Este documento introduce un nuevo paradigma para los números reales basado en una definición restringida de cotas superior e inferior y en el Axioma de Discontinuidad-Completitud. El paradigma propone que cualquier conjunto acotado de números reales tiene supremo o máximo, resolviendo anomalías en el paradigma clásico. Se redefinen conceptos como límite, continuidad y derivada bajo este nuevo marco teórico.

1. TRABAJO DE ASCENSO:
PARADIGMA EMERGENTE DE
DISCONTINUIDAD-
COMPLETITUD DE LOS
NÚMEROS REALES
(MODALIDAD INVESTIGACIÓN)
Mayo del 2018 CRUZ ANTONIO SUÁREZ

2. RESUMEN
En el presente trabajo se
introduce y propone un paradigma
emergente de discontinuidad y
completitud de los números reales,
fundamentado en la definición
restringida de cotas superiores
(inferiores) y en el denominado
Axioma de Discontinuidad y
Completitud de ℝ.

3. OBJETIVO GENERAL
Proponer un Paradigma Emergente de
Discontinuidad-Completitud de los números
reales.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1.- Describir las anomalías del paradigma clásico
de continuidad de los números reales.
2.- Redefinir los conceptos de cota superior e
inferior de un conjunto de números reales S.
3.- Introducir el Axioma de Discontinuidad-
Completitud de los números reales.
4.- Establecer el conjunto de los números reales
como cuerpo ordenado, discontinuo y completo.
5.- Redefinir el concepto de límite de funciones
reales.
6.- Introducir la definición de función contigua
en un punto y en un conjunto.

4. INTRODUCCIÓN
EL DESCUBRIMIENTO DEL CÁLCULO (SIGLO XVII)
“La división del continuo no debe ser considerada
como la arena en granos, sino como la de una hoja de papel
o una túnica en pliegues, de tal manera que pueda tener una
infinidad de pliegues, unos más pequeños que otros, sin que
el cuerpo se disuelva jamás en puntos o mínim.” Leibnitz
NEWTON Y LEIBNITZ

5. INTRODUCCIÓN
R. DEDEKIND
(1831-1916)
G. CANTOR
(1845-1918)
LA ARITMETIZACIÓN DEL ANÁLISIS (1872)
En 1872 Dedekind, usando cortaduras, y
Cantor, con sucesiones de Cauchy, publican por
separado sus construcciones de los números
reales, estableciendo así los fundamentos del
Análisis Real moderno y eliminando la noción
original y uso de los infinitesimales, por lo menos
hasta 1961…
BOLZANO, CAUCHY Y WEIERTRASS

6. INTRODUCCIÓN
CONTINUIDAD VS DISCONTINUIDAD:
DEDEKIND VS WEYL Y BROUWER
RICHARD DEDEKIND
(1831-1916)
L. BROUWER
(1881-1966)
H. WEYL
(1885-1955)

7. INTRODUCCIÓN
EL ANTIGUO
CÁLCULO
INFINITESIMAL
DE LEIBNITZ
“EL SISTEMA DE LOS
NÚMEROS
HIPERREALES R*
permite abrir una
imprescindible
reinterpretación de
la matemática clásica
y la posibilidad de
esclarecer los
problemas no
resueltos por la
misma.“
Yu Takeuchi
(1927-2014)
A. ROBINSON
( 1918-1974 )

8. DEFINICIONES Y RESULTADOS GENERALES
Definición 1.1.- Sea S un conjunto de números reales. Si
existe un número real b tal que x ≤ b para todo x de S,
diremos que b es una cota superior de S y que S está
acotado superiormente por b.
Definición 1.2.- Sea S un conjunto de números reales acotado
superiormente. Un número real b se denomina extremo superior
o supremo de S, si verifica las dos propiedades siguientes:
a.- b es una cota superior de S.
b.- Ningún número menor que b es cota superior de S.
En este caso se dice que b = sup S.

9. DEFINICIONES Y RESULTADOS GENERALES
Axioma 1.1- (Axioma de Completitud).- Todo conjunto
no vacío S de números reales que esté acotado
superiormente admite supremo, es decir, existe un
número real b tal que b = sup S.
Teorema 1.3.- Una sucesión de números reales es
convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy
(ℝ es completo).
Definición 1.13.- Sea α en ℝ*, entonces α es un número
infinitesimal si y sólo si | α | < k, para todo real positivo k.
Corolario 1.1.- El conjunto de los números hiperreales ℝ* no
es completo.

10. ANOMALÍAS DEL PARADIGMA CLÁSICO
“El análisis está edificado sobre arena”
H. Weyl (1885-1955)
1.- La equipotencia de la recta geométrica con la
numérica.
2.- La coexistencia de la densidad numérica con la
continuidad.
3.- Las discontinuidades de la recta hiperreal *L
vs la “continuidad” de la recta real L.

