Contenidos de Plástica 4ª ESO.

1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN
DE FORMAS PLANAS
4º ESO

2. La forma plasmada sobre una superficie para representar un objeto o comunicar una idea surgió
mucho antes que la escritura, por lo que la representación gráfica constituye un medio de
comunicación universal.
La forma es el elemento básico en la elaboración de cualquier imagen, puesto que cuando nuestra
mente la perciba, lo primero que detectará es el volumen y el contorno exterior, y más tarde
añadirá los detalles que le caracterizan.
 Configuración: la observación y el análisis de las formas naturales nos permiten descubrir las
pautas de crecimiento, a partir de las que es posible deducir las configuraciones o estructuras que
las caracterizan.
Ramificación:
división de una
forma inicial
Traslación:
repetición
periódica de un
módulo
Expansión:
agregación a
partir de un
núcleo

3.  Clases: las formas pueden clasificarse atendiendo a diferentes criterios; así
describiremos formas naturales, artificiales, simples, complejas, simétricas…
Naturales
Artificiales
Simples: formas básicas
Complejas: difíciles
de delimitar
Simetría radial
Simetría axial
Asimétricas

4.  Representación: las formas que intervienen en los mensajes visuales pueden ser
simbólicas, arbitrarias creadas por el ser humano a las que se atribuye un
significado; abstractas, desconexas de la realidad o con unos componentes visuales
elementales; o representacionales, que se reconocen.
-A) Formas simbólicas: para descifrar el significado de las formas que
intervienen en las composiciones del arte visual, es necesario recurrir a la iconología
y a la iconografía.
ICONOLOGÍA: es la ciencia cuyo objetivo es el estudio de las imágenes bajo todos
sus aspectos, clasificándolas; así, se pretende desentrañar la interpretación y la
significación que encierran dichas formas.
La iconología religiosa analiza los símbolos de las imágenes de Dios, santos,
ángeles…; la iconología pagana, comprende las imágenes propias de la idolatría o
religiones no cristianas, como Venus, Apolo…; y la icolnología profana o civil,
comprende las figuras de personajes históricos que no sean objeto de culto religioso.
ICONOGRAFÍA: es la ciencia cuyo objeto de estudio son las imágenes en sí mismas
como representaciones gráficas que constituyen un documento histórico.
-B) Formas abstractas: surgen inspiradas en la realidad, como una reducción
de todo lo que vemos a elementos visuales básicos; o de la mente del artista, y que
a simple vista no pueden reconocerse como algo real.
-C) Formas geométricas: están regidas por trazados geométricos. Destacan las
formas poligonales, regulares e irregulares.

5. Autor: Eduardo Chillida (1924).
Técnica: Escultura abstracta en acero.
Estilo: Informalismo.
B) Formas abstractas
Autor: Xavier Grau (2008).
Técnica: pintura abstracta.
Estilo: Expresionismo abstracto.

6. Autor: V. Vasarely (1969).
Técnica: Pintura.
Estilo: Op Art, abreviatura de
"Optical-Art“. Es una evolución
matemática del arte abstracto y
se usa la repetición de las
formas simples.
Autor: M.C.Escher (1953)
Técnica: pintura.
Estilo: Refleja gráficamente
el pensamiento matemático
moderno.
C) Formas geométricas

7.  ANÁLISIS DE UNA OBRA DE ARTE
 *Ver presentación de Nacimiento de Venus
_El nivel preiconográfico (análisis organoléptico), que supone la
identificación de lo representado en términos puramente descriptivos,
reconocimiento de acciones y objetos.
_El nivel técnico, en el que se detallan las características del estilo al que
pertenece la obra; los rasgos más importantes de la técnica en esa etapa,
y el estilo propio del autor. Además, se describe la técnica artística,
composición, color, iluminación…
_El nivel iconográfico, que supone la identificación precisa del tema,
generalmente en relación con un texto (historia, alegoría...), así como los
elementos figurativos que cumplen una función simbólica en relación con
este tema.
_El nivel iconológico, que supone ahondar en el significado conceptual o
ideológico, con el fin de comprender la obra en el contexto cultural en el
que fue concebida.

