Contenidos de Plástica de ESO.

2. La forma plasmada sobre una superficie para representar un objeto o
comunicar una idea surgió mucho antes que la escritura, por lo que la
representación gráfica constituye un medio de comunicación universal.
La forma es el elemento básico en la elaboración de cualquier imagen,
puesto que cuando nuestra mente la perciba, lo primero que detectará es el
volumen y el contorno exterior, y más tarde añadirá los detalles que le
caracterizan.
RRaammiiffiiccaacciióónn::
división de una
forma inicial
TTrraassllaacciióónn::
repetición
periódica de un
módulo
EExxppaannssiióónn::
agregación
a partir de un
núcleo

3. Las formas pueden clasificarse atendiendo a diferentes criterios; así
describiremos formas naturales, artificiales, simples, complejas, simétricas…
Naturales
Artificiales
Simples: formas básicas
Complejas: difíciles de
delimitar
Simetría radial
Simetría axial
Asimétricas

4. Autor: Eduardo Chillida (1924).
Técnica: Escultura abstracta en acero.
Estilo: Informalismo.
Formas abstractas
Autor: Xavier Grau (2008).
Técnica: pintura abstracta.
Estilo: Expresionismo abstracto.

5. Autor: V. Vasarely (1969).
Técnica: Pintura.
Estilo: Op Art, abreviatura de
"Optical-Art“. Es una evolución
matemática del arte abstracto
y se usa la repetición de las
formas simples.
Autor: M.C.Escher (1953)
Técnica: pintura.
Estilo: Refleja gráficamente el
pensamiento matemático
moderno.
Formas geométricas

6. AXIOMAS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES Y BASES DE LA
GEOMETRÍA
Fueron los griegos, y entre ellos Euclides, quienes fundaron esta
ciencia. La construyeron observando directamente los cuerpos de
la naturaleza. De ellos extrajeron los conceptos de punto, recta y
plano, que forman la base de esta ciencia. Cualquier figura
geométrica es un conjunto de puntos, rectas y planos.
Estos tres conceptos sobre los cuales construimos la geometría,
como todo concepto primario, no admiten una definición; por lo
tanto, tenemos que recurrir a la intuición.
Estos conceptos intuitivos e indefinibles reciben el nombre de
primeros principios, axiomas o postulados.

7. Además necesitamos de ciertos postulados que no necesitan
demostración por resultar evidentes, llamados axiomas, que son
proposiciones evidentes por sí mismas y no necesitan demostración.
Los axiomas y los conceptos primitivos son la base fundamental de la
geometría.
Axiomas básicos:
- El espacio tiene infinitos puntos, rectas y planos.
- El plano tiene infinitos puntos y rectas.
- La recta tiene infinitos puntos.
Los otros postulados que vayamos construyendo necesitarán
demostración, es decir que, utilizaremos la lógica junto con los
conceptos primitivos y los axiomas para validarlos. Estos nuevos
postulados recibirán el nombre de teoremas, y entonces ellos pueden
usarse para las demostraciones de los siguientes postulados o
propiedades.

8. Por un punto pasan infinitas rectas.
Por una recta pasan infinitos planos.
Por dos puntos pasa una única recta.

9. Por tres puntos no alineados pasa un único
plano.
En este caso debemos aclarar que
significa alineados. Tres puntos están
alineados si pertenecen a una misma recta.
Si dos puntos pertenecen a un plano, la
recta que pasa por esos dos puntos
también se encuentra en el mismo plano.

10. GEOMETRÍA PLANA
Polígonos generales
-Los polígonos regulares son porciones de espacio limitadas por líneas
rectas, es decir, se trata de figuras planas que, por el hecho de ser regulares,
están formados por lados que miden lo mismo.
-Los polígonos regulares pueden inscribirse en una circunferencia,
llamada circunferencia circunscrita. También pueden construirse conociendo
la medida del lado.
-Propiedades de los polígonos regulares:
 Suma de los ángulos interiores 180 (n-2). (n, número de lados del
polígono).
 Suma de los ángulos exteriores 360 .
 Suma de los ángulos centrales 360 .
 Diagonales n ( n -3)/2.
 Un polígono se puede descomponer en triángulos n-2.
 Área de un polígono regular convexo p. a / 2. (Semiperímetro por
apotema).
 Las bisectrices de los ángulos interiores y las mediatrices de los
lados coinciden en el centro.

11.  CLASIFICACIONES DE LOS POLÍGONOS
-EQUILÁTERO: lados iguales.
-EQUIÁNGULO: ángulos iguales.
1. Según la disposición de lados o ángulos.
-CONVEXO: Polígono que queda completo respecto de una recta coincidente con cualquiera
de sus lados.
-CÓNCAVO: Polígono que queda dividido respecto de una línea coincidente con alguno de
sus lados.
-CRUZADO: Dos o mas lados se cortan. Los polígonos regulares estrellados ssoonn eell ccaassoo mmááss
iinntteerreessaannttee..
2. Según la disposición de lados o ángulos.
-INSCRIPTIBLE: Polígono con sus vértices en la circunferencia.
-CIRCUNSCRIPTIBLE: Polígono con sus lados tangentes a la circunferencia.
3. Según los segmentos que lo limitan.
-RECTILÍNEO: Polígono de segmentos rectos.
-MIXTILÍNEO: Polígono de segmentos rectos y curvos.
-CURVILÍNEO: Polígono de segmentos curvos.
4. Según la igualdad de lados y de ángulos.
-REGULAR: Polígono de lados y ángulos iguales. (Equilátero y equiángulo).
-IRREGULAR: Polígono con algún lado o ángulo desigual.
-SEMIRREGULAR: Polígono de lados iguales y ángulos alternativamente iguales, o
polígono de ángulos iguales y lados alternativamente iguales.
-ESTRELLADO: Polígono de ángulos salientes y entrantes de forma alternativa, y
cuyos lados constituyen una línea quebrada continua y cerrada.
5. Según el número de lados.
-TRIÁNGULO - CUADRILÁTERO - PENTÁGONO - HEXÁGONO - HEPTÁGONO - -
OCTÓGONO - ENEÁGONO - DECÁGONO - UNDECÁGONO - DODECÁGONO -
-13 LADOS - /.../ - CIRCUNFERENCIA.

