vectores en el espaciio

2. En el espacio de tres dimensiones en el que vivimos,
podemos construir un sistema de coordenadas
rectangulares utilizando tres ejes mutuamente
ortogonales. El punto en el que estos ejes se cortan se
llama Origen.
El Sistema de coordenadas rectangulares utilizado en
vectores espaciales es el siguiente:

3. Cada par de ejes coordenados determina un plano
coordenado. El eje x y el eje y determinan el plano xy, el
eje x y el eje z determinan el plano xz, y el eje z y el eje y
determinan el plano yz.
Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho
regiones llamadas octantes. El octante en el que las tres
coordenadas de un punto son positivas se denomina
primer octante. No hay un acuerdo para denominar a los
otros siete octantes.

4. Así como en el plano existen dos vectores
unitarios i y j, en el espacio tenemos tres
vectores unitarios a lo largo de los ejes x, y , y z,
cuyos módulos son iguales a la unidad, y los
simbolizamos con i, j, y k, como en la siguiente
figura .

6. Definimos los vectores unitarios
i = (1,0,0)
j = (0,1,0)
k = (0,0,1)
Entonces, por lo anterior, cualquier vector se
puede expresar en la forma

7. El vector unitario se caracteriza por que su
longitud es la unidad y se define por la siguiente
relación:
Al obtener el unitario de cualquier vector estamos
extrayendo dos características principales que
son la dirección y sentido

9. La expresión del vector unitario es:
Cosenos Directores:
El modulo del vector unitario es:

10. Coordenadas Rectangulares:
En función de sus vectores base:
Coordenadas Polares:
Coordenadas Geográficas:

11. Para sumar o restar vectores en el espacio se debe
conocer previamente las componentes de los
vectores a lo largo de cada eje; seguido, se
adiciona o restan algebraicamente sus
componentes

12. Sean los vectores A=i-2j+3k y B=2i+3j-5k determinar A + B
A=i-2j+3k
B=2i+3j-5k
A + B=3i+j-2k
Cuyo modulo es

13.  Asociativa.- Si se suman primero dos vectores y luego
se suma un tercero, su resultante no cambia.
C+ (A +B ) = (B+C ) + A
 Conmutativa.- El orden de los vectores no altera su
resultante.
A+B = B+A
 Elemento neutro.- Si se suma un vector con un vector
nulo, su resultado es el mismo vector.
A+O = A
 Elemento opuesto.- La suma de un vector con su
vector negativo. Su resultado es nulo (cero).
A+(-A)= 0

14. El producto de un escalar n por un vector A nos da como
resultado un nuevo vector B=nA; en donde el modulo es n
veces la longitud del vector A y cuya direccion y sentido
conincide con la del vector A si n>0, y es opuesta a la de
A si n<0. Si n=0, la longitud es igual cero y el vector se
convierte en nulo.

15. 1. Conmutativa : nA= An
2. Asociativa: n(mA)= (nm)A
3. Distributiva Escalar: (m+n)A= mA+nA
4. Distributiva Vectorial: n(A+B)= nA+nB

16. Si los vectores están en el espacio, su producto escalar
se define de la misma forma que en el plano:
A•B= ABcosθ
Donde θ, es el ángulo formado por los vectores, cuando parten de un
mismo origen

17. 1. Conmutativa : A•B= B•A
2. Asociativa: n(A•B)= (n A)•B
3. Distributiva: C• (A+B)= C• A+ C• B
4. El producto escalar de un vector no nulo por sí
mismo siempre es positivo: A≠0⇒ A•A>0

18. 1.Cuando dos vectores son paralelos “”
2. Cuando dos vectores son perpendiculares “⊥”

19. 3. Cuando multiplicamos escalarmente los vectores
unitarios, obtenemos:
Es decir:
0ˆˆˆˆ
0ˆˆˆˆ
0ˆˆˆˆ
=⋅=⋅
=⋅=⋅
=⋅=⋅
ikki
jkkj
ijji
1ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ kkjjii

20. 4. Sean los siguientes vectores:
El resultado es un escalar (NO VECTOR)
kbjbibB
kajaiaA
zyx
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
++=
++=


BAC

⋅=
)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kbjbibkajaiaC zyxzyx ++⋅++=
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
kkbajkbaikba
kjbajjbaijba
kibajibaiibaC
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ( kkbajjbaiibaC zzyyxx ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
zzyyxx bababaC ⋅+⋅+⋅=

21. El producto cruz o producto vectorial de dos vectores
es otro vector cuya dirección es perpendicular a los
dos vectores y su sentido sería igual al avance de un
sacacorchos al girar de A a B. Su módulo es igual a:
AxB = ABsenθ

22. iˆ
jˆ
kˆ
X
=
( + )

23. iˆ
jˆ
kˆ
X
=
( - )

24. Sean los vectores:
Derterminar:
kjiB
kjiA
ˆ4ˆ2ˆ1
ˆ3ˆ1ˆ2
++=
++=


BAC

×=
)ˆˆ(6)ˆˆ(3
)ˆˆ(4)ˆˆ(1)ˆˆ(8)ˆˆ(4
)ˆ4ˆ2ˆ1()ˆ3ˆ1ˆ2(
jkik
kjijkijiC
kjikjiBAC
×+×+
+×+×+×+×=
++×++=×=


)ˆ(6ˆ3ˆ4)ˆ(1)ˆ(8ˆ4 ijikjkC −+++−+−+=

iC ˆ2−=

jˆ5− kˆ3+