Este documento resume una conferencia sobre si los números reales forman un sistema realmente continuo o si podrían existir discontinuidades. Se revisa brevemente el descubrimiento del cálculo infinitesimal y la construcción posterior de los números reales como un conjunto denso y continuo. Sin embargo, también se mencionan algunas anomalías en esta teoría clásica que podrían apuntar a la existencia de discontinuidades. Finalmente, se propone un paradigma emergente de discontinuidad de los números reales.

1. II CONGRESO DE INVESTIGACIÓN E INNOVACIÓN UPTOS
“CLODOSBALDO RUSSIÁN” 2017
CONFERENCIA:
¿ES REALMENTE CONTINUO EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES ?
HACIA UN PARADIGMA EMERGENTE DE DISCONTINUIDAD DE LOS
NÚMEROS REALES
CRUZ ANTONIO SUÁREZ CUMANÁ, 27 DE JUNIO DE 2017

2. DESCUBRIMIENTO DEL CÁLCULO
GOTTFRIED LEIBNITZ
(1646-1716)
ISAAC NEWTON
(1642-1727)
En el siglo XVII, Newton (Método de las
fluxiones) y Leibnitz (Cálculo diferencial e
integral) logran resolver los tres grandes
retos matemáticos del siglo: los problemas
de máximos y mínimos, el cálculo de la
recta tangente y el problema de las
cuadraturas.

3. LA ARITMETIZACIÓN DEL ANÁLISIS
Proceso realizado por algunos
matemáticos a finales del siglo
XIX, consistente en construir
una teoría de números reales
usando construcciones
teóricas de conjuntos, con el
fin de darle una base
aritmética al análisis.
BOLZANO
CAUCHY WEIERTRASS
CANTOR
DEDEKIND

4. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
RICHARD DEDEKIND
(1831-1916)
GEORGE CANTOR
(1845- 1918)
En 1872 Dedekind, usando cortaduras, y Cantor,
con sucesiones de Cauchy, publicaron por
separado sus construcciones de los números
reales, estableciendo así los fundamentos del
Análisis Real y eliminando la noción original y uso
de los infinitesimales, por lo menos hasta 1961…
“Los infinitesimalesson castillos en el aire, o más bien
simplemente absurdos”G. Cantor

5. IDEAS SOBRE CONTINUIDAD
Continuidad: “…, completud, ausencia de
lagunas…”
El discontinuo se puede hacer continuo
“…rellenando…sus huecos…mediante la
creación de nuevos individuos puntuales…”R. Dedekind
(1831-1916)
El continuo “no se disuelve en un conjunto de
números reales como entidades terminadas.”
El continuo “no es la unión de dos partes no vacías
disjuntas...”
“Una auténtica continuidad no se puede dividir en
fragmentos separados.”
L. Brouwer
(1881-1966)

6. LA CONTINUIDAD NUMÉRICA SEGÚN DEDEKIND
“ Encuentro la esencia de la continuidad en el siguiente
principio:
Si se reparten todos los puntos de la recta en dos clases,
tales que cada punto de la primera clase esta situado a
la izquierda de cada punto de la segunda clase,
entonces existe un único punto que determina esta
partición de todos los puntos en dos clases, este corta a
la recta en dos partes.” Richard Dedekind (1872)

7. LA CONTINUIDAD NUMÉRICA SEGÚN DEDEKIND

8. LAS CORTADURAS DE DEDEKIND
UNA CORTADURA(NÚMERO REAL) ES UN CONJUNTO α, DE NÚMEROS
RACIONALES, CON LAS CUATRO SIGUIENTES PROPIEDADES:
1.- SI X ESTÁ EN α E Y ES UN NÚMERO RACIONAL CON Y< X, ENTONCES Y
TAMBIÉN ESTÁ EN α.
2.- α ≠ Ø.
3.- α ≠ Q.
4.- NO EXISTE NINGÚN ELEMENTO MÁXIMO EN α : DICHO DE OTRO MODO,
SI X ESTÁ EN α, ENTONCES EXISTE ALGÚN Y EN α TAL QUE Y > X.
α = { x en Q : x < 0 o x² < 2 }

9. MODELO CLÁSICO DE DISCONTINUIDAD
MODELO CÓNCAVO-CONVEXO
(DISCONTINUIDADES PUNTUALES)

10. EXPLORANDO EL TAMAÑO DE LAS
DISCONTINUIDADES
MEDIANTE ESTE ENFOQUE SE PRETENDE CARACTERIZAR LAS
DISCONTINUIDADES DE UN CONJUNTONUMÉRICO MEDIANTE SU “TAMAÑO” O
LONGITUD Y SU ESTRUCTURA .
NIVEL III
NIVEL II
NIVEL I
NÚCLEO

11. LA RESURRECCIÓN DE LOS INFINITESIMALES
ABRAHAM ROBINSON
(1918-1974)
“En 1961 Abraham Robinson demostró la
existencia de una extensión de los números
reales, llamado EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS
HIPERREALES R*, re-estableciendo en forma
legítima el antiguo cálculo infinitesimal de
Leibnitz y abriendo, por otra parte, una
imprescindible reinterpretación de la
matemática clásica y la posibilidad de
esclarecer los problemas no resueltos por la
misma. “ Yu Takeuchi (1988)

12. INFINITESIMALESE INFINITOS
LOS NÚMEROS INFINITESIMALES PERMANECIERON EN
ANIMACIÓN SUSPENDIDA DURANTE 89 AÑOS (1872-1961), HASTA
QUE ABRAHAM ROBINSON LOS REANIMA EN 1961…
NÚMERO INFINITESIMAL δ:
0<|δ| < r, PARA TODO NÚMERO REAL POSITIVO r.
NÚMERO INFINITO Ω :
|Ω| > r, PARA TODO NÚMERO REAL r.

