre 5, para que asistan a una
  convención en Santiago. Suponga que el comité
  está formado por 3 mujeres y 2 hombres.
  Determine la probabilidad de seleccionar 2
  mujeres al azar
  – Tenemos N=5, n=2, r=3 y x=2
  – Luego el cálculo de la probabilidad es:
                          3       2
                          2       0    3
                  f (2)                    0.3
                              5       10
                              2
Ejemplo 2:

   Una empresa durante la semana fabricó 50 DVDs
  (N=50). Operaron sin problemas 40 (r=40) y 10
  tuvieron al menos un defecto. Se selecciona al azar
  una muestra de 5 (n=5). ¿Cuál es la probabilidad que
  cuatro (x=4) de los cinco operarán sin problemas?

Sol : 0.431
Ejercicio 3:

  Se acaba de recibir un embarque de 10 TV. Poco después de
  recibirlos, el fabricante llamó para informar que por descuido
  se habían enviado tres aparatos defectuosos.
 Se decidió probar dos de estos ¿Cuál es la probabilidad que
  ninguno de los dos este defectuoso?
• R/ 0.466667
Ejercicio 4 :

  Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha
  colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que
  contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en
  apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3
  tabletas aleatoriamente para analizarlas.
  a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea
  arrestado por posesión de narcóticos?.
  b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por
  posesión de narcóticos?.
R/a. 0.815384
R/b. 0.184615
ESPERANZA MATEMATICA DE UNA
VARIABLE HIPERGEOMETRICA

            µ = E(X) =       n*r
                             N

VARIANZA DE UNA VARIABLE HIPERGEOMETRICA


 σ2= E[(X - µ)2]
Ejercicio
• Un equipo de ingenieros está probando un nuevo
  material en una construcción. Según el fabricante
  existe una probabilidad de 95% de que el
  material supere ciertas condiciones extremas. Los
  ingenieros están realizando 10 pruebas y desean
  saber la probabilidad de que, de las diez pruebas:
  1. Exactamente en dos casos el material no supere la
     prueba.
  2. En cinco o más casos el material supere prueba.
  3. En todos los casos el material supera la prueba.
1. Exactamente en dos casos el
      material no supere la prueba
Binomial:
   n = 10
   p = 0.05
   q = 0.95
   X=2




La probabilidad de que exactamente en dos casos el
material no supere la prueba es de 7.46%.
2. En cinco o más casos el material
             supere prueba
Binomial:
   n = 10
   p = 0.95
   q = 0.05
   X≥5




La probabilidad de que en 5 o más casos el
material supere la prueba es prácticamente de 100%.
3. En todos los casos el material
             supera la prueba
Binomial:
   n = 10
   p = 0.95
   q = 0.05
   X = 10




La probabilidad de que en todos los casos el
material supere la prueba es 59.87%.
Ejercicio
• El jefe de un departamento de recursos humanos
  de una empresa grande, estudia con frecuencia el
  grado de satisfacción de los trabajadores dentro
  de la empresa, y ha encontrado que 5 de cada 12
  empleados se siente insatisfecho con su salario.
• Esta proporción se ha mantenido constante
  durante mucho tiempo.
• Si se seleccionan aleatoriamente 8 personas
  ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de
  ellas se sientan insatisfechas con su salario?
Exactamente 5 de ellas se sientan
       insatisfechas con su salario
Binomial:
   n=8
   p = 5/12 = 0.4166
   q = 0.5834
   X=5




La probabilidad de que exactamente cinco
se muestren insatisfechos con su salario es de 13.95%.
Ejercicio
• Durante el plazo de inscripción para una
  actividad, la oficina encargada procesa
  aproximadamente 75 solicitudes por hora, en
  promedio, de acuerdo con un proceso de
  Poisson.
• ¿Cuál es la probabilidad de que este proceso
  dé más de 80 solicitudes en una hora escogida
  al azar?
Más de 80 solicitudes en una hora
Poisson:
     = 75
   X > 80