8.  GEOMETRÍA PLANA
Polígonos generales
-Los polígonos regulares son porciones de espacio limitadas por líneas rectas, es
decir, se trata de figuras planas que, por el hecho de ser regulares, están formados
por lados que miden lo mismo.
-Los polígonos regulares pueden inscribirse en una circunferencia, llamada
circunferencia circunscrita. También pueden construirse conociendo la medida del
lado.
-Propiedades de los polígonos regulares:
• Suma de los ángulos interiores 180 (n-2). (n, número de lados del
polígono).
• Suma de los ángulos exteriores 360 .
• Suma de los ángulos centrales 360 .
• Diagonales n ( n -3)/2.
• Un polígono se puede descomponer en triángulos n-2.
• Área de un polígono regular convexo p. a / 2. (Semiperímetro por
apotema).
• Las bisectrices de los ángulos interiores y las mediatrices de los lados
coinciden en el centro.

9.  CLASIFICACIONES DE LOS POLÍGONOS.
-EQUILÁTERO: lados iguales.
-EQUIÁNGULO: ángulos iguales.
1. Según la disposición de lados o ángulos.
-CONVEXO: Polígono que queda completo respecto de una recta coincidente con cualquiera
de sus lados.
-CÓNCAVO: Polígono que queda dividido respecto de una línea coincidente con alguno de
sus lados.
-CRUZADO: Dos o mas lados se cortan. Los polígonos regulares estrellados son el caso más
interesante.
2. Según la disposición de lados o ángulos.
-INSCRIPTIBLE: Polígono con sus vértices en la circunferencia.
-CIRCUNSCRIPTIBLE: Polígono con sus lados tangentes a la circunferencia.
3. Según los segmentos que lo limitan.
-RECTILÍNEO: Polígono de segmentos rectos.
-MIXTILÍNEO: Polígono de segmentos rectos y curvos.
-CURVILÍNEO: Polígono de segmentos curvos.
4. Según la igualdad de lados y de ángulos.
-REGULAR: Polígono de lados y ángulos iguales. (Equilátero y equiángulo).
-IRREGULAR: Polígono con algún lado o ángulo desigual.
-SEMIRREGULAR: Polígono de lados iguales y ángulos alternativamente iguales, o
polígono de ángulos iguales y lados alternativamente iguales.
-ESTRELLADO: Polígono de ángulos salientes y entrantes de forma alternativa, y
cuyos lados constituyen una línea quebrada continua y cerrada.
5. Según el número de lados.
-TRIÁNGULO - CUADRILÁTERO - PENTÁGONO - HEXÁGONO - HEPTÁGONO - -
OCTÓGONO - ENEÁGONO - DECÁGONO - UNDECÁGONO - DODECÁGONO -
-13 LADOS - /.../ - CIRCUNFERENCIA.

10. Conv
exo
Cruz
ado
Cóncavo
Irreg
ular
Regu
lar
Estrell
ado
La suma de los ángulos
interiores de un
polígono de n lados es
180(n-2).
En un polígono
convexo la suma de
los ángulos exteriores
es 360.
Número de diagonales
(segmentos que unen
vértices no consecutivos)
de un polígono es Dn = n
(n-3)/2
Semirregular

11. Ángulo exterior Ángulo interior
POLÍGONOS INSCRITOS. Tiene sus vértices en una circunferencia. Los lados son cuerdas de la
circunferencia.
POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS. Los lados son tangentes a una circunferencia.