12. CCoonnvveexxoo
CCrruuzzaaddoo
CCóónnccaavvoo
IIrrrreegguullaarr
RReegguullaarr
EEssttrreellllaaddoo
LLaa ssuummaa ddee llooss áánngguullooss
iinntteerriioorreess ddee uunn ppoollííggoonnoo ddee nn
llaaddooss eess 118800((nn--22))..
EEnn uunn ppoollííggoonnoo ccoonnvveexxoo llaa
ssuummaa ddee llooss áánngguullooss
eexxtteerriioorreess eess 336600..
NNúúmmeerroo ddee ddiiaaggoonnaalleess
((sseeggmmeennttooss qquuee uunneenn vvéérrttiicceess nnoo
ccoonnsseeccuuttiivvooss)) ddee uunn ppoollííggoonnoo eess
DDnn == nn ((nn--33))//22
SSeemmiirrrreegguullaarr

13. ÁÁnngguulloo eexxtteerriioorr ÁÁnngguulloo iinntteerriioorr

14.  Elementos, puntos y líneas en los polígonos regulares
-LADO: Cada uno de los segmentos de la línea poligonal que forma el
polígono, l.
-VÉRTICE: Punto común de dos lados, v.
-PERÍMETRO: Suma de las magnitudes de los lados.
-CENTRO: Punto interior a igual distancia de los vértices, O.
-APOTEMA: Segmento perpendicular a cada lado desde el centro, a. En
la circunferencia equivale al radio, r.
-RADIO: Segmento trazado del centro al vértice del polígono, r.
-DIAGONAL: Segmento que une dos vértices no consecutivos, d.
-ALTURA: Recta perpendicular desde el vértice al lado opuesto.
-ÁNGULO CENTRAL: Formado por dos radios consecutivos. Es igual al
formado por dos apotemas consecutivas.
-ÁNGULO INTERIOR: Formado por dos lados consecutivos,
suplementario del formado por dos apotemas consecutivas.
-ÁNGULO EXTERIOR: Formado por un lado y la prolongación del
consecutivo, suplementario del interior.
-CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA: Circunferencia que contiene todos
los vértices y tiene por radio el del polígono.
-CIRCUNFERENCIA INSCRITA: Circunferencia tangente a todos los
lados y tiene por radio la apotema del polígono.

15. CONSTRUCCIÓN DEL PENTÁGONO
REGULAR DADO EL LADO.
1. Se traza la mediatriz del lado AB para
determinar su punto medio M.
2. A partir del extremo B se traza una
perpendicular con la medida del lado
AB.
3. Con centro en M y radio MN, se traza
un arco.
4. Con radio MO se trazan arcos desde
A y B. Se obtiene D.
5. Desde D, se traza un arco de radio
AB. Se obtiene E y C.
6. Se unen los puntos A, B, C, D y E. Se
obtiene el pentágono.
N

16. CONSTRUCCIÓN DE UN HEXÁGONO
REGULAR CONOCIENDO EL LADO
Un hexágono regular está inscrito en
una circunferencia de radio igual al
lado.
1. Desde un punto cualquiera de una
recta r, se traza una circunferencia
de radio AB.
2. Desde los puntos A y D se trazan
arcos con el radio AB.
3. Se unen los puntos A, B, C, D, E y F
obteniendo el hexágono regular.

17. CONSTRUCCIÓN DE UN HEPTÁGONO
CONOCIDO EL LADO
1. Sobre una recta r cualquiera se coloca
la base AB.
2. Con el radio AB se traza un arco desde
A y otro desde B.
3. Por 1 y por B se trazan dos
perpendiculares a r.
4. Se traza la bisectriz del ángulo 1AB.
Corta a la perpendicular en 2.
5. Con el radio A2 se traza un arco hasta
cortar a la perpendicular s.
6. Desde O, con un radio AO, se traza una
circunferencia. A partir de B se lleva 7
veces el lado AB.
7. Se unen todos los puntos y se obtiene el
heptágono.

18. CONSTRUCCIÓN DE UN OCTÓGONO
CONOCIDO EL LADO
1. Sobre una recta r cualquiera se coloca el
lado AB y se traza su mediatriz.
2. En el punto B, se traza una perpendicular y
se coloca el lado AB.
3. Se une el punto A con 1. Corta a la
mediatriz en 2.
4. Haciendo centro en 2 y con radio 2-1, se
traza un arco. Se obtiene O.
5. Haciendo centro en O, y radio OA, se traza
la circunferencia. Sobre esta, se lleva el
lado 8 veces.
6. Se unen todos los puntos y se obtiene el
octógono.

19. CONSTRUIR UN ENEÁGONO
CONOCIDO EL LADO
1. Sobre una recta r cualquiera se
coloca el lado AB y se traza su
mediatriz utilizando el lado.
2. Se traza la bisectriz del ángulo A.
Corta a la mediatriz en el punto 2.
3. Se trazan dos rectas que salen de
A y B, y pasan por el punto 1.
4. Con centro en 1 y radio 1-2, se
traza un arco. Se obtiene 3 y 4.
5. Se unen 3 y 4, y se obtiene O,
centro de la circunferencia donde
se sitúa el eneágono.
6. Se lleva el lado 9 veces sobre la
circunferencia y se unen los
puntos.

20. CONSTRUCCIÓN DE UN DECÁGONO
CONOCIDO EL LADO
1. Sobre una recta r cualquiera se realizan
las operaciones para construir un
pentágono.
2. El vértice superior del pentágono (O) es
el centro de la circunferencia donde se
sitúa el decágono.
3. Sobre la circunferencia se lleva 10 veces
el lado.
4. Se unen todos los puntos y se obtiene el
decágono.