La probabilidad de que el proceso de más de 80
solicitudes en una hora es de 25.89%.
Ejercicio
• Un informe reciente de la revista Business
  Week, señalaba que 20 de cada 100 de los empleados
  roban algún artículo de la empresa cada año.
• Calcule cada una de las siguientes probabilidades:
  1. Menos de 5 empleados de un total de 12, roben a la
       empresa.
  2. Exactamente 12 empleados de 15, no roben a la
       empresa.
  3. Más de 8 de un total de 14, roben a la empresa.
  4. Menos de 6 y más de 10 de un total de 12, roben a la
       empresa.
  R./ 0.9274, 0.2501, 0.0004, 0.9806
Ejercicio
• Se ha observado que en promedio 4 personas por mes
  solicitan vía Internet, un cierto modelo de cámara
  fotográfica digital, dada las ventajas tecnológicas que
  ofrece este medio de compra.
• ¿Cuál es la probabilidad de que en un periodo de:
   1. medio mes, exactamente 3 personas soliciten ese
      modelo de cámara?
   2. mes y medio, se soliciten menos de 4 cámaras de ese
      modelo?
   3. un mes, entre 6 y 12 personas (incluyendo los
      extremos), soliciten ese modelo de cámara?
   4. ¿Cuántas cámaras, se espera sean solicitadas en un
      periodo de 3 meses?
1. medio mes, exactamente 3 personas
    soliciten ese modelo de cámara
2. mes y medio, se soliciten menos de
      4 cámaras de ese modelo
3. un mes, entre 6 y 12 personas (incluyendo los
   extremos), soliciten ese modelo de cámara
Ejercicio
• Supongamos que la probabilidad de tener una
  unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es
  de 0.05.
• Si el conjunto de unidades terminadas constituye
  un conjunto de ensayos
  independientes, determine:
  1. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades
     dos se encuentren defectuosas?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades
     a lo sumo dos se encuentren defectuosas?
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades
     por lo menos una se encuentre defectuosa?
1. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades
           dos se encuentren defectuosas?


   n = 10
   p = 0,05
   q = 0,95
   P(X = 2)




La probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas
es de 7,46%.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades a
       lo sumo dos se encuentren defectuosas?


n = 10
p = 0,05
q = 0,95
P(X ≤ 2) =
P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)




La probabilidad de que entre diez unidades se encuentren a lo sumo dos
defectuosas es de 98,85%.
3. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades
       por lo menos una se encuentre defectuosa?


n = 10
p = 0,05
q = 0,95
P(X ≥ 1) =
= P(X=1) + P(X=2) +…+ P(X=10)
= 1 – P(X = 0)



 La probabilidad de que entre diez unidades por lo menos una se encuentre
 defectuosa es de 40,13%.
Ejercicio
• Una empresa electrónica observa que el número
  de componentes que fallan antes de cumplir 100
  horas de funcionamiento es una variable
  aleatoria de Poisson.
• Si el número promedio de estos fallos es
  ocho, determine:
  – ¿Cuál es la probabilidad de que falle un componente
    en 25 horas o menos?
  – ¿Cuál es la probabilidad de que fallen no más de dos
    componentes en 50 horas?
  – ¿Cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos
    diez componentes en 125 horas?
¿Cuál es la probabilidad de que falle un
  componente en 25 horas o menos?
¿Cuál es la probabilidad de que fallen no más
     de dos componentes en 50 horas?
¿Cuál es la probabilidad de que fallen por lo
 menos diez componentes en 125 horas?
Ejercicio
• La contaminación constituye un problema en la
  fabricación de discos de almacenamiento óptico.
• El número de partículas de contaminación que
  ocurre en un disco óptico tiene una distribución
  de Poisson y el número promedio de partículas
  por centímetro cuadrado de superficie del disco
  es 0.1.
• El área de un disco bajo estudio es 100
  centímetros cuadrados.
• Encuentre la probabilidad de que ocurran 12
  partículas en el área del disco bajo estudio.
Encuentre la probabilidad de que ocurran 12
 partículas en el área del disco bajo estudio
Distribución Hipergeométrica (variable discreta)
•   Ejemplo:Un inspector de aduanas decide revisar 3 de 16 embarques. Si la selección
    es aleatoria y 5 de los embarques contienen contrabando encuentre las
    probabilidades de que el inspector de aduanas
•   a) No encuentre ningún embarque con contrabando
•   b) Encuentre contrabando
Distribución Hipergeométrica (variable discreta)
•   Ejemplo 2: en un lote de 10 juegos de pólvora, 3 son defectuosos. Si se escogen 4
    al azar, cual es la probabilidad de que los 4 sí funcionen? Y al menos 2 no
    exploten?
Distribución Hipergeométrica (variable discreta)
•   Ejemplo 3: un grupo de 9 estudiantes de los cuales 4 son menores de edad,
    solicitan bebidas alcohólicas. ¿Cúal es la probabilidad de que como máximo 2 de
    las identificaciones pertenezcan a menores de edad si la mesera hace una
    verificación aleatoria de 5 identificaciones?
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Distribuciones discretas estadis ii