12.  Elementos, puntos y líneas en los polígonos regulares.
-LADO: Cada uno de los segmentos de la línea poligonal que forma el
polígono, l.
-VÉRTICE: Punto común de dos lados, v.
-PERÍMETRO: Suma de las magnitudes de los lados.
-CENTRO: Punto interior a igual distancia de los vértices, O.
-APOTEMA: Segmento perpendicular a cada lado desde el centro, a. En
la circunferencia equivale al radio, r.
-RADIO: Segmento trazado del centro al vértice del polígono, r.
-DIAGONAL: Segmento que une dos vértices no consecutivos, d.
-ALTURA: Recta perpendicular desde el vértice al lado opuesto.
-ÁNGULO CENTRAL: Formado por dos radios consecutivos. Es igual al
formado por dos apotemas consecutivas.
-ÁNGULO INTERIOR: Formado por dos lados consecutivos,
suplementario del formado por dos apotemas consecutivas.
-ÁNGULO EXTERIOR: Formado por un lado y la prolongación del
consecutivo, suplementario del interior.
-CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA: Circunferencia que contiene todos
los vértices y tiene por radio el del polígono.
-CIRCUNFERENCIA INSCRITA: Circunferencia tangente a todos los
lados y tiene por radio la apotema del polígono.

13. -CONSTRUCCIÓN DEL PENTÁGONO
REGULAR DADO EL LADO.
1. Se traza la mediatriz del lado AB
para determinar su punto medio M.
2. A partir de un extremo, p.e. el B, se
traza una perpendicular y se lleva el
lado AB.
3. Con centro en M y radio MN, se
traza un arco.
4. Con radio MO se trazan arcos desde
A y B. Se obtiene D.
5. Desde D, se traza un arco de radio
AB. Se obtiene E y C.
6. Se unen los puntos A, B, C, D y E.
Se obtiene el pentágono.

14.  CONSTRUCCIÓN DE UN PENTÁGONO REGULAR
INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA.
1. Dibujamos una circunferencia de centro
O, de cualquier radio y trazamos dos diámetros
perpendiculares entre sí, que cortan a la
circunferencia en los puntos A, B, 1 y C,
respectivamente.
2. Con el mismo radio de la circunferencia
inicial trazamos un arco con centro en A, que
cortará a la circunferencia en los puntos D y E,
de cuya unión resultará el punto F, punto medio
del segmento OA.
3. Con centro en F trazaremos un arco de
radio F1, que determinará el punto G sobre la
diagonal AB. La distancia 1G es el lado de
pentágono inscrito.
4. Para la construcción del pentágono solo
resta llevar dicho lado cinco veces a lo largo de
la circunferencia.

15. CONSTRUCCIÓN DE UN HEXÁGONO
REGULAR CONOCIENDO EL LADO
Un hexágono regular está inscrito en
una circunferencia de radio igual al
lado.
1. Desde un punto cualquiera de una
recta r, se traza una circunferencia
de radio AB.
2. Desde los puntos A y D se trazan
arcos con el radio AB.
3. Se unen los puntos A, B, C, D, E y F
obteniendo el hexágono regular.

16. CONSTRUCCIÓN DE UN HEPTÁGONO
CONOCIDO EL LADO.
1. Sobre una recta r cualquiera se coloca
la base AB.
2. Con el radio AB se traza un arco desde
A y otro desde B.
3. Por 1 y por B se trazan dos
perpendiculares a r.
4. Se traza la bisectriz del ángulo 1AB.
Corta a la perpendicular en 2.
5. Con el radio A2 se traza un arco hasta
cortar a la perpendicular s.
6. Desde O, con un radio AO, se traza
una circunferencia. A partir de B se
lleva 7 veces el lado AB.
7. Se unen todos los puntos y se obtiene
el heptágono.

17. CONSTRUCCIÓN DE UN OCTÓGONO
CONOCIDO EL LADO
1. Sobre una recta r cualquiera se coloca el
lado AB y se traza su mediatriz.
2. En el punto B, se traza una perpendicular
y se coloca el lado AB.
3. Se une el punto A con 1. Corta a la
mediatriz en 2.
4. Haciendo centro en 2 y con radio 2-2, se
traza un arco. Se obtiene O.
5. Haciendo centro en O, y radio OA, se traza
la circunferencia. Se ésta, se lleva el lado
8 veces.
6. Se unen todos los puntos y se obtiene el
octógono.