21. MÉTODO GENERAL PARA LA CONSTRUCCIÓN DE
POLÍGONOS REGULARES
A) Conociendo el lado
Se dibuja un segmento AB de magnitud
igual al lado del polígono que queremos
construir. Seguidamente, hacemos centro en A y
B, respectivamente, y trazamos dos arcos de
circunferencia de radio igual a la magnitud del
lado, obteniendo el punto de intersección O.
Haciendo centro en el punto O trazamos la
circunferencia de radio OA, circunscrita de un
hexágono de lado AB. Trazamos el diámetro
perpendicular al lado AB y dividimos el radio OM
en seis partes iguales. Cada división es el centro
de la circunferencia circunscrita de un polígono
de lado AB y n número de lados.

23. B) Conociendo el radio de la circunferencia
circunscrita
1. Se trazan los diámetros perpendiculares y la
circunferencia.
2. Dividimos el diámetro vertical en el mismo nº
de partes iguales que queremos dividir la
circunferencia (en este caso 11).
3. Con centro en C y radio igual al diámetro de la
circunferencia, trazamos dos arcos que se
cortan el punto E.
4. Uniendo el punto C con la división 2 del
diámetro vertical prolongando hasta que se
corte a la circunferencia nos da el punto F.
5. La longitud CF es la onceava parte de
la circunferencia.

24. MÉTODO GENERAL PARA LA
CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS
ESTRELLADOS
Si unimos los vértices de un
polígono saltando rítmicamente un
número dado de vértices hasta
volver al primero, conseguiremos un
polígono estrellado.
Dependiendo del número de
vértices, podremos conseguir más o
menos polígonos estrellados a partir
de un polígono.

25. CONSTRUCCIÓN DE HILORAMAS

27. Los ángulos se clasifican según su medida
ÁNGULOS
UUnn áánngguulloo eess llaa rreeggiióónn ddeell
ppllaannoo ccoommpprreennddiiddaa eennttrree ddooss sseemmiirrrreeccttaass
ccoonn oorriiggeenn ccoommúúnn..
EEll oorriiggeenn ccoommúúnn eess eell vvéérrttiiccee..
AA llaass sseemmiirrrreeccttaass ssee llaass llllaammaa llaaddooss ddeell
áánngguulloo..

28. TANGENCIAS
Tangencia entre recta y circunferencia:
una recta t es tangente a una
circunferencia de centro C en un punto
T, cuando es perpendicular en T al radio
CT .
Tangencia entre dos circunferencias: dos
circunferencias son tangentes en un
punto T cuando existe una recta t
tangente común a ambas en T.

29. Rectas tangentes a una circunferencia pasando por un punto exterior a la circunferencia
Para trazar la recta tangente a una circunferencia de centro O por un punto P exterior a la
misma, debe tenerse en cuenta que si T es el punto de tangencia buscado entonces el
triángulo POT debe ser rectángulo en T, puesto que el radio OT es perpendicular a la
tangente PT según se dedujo antes. En consecuencia, el punto de tangencia T deberá estar
situado, además de sobre la propia circunferencia, sobre el arco capaz del ángulo recto con
respecto al segmento PO. Recordando que el arco capaz del ángulo recto es la
semicircunferencia que tiene por diámetro al segmento con respecto al cual se quiere trazar
el arco capaz, la resolución del problema comprenderá los siguientes pasos:
-Hallar el punto medio M del segmento PO.
-Trazar la circunferencia de centro M que pasa por P y por O.
-Los puntos de corte de la circunferencia anterior (arco capaz del ángulo recto) con la
circunferencia de centro O son los puntos de tangencia buscados. Las rectas tangentes serán
las que pasen por P y estos puntos de tangencia.
Dadas las dos posibles posiciones del arco
capaz del ángulo recto (semicircunferencia a
uno u otro lado del segmento PO, que en
conjunto forman la circunferencia completa),
habrá asimismo dos puntos de tangencia
posibles y, por lo tanto, dos rectas diferentes
tangentes a la circunferencia y que pasan por
el punto exterior P. Ambas rectas, así como
los puntos de tangencia, son simétricas con
respecto a la recta PO.

30. Rectas tangentes a dos circunferencias
Dos circunferencias C y C' poseen, en general, cuatro rectas tangentes comunes. Dichas
tangentes, así como los respectivos puntos de tangencia, son simétricas dos a dos respecto
de la recta CC' que une los centros de las circunferencias. Cada par de tangentes
simétricas se cortan en un punto de la recta CC'. En función de la ubicación de este punto
se distingue entre tangentes interiores (cuando el punto de corte está situado entre los dos
centros C y C') y tangentes exteriores (en el caso contrario) a las dos circunferencias. Estos
puntos de corte de las tangentes simétricas no son otros que los centros de homotecia
positiva y negativa de las circunferencias.
Si r es el radio de la circunferencia C y r' es
el radio de la circunferencia C', entonces
las rectas tangentes deben ser tales que
estén a una distancia r del punto C y a una
distancia r' del punto C', justificando la
relación de simetría. Por otra parte, si r'<r y
se traza una paralela a una recta tangente
a una distancia r' de la misma de forma
que pase por el centro C', su distancia al
punto C será ahora r+r' o r-r', según que la
paralela se aleje o se acerque al centro C.
La recta paralela a una tangente común a
dos circunferencias C y C' que pasa por el
centro C' estará más próxima a C que la
recta tangente si la tangente es exterior, y
estará más alejada de C si la tangente es
interior.

31. Trazado de las dos rectas tangentes exteriores comunes a dos circunferencias C y C‘
Los pasos para trazar las rectas tangentes exteriores a dos circunferencias C y C' de radios respectivos r
y r', con r mayor que r', son:
1. Trazar un radio de la circunferencia de centro C, que cortará a la propia circunferencia en un
punto A de la misma.
2. Con centro en el punto A, se dibuja un arco de radio r', que cortará al radio antes trazado en un
punto B interior a la circunferencia de centro C.
3. Trazar la circunferencia con centro en C que pasa por el punto B, cuyo radio será r-r'.
4. Hallar las rectas tangentes a la circunferencia de centro C y radio r-r' antes dibujada, trazadas
desde el punto exterior C'.
• En las dos circunferencias C y C' se trazan ambos radios perpendiculares a cada una de las
tangentes obtenidas. Estos radios cortarán a la circunferencia correspondiente en los puntos de
tangencia de las tangentes exteriores comunes a las dos circunferencias.
• Unir las parejas de puntos de tangencia halladas para obtener las dos rectas tangentes exteriores
comunes a las circunferencias C y C’.

