1. Cónicas
Objetivos generales:
● Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
● Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares,
la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del
docente como orientador y facilitador del trabajo.
● Observar los comportamientos de las figuras geométricas que componen estas,
dichos comportamientos los observamos desde algunas herramientas que están
disponibles en internet, programas y aplicaciones, las cuales van a hacer muy útiles
para experimentarlas
Introducción a las actividades:
En esta secuencia se abordarán los siguientes aspectos: las cónicas como secciones del
cono y el uso del programa Winplot, Tinkercad, Desmos como herramienta para la
construcción.
Objetivos de las actividades:
● Promover la discusión y el intercambio de diversas estrategias entre pares en la
realización de los gráficos.
● Promover el trabajo colaborativo, la realización en conjunto de la propuesta, la
autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del
trabajo.
Utilización del programa Tinkercad:
En principio diremos que las cónicas surgen de la intersección entre un doble cono cilíndrico
y un plano, los elementos más importantes del cono son las generatrices y el eje de
generatriz.
Para poder observar estas intersecciones utilizaremos la herramienta digital de tinkercad.
A continuación, a modo de actividad les pediremos la construcción de las figuras y sus
respectivas intersecciones.
Actividad 1:
Con el programa Tinkercad se le pedirá que crearan un cono. En la barra derecha tienen las
figuras básicas. Se pondrán las medidas a gusto y luego se rotará 90° o -90° para que sea
más simple de maniobrar posteriormente presionando donde tiene la flechita con ambas
direcciones que está por encima de la figura.
2. Luego se pedirá que se copie la figura que es mucho más fáciles con los comandos (Ctrl +
C) y que lo pegue (Ctrl + V) a lo que les aparecerá de esta forma.
Se trabajara con el nuevo cono y se girara 180° o -180° para que queden enfrentados de la
siguiente manera.
El siguiente paso sería agruparlos con el botón que aparece arriba a la derecha o como dice
en la imagen con los comandos (Ctrl + G), esto me permitira trabajar con un cono doble en
vez de tener dos conos aislados, al maniobrar se moverán los dos juntos sin separarse.
3. Al presionar en el siguiente botón me quedará la superficie hueca, esto me servirá más
adelante para apreciar más las intersecciones.
4. Actividad 2
A continuación necesitaremos crear un plano con lo cual la manera más sencilla es colocar
la figura de un cubo y en las medidas agrandar a gusto la anchura y longitud, pero a su vez
se debe achicar toda la altura para que quede un plano así como se muestra en las
siguientes imágenes.
Luego se girara y se moverá de forma que corte de las siguientes maneras al cono.
Actividad 3
Intersecar el plano con el cono de tal manera que nos quede una circunferencia.
5. Si se lo corta con el plano verticalmente se obtiene la cónica llamada circunferencia
Actividad 4
Intersecar el plano con el cono de tal manera que nos quede una elipse.
6. Si se inclina el plano de forma tal que corte el cono de forma diagonal pero sin llegar a
cortar la base del cono (ya que sino tendríamos otro tipo de cónica), a esta se la llama
elipse.
Actividad 5
Intersecar el plano con el cono de tal manera que nos quede una parábola.
7. Como habíamos hablado antes, si el plano corta al cono de tal manera que se corte también
la base de uno de los conos obtendremos la cónica denominada parábola.
Actividad 6
Intersecar el plano con el cono de tal manera que nos quede una hipérbola.
8. Y por último si dejamos el plano horizontalmente o de tal manera que corte a ambos conos
obtendremos la cónica llamada hipérbola.
Al finalizar estas construcciones tendremos finalizado el recorrido que se debe realizar y
sacando conclusiones para saber la manera en que tendrían que estar los planos para que
con su intersección con el cono me den uno de los 4 tipos de cónicas.
Utilización del programa Winplot
Intersección de parábolas:
Utilizaremos para examinar desde otra perspectiva la aplicación de winplot, donde
observamos que las diferentes elipses, que cada vez se hacen más pequeñas, forman un
sombreado de color azul en el plano. En un determinado momento, dentro del sombreado,
queda formada una elipse que tiene el mismo color que el plano (rojo punteado).