18. CONSTRUIR UN ENEÁGONO CONOCIDO EL
LADO
1. Sobre una recta r cualquiera se coloca el
lado AB y se traza su mediatriz utilizando
el lado.
2. Se traza la bisectriz del ángulo A. Corta a
la mediatriz en el punto 2.
3. Se trazan dos rectas que salen de A y B, y
pasan por el punto 1.
4. Con centro en 1 y radio 1-2, se traza un
arco. Se obtiene 3 y 4.
5. Se unen 3 y 4, y se obtiene O, centro de
la circunferencia donde se sitúa el
eneágono.
6. Se lleva el lado 9 veces sobre la
circunferencia y se unen los puntos.

19. CONSTRUCCIÓN DE UN DECÁGONO
CONOCIDO EL LADO
1. Sobre una recta r cualquiera se realizan
las operaciones para construir un
pentágono.
2. El vértice superior del pentágono (O) es
el centro de la circunferencia donde se
sitúa el decágono.
3. Sobre la circunferencia se lleva 10 veces
el lado.
4. Se unen todos los puntos y se obtiene el
decágono.

20. MÉTODO GENERAL PARA LA CONSTRUCCIÓN
DE POLÍGONOS REGULARES
A) Conociendo el lado.
Se dibuja un segmento AB de magnitud
igual al lado del polígono que queremos
construir. Seguidamente, hacemos centro en
A y B, respectivamente, y trazamos dos arcos
de circunferencia de radio igual a la magnitud
del lado, obteniendo el punto de intersección
O.
Haciendo centro en el punto O trazamos
la circunferencia de radio OA, circunscrita de
un hexágono de lado AB. Trazamos el
diámetro perpendicular al lado AB y dividimos
el radio OM en seis partes iguales. Cada
división es el centro de la circunferencia
circunscrita de un polígono de lado AB y n
número de lados.

22. B) Conociendo el radio de la circunferencia
circunscrita.
1. Se trazan los diámetros perpendiculares y
la circunferencia.
2. Dividimos el diámetro vertical en el mismo
nº de partes iguales que queremos dividir
la circunferencia (en este caso 11).
3. Con centro en C y radio igual al diámetro de
la circunferencia, trazamos dos arcos que
se cortan el punto E.
4. Uniendo el punto C con la división 2 del
diámetro vertical prolongando hasta que se
corte a la circunferencia nos da el punto F.
 5. La longitud CF es la onceava parte de
la circunferencia.
*Polígonos dado el radio (inscritos) ver en el
libro de Plástica, 1º ESO.

23. MÉTODO GENERAL PARA LA
CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS
ESTRELLADOS
Si unimos los vértices de un
polígono saltando rítmicamente un
número dado de vértices hasta
volver al primero, conseguiremos
un polígono estrellado.
Dependiendo del número de
vértices, podremos conseguir más
o menos polígonos estrellados a
partir de un polígono.

24. CONSTRUCCIÓN DE HILORAMAS

26.  Curvas cónicas
LA ELIPSE
-Definición : La Elipse es el conjunto de los puntos P del
plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (F y F´)
llamados focos es una cantidad constante (2a).
-Cuando un plano oblicuo corta a un cono recto de revolución.
-La elipse es una curva cónica cerrada y plana. Su contorno está
formado por un conjunto de puntos cuya suma de distancias a
otros dos fijos, llamados focos, es constante.
-Los elementos que forman la elipse son: eje mayor (AB), eje
menor (CD), centro (O) y focos (F - F'). Los ejes mayor y menor
forman 90º entre sí.

27. -Elementos:
-Los Radios Vectores de un punto son los segmentos PF y PF´.
-Eje Focal: Es la recta que pasa por los focos F y F´.
-Eje Secundario: Es la mediatriz del segmento FF´.
-Centro de la elipse: Es el punto O en el que se cortan los ejes.
-Distancia Focal: Es el segmento FF´ y su longitud es 2c.
-Vértices: Son los puntos A , A´, B , B´ en los que los ejes cortan
a los ejes.
-Eje Mayor: Es el segmento AA´ y su longitud es 2a.
-Eje Menor: Es el segmento BB´ y su longitud es 2b.
Circunferencia Elipse

28. -Si el ángulo beta que forman el eje y el plano que corta a la superficie cónica
es mayor que el semiángulo cónico alfa, la curva intersección es una curva
cerrada, denominada elipse:
-Se dan elipses degeneradas (casos particulares de elipses):
Si el plano es perpendicular al eje, en cuyo caso la elipse es una
circunferencia.
-Si el plano pasa por el vértice, en cuyo caso la curva se degenera en un
punto.