32. Trazado de las dos rectas tangentes interiores comunes a dos circunferencias C y C'
1. Dibujar un radio cualquiera de la circunferencia de centro C y sea el punto A el extremo de este
radio situado sobre la circunferencia.
2. Con centro en el punto A trazar un arco de radio igual al radio r' de la circunferencia C'; este arco
cortará a la prolongación del radio antes dibujado en el punto B, exterior a la circunferencia de centro
C.
3. Dibujar la circunferencia con centro en C que pasa por el punto B, que tendrá un radio igual a r+r'.
4. Trazar las rectas tangentes a la circunferencia de centro C y radio r+r' antes dibujada que pasan por
el punto exterior C'.
5. Trazar radios perpendiculares a cada una de las dos tangentes anteriores en ambas circunferencias.
Los extremos de estos radios situados sobre las circunferencias serán los puntos de tangencia de las
rectas tangentes interiores comunes con las correspondientes circunferencias.
6. Unir los puntos hallados anteriormente para obtener las correspondientes rectas tangentes interiores
comunes a las circunferencias C y C'.

33. Enlaces
Los enlaces son aplicaciones de las tangencias, que nos permiten unir líneas
rectas o curvas de forma que parezcan una sola línea continua. Por ejemplo,
en el dibujo vemos el enlace de dos rectas con una circunferencia de radio r.

34. Nomenclatura de los problemas de tangencia
-Existe una nomenclatura simplificada para nombrar los problemas
de tangencia usando las siguientes letras:
C= circunferencia; r= recta; R= radio; P= punto; T=punto de
tangencia. Por ejemplo, el problema (rrr) nos pide hallar
circunferencia tangentes comunes a tres rectas y el (RCr)
circunferencias de radio R tangentes comunes a una recta y a una
circunferencia.
-Se resuelven por aplicación de trazados fundamentales los
problemas (rrr), (Rrr), (rrT), (PPR), (CCR), (CPT), (CPR), (CTr), (CRr),
además del trazado de las rectas tangentes comunes a dos
circunferencias.

35. TEOREMA DE TALES: dividir un segmento en partes iguales
1.-Dado el segmento AB, se traza una
recta L’ con origen en A,
determinándose un ángulo agudo.
2.- Con un compás y con una misma
abertura, se marcan los puntos C,
D y E en L’.
3.- Se unen con un trazo, primero los
puntos E y B; después, trazando
paralelas, D y D’; C y C’.

36. PROPORCIONALIDAD
Se considera que la proporción tiene su origen en la observación de la
naturaleza. En efecto, al analizar las estructuras biológicas y pretender
copiarlas fielmente, es necesario tener en cuenta la relación de las partes
con el todo.
Decimos que una figura está proporcionada cuando existe una relación de
medidas entre cada parte y el total. Dichas medidas se consideran
apropiadas al compararlas con ejemplos conocidos y que nos parecen
ideales.
Clases de proporcionalidad
A lo largo de la historia los filósofos, artistas y científicos de distintas épocas y
especialidades han establecido varias categorías relacionadas con la
proporcionalidad.
Así, están las relaciones geométricas de igualdad, simetría y semejanza.
Finalidad de las proporciones
La proporcionalidad puede usarse con finalidad expresiva (expresar
sentimientos), estética (sugerir estabilidad, movimiento…), publicitaria (para
llamar la atención sobre un producto)

37. LA PROPORCIÓN EN LAS RELACIONES
GEOMÉTRICAS
IGUALDAD
Dos figuras planas son iguales cuando coinciden
sus magnitudes lineales y angulares, es decir,
cuando sus lados y sus ángulos son iguales.
-Por coordenadas
-Por traslación
-Por giro
SIMETRÍA
-Axial.
-Central.
SEMEJANZA

38. Traslación
Es el movimiento que un punto, línea o figura realiza desplazándose
en una dirección y a una distancia determinada, quedando
definido por tres parámetros (para trasladar una figura hacia otro
punto):
Dirección (D): la dirección queda determinada mediante una recta
que aparecerá en el dibujo con una orientación específica.
Sentido: que puede ser hacia la derecha o hacia la izquierda.
También se puede definir en sentido derecha - izquierda (hacia la
izquierda) o en sentido izquierda - derecha (hacia la derecha).
La punta de flecha sobre la dirección nos indica el sentido.
Distancia (a): que quedará definida mediante una magnitud
numérica en milímetros, centímetros, etc. o mediante un segmento.

39. - Procedimiento ddee ttrraassllaacciióónn
DDaaddoo uunn ccuuaaddrriilláátteerroo AABBCCDD,, ttrraazzaammooss mmeeddiiaannttee ttrraassllaacciióónn oottrroo
ppoollííggoonnoo iigguuaall ccoonnoocciieennddoo llaa ddiirreecccciióónn,, sseennttiiddoo yy ddiissttaanncciiaa::
NNooss ddaann uunn ppoollííggoonnoo,, eenn eessttee ccaassoo uunn ccuuaaddrriilláátteerroo
((TTrraappeezzooiiddee)).. AAssiimmiissmmoo,, nnooss ddaann uunnaa ddiirreecccciióónn ((mmeeddiiaannttee uunnaa
rreeccttaa)),, eell sseennttiiddoo ddee iizzqquuiieerrddaa -- ddeerreecchhaa yy llaa ddiissttaanncciiaa ddee ttrraassllaacciióónn
mmeeddiiaannttee uunn sseeggmmeennttoo aa..
EEssttee mmoovviimmiieennttoo qquuee hheemmooss hheecchhoo ccoonn AA lloo hhaarreemmooss ttaammbbiiéénn
ccoonn BB,, CC yy DD,, oobbtteenniieennddoo ssuuss rreessppeeccttiivvooss mmoovviimmiieennttooss,, BB'',, CC'' yy DD''..
UUnniieennddoo AA'',, BB'',, CC'' yy DD'' oobbtteenneemmooss eell nnuueevvoo ppoollííggoonnoo aa llaa ddiissttaanncciiaa,,
ddiirreecccciióónn yy sseennttiiddoo mmaarrccaaddooss..