  • 1. Distribuciones discretas de probabilidad Por Lic. Gabriel Leandro, MBA www.auladeeconomia.com
  • 2. Distribuciones discretas • Una variable discreta asume cada uno de sus valores con una cierta probabilidad. • La mayoría de las veces se representan con una fórmula todas las probabilidades de una variable aleatoria. – Esta fórmula debe ser una función de los valores numéricos de X, que se expresa generalmente por f(x) y se define como distribución de probabilidad de la variable aleatoria.
  • 4. Ejemplo • Usted es un vendedor con muchos años de experiencia. • Sabe que realiza la venta en el 30% de los casos. • Todos los días visita 10 prospectos de venta. • Este porcentaje se ha mantenido constante a lo largo de mucho tiempo. • Generalmente cada cliente no tiene contacto con los demás.
  • 5. Proceso de Bernoulli • Si dice que un proceso cuyos resultados sean variables aleatorias discretas y que cumple con las suposiciones presentadas a continuación, es un proceso de Bernoulli: – Existen solamente dos resultados posibles en cada ensayo, llamados, arbitrariamente, éxitos y fracasos. – Existe un número fijo n de intentos o ensayos. – La probabilidad de un éxito, representada por p, permanece constante en todos los intentos. – Todos los n intentos repetidos son independientes.
  • 6. ¿Es la situación del vendedor anterior un proceso de Bernoulli? • ¿Variables aleatorias discretas? Sí • ¿Dos resultados posibles en cada ensayo? Sí • ¿Número fijo de intentos? Sí • ¿La probabilidad de un éxito permanece constante en todos los Sí intentos? • ¿Todos los intentos son Sí independientes?
  • 7. Distribución binomial La distribución de probabilidad de la variable aleatoria X es: x n x P( X / n, p) C (n, x) p q Donde X es el número establecido de éxitos n el número de ensayos u observaciones p la probabilidad de éxito q la probabilidad de fracaso: q = 1 – p
  • 8. Distribución binomial La expresión anterior puede ser escrita como: x n x n! x n x P ( X / n, p ) C (n, x) p q p q x !( n x ) ! Para la distribución binomial, su media y su desviación estándar corresponden a: µ = np npq
  • 9. Distribución binomial • Se utiliza para describir un proceso donde los resultados se pueden etiquetar como un evento o evento fallido si, por ejemplo, un elemento pasa o no pasa una inspección o un partido político gana o pierde. • Se utiliza frecuentemente en control de calidad, sondeos de opinión pública, investigaciones médicas y seguros.
  • 10. Ejemplo • Al probar una cierta clase de neumático en un terreno escabroso se encontró que el 25% de los vehículos terminaban la prueba con los neumáticos dañados. • Encuentre la probabilidad de que de 10 vehículos que participan en la prueba, 1. exactamente 3 tengan los neumáticos dañados. 2. por lo menos 3 tengan los neumáticos dañados. 3. menos de 6 tengan los neumáticos dañados. 4. a lo más 5 no tengan los neumáticos dañados. 5. más de 7 no tengan los neumáticos dañados.
  • 11. Pregunta 1: Exactamente 3 tengan los neumáticos dañados Datos: Solución: n = 10 P( X ) C (n, x) p x q n x x=3 10 ! p = 0,25 P( X 3) (0.25 ) 3 (0.75 )10 3 3!(10 3) ! q = 0,75 P(X 3) 0.2503 Respuesta: La probabilidad de que exactamente 3 vehículos tengan los neumáticos dañados es de 25,03%.
  • 12. Pregunta 2: Por lo menos 3 tengan los neumáticos dañados Datos: Solución: n = 10 P( X ) C (n, x) p x q n x x≥3 p = 0,25 P( X 3) P( X 3) P( X 4) ... P( X 10) q = 0,75 P( X 3) 1 P( X 0) P( X 1) P( X 2) P(x > 3) = 1 – 0.0563 – 0.1877 – 0.2816 = 0.4744 Respuesta: La probabilidad de que por lo menos 3 vehículos tengan los neumáticos dañados es de 47,44%.