13. LA ILUSIÓN DE CONTINUIDAD EN EL MUNDO FÍSICO
EL MOVIMIENTO
ELECTRONES
CREA LA ILUSIÓN
CONTINUIDAD

14. LA ILUSIÓN DE CONTINUIDAD EN MATEMÁTICA
EL MOVIMIENTO DE LAS VARIABLES CREA LA ILUSIÓN DE CONTINUIDAD
Para todo ε>0 existe
δ>0,
tal que |f(x) - L| < ε
siempre que 0<|X- a| < δ

15. ANOMALÍAS Y PARADIGMA EMERGENTE
THOMAS KUHN
(1922-1996)
PARADIGMA: “Realizaciones científicas
universalmente reconocidas que, durante un
cierto tiempo, proporcionan modelos de
problemas y soluciones a una comunidad
científica.” (Kuhn. 1971)
REVOLUCIONES CIENTÍFICAS: “La transición
de un paradigma en crisis a otro nuevo del
que pueda surgir una nueva tradición de
ciencia normal.” (Kuhn, 1971)

16. ANOMALÍAS EN LA TEORÍA CLÁSICA
CON RESPECTO A :
1.- LA EQUIPOTENCIA DE LA RECTA GEOMÉTRICA CON LA
NUMÉRICA.
2.- PROPIEDAD DE DENSIDAD NUMÉRICA Y CONTINUIDAD
3.- LAS DISCONTINUIDADES DE LA RECTA HIPERREAL *R
(EXISTENCIA DE CONJUNTOS ACOTADOS SIN SUP Y/O INF).

17. ANOMALÍAS EN LA TEORÍA CLÁSICA
CON RESPECTO A :
4.- LA EXISTENCIA DE SUBCONJUNTOS DE NÚMEROS REALES
DISTINTOS A LOS INTERVALOS ABIERTOS Y/O CERRADOS
( NO CAEN EN LA CATEGORÍA DE CONJUNTOS CONTINUOS),
QUE CUMPLEN CON LAS DEFINICIONES DE LÍMITE,
CONTINUIDAD Y DERIVADA.

18. RECTA GEOMÉTRICA Y RECTA NUMÉRICA
RECTA NUMÉRICA
CONSTITUIDA POR LOS NÚMEROS REALES, TAMBIÉN CONOCIDA
COMO RECTA REAL.
RECTA GEOMÉTRICA
1.- SUCESIÓN CONTINUA DE PUNTOS.
2.- CONJUNTODE PUNTOS QUE SE DISPONEN DE MANERA SUCESIVA Y
CONTINUA, ES DECIR SIN INTERRUPCIONES.
3.- SEGUIDILLA DE PUNTOS QUE SE EXTIENDEN INDEFINIDAMENTEY DE MANERA
CONTINUAEN UNA DIRECCIÓN.
4.- SERIE DE PUNTOS CONTINUOS Y UNIDOS ENTRE SI, DONDE TERMINA UNO
EMPIEZA OTRO.

19. ¿EQUIPOTENCIA: RECTA GEOMÉTRICA Y
RECTA NUMÉRICA?
MN
M α
N ?

20. DENSIDAD NUMÉRICA Y CONTINUIDAD
(NO EXISTENCIA DE DISCONTINUIDADES PUNTUALES)
LAS DISCONTINUIDADES DE LOS RACIONALES Q
Y DE LOS IRRACIONALES I
PROPOSICIÓN 1.- Dado a en Q, entonces para cualquier
b en R ( en particular en I ), b ≠ a, |a – b | > 0.
PROPOSICIÓN 2.- Dado a en I, entonces para cualquier
b en R ( en particular en Q ), b ≠ a, |a – b | > 0.