40. Giro
El giro es un movimiento angular de cada uno de los puntos a partir de un
punto que es el centro de giro. Para este movimiento es necesario dar un
ángulo y el punto centro de giro.
Comenzamos por el punto A, y con centro en O, medimos el ángulo de giro
deseado (en este caso, 100º), y obtenemos A’. Así sucesivamente.

41. Simetría
La simetría geométrica es la propiedad de un objeto que se presenta
cuando las características de forma, tamaño y posición relativa de sus
partes, son las mismas en ambos lados de una línea divisora
equidistante imaginaria llamada eje de simetría.
- Simetría axial
Son simetrías respecto a un eje. Dos
figuras son simétricas respecto a un eje
(llamado eje de simetría) si los puntos
homólogos están a la misma distancia
del eje y la recta que los une es
perpendicular a él.

42. - Simetría central
Dos figuras son simétricas respecto a un punto, llamado centro
de simetría si sus puntos homólogos equidistan al centro y están
en línea recta con él.

43. Hay figuras que tienen varios ejes de simetría. Por ejemplo,
un rectángulo tiene dos, un cuadrado cuatro y un círculo
infinitos (cualquier recta que pasa por su centro es eje de
simetría).

44. SEMEJANZA
Dos polígonos son semejantes cuando sus ángulos internos son iguales y sus
lados son proporcionales. Debe existir una relación de proporción entre los
polígonos. Si sus ángulos internos son iguales y sus lados proporcionales, solo
cambiará su tamaño.
- Procedimiento sencillo.
1.Partiendo de la figura ABCDE (verde), y un punto exterior O, trazaremos líneas
desde ese punto y que pasen por cada uno de los vértices.
2.Tomamos una medida, por ejemplo, 4 cm desde cada vértice y señalamos los
puntos correspondientes A’’B’’C’’D’’E’’ y los unimos, consiguiendo la figura
(amarilla).
3.Al otro lado de la figura original, procedemos de la misma manera y
conseguimos una figura de mayor tamaño A’B’C’D’E’ (rosa).

45. Tales
Para desarrollar polígonos semejantes a otros, nos
vamos a basar en el teorema de Thales.
En dos polígonos semejantes, la relación existente
entre ellos es la relación de proporción, cuyo valor se
denomina razón de semejanza, K=m/n, siendo m y n,
respectivamente, las longitudes de dos lados
homólogos del polígono final y del polígono inicial.
Si el resultado del cociente m/n (razón de semejanza)
es:
· Mayor que 1 (>1) entonces la figura resultante es
mayor que la original.
· Menor que 1 (<1) entonces la figura resultante es
menor que la original.
· Igual a 1 (=1) entonces la figura resultante es igual
que la original (Igualdad

46. -Procedimiento de semejanza (avanzado)
Siendo el polígono dado ABCDE, queremos trazar un polígono cualquiera
semejante a éste. Para ello simplemente tenemos que elegir un punto P
cualquiera. Este centro P puede situarse:
- Fuera del polígono.
- Dentro del polígono.
- En el perímetro del polígono (por ejemplo un vértice).
Ahora, si queremos trazar una razón de semejanza concreta, por ejemplo
K=2/1, el polígono semejante será dos veces el original, es decir, el doble de
grande. Por lo tanto, debemos atender al teorema de Thales que se
produce en cada una de las proyecciones de la semejanza.
Colocando la distancia PA sobre la prolongación de la recta en A
encontramos A', vértice homólogo del polígono semejante de razón K=2/1.
Trazando paralelas con la escuadra y el cartabón a los lados del
polígono inicial sobre los puntos que voy encontrando en las proyecciones
desde P determinamos el polígono semejante.
*Ver siguiente diapositiva.

47. Semejanza entre
polígonos. Punto
centro de homotecia
exterior.
Semejanza entre
polígonos. Punto
centro de homotecia
interior.
Semejanza entre
polígonos. Punto
centro de homotecia
En un vértice.

48. ESCALAS
Se define la escala como la relación entre la dimensión dibujada
respecto de su dimensión real:
E = dibujo / realidad
Las semejanzas se utilizan para elaborar planos, mapas, maquetas,
fotocopias... En ellos reducimos, de manera proporcional, las
dimensiones que tienen los objetos en la realidad, obteniendo una
representación igual en la forma, pero no en el tamaño.
Si el numerador de esta fracción es mayor que el denominador, se
trata de una escala de ampliación, y será de reducción en caso
contrario.
- La escala 1:1 corresponde a un objeto dibujado a su tamaño real
(escala natural);
- Ampliación: 2:1, 5:1, 10:1, 20:1, 50:1 ...
- Reducción: 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50 …

50. -Tipos
- Escala numérica: se representa
mediante una fracción (1:25000,
1:50000, 1:100000, etcétera) que nos
dice que a una unidad del mapa
(milímetro, centímetro, metro),
corresponden tantas unidades en la
realidad.
- Escala gráfica: Se representa
mediante una recta segmentada en
la que se indica su distancia en la
realidad (500 metros, 1, 5, 10, 50, 100
kilómetros, etcétera).

51. Escala numérica

52. Escalas gráficas

53. Ejemplo escala entre objetos
Un objeto no es grande ni pequeño de manera absoluta. Siempre se le
mide según la obra y los otros objetos.

54. SECCIÓN ÁUREA DE UN SEGMENTO
Esta proporción se da de manera que al dividir un segmento en dos
partes, la razón entre la totalidad del segmento y la parte mayor
sea igual a la razón entre ésta (la parte mayor) y la parte menor.
Matemáticamente, siendo las partes a y b: El número áureo F es un
número irracional.