  • 13. Pregunta 3: menos de 6 tengan los neumáticos dañados Datos: Solución: n = 10 P( X ) C (n, x) p x q n x x<6 p = 0,25 P( X 6) P( X 0) P( X 1) ... P( X 5) q = 0,75 P(x < 6) = 0.0563 + 0.1877 + 0.2816 + 0.2503 + 0.1460 + 0.0584 = 0.9803 Respuesta: La probabilidad de que menos de 6 vehículos tengan los neumáticos dañados es de 98,03%.
  • 14. Pregunta 4: a lo más 5 no tengan los neumáticos dañados Datos: Solución: n = 10 P( X ) C (n, x) p x q n x x≤5 p = 0,75 P( X 5) P( X 0) P( X 1) ... P( X 5) q = 0,25 P(x ≤ 5) = 0.0781 Respuesta: La probabilidad de que a lo más 5 vehículos no tengan los neumáticos dañados es de 7,81%.
  • 15. Pregunta 5: más de 7 no tengan los neumáticos dañados Datos: Solución: n = 10 P( X ) C (n, x) p x q n x x>7 P( X 7) 1 P( X 7) p = 0,75 P( X 7) P( X 8) P( X 9) P( X 10) q = 0,25 = 0.5256 Otra alternativa: P(x > 7) = 1 – P(x ≤ 7) = 1 – 0.4744 = 0.5256 Respuesta: La probabilidad de que más 7 vehículos no tengan los neumáticos dañados es de 52,56%.
  • 16. Ejercicio Si la probabilidad de que cierto componente falle ante una carga axial específica es de 5%, calcule la probabilidad de que entre 16 de tales componentes: 1. fallen entre 2 y 5 (inclusive) 2. no fallen como máximo 12
  • 17. Pregunta 1: fallen entre 2 y 5 (inclusive) Datos: Solución: n = 16 P( X ) C (n, x) p x q n x 2≤x≤5 P(2 X 5) p = 0,05 P( X 2) P( X 3) P( X 4) P( X 5) q = 0,95 = 0,1463 + 0,0359 + 0,0061 + 0,0007 = = 0.1891 Respuesta: La probabilidad de que fallen entre 2 y 5 componentes es de 18,91%.
  • 18. Pregunta 2: no fallen como máximo 12 Datos: Solución: n = 16 P( X ) C (n, x) p x q n x x ≤ 12 P( X 12) P( X 0) P( X 1) ... P( X 12) p = 0,95 P ( X 12 ) q = 0,05 1 P( X 13) P( X 14 ) P( X 15 ) P( X 16 ) P(X ≤ 12) = 0.0071 Respuesta: La probabilidad de que no fallen como máximo 12 de los componentes es de 0,71%.
  • 19. Ejercicio • Una empresa de mercadeo por Internet tiene una promoción por e-mail que produce una respuesta de 15%. • Si se hace un envío de dicha promoción a 10 clientes (independientes), la probabilidad de que nadie responda es: ( ) 0,0000 ( ) 0,8031 ( ) 0,1969 ( ) Ninguna de las anteriores
  • 20. Solución Datos: Solución: n = 10 P( X ) C (n, x) p x q n x x=0 p = 0,15 P( X 0) C (10 ,0)( 0,15 ) 0 (0,85 )10 q = 0,85 = 0,1968 Respuesta: La probabilidad de que nadie responda es de 19,68%.
  • 21. Ejercicio • Una empresa de mercadeo por Internet tiene una promoción por e-mail que produce una respuesta de 15%. • Si se hace un envío de dicha promoción a 10 clientes (independientes), la probabilidad de que la probabilidad de que exactamente dos personas respondan es: ( ) 0,0000 ( ) 0,8241 ( ) 0,2759 ( ) Ninguna de las anteriores
  • 22. Solución Datos: Solución: n = 10 P( X ) C (n, x) p x q n x x=2 p = 0,15 P( X 2) C (10 ,2)( 0,15 ) 2 (0,85 )8 q = 0,85 = 0,2759 Respuesta: La probabilidad de que dos respondan es de 27,59%.
  • 23. Ejercicio • Una empresa de mercadeo por Internet tiene una promoción por e-mail que produce una respuesta de 15%. • Si se hace un envío de dicha promoción a 10 clientes (independientes), la probabilidad de que la probabilidad de que más de la mitad respondan es: ( ) 0,0000 ( ) 0,9986 ( ) 0,0014 ( ) Ninguna de las anteriores
  • 24. Solución Datos: Solución: n = 10 P( X ) C (n, x) p x q n x x>5 P( X 5) P( X 6) ... P( X 10) p = 0,15 q = 0,85 = 0,0014 Respuesta: La probabilidad de que más de la mitad respondan es de 0,14%.