29. 1- TENEMOS EL MARCO RECTILÍNEO. A Y B SON
LOS PUNTOS DONDE EMPEZARÁ
EL ARCO ELÍPTICO. SE PUEDE HACER A LA
ALTURA QUE SE DESEE. C ES JUSTO LA MITAD
ENTRE A Y B
2- CON CENTRO EN C, CON AYUDA DE UN
COMPÁS O CON EL METRO, SE BUSCAN DOS
PUNTOS. LA MEDIDA ES LA MITAD DE LA
DISTANCIA ENTRE A Y B .
3- SALEN LOS PUNTOS D Y E
EN LOS QUE HAY QUE CLAVAR
DOS CLAVOS O CHINCHETAS
COGER UN CORDEL CUYA LONGITUD SEA
LA DISTANCIA ENTRE A Y B
ENGANCHAR CON UN NUDO CADA EXTREMO
UNO A D Y EL OTRO A E
CON UN LÁPIZ TENSAR EL CORDEL
TIENE QUE LLEGAR AL PUNTO C
EL CORDEL SERIA LA LINEA VERDE .
4- SOLO HAY QUE IR DESPLAZANDO EL LÁPIZ,
VIGILANDO QUE EL CORDEL ESTÉ TENSO, Y
YA TENEMOS EL ARCO ELÍPTICO: LA LÍNEA
MARRÓN QUE PASA POR LOS PUNTOS A, B Y
C. DANDO LA VUELTA ENTERA TENEMOS LA
ELIPSE COMPLETA .
-Construcción:
-Para construir una elipse hay
varios métodos, pero uno de los más
conocidos y más sencillos es el
método del jardinero. (A)

30. B) Método para dibujar una elipse dados sus dos ejes.
1- Se trazan el eje mayor AB y el eje menor CD, perpendiculares entre si por el punto medio
de ambos ejes.
2- Haciendo centro en el punto medio “M”, se trazan dos circunferencias concéntricas con
radios iguales a MA y MC.
3- Luego se dividen ambas circunferencias en un número par de partes iguales. En este
caso fueron 12 partes iguales.
4- Por los puntos de la circunferencia
grande, trazar líneas paralelas al eje
CD.
5- Por los puntos de la circunferencia
pequeña trazar líneas paralelas al eje AB.
6- Donde las líneas pertenecientes al
mismo punto en ambas circunferencias se
corten esta un punto por el cual pasa la
curva de la elipse.
7- Repetir esto con todos los puntos de
ambas circunferencias.
8- Por último con una plantilla de curvas
unir los puntos de la elipse.

31. C) Método para dibujar una elipse dado el eje mayor ab y los focos f y f’.
1- Se traza el eje mayor AB y se le busca el punto medio M y por él se traza una línea
perpendicular a AB.
2- Sobre el eje mayor AB se ubican los puntos F y F’. Se marcan varios puntos arbitrarios
entre O y F’.
3- Haciendo centro en F y F’ sucesivamente y con abertura OA marcamos unos arcos que
corten la línea perpendicular a AB, consiguiéndose los puntos C y D, puntos del eje menor de
la elipse.
4- Luego haciendo centro en F y F’ sucesivamente y con abertura A1 marcamos unos arcos.
5- Luego haciendo centro en F y F’ sucesivamente y con abertura B1 marcamos unos arcos.
6- Donde se corten los arcos están los primeros puntos por donde pasa la elipse.
7- Hacer lo mismo con los restantes puntos entre O y F’, hasta conseguir todos los puntos de
la elipse.
8- Por último con una plantilla de curvas unir los puntos de la elipse.