55. Se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes y
que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino
como relación o proporción.
Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas
como en las partes de un cuerpo, y en la naturaleza como relación
entre cuerpos, en la morfología de diversos elementos tales como
caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de
las ramas, proporciones humanas, etc.
Platón (c. 428-347 a. C.), consideró la sección áurea como la mejor
de todas las relaciones matemáticas y la llave a la física del cosmos.

56. Este número, esta proporción,
rige el universo entero
prácticamente. Los griegos
creían que era la medida de la
proporción divina, de la belleza
perfecta, y se encuentra en el
universo entero, desde caracolas,
la cara de los tigres, las aletas de
los peces... hasta el crecimiento
demográfico, la pintura, la
música, la arquitectura, las
proporciones de nuestro cuerpo,
de nuestro ADN.
Lo extremadamente curioso y
verdaderamente sorprendente
reside en que no se encuentra
sólo en cosas artificiales y
"humanas" (que también), sino en
la propia naturaleza y en cosas
incontrolables.
La espiral áurea contenida en un
rectángulo áureo

57. Algunas curiosidades:
·Si divides tu altura total entre la distancia del suelo a tu ombligo da
Phi (en realidad da algo cercano, si diera Phi nuestras proporciones
de altura serían perfectas).
·Igual pasa si divides la distancia total de tu brazo entre la distancia
de la punta de los dedos al codo.
·Las espirales de las caracolas crecen en proporción Phi una de la
anterior, al igual que ocurre en los girasoles y los pétalos de las rosas
(los pétalos de las rosas siguen la serie de Fibonacci [ver más
adelante]).
·Los templos griegos guardan esta proporción en su construcción, al
igual que las pirámides de Egipto.
·En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta
Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussy (estos
compositores probablemente compusieron estas relaciones de
manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).
·El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de
los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel,
Durero y Da Vinci, entre otros.

58. El Número
Áureo, la Divina
Proporción.
Phi (Φ, léase
/fi/), es una letra
del alfabeto
griego,
usada para
representar el
Número Dorado,
la Proporción
Divina.
Phi presente en arquitectura egipcia y griega, en el arte renacentista y
en la catedral de Nôtre Dame (París), como director de la orquesta de
la belleza y el equilibrio.

59. Obras de arte (en el
canon de Leonardo
el radio del círculo es
la sección áurea de
la altura del individuo,
es decir, de la altura
del cuadrado).
El hombre de Vitruvio.
Leonardo Da Vinci.

60. Imagen del rostro de la Gioconda,
pintada por Leonardo de Vinci; se
encuadra en un rectángulo áureo.

61. Le Corbusier escribió varios libros en los que expuso sus ideas en forma complementaria
a sus propios proyectos. La Segunda Guerra Mundial redujo sus posibilidades de
proyectar, lo que hizo que dedicara más atención a la teoría. Entre los años 1942 y 1948
desarrolló “el Modulor”, un sistema de medidas en el que cada magnitud se relaciona
con las demás según la Proporción Áurea (también conocida como Sección Áurea) y a
la vez se corresponde con las medidas del cuerpo humano. El Modulor es aplicable al
diseño funcional y estético en arquitectura.
Con el Modulor Le Corbusier retomó el antiguo ideal de establecer una relación
directa entre las proporciones de los edificios y las del hombre.

62. Figuras geométricas (en el pentagrama o estrella de cinco
puntas AB' es la sección áurea de AC' que a su vez es la sección
áurea de AC).

63. Los 4 círculos de las alas de las
mariposas se sitúan en lo puntos
Phi se sus proporciones.
Espiral áurea en la oreja humana.
Proporciones áureas en los dientes y labios
humanos.
Las espirales de la caracola creciendo en función
de Phi.

64. PROPORCIÓN EN LA FIGURA HUMANA

65. El escultor Miguel Ángel, estableció en sus estudios un
dimensionado para la figura humana que variaba según al tipo
que pretendía lograr esculpir.
Estas medidas oscilaban entre:
•las siete cabezas y media para las personas varones adultas.
•8 cabezas para las personas con un cuerpo "ideal“.
•...y la 8 cabezas y media para el tipo de figura heroica.
Esto es igualmente válido tanto para varones como féminas y
sólo se diferencian el hombre de la mujer en el dimensionado
de la altura, en la que la altura del hombre es superior al de la
mujer aproximadamente en media cabeza.

68. Baste con recordar que, la proporción del
ANCHO por el ALTO es de DOS y OCHO
cuadrantes exactos.
Por último, podemos ver la cadena evolutiva
de las personas a diferentes edades.
En ella se aprecia que a cada rango de
edad le corresponde una distribución en
cuadrantes que nos sirven para encontrar la
proporcionalidad del cuerpo humano.

70. Estudios sobre las manos
Las manos, posiblemente sea una de las partes más difíciles
de dibujar de nuestro cuerpo.
Es tanta la expresividad que transmiten que ésta varia según
la posición que adopten. Por ello, es imprescindible tener
una idea muy clara de su estructura y las posiciones que
adoptan, las cuales estarán siempre de acorde con el
estado de ánimo de la persona.
La composición musculosa varia o adopta formaciones muy
distintas al tener la mano en una u otra posición, pero en
nada varían su estructura ósea. Por ello hemos de prestar
una gran atención a los gestos de estas, dado que son las
mas fieles transmisores de la palabra.

73. Bocetos de pies y piernas

74. Bocetos de manos

75.  La cabeza se toma como patrón y es la base sobre la que el
cuerpo se dimensiona. Dependiendo de si se trata de un niño,
adulto o personaje de mas edad, la cabeza siempre adquiere
una proporción que determina el resto del cuerpo.
 El tamaño de esta, aumenta proporcionalmente menos que el
cuerpo a lo largo de la vida.
 En los cómic o tebeos, adquiere vital importancia, pues su
dimensionado define muy claramente el "tipo" de individuo que se
quiere crear, siendo este grotesco, simpático, héroe o
insignificante según el dimensionado o desproporción de acuerdo
con su cuerpo.
 La cabeza está dividida en cuatro partes mediante dos líneas
básicas, una horizontal y otra vertical. La vertical define la simetría
de ambos costados y la horizontal la posición de los ojos.