  • 25. Ejercicio • Un informe reciente de la revista Business Week, señalaba que 20 de cada 100 de los empleados roban algún artículo de la empresa cada año. • Calcule cada una de las siguientes probabilidades: 1. Menos de 5 empleados de un total de 12, roben a la empresa. 2. Exactamente 12 empleados de 15, no roben a la empresa. 3. Más de 8 de un total de 14, roben a la empresa. 4. Menos de 6 y más de 10 de un total de 12, roben a la empresa.
  • 26. 1. Menos de 5 empleados de un total de 12 roben a la empresa La probabilidad de que menos de 5 empleados de un total de 12 roben a la empresa es de 92,74%.
  • 27. 2. Exactamente 12 empleados de 15 no roben a la empresa La probabilidad de que exactamente 12 empleados de 15 no roben a la empresa es de 25,01%.
  • 28. 3. Más de 8 de un total de 14 roben a la empresa La probabilidad de que más de 8 de un total de 14 roben a la empresa es de 0,04%.
  • 29. 4. Menos de 6 y más de 10 de un total de 12 roben a la empresa La probabilidad de que Menos de 6 y más de 10 de un total de 12 roben a la empresa es de 98,06%.
  • 31. Distribución de Poisson • Representa el número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o en un área o volumen específico. • La probabilidad se obtiene por medio de: x e P( X / ) X! X: número establecido de éxitos : media e 2,7183
  • 32. Ejemplo • En una intersección de carreteras ocurren en promedio 3 accidentes de tránsito por mes. • Calcule las siguientes probabilidades: 1. en un mes cualquiera ocurran exactamente 6 accidentes. 2. en 4 meses de comportamiento similar ocurran entre 5 y 15 accidentes.
  • 33. Pregunta 1: ocurran exactamente 6 accidentes Datos: Solución: x x=6 P( X / ) e =3 X! x e 36 e 3 P( X 6) X! 6! P(X 6) 0.0504 Respuesta: La probabilidad de que ocurran exactamente 6 accidentes es de 5,04%.
  • 34. Pregunta 1: en 4 meses ocurran entre 5 y 15 accidentes Datos: Solución: 5 ≤ x ≤ 15 P( X / ) x e = 4 * 3 = 12 X! P(5 X 15) 0.8368 Respuesta: La probabilidad de que ocurran exactamente 4 accidentes es de 83,68%.
  • 35. Ejercicio • El número de fallas en la superficie de un calentador de cierto tipo sigue una distribución de Poisson. • El número medio de fallas por calentador es de 5. • Determine la probabilidad de que al seleccionar un calentador al azar: 1. menos de 5 fallas. 2. tenga más de 2 fallas.
  • 36. Solución: • Respuesta 1: P(x < 5) = 0.4405 • Respuesta 2: P(x > 2) = 1 - P(x = 0) - P(x = 1) - P(x = 2) = 0.8753
  • 38. Distribución Hipergeométrica • Está estrechamente relacionada con la distribución de probabilidad binomial. La diferencia entre ambas está en la independencia de los intentos y en que la probabilidad de éxito cambia de uno a otro • Se usa para calcular la probabilidad de que una muestra aleatoria de n artículos seleccionados sin reemplazo, obtengamos x elementos identificados como éxitos, y n-x como fracasos. Para que suceda esto debemos obtener x éxitos de los r de la población, y n-x fracasos de los N-r de la población r N r x n x f ( x) 0 x r N n
  • 39. Ejemplo • Se debe seleccionar 2 miembros de un comité, entre 5, para que asistan a una convención en Santiago. Suponga que el comité está formado por 3 mujeres y 2 hombres. Determine la probabilidad de seleccionar 2 mujeres al azar – Tenemos N=5, n=2, r=3 y x=2 – Luego el cálculo de la probabilidad es: 3 2 2 0 3 f (2) 0.3 5 10 2
  • 40. Ejemplo 2: Una empresa durante la semana fabricó 50 DVDs (N=50). Operaron sin problemas 40 (r=40) y 10 tuvieron al menos un defecto. Se selecciona al azar una muestra de 5 (n=5). ¿Cuál es la probabilidad que cuatro (x=4) de los cinco operarán sin problemas? Sol : 0.431