Actividad 1
Graficar un cono con winplot
Para graficar un cono en winplot debemos saber que su ecuación es de la siguiente forma
z^2 = x^2+y^2 (éste cono tendrá su eje en z).
9. lo primeros que haremos es ir a la aplicación; con
el puntero iremos a “ventana”; “3-dim” en donde se
abrirá una nueva ventana.
Luego con el puntero ir a la barra “Ecua”;
”3.implicita …”
Consecuente abrirá otra ventana en donde pondremos la ecuación ”z^2 = x^2+y^2” de la
cónica y daremos “ok”; siguiente “ok”.
A continuación se abrirá una ventana donde deberemos hacer clic en niveles; consecuente
se abrirá otra ventana;
10. En esta nueva ventana debemos hacer clic poniendo la opción “x” luego click en “auto”, a
continuación hacer lo mismo con “y” con “z”.
Hacer click en conservar cambios donde me quedará el siguiente cono;
Si quiero ponerle los ejes, “Ctrl+E”
11. Actividad 2
Construir un plano de forma tal que con la intersepcion con el cono me forme una elipse.
Luego de construir los conos vamos a “Ecua”; “Explícita” consecuente se abrirá una ventana
en donde en el eje “z=” pondremos una ecuación de forma tal que me forme un plano que
corte dicho cono y me quede una elipse:
12. elipse - winplot
La herramienta de winplot nos permite ver las respectivas ubicaciones del plano y el doble
cono, pero en este caso es necesario observar su posición. Éste se encuentra totalmente
horizontal. Cuando el plano corte en esta posición al cono (excepto cuando pase por el
vértice del cono) queda determinada una circunferencia, ya que el ángulo que forma el
plano con el eje de generatrices es de 90 grados.
Actividad 3:
13. Construir una circunferencia, una hipérbola y una parábola consecuente de una intersección
de un cono y un plano
Con el mismo procedimiento de la construcción de la elipse, cambiaremos los valores de
forma tal que me de un plano perpendicular al eje “z” y su intersección forme una
circunferencia.
Circunferencia - winplot
al igual que hicimos con la construcción de la elipse y la circunferencia, esta vez
manipularemos los valores para que su resultado(plano) con la intersección del cono sea
una hipérbola
Hipérbola - winplot
14. Parábola - winplot
Las siguientes actividades son realizadas con la aplicación Desmos:
Actividad 1:
Armar una elipse.
Para poder realizar el gráfico de una Elipse, vamos a la parte izquierda de la pantalla y
podemos acceder a una ventana con una gráfica nueva para poder analizar la función.
Al abrir la nueva gráfica, podemos volcar la función en la fórmula general que aparece:
15. Nos permite volcar los datos en:
Actividad 2:
Ver los movimientos de “a” y “b” en el graficador.
Para poder analizar el movimiento que pueden hacer los radios dependiendo el valor que
tengan, se puede usar el deslizador para poder visualizar cómo se mueven “a” y “b”.
Podemos ver en la imagen que si movemos “a” y “b” con el deslizador de esa manera,
podemos ver como se achica la elipse. Cuando “a” es mayor que “b”.
16. Si movemos “a” y “b” con el
deslizador de la siguiente manera,
podemos ver como se agranda la
elipse. Cuando “a” es menor que “b”.
Actividad 3:
Realiza el gráfico de la elipse cuando “a” y “b” son iguales.
Para darles valores iguales a “a”
y “b” hacer doble clic en el valor
de a y doble click en el valor de
b para poder cambiarlos
Actividad 4:
Mostrar las diferentes solución que toma la elipse cuando se cambia el signo .; ; ;≤ < ≥ >
Las soluciones de las funciones
pueden estar dadas de las
siguientes maneras:
En donde el gráfico está
representado como figura en la
imagen.
17. Las soluciones serán las que estén fuera de la elipse, o sea todo lo que está pintado en
color rojo.