32. LA PARÁBOLA
-Cuando el plano secante es paralelo a una generatriz del cono, la
sección que se produce es una parábola.
-Definición: La parábola es una curva cónica plana, abierta y de
una rama. Su contorno está formado por un conjunto de puntos
que equidistan de un punto fijo, llamado foco (F), y de una recta
fija llamada directriz (d).
-Elementos : toda parábola tiene un vértice (V) y un eje de
simetría que pasa por el vértice y por el foco, siendo perpendicular
a la directriz.

33. Construcción
Método para dibujar una parábola dados la directriz DC, el vértice A y el eje E-E’.
1- Se ubica el vértice A, se traza directriz DC y se traza el eje E-E’.
2- Haciendo centro en E y con abertura EA se traza
un arco que corte el eje y ubique el punto F que es
el foco de la parábola.
3- Se marcan varios puntos arbitrarios entre E y E’.
4- Se trazan rectas paralelas a la directriz por
cada uno de los puntos arbitrarios entre E y E’.
5- Haciendo centro en F y con abertura A1
se describen unos arcos que corten a la línea
que pasa por el punto 1 a ambos lados del eje
consiguiendo los puntos G y G’.
6- Hacer lo mismo con los restantes puntos
entre E y E’, hasta conseguir todos
los puntos de la parábola.
7- Por último con una plantilla de curvas unir
los puntos de la parábola.

34. LA HIPÉRBOLA
-Cuando el plano secante es paralelo al eje del cono la sección que
provoca es una curva llamada hipérbola.
-Definición: La hipérbola es una curva plana, abierta y con dos ramas. Su
contorno está formado por un conjunto de puntos cuya diferencia de
distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante.
-Elementos: 1-El eje real (AB). 2-El eje imaginario (CD). 3-Los focos (F -
F'). 4-El punto de simetría de las dos ramas llamado centro (O).

35. Método para dibujar una hipérbola dadas las
asíntotas BB’ y CC’ y el eje AA’.
1- Se traza el eje AA’ y se le busca el punto
medio M. Por el punto medio M trazar las 2
asíntotas.
2- Por los puntos A y A’ trazar líneas paralelas
a las asíntotas que corten a las asíntotas en su
prolongación, consiguiendo los puntos D0, E0,
F0 y G0.
4- Luego con abertura MD0 se copia esta
distancia sobre cada una de las dos asíntotas a
partir de los puntos D0, E0, F0 y G0.
5- Por cada uno de los puntos hallados se
trazan paralelas a las asíntotas.
6- Luego se le busca el punto medio al
segmento AD0 y se traza una paralela a la
asíntota, consiguiéndose el punto A1.
7- Para conseguir los demás puntos que
forman la parábola se hace lo mismo
sucesivamente.
8- Luego se unen todos los puntos con una
plantilla de curvas.
Construcción

36.  Curvas técnicas
-Se utilizan frecuentemente en ingeniería y arquitectura. De entre todas
ellas cabe destacar óvalos, ovoides y espirales, que tienen en común el hecho
de estar formadas por arcos de circunferencias tangentes entre sí.
ÓVALO
- Es una curva cerrada y plana, compuesta por cuatro arcos de
circunferencia iguales dos a dos. Tiene dos ejes de simetría perpendiculares
entre sí; el mayor suele coincidir con el eje horizontal y el menor, con el eje
vertical.
* CONSTRUCCIÓN EN DIAPOSITIVA SIGUIENTE.

38. OVOIDE
El ovoide es una curva plana y cerrada, simétrica sólo respecto a su eje
mayor, y formada por cuatro arcos de circunferencia, de los que dos
son iguales y los otros dos son desiguales.