  • 41. Ejercicio 3: Se acaba de recibir un embarque de 10 TV. Poco después de recibirlos, el fabricante llamó para informar que por descuido se habían enviado tres aparatos defectuosos. Se decidió probar dos de estos ¿Cuál es la probabilidad que ninguno de los dos este defectuoso? • R/ 0.466667
  • 42. Ejercicio 4 : Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?. R/a. 0.815384 R/b. 0.184615
  • 43. ESPERANZA MATEMATICA DE UNA VARIABLE HIPERGEOMETRICA µ = E(X) = n*r N VARIANZA DE UNA VARIABLE HIPERGEOMETRICA σ2= E[(X - µ)2]
  • 44. Ejercicio • Un equipo de ingenieros está probando un nuevo material en una construcción. Según el fabricante existe una probabilidad de 95% de que el material supere ciertas condiciones extremas. Los ingenieros están realizando 10 pruebas y desean saber la probabilidad de que, de las diez pruebas: 1. Exactamente en dos casos el material no supere la prueba. 2. En cinco o más casos el material supere prueba. 3. En todos los casos el material supera la prueba.
  • 45. 1. Exactamente en dos casos el material no supere la prueba Binomial: n = 10 p = 0.05 q = 0.95 X=2 La probabilidad de que exactamente en dos casos el material no supere la prueba es de 7.46%.
  • 46. 2. En cinco o más casos el material supere prueba Binomial: n = 10 p = 0.95 q = 0.05 X≥5 La probabilidad de que en 5 o más casos el material supere la prueba es prácticamente de 100%.
  • 47. 3. En todos los casos el material supera la prueba Binomial: n = 10 p = 0.95 q = 0.05 X = 10 La probabilidad de que en todos los casos el material supere la prueba es 59.87%.
  • 48. Ejercicio • El jefe de un departamento de recursos humanos de una empresa grande, estudia con frecuencia el grado de satisfacción de los trabajadores dentro de la empresa, y ha encontrado que 5 de cada 12 empleados se siente insatisfecho con su salario. • Esta proporción se ha mantenido constante durante mucho tiempo. • Si se seleccionan aleatoriamente 8 personas ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de ellas se sientan insatisfechas con su salario?
  • 49. Exactamente 5 de ellas se sientan insatisfechas con su salario Binomial: n=8 p = 5/12 = 0.4166 q = 0.5834 X=5 La probabilidad de que exactamente cinco se muestren insatisfechos con su salario es de 13.95%.
  • 50. Ejercicio • Durante el plazo de inscripción para una actividad, la oficina encargada procesa aproximadamente 75 solicitudes por hora, en promedio, de acuerdo con un proceso de Poisson. • ¿Cuál es la probabilidad de que este proceso dé más de 80 solicitudes en una hora escogida al azar?
  • 51. Más de 80 solicitudes en una hora Poisson: = 75 X > 80 La probabilidad de que el proceso de más de 80 solicitudes en una hora es de 25.89%.
  • 52. Ejercicio • Un informe reciente de la revista Business Week, señalaba que 20 de cada 100 de los empleados roban algún artículo de la empresa cada año. • Calcule cada una de las siguientes probabilidades: 1. Menos de 5 empleados de un total de 12, roben a la empresa. 2. Exactamente 12 empleados de 15, no roben a la empresa. 3. Más de 8 de un total de 14, roben a la empresa. 4. Menos de 6 y más de 10 de un total de 12, roben a la empresa. R./ 0.9274, 0.2501, 0.0004, 0.9806
  • 53. Ejercicio • Se ha observado que en promedio 4 personas por mes solicitan vía Internet, un cierto modelo de cámara fotográfica digital, dada las ventajas tecnológicas que ofrece este medio de compra. • ¿Cuál es la probabilidad de que en un periodo de: 1. medio mes, exactamente 3 personas soliciten ese modelo de cámara? 2. mes y medio, se soliciten menos de 4 cámaras de ese modelo? 3. un mes, entre 6 y 12 personas (incluyendo los extremos), soliciten ese modelo de cámara? 4. ¿Cuántas cámaras, se espera sean solicitadas en un periodo de 3 meses?
