Subespacios vectoriales
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Presentación con las propiedades y ejemplos de algunos espacios vectoriales.
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- 2. Subespacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Subespacio Vectorial Subespacio Vectorial Subespacios Vectoriales Braian Moreno Cifuentes Departamento de Matem´aticas, F´ısica y Estad´ıstica Universidad de La Sabana ´Algebra Lineal Subespacios Vectoriales
- 3. Subespacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Subespacio Vectorial Subespacio Vectorial En esta presentaci´on, se define un subespacio vectorial y la importancia que tiene entenderlos. Es importante saber la relaci´on entre un espacio y un subespacio vectorial. ´Algebra Lineal Subespacios Vectoriales
- 4. Subespacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Subespacio Vectorial Subespacio Vectorial Definici´on Se dice que H es un subespacio vectorial de V si H es un subconjunto no vac´ıo de V , y H es un espacio vectorial, junto con las operaciones de suma entre vectores y multiplicaci´on por un escalar definidas para V . Es decir, H hereda las propiedades de V . ´Algebra Lineal Subespacios Vectoriales
- 5. Subespacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Subespacio Vectorial Subespacio Vectorial Teorema Un subconjunto no vac´ıo H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos propiedades de cerradura: • Si x ∈ H y y ∈ H, entonces x + y ∈ H. • Si x ∈ H, entonces αx ∈ H para todo escalar α. ´Algebra Lineal Subespacios Vectoriales
- 6. Subespacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Subespacio Vectorial Subespacio Vectorial Algunos subespacios vectoriales son: • Conjunto de rectas que pasan por el origen y sean subconjunto de Rn . • Planos metidos en el espacio y que contengan a 0. • Subconjunto en si mismo (subespacios propios). • Polinomios de orden 5. • Matrices triangulares superiores. Es importante tener en cuenta que el conjunto con las operaciones dadas son subespacios vectoriales si cumplen las propiedades de cerradura. ´Algebra Lineal Subespacios Vectoriales
- 7. Subespacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Subespacio Vectorial Subespacio Vectorial Para tener en cuenta: Un conjunto siempre tiene un subconjunto propio; es decir, si quiere mostrar que cierto conjunto es un espacio vectorial, basta con mostrar las propiedades de cerradura, teniendo claro que ´este est´a contenido en si mismo. A es subconjunto propio de B si todo elemento de A est´a contenido en B. ´Algebra Lineal Subespacios Vectoriales
- 8. Subespacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Subespacio Vectorial Subespacio Vectorial Ejemplo Considerar el conjunto W de matrices 2 × 3 que tienen la forma dada por: W = a b 0 0 c d Donde a, b, c y d son n´umeros reales arbitrarios. W es un subespacio vectorial de Mm×n ya que cumple las condiciones del teorema. ´Algebra Lineal Subespacios Vectoriales
- 9. Subespacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Subespacio Vectorial Subespacio Vectorial ¿Qu´e subconjuntos de R2 , con las operaciones usuales de suma y producto por escalar son subespacios vectoriales? ´Algebra Lineal Subespacios Vectoriales
- 10. Subespacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Subespacio Vectorial Subespacio Vectorial Ejemplo Considerar el sistema homog´eneo Ax = 0, donde Am×n y x ∈ Rn . Sea H el subconjunto de Rn formado por todas las soluciones de dicho sistema. H es un subespacio de Rn ya que cumple con las dos propiedades del teorema. ´Algebra Lineal Subespacios Vectoriales
- 11. Subespacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Subespacio Vectorial Subespacio Vectorial Demostraci´on • Se supone que x y y son soluciones; es decir Ax = 0 y Ay = 0. Entonces: A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0. y cumple con la condici´on. • Por otro lado, si se supone que α es un escalar, entonces: A(αx) = α(Ax) = α0 = 0. As´ı, αx tambi´en es soluci´on. As´ı, se concluye que H es un subespacio de Rn . ´Algebra Lineal Subespacios Vectoriales
- 12. Subespacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Subespacio Vectorial Subespacio Vectorial El subespacio H del ejemplo anterior recibe el nombre de espacio soluci´on del sistema homog´eneo Ax = 0, o espacio nulo de la matriz Am×n. Para tener en cuenta El conjunto de soluciones del sistema lineal Ax = b, donde Am×n y x ∈ Rn no es un subespacio de Rn , si b = 0. (Ejercicio propuesto). ´Algebra Lineal Subespacios Vectoriales
- 13. Subespacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Subespacio Vectorial Subespacio Vectorial Teorema Sean H1 y H2 dos subespacios de un espacio vectorial V . Entonces H1 ∩ H2 es un subespacio de V . ´Algebra Lineal Subespacios Vectoriales
- 14. Subespacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Subespacio Vectorial Subespacio Vectorial Para ilustrar un ejemplo del teorema anterior, se considera en R3 : H1 = {(x, y, z) : 2x − y − z = 0} H2 = {(x, y, z) : x + 2y + 3z = 0} H1 y H2 son subespacios vectoriales de R3 (¿por qu´e?). H1 ∩ H2 es la intersecci´on de los dos planos que se calcula: 1 2 3 | 0 2 −1 −1 | 0 → 1 2 3 | 0 0 −5 −7 | 0 → → 1 0 1 5 | 0 0 1 7 5 | 0 ´Algebra Lineal Subespacios Vectoriales
- 15. Subespacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Subespacio Vectorial Subespacio Vectorial As´ı, las soluciones al sistema homog´eneo est´an dadas por − 1 5 z, − 7 5 z, z . Al considerar z = t, se obtienen las ecuaciones param´etricas de la recta L ∈ R3 : x = − 1 5 t, y = − 7 5 t, z = t. Formando un subespacio en R3 . ´Algebra Lineal Subespacios Vectoriales
- 16. Subespacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Subespacio Vectorial Subespacio Vectorial En las siguientes presentaciones, se ver´a la importancia de los subespacios vectoriales para entender los conceptos de base, dimensi´on, rango y nulidad de una matriz. ´Algebra Lineal Subespacios Vectoriales