2. OBJETIVOS:
• Destacar la importancia de las relaciones
• Definir las Relaciones entre conjuntos y variables.
• Identificar el Dominio y Rango de una Relación.
3. DEFINICIÓN PREVIA: PRODUCTO
CARTESIANO
El producto cartesiano del conjunto A en el conjunto B
está definido por:
Ejemplo:
A = {3, 6, 9}
B = {2, 4}
AxB = {(3,2); (3,4); (6,2); (6,4); (9,2); (9,4)}
1era
Componente
2da
Componente
ByAxyxBA /,
7. • Ejemplo:
A = { , } B = { , , }
DIAGRAMA DE ÁRBOL
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
8. Ejemplo 01: Hallar AxB y su diagramas
Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 }
Ejemplo 02: Hallar AxB y su diagramas
sea: A ={1; 2; 3} B ={a ;b
RECESO
9. RELACIÓN
R es una relación de A en B, si y sólo si R está incluido en AxB. ( R ⊂ AxB)
194/,1 yxNNyxR
1,15;2,11;3,7;4,31 R
Ejemplos:
25/, 22
2 yxZZyxR
3,4;3,4;3,4;3,4;4,3;4,3;4,3;4,3;0,5;0,5;5,0;5,02 R
10. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
Dominio:
El Dom(R) es el conjunto
formado por las primeras
componentes de la relación.
Rango:
El Ran(R) es el conjunto
formado por las segundas
componentes de la relación.
Ejemplo:
R = {(3,4); (7,3); (11,2); (15,1)}
Dom(R) = {3, 7, 11, 15} y Ran(R) = {1, 2, 3, 4}
11. EJERCICIOS
Hallar el dominio y rango en las siguientes relaciones, definidas en RxR (R2):
135-)4
)3
2
23
)2
732)1
xy
xy
x
x
y
yx
2
12
)6
1)5 2
x
x
y
yx
12. Propiedades de las relaciones
definidas en un conjunto
• Si establecemos una relación entre los elementos de
un mismo conjunto, existen cinco propiedades
fundamentales que pueden cumplirse en esa
relación
• Propiedad reflexiva
• Propiedad simétrica
• Propiedad asimétrica
• Propiedad antisimétrica
• Propiedad transitiva
13. Propiedad reflexiva
• La propiedad reflexiva dice que todos los elementos
de un conjunto están relacionados con si mismo
R es reflexiva si para todo x A, el par (x,x) R
14. Propiedad simétrica
• La propiedad simétrica dice que si un elemento está
relacionado con otro, éste segundo también está
relacionado con el primero
R es simétrica si siempre que un par (x,y) R, el par (y,x) también
pertenece a R
15. Propiedad asimétrica
• Una relación es asimétrica si ningún par
ordenado de la relación cumple la propiedad
simétrica.
16. Propiedad antisimétrica
• Una relación es
antisimétrica cuando
sólo cumplen la
propiedad simétrica
los pares de
elementos iguales y
no la cumplen los
pares formados por
distintos elementos.
17. Propiedad transitiva
• La propiedad transitiva dice que si un elemento está
relacionado con otro y éste está a su vez relacionado
con un tercero, el primer elemento está relacionado
con el tercero.
R es transitiva si
x , y ,z , (x,y) R (y,z) R (x,z) R
18. EJEMPLOS
REFLEXIVA :
Dado el conjunto: A ={1; 2; 3} Hallar:
R ={(a;b) AxA/a=b}={(1;1),(2;2),(3;3)}
SIMETRICA
Dado el conjunto: A ={1; 2; 3} Hallar:
R ={(a;b) AxA/ a+b=4}={(1;3),(2;2),(3;1)}
Donde se observa que:
1 está relacionado con 3 y 3 esta relacionado con 1.
2 está relacionado con 2 y 2 esta relacionado con 2.
TRANSITIVO
Dado el conjunto: A ={1; 2; 3} Hallar:
R ={(a;b) AxA/ a<b}={(1;2),(1;3),(2;3)} Donde se observa que : 1 R 2 y 2 R 3, entonces 1 R 3
19. EJERCICIOS
01. Hallar el valor de m y n para que la relación:
R = { (2 , a), (m , 3b), (n , 6), (a , b +1) }
sea una relación simétrica, e indicar (m + n)
02. Sea R, una relación en A = {1, 2, 3, 4}, tal que:
R1 = { (1,2), (3,4), (4,3), (2,1), (3,3) }
R2 = { (x,y)/x > y }
R3 = { (x,y)/x + y = 4}
R4 = { (x,y)/x múltiplo de y}
R5 = { (x,y)/y = 2x}
R6 = { (x,y)/x + y = par}
Indicar cuáles son reflexiva, simétrica y transitiva.
03. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y R una relación en A determinada
mediante la regla: R = { (x,y) / y = 3 }
Determinar R por extensión.
04. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y sea R una relación definida en A por
R = { (x,y) / x + y = 8. Hallar n(R)