11. ANOMALÍAS DEL PARADIGMA CLÁSICO
“Cada célula de este poderoso organismo (por así decirlo)
está permeado por la contradicción”
H. Weyl (1885-1955)
4.-La existencia de subconjuntos de números
reales distintos de los intervalos abiertos y/o
cerrados (no caen en la categoría de conjuntos
“continuos”), que a pesar de cumplir con las
definiciones de límite, continuidad y derivada,
no son admitidos en la teoría.

12. “Hay que tomarse la molestia de inventar su propio paradigma.
Hay que tomar algún riesgo y disponerse a inventar,
a pensar con cierta audacia.” Rigoberto Lanz (1945 -2013)
Ejemplo: Sea S = {x}, x un número real. En este caso se
observa que S se encuentra acotado superior e inferiormente,
no obstante carece de supremo e ínfimo. Por otra parte
parte, máx (S) = mín (S) =x. Aquí se evidencia que el conjunto
S se encuentra aislado totalmente de su entorno numérico.
AXIOMA DE DISCONTINUIDAD-COMPLETITUD

13. AXIOMA DE DISCONTINUIDAD-COMPLETITUD
Proposición 2.1 (Propiedad de la aproximación del supremo)
Sea S un conjunto no vacío de números reales con supremo
sup (S) = b. Entonces, para cada a<b, existe un x de S tal que
a<x<b.
Proposición 2.2
Sea S un conjunto acotado superiormente. Si S tiene máximo
elemento, entonces S no tiene supremo.
Corolario 2.1
Sea S un conjunto acotado superiormente. Si S tiene supremo,
entonces no tiene máximo elemento.
Corolario 2.2
Sea S un subconjunto finito de ℝ, entonces S no tiene
supremo ni ínfimo.

14. “O inventamos o erramos”
Simón Rodríguez (1771 -1854)
EL AXIOMA DE DISCONTINUIDAD-COMPLETITUD
“Todo conjunto no vacío S de números reales,
acotado superiormente tiene supremo o máximo.”

15. LOS NÚMEROS REALES COMO CUERPO
ORDENADO, DISCONTINUO Y COMPLETO
“El destino de las nuevas verdades es comenzar como herejía.”
Thomas Huxley (1825-1895)
Definición 4.1.- (Sucesión acotada)
Una sucesión X = {xn} de números reales es acotada si existe
un número real M>0 tal que | xn |<M para todo n en los
números naturales.
Teorema 4.1. Una sucesión convergente de números reales es
acotada.

16. LOS NÚMEROS REALES COMO CUERPO
ORDENADO, DISCONTINUO Y COMPLETO

17. LOS NÚMEROS REALES COMO CUERPO
ORDENADO, DISCONTINUO Y COMPLETO
Teorema 4.3 (Teorema de la sub-sucesión monótona)
Si X = {xn} es una sucesión de números naturales,
entonces existe una subsucesión de X que es monótona.
Teorema 4.4 (Teorema de Bolzano-Weierstrass para sucesiones)
Toda sucesión acotada de números reales tiene una sub-
sucesión convergente.
Lema 4.1
Si X = { xn } es una sucesión convergente de números
reales, entonces X es una sucesión de Cauchy.

18. LOS NÚMEROS REALES COMO CUERPO
ORDENADO, DISCONTINUO Y COMPLETO
Lema 4.2
Toda sucesión de Cauchy de números reales es acotada.

19. LÍMITE, CONTIGUIDAD Y DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN EL
PARADIGMA DE DISCONTINUIDAD-COMPLETITUD DE ℝ
“La lógica te lleva del punto a al punto b, la imaginación
te lleva a todas partes”
A. Einstein (1879-1955)
Definición 5.3.- (Entorno General)
Sea a un número real y B un subconjunto de (a – δ, a + δ),
se dice que B es un entorno de a, si para todo β < δ,
existe x en B tal que |x - a | < β.
Definición 5.6.- (Punto de acumulación general)
Sea S un subconjunto de números reales y x un número
real, entonces x se llama punto de acumulación de S si
cada δ – entorno (general) contiene por lo menos un punto
de S distinto de x.