  • 54. 1. medio mes, exactamente 3 personas soliciten ese modelo de cámara
  • 55. 2. mes y medio, se soliciten menos de 4 cámaras de ese modelo
  • 56. 3. un mes, entre 6 y 12 personas (incluyendo los extremos), soliciten ese modelo de cámara
  • 57. Ejercicio • Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. • Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes, determine: 1. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades a lo sumo dos se encuentren defectuosas? 3. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades por lo menos una se encuentre defectuosa?
  • 58. 1. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas? n = 10 p = 0,05 q = 0,95 P(X = 2) La probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas es de 7,46%.
  • 59. 2. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades a lo sumo dos se encuentren defectuosas? n = 10 p = 0,05 q = 0,95 P(X ≤ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) La probabilidad de que entre diez unidades se encuentren a lo sumo dos defectuosas es de 98,85%.
  • 60. 3. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades por lo menos una se encuentre defectuosa? n = 10 p = 0,05 q = 0,95 P(X ≥ 1) = = P(X=1) + P(X=2) +…+ P(X=10) = 1 – P(X = 0) La probabilidad de que entre diez unidades por lo menos una se encuentre defectuosa es de 40,13%.
  • 61. Ejercicio • Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. • Si el número promedio de estos fallos es ocho, determine: – ¿Cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas o menos? – ¿Cuál es la probabilidad de que fallen no más de dos componentes en 50 horas? – ¿Cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez componentes en 125 horas?
  • 62. ¿Cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas o menos?
  • 63. ¿Cuál es la probabilidad de que fallen no más de dos componentes en 50 horas?
  • 64. ¿Cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez componentes en 125 horas?
  • 65. Ejercicio • La contaminación constituye un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico. • El número de partículas de contaminación que ocurre en un disco óptico tiene una distribución de Poisson y el número promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del disco es 0.1. • El área de un disco bajo estudio es 100 centímetros cuadrados. • Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco bajo estudio.
  • 66. Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco bajo estudio
  • 67. Distribución Hipergeométrica (variable discreta) • Ejemplo:Un inspector de aduanas decide revisar 3 de 16 embarques. Si la selección es aleatoria y 5 de los embarques contienen contrabando encuentre las probabilidades de que el inspector de aduanas • a) No encuentre ningún embarque con contrabando • b) Encuentre contrabando
  • 68. Distribución Hipergeométrica (variable discreta) • Ejemplo 2: en un lote de 10 juegos de pólvora, 3 son defectuosos. Si se escogen 4 al azar, cual es la probabilidad de que los 4 sí funcionen? Y al menos 2 no exploten?
  • 69. Distribución Hipergeométrica (variable discreta) • Ejemplo 3: un grupo de 9 estudiantes de los cuales 4 son menores de edad, solicitan bebidas alcohólicas. ¿Cúal es la probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad si la mesera hace una verificación aleatoria de 5 identificaciones?