Secuencia de como encontrar las conicas mediante el uso de herramientas digitales como GeoGebra, Winplot, Tinkercad y Desmos

1. Aprender cónicas mediante herramientas digitales
Objetivos generales:
● Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
● Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en
conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y
facilitador del trabajo.
● Observar los comportamientos de las figuras geométricas que componen éstas, dichos
comportamientos los observamos desde algunas herramientas que están disponibles en Internet,
programas y aplicaciones, las cuales van a hacer muy útiles