41. ESPIRAL
De lejos, la forma geométrica más abundante en el universo es la espiral. Se puede
encontrar en las plantas, en las conchas marinas, en las mareas, en las galaxias, en
las nubes, las estrellas, las construcciones humanas, etc.
La espiral es una curva plana, abierta y continua que se configura en expansión por
un punto que se desplaza de manera uniforme a lo largo de una recta, estando ésta
fija en un punto por el cual gira con un valor angular constante. Una espiral se define
por los siguientes elementos:
Paso: es la distancia longitudinal con que se desplaza un punto de la curva
en una vuelta completa. Es decir, es la distancia entre dos espiras consecutivas.
Espira: es la parte de la curva descrita en cada vuelta.
Núcleo: es a partir de donde se genera, en expansión, la espiral. Los
núcleos pueden ser lineales si los centros están situados en una línea, o poligonales si
son los vértices del polígono los centros que generan
la curva.
Radios vectores: son la prolongación, bien de la línea donde están situados
los centros del núcleo, o bien de los lados del polígono que hace de núcleo.

42. ESPIRAL DE ARQUÍMEDES
"Imaginaos una línea que gira con velocidad constante alrededor de un
extremo, manteniéndose siempre en un mismo plano, y un punto que se
mueve a lo largo de la línea con velocidad lineal constante: ese punto
describirá una espiral" ARQUÍMEDES
Esa espiral recibe el nombre de ESPIRAL DE ARQUÍMEDES.
Esta curva es generada por la combinación de dos movimientos
uniformes: uno rectilíneo y otro rotacional, simultáneamente.
Es la curva descrita por un punto M que se mueve con velocidad constante
v por un rayo (OM) que gira alrededor del polo O con velocidad angular
w.
La espiral más simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada
sobre sí misma. Es muy fácil reconocerla: la anchura de sus espiras es
siempre la misma. Por eso se la conoce con el nombre de espiral
uniforme.

43. LA ESPIRAL LOGARÍTMICA
Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo
lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es
áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante
HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente,
obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen
hacia el vértice O de una espiral logarítmica.
Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de
matemáticos, artistas y naturalistas. La espiral logarítmica vinculada a los
rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas
vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las
que la forma se mantienen invariante. El ejemplo más visualmente
representativo es la concha del Nautilus.

44. ESPIRAL DE DURERO
Phi está intrínsecamente presente en los rectángulos y triángulos áureos, en el pentágono
regular y las líneas de su estrella, como en la espiral de Durero que podemos trazar sobre
un rectángulo o un triángulo áureo.
Son los únicos que tienen esta curiosa propiedad: si cortamos un cuadrado cuyo lado
sea el lado corto del rectángulo obtenemos un rectángulo semejante al original, es
decir tiene las mismas proporciones.
O expresado al revés, si a un rectángulo áureo le añadimos sobre su lado mayor, un
cuadrado obtenemos otro rectángulo áureo. Una buena aproximación a esta sucesión
de rectángulos áureos es la obtenida a través de los rectángulos cuyos lados son los
términos de la sucesión de Fibonacci.

45. Una vez construida esta
sucesión de rectángulos
áureos encajados si unimos
mediante un arco de
circunferencia dos vértices
opuestos de cada uno de los
cuadrados obtenidos,
utilizando como centro de la
misma otro de los vértices del
mismo cuadrado, obtenemos
una curva muy similar a una
espiral logarítmica, es la
famosa Espiral de Durero.
Esta espiral es casi una
espiral logarítmica de salto
angular 90 grados y razón
geométrica el número de
oro. La única diferencia,
inapreciable a pequeña
escala es que los centros de
esos arcos van saltando a su
vez de un vértice a otro de
los rectángulos.

46. Bernoulli se interesó principalmente por un tipo de espiral llamada espiral
logarítmica, esta fue la que pidió que se grabase aunque en el momento de
hacerlo el que la talló no sabía mucho de geometría y confundió la espiral
logarítmica con la espiral de Arquímedes, así que el pobre Bernoulli, que ya no
se podía quejar, yació para siempre bajo una espiral equivocada.
La espiral de Arquímedes se diferencia de la logarítmica porque en esta última
las distancias entre sus espiras o brazos se incrementan en progresión
geométrica, mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son
constantes. Además la espiral logarítmica cumple con una serie de
propiedades que la convierten en una de las curvas más maravillosas, no es
en vano que Bernoulli la llamase “espira mirabilis” (espiral maravillosa).