76.  El pelo no se tiene en cuenta en la definición de la
cabeza.
 Uno de los aspectos dificultosos es el de la posición
de los ojos. Al realizar una vista de perfil o
inclinada, los ojos deben mantener una posición
centrada respecto a la altura de la cabeza.

También por norma, se situará la nariz con una
ligera separación del globo ocular, frente amplia y
orejas ligeramente bajas respecto a la línea;
igualmente el labio superior sobresale más que el
inferior.

77. Posiciones con dificultad normal
Dificultad de grado mayor

78. Otras posiciones más difíciles

79. Estudios finales

80. REDES MODULARES
En todos los campos del diseño se hace uso de una
estructura o soporte básico para ordenar las formas. Las
redes modulares son algunas de estas estructuras
aplicadas al diseño. A través de ellas se organiza el
espacio bidimensional y tridimensional.
Las redes planas formadas por polígonos que no dejan
ningún espacio vació se llaman mallas .
Las mallas se producen cuando los ángulos de los
polígonos utilizados son submúltiplos de 360º. Estos
polígonos pueden ser el triangulo, el cuadrado y el
hexágono, que esta formado por triángulos unidos
entre sí. Sus ángulos son respectivamente 60, 90 y 120
grados.

81. REDES MODULARES

82. El módulo
El módulo es una forma repetida dentro de una composición.
Puede considerarse como una unidad de medida dentro de
una red modular.
Las formas modulares aparecen en algunas estructuras
naturales, como los panales de las abejas o los granos de
maíz en una mazorca.
La presencia de módulos tiene a unificar el diseño de una
composición, proporcionado una expresividad armónica y
rítmica.

83. MÓDULOS

84. Submódulos
Si un módulo está formado por elementos más pequeños e
iguales, a estos se les llama submódulos.
El submódulo ha de conservar la forma del módulo y estar
contenido en él un número exacto de veces.
Un submódulo es una parte de un módulo, de igual forma que
este y contenido en él un número exacto de veces.
Una de las posibilidades plásticas que brinda el submódulo es la
capacidad de crear una nueva estructura o red modular de
dimensiones menores, e incluso de combinar diferentes
tamaños de submódulos.
* Ver siguiente diapositiva.

85. SUBMÓDULOS

86. Redes superpuestas y redes mixtas
Sobre las redes fundamentales podemos formar nuevas redes,
conservando la estructura modular y superponiendo otras en una
nueva dirección y de distinto tamaño y forma.
Si superponemos dos estructuras o redes básicas, una cuadrada y
otra triangular, y hacemos coincidir los centros de los cuadrados o
triángulos equiláteros con los vértices donde concurren dichas redes,
obtenemos una nueva estructura que posibilita la realización de
formas planas o volumétricas.
La superposición de una red de cuadrados sobre otra con
cuadrados más pequeños, y situados en sentido diagonal, generan
triángulos isósceles. Por otro lado, la superposición de una red de
triángulos equiláteros con otra del mismo tipo de triángulos, pero
cuyos lados miden 2/3 de la altura de los primeros, da lugar a una
red de triángulos rectángulos con ángulos de 60º y 30º.
* Ver siguiente diapositiva.

87. REDES SUPERPUESTAS Y REDES MIXTAS

88. Deformaciones
La deformación de las redes modulares es un procedimiento muy atractivo y
con numerosas posibilidades de investigación.
Las redes pueden sufrir desviaciones, compresiones o dilataciones aumentando
la expresividad de las composiciones realizadas en este sentido.

89. Transformaciones
En las variaciones sobre redes modulares, otra posibilidad es la
transformación de un módulo de estructura geométrica en una forma
artística, en formas naturales o en objetos.

90. Módulos libres
Además de los procedimientos mencionados, una composición modular
puede estar realizada con módulos libres colocados en una posición
cualquiera, sin ajustarse a una ordenación fija y cambiando levemente su
contorno y color.

96. TRAMAS
Las tramas son
unas láminas
transparentes y
adhesivas, con
unos motivos
impresos, que
pueden ser de
muchos tipos.

97. Di
buj
o
c
o
n
tr
a
mas

98. El papel de trama es un instrumento de dibujo,
habitualmente para el dibujo en blanco y negro,
consiste en una lámina trasparente adhesiva que
lleva un motivo impreso (puntos negros de distintas
densidades, rayas y otros efectos) sobre un
soporte de plástico también trasparente.
Uno de los infinitos motivos que
puede llevar el papel de trama.
Este serviría para un fondo, para
ropa, etc.

99. ¿Cómo se utiliza?
El papel de trama se sitúa encima del original y lo fijamos para que no se
mueva. Acto seguido con un cúter recortamos el papel de trama siguiendo el
trazado de la zona que después queremos cubrir con ese motivo. Una vez
recortada la despegamos de su soporte trasparente y la adherimos sobre el
original.
Trama de degradado ideal para
hacer sombras y dar profundidad.

100. ¿Para qué sirven los motivos del papel de trama para el cómic?
Los usos son infinitos desde sombrear el dibujo a rellenar un fondo y usar
algunos efectos de combate, mostrar un sentimiento etc. El uso apropiado de
la trama le dará a nuestro cómic un toque muy profesional.
La trama estándar, por así decirlo, es la formada por pequeños puntos negros
que a no ser que veamos muy cerca y con lupa no veremos los puntos, sólo
un efecto gris. Hay varios tipos y según el grosor del punto y el espacio entre
dos puntos dará un gris más o menos oscuro. Podremos sombrear, crear las
texturas de prendas de vestir u otros objetos o sencillamente usarlo como
fondo de una viñeta.
Trama gris para darle sombras a la cara y el pelo.
Algunos toques con tinta blanca le dan brillo.