20. • “La lógica te lleva del punto a al punto
b, la imaginación
• te lleva a todas partes”
• A. Einstein (1879-1955)
LÍMITE, CONTIGUIDAD Y DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN EL
PARADIGMA DE DISCONTINUIDAD-COMPLETITUD DE ℝ
Definición 5.7.- (Conjunto Contiguo Tipo I)
Sea S un subconjunto de los números reales, se dice que S
es un conjunto contiguo tipo I si es un intervalo.
Definición 5.8.- (Conjunto contiguo Tipo II)
Sea S un subconjunto de los números reales, se dice que S
es un conjunto contiguo tipo II, si todos sus puntos son de
acumulación y no es contiguo tipo I.
Definición 5.9.- (Conjunto contiguo general)
Sea S un subconjunto de los números reales, se dice que S
es un conjunto contiguo general, si todos sus puntos son de
acumulación.
CONJUNTO CONTIGUO

21. • “La lógica te lleva del punto a al punto
b, la imaginación
• te lleva a todas partes”
• A. Einstein (1879-1955)
LÍMITE, CONTIGUIDAD Y DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN EL
PARADIGMA DE DISCONTINUIDAD-COMPLETITUD DE ℝ

22. • “La lógica te lleva del punto a al punto
b, la imaginación
• te lleva a todas partes”
• A. Einstein (1879-1955)
LÍMITE, CONTIGUIDAD Y DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN EL
PARADIGMA DE DISCONTINUIDAD-COMPLETITUD DE ℝ
Definición 5.12.- Función contigua en un conjunto.
Sea f una función real y A un subconjunto de números reales,
entonces se dice que f es contigua en A si es contigua en
cada uno de sus puntos.
Definición 5.13.- Derivada de una función en un punto.
Sea f una función real, f: S → ℝ, se dice que f es derivable en
el punto x = a de S, si existe un entorno de a tal que:

23. SOLUCIÓN A LAS ANOMALÍAS DEL
PARADIGMA CLÁSICO
“Cualquiera que haya intervenido seriamente en trabajos científicos,
sabe que sobre la entrada a las puertas del templo de la ciencia están
escritas estas palabras: debes tener fe.”
MAX PLANCK (1858-1947)
ANOMALÍAS I, II Y III DISCONTINUIDAD DE ℝSOLUCIÓN
ANOMALÍA IV CONSTRUCCIÓN CONCEPTUALSOLUCIÓN
ANOMALÍA V APLICACIÓN CONCRETASOLUCIÓN

24. REFLEXIONES, PROBLEMAS ABIERTOS Y
PERSPECTIVAS
“Hay buenas razones para creer que el análisis no-estándar,
en una versión o en otra, será el análisis del futuro.”
Kurt Godel (1906-1978)
LAS DISCONTINUIDADES DE LA RECTA REAL: ¿UN TEMA IRRELEVANTE?
Teorema 7.1: Sea el intervalo abierto S = (0,1), subconjunto
de ℝ, entonces S en no numerable. Además, bajo la hipótesis
del continuo S es equipotente a ℝ.
Teorema 7.2: Sea el intervalo infinitesimal abierto S = (β, δ),
con β y δ números infinitesimales hiperreales y β < δ,
entonces bajo la hipótesis del continuo S es equipotente a ℝ*.

25. ES
REFLEXIONES, PROBLEMAS ABIERTOS Y
PERSPECTIVAS
ESTRUCTURA DISCONTINUA DE L* Y L
µ(a)
L*
ZODI 1
ZODI 2
ZODI 1
ZODI 2L
.a

26. REFLEXIONES, PROBLEMAS ABIERTOS Y
PERSPECTIVAS
µ(a)
a
LA RECTA REAL, ¿CASI UN COMPLETO VACÍO?
¿QUÉ MIDE REALMENTE LA INTEGRAL DEFINIDA?
¿Nunca salimos de las bases geométricas del cálculo?
«Nada existe, excepto átomos y espacio vacío; lo demás es opinión.»
Demócrito de Abdera (460-370 a.C)

27. Juan M. González
“En la complejidad es posible observar que dentro de
la línea hay una sucesión de puntos en el espacio y
que dentro de ellos hay más por descubrir.”
!MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCIÓN!

28. REFERENCIAS
Bartle, Robert y Sherbert, Donald (2000). Introduction to
Real Analysis. Tercera edición, John Wiley and Sons. Inc, New
York, 2000.
Bell, John (2000). Hermann Weyl sobre la intuición y el
continuum. Philosophia Mathematica (3), 8, 2000.
De Lorenzo, Javier (1998) La Matemáticas: De sus
Fundamentos y Crisis. Editorial Tecnos, S.A, Madrid, 1998.
Dedekind, Richard (1927). Continuidad y Números
Irracionales. Quinta edición, 1927.
Dou, Alberto (1970). Fundamentos de la matemática.
Editorial Labor, S.A., Barcelona, España, 1970.
Godel, Kurt (2006). Obras completas. Alianza Editorial,
Madrid, 2006.
Kuhn, Thomas (1971). La Estructura de las Revoluciones
Científicas. Fondo de Cultura Económica, México, 1971.
Morín, Edgar (1998). Introducción al pensamiento
complejo. Gedisa Editorial, Barcelona, 1998.
Robinson, Abraham (1966). Non-standard Analysis.
Princenton, 1966
Takeuchi, Yu (1988). Métodos Analíticos del Análisis no
Standar. Universidad Nacional de Colombia. Bogotá, Colombia,
1988.