Cuando la fórmula esté dada de la siguiente manera:
En este caso, la solución sería
la línea punteada y todo lo que
aparece en color rojo.
Ahora, si a la función la presentamos de la siguiente manera:
El conjunto solución serían todos
los valores que están dentro de la
elipse y el borde de ésta.
18. Y por último, si analizamos la siguiente función:
La gráfica quedaría de la siguiente
manera. En donde el conjunto
solución es lo que está en rojo.
Para la siguiente función
La gráfica queda de la
siguiente manera:
En donde el conjunto
solución sería lo que está
marcado en rojo
19. Utilización del programa Geogebra
Actividad 1
Construir un cono doble unido por su vértice
Antes que nada se debe activar la vista gráfica 3D como se muestra en la imagen y
se puede sacar la vista gráfica 2 (que sería en 2D)
Luego en la parte superior izquierda seleccionamos esa función y seleccionamos
donde dice punto y colocamos 2 puntos que estén verticales por ejemplo en el eje Z
(la recta azul) (0;0;0) y (0;0;4)
20. Luego seleccionamos la opción donde aparece una pirámide y presionamos en
cono. Para formar el cono nos piden que presionemos en el punto central de la base
de nuestro cono que seria (0;0;0), luego el vértice de la misma (0;0;4) y por último
nos pide un radio, por ejemplo 2.
21. Se pide que se haga de la misma manera otro cono que esté unido al cono anterior
por su vértice, por lo tanto tendríamos que hacer el mismo procedimiento a los que
nos quedaría el centro de la base por ejemplo en el punto (0;0;8) y el vértice en
(0;0;4) manteniendo el radio en 2.
22. Actividad 2
Crear un plano e intersecarlo con los conos de manera tal que nos quede una elipse
Iremos a la opción plano por tres puntos como se muestra en la imagen y
colocaremos esos 3 puntos sobre el plano X e Y (mismo plano que la base del cono
inferior).
23. Una vez colocado los puntos vamos a la opción donde aparece la imagen de una
flecha que sirve para poder mover los elementos, en este caso los puntos últimos.
Así podremos mover el punto (F) en este ejemplo para poder manipular el plano
creado de color celeste
24. Si hacemos clic derecho y presionamos en ejes y plano quedará la construcción
más limpia para poder trabajar.
25. Aca ya tenemos la construcción pedida, se podría pedir que marquen la
intersección. Para esto podríamos utilizar el botón de intersección y nos pide que
26. seleccionemos los 2 elementos para poder marcar la intersección. Presionamos en
el plano y luego en el cono y nos quedara de la siguiente manera. (Queda marcado
con el color naranja).
Actividad 3
Se pide que se obtenga en la intersección a una parábola.
Lo unico que deberiamos hacer es manipular el plano de tal manera que me corte
un solo cono y que a la vez me corte la base del cono seleccionado, en este caso
elegimos el cono superior para verlo mejor desde arriba
27. Actividad 4
Mover el plano de tal manera que me quede una hiperbola en su interseccion.
28. En este caso me tiene que cortar ambos conos y los pinte de color verde para que
se vea más (clic derecho en la intersección, propiedades, color)
Actividad 5
Mover el plano de tal manera que me quede una circunferencia
29. En este caso es muy difícil que a ojo me pueda quedar el plano para que se me
forme una circunferencia ya que tiene que estar el plano perpendicularmente a la
base de ambos conos. Por eso si vamos a la columna izquierda donde aparecen los
elementos que fuimos haciendo, los puntos (D), (E) y (F) son los que conforman al
plano, si presionamos doble clic y le cambiamos la tercer coordenada por 2 por
ejemplo en los 3 puntos ya me va a quedar determinada la circunferencia (presionar
enter luego de cada cambio de valores en los puntos sino no se realizará).
Otra cosa que se puede hacer es ir haciendo clic derecho en los objetos e ir
haciéndolos invisibles presionando donde dice objeto visible para que solo
aparezcan las intersecciones al mover los puntos del plano.