102. LOS MATERIALES DE DIBUJO
- Lápices.
- Portaminas.
- Gomas de borrar y sacapuntas.
- Reglas: regla con escala gráfica, escalímetro, escuadra, cartabón y
transportador.
- Compás: es un instrumento usado trazar circunferencias o arcos de
circunferencia.

103. El lápiz
de
grafito
El lápiz de la serie “b” se utiliza para el dibujo artístico. Se
numeran del 0 al 10, indicando la dureza: 1b=menos blando
que 8b. Cuanto más blando, más oscuro y menos marca el
papel, pero lo ensucia con mucha facilidad.

104. El lápiz de la serie “h” se utiliza para el dibujo técnico.
Se gradúa del 0 al 10, siendo el de mayor dureza este último.
Su trazo deja más huella en el papel a medida que la dureza es mayor,
y se borra con más dificultad en este caso, pero mancha muy poco.
Para el técnico se utiliza también el portaminas.

105. BREVE HISTORIA DEL GRAFITO
En 1564 se descubrió el grafito cerca de Borrowdale, en Inglaterra. Una tormenta
derribó unos árboles dejando al descubierto una veta de grafito o plombagina, "plomo
negro". Dicho material empezó a ser usado por los habitantes locales para marcar.
Posteriormente, comenzó a comercializarse en barritas, que se vendían en Londres,
como "piedras de marcar". El problema de la suciedad que producían, se resolvió
liándoles un cordón que se quitaba conforme se iba gastando; más tarde lo
introducían dentro de un primitivo portaminas de madera.
A partir del siglo XVII el grafito se convirtió en un mineral estratégico para Inglaterra,
llegándose a castigar incluso con la pena de muerte a quien robase un trozo de grafito,
debido a que era usado en la fundición de cañones. La escasez de grafito obligó a
buscar soluciones alternativas al resto de países.
En 1760, Kaspar Faber, artesano de Baviera, mezcló el grafito con polvo de azufre,
antimonio y resinas, obteniendo una masa que, tras ser horneada, se comportaba
como el grafito puro. Posteriormente, en 1795, fue mejorada la calidad de estas barritas
de grafito por Nicolás Jacques Conté al incorporarle arcilla a la mezcla. Así, han
llegado hasta nuestros días. Los lápices son más blandos cuanto más grafito contienen
y más duros si aumenta la proporción de arcilla.
John Eberhard construyó la primera fábrica de lápices a gran escala, en Estados
Unidos, a mediados de 1800. Actualmente, el mayor fabricante de lápices del mundo
es Brasil, con una producción alrededor de unos 4.500 millones de unidades.

106. El escalímetro
(Denominado algunas veces escala de arquitecto) es una regla
especial cuya sección transversal tiene forma prismática con el objeto
de contener diferentes escalas en la misma regla.
Se emplea frecuentemente para medir en dibujos que contienen
diversas escalas. En su borde contiene un rango con escalas calibradas
y basta con girar sobre su eje longitudinal para ver la escala apropiada.

107. La escuadra y el cartabón
Son las plantillas que se utilizan para poder dibujar correctamente rectas
paralelas y perpendiculares.

108. Escuadra
Puede tener diferentes tamaños y
también tener una escala gráfica.
Su forma es la de un triángulo
cuyos ángulos son 90º, 45º y 45º.
Esta herramienta es muy usada en
el dibujo técnico y suele
emplearse, junto a
un cartabón o regla, para hacer
líneas paralelas, perpendiculares o
ángulos diversos, o como regla si
tiene una escala gráfica.
Puede tener diferentes tamaños y
también tener una escala gráfica. Su
forma es la de un triángulo cuyos
ángulos son 90º, 60º y 30º. Esta
herramienta es muy usada en
el dibujo técnico y suele emplearse,
junto a una escuadra o regla, para
hacer líneas paralelas,
perpendiculares o ángulos diversos, o
como regla si tiene una escala
gráfica.
Cartabón

109. EEll ttrraannssppoorrttaaddoorr
EEss uunn iinnssttrruummeennttoo sseemmiicciirrccuullaarr ggrraadduuaaddoo qquuee nnooss ppeerrmmiittee
mmeeddiirr áánngguullooss.. EEnn llooss pprroobblleemmaass ddee ggeeoommeettrrííaa ppllaannaa eess
ffuunnddaammeennttaall ccoonnssttrruuiirr llooss áánngguullooss ccoonn rreeggllaa yy ccoommppááss..
EEssttoo ssee ccoonnssiiddeerraa ppaarrttee ddeell pprroobblleemmaa.. EEnn llooss pprroobblleemmaass ddee
ggeeoommeettrrííaa ddeessccrriippttiivvaa ssee ddiibbuujjaann llooss áánngguullooss ccoonn eessccuuaaddrraa yy
ccaarrttaabbóónn oo ccoonn ttrraannssppoorrttaaddoorr..

110. Para medir los GRADOS (º) de un ángulo puedes usar un TRANSPORTADOR.
Sitúa el centro del transportador en el vértice del ángulo y alinea el
diámetro (recta de 0º) con uno de los lados.
El avión forma con el suelo un ángulo de 20º.

111. También puedes usar el transportador para dibujar ángulos.
1-Traza una recta y llámala C.
2-Sitúa el centro del transportador en el vértice B de modo
que la recta pase por la marca de 0º (+).
3-Marca un punto en 135º y llámalo A.
4-Traza la recta AB.

112. La regla graduada
Es un instrumento de medición con forma de plancha delgada y
rectangular que incluye una escala graduada dividida en
centímetros. Es útil para trazar segmentos rectilíneos.

113. El compás
Es un milenario instrumento de dibujo
que se utiliza para hacer circunferencias
o arcos, aunque su uso es muy extendido
para todo tipo de mediciones en
geometría.
Primero necesitamos la medida del
diámetro del círculo, el cual vamos a
dividirlo por dos para saber el radio. Una
vez que tenemos el radio apoyamos el
compás sobre una regla y tomamos esa
medida, para luego ajustarlo con el fin
de que no se mueva.
Solo resta apoyar el compás en la hoja y
girar suavemente para que el circulo
aparezca ante nuestros ojos.