21. LAS DISCONTINUIDADES DE LA RECTA HIPERREAL
-3 -2 -1 0 1 2…… ……
…… -3 -2 -1 0 1 2 ……

22. LAS DISCONTINUIDADES DE LA RECTA HIPERREAL
NÚMERO
REAL: a
µ(X)- {X}
ZONA
DISCONTINUA
DE *R

23. NÚMERO
REAL: a
DISCONTINUIDAD
TIPO I
DISCONTINUIDAD
TIPO II
MODELO ALTERNATIVO DE DISCONTINUIDADES
DE LA RECTA REAL

24. EQUIPOTENCIA DE UN INTERVALO
INFINITESIMAL CON R
“EN LA MÍNIMA PARTÍCULA SE ENCUENTRA REFLEJADO EL UNIVERSO ENTERO”
G. LEIBNITZ

25. LA RECTA REAL … CASI UN COMPLETO VACÍO
“El destino de las nuevas verdades es comenzar como herejía.”
Thomas Huxley
X Y Z… ?… …?…

26. ¿QUÉ MIDE REALMENTE LA INTEGRAL DEFINIDA?
LA ARITMÉTICA HA SIDO FORZADA A USURPAR UNA TAREA QUE ES DE EXCLUSIVA
COMPETENCIADE LA GEOMETRÍA.
¿POR QUÉ EL RESULTADO
DEL CÁLCULO DE ÁREA,
UTILIZANDO LA INTEGRAL
DEFINIDA, ES EN GENERAL
DISTINTO DE CERO?...
¿m(R) = 0?

27. ¿UNA CUARTA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS?
1RA. CRISIS EN LA FUNDAMENTACIÓN PITAGÓRICA DE LA
MATEMÁTICA
CAUSA: EL DESCUBRIMIENTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES POR PARTE DE LOS
PITAGÓRICOS.
2DA. CRISIS EN LA FUNDAMENTACIÓN EUCLIDEANA DE LA
MATEMÁTICA
CAUSA: SURGIMIENTO DE LAS GEOMETRÍAS NO EUCLIDEANAS.
3RA. CRISIS EN LA FUNDAMENTACIÓN CANTORIANA DE LA
MATEMÁTICA
CAUSA: EL SURGIMIENTO DE LAS PARADOJAS EN LA TEORÍA DE CONJUNTOS,
ORIGINANDO LAS ESCUELAS LOGICISTA, FORMALISTA E INTUCIONISTA, QUE TRATARON DE
DARLE BASES SÓLIDAS A LA MATEMÁTICA. EL TEOREMA DE GODEL PUSO FIN A LA
CONTROVERSIA.
¿ 4TA. CRISIS EN LA FUNDAMENTACIÓN ARITMÉTICA DEL ANÁLISIS?

28. “La revisión periódica de los objetos y teorías
matemáticas, a la luz de los nuevos avances y
desarrollos teóricos, permite cambiar, ampliar o
reconstruir la visión de los mismos, ya que a
través del conocimiento de las circunstancias
históricas que les dieron origen, se tienen los
medios para añadir a estos, elementos de la
teoría actual que amplíen su marco de validez.”
Eimmy Zafra (2012)
REPENSANDO LAS TEORÍAS Y OBJETOS MATEMÁTICOS

29. HACIA UN
PARADIGMA
EMERGENTE DE
DISCONTINUIDAD DE
LOS NÚMEROS REALES

30. CONSECUENCIAS DEL PARADIGMA EMERGENTE
DE DISCONTINUIDAD (P.E.D)
NÚMEROS REALES CONTINUOS Y NÚMEROS REALES DISCONTINUOS
REALES CONTINUOS: REALES DISCONTINUOS:
1.- CUERPO 1.- CUERPO
2.- ORDENADO 2.- ORDENADO
3.- COMPLETO 3.- NO COMPLETO

31. PARADIGMA REAL DISCONTINUO Y TEOREMA DE GODEL
“Para mí, el teorema de Gödel, produciendo una brecha irreparable en todo sistema
axiomático, permite concebir la teoría y la lógica como sistemas abiertos.” E. MORÍN
KURT GODEL
(1906-1978)
TEOREMA DE GODEL: En 1931 Kurt Gödel
publica un artículo titulado: “Sobre
proposiciones formalmente no decidibles en
Principia Mathematica y sistemas relacionados”,
mediante el cual se establece la incompletitud
de las matemáticas y del conocimiento científico
en general.

32. CONSECUENCIAS DEL PARADIGMA EMERGENTE
DE DISCONTINUIDAD (P.E.D)

33. PARADIGMA REAL DISCONTINUO Y CONJUNTOS FRACTÁLICOS

34. MULTIVERSOS NUMÉRICOS

35. MULTIVERSOS NUMÉRICOS Y PENSAMIENTO COMPLEJO
…FUNCIONES QUE ENTRAN Y SALEN DE UN UNIVERSO NUMÉRICOA OTRO…
“Para comprender al número, debes convertirte en número” C.A.S

36. PARADIGMA REAL DISCONTINUO Y PARADIGMA DE LA
COMPLEJIDAD
EDGAR MORÍN
Paradigma
Complejo
Principio del
Bucle
Recursivo
Principio
Holográmico
Principio de auto-eco-
Organización
Principio
Dialógico
Principio
Sistémico
Principio
De
Reintroducción
Principio
de
Retroalimentación

38. “Nosotros (la indivisa Divinidad que opera en nosotros) hemos soñado
el mundo. Lo hemos soñado resistente, misterioso, visible, ubicuo en
el espacio y firme en el tiempo; pero hemos consentido en su
arquitectura tenues y eternos intersticios de sinrazón para saber que
es falso”
JORGE LUIS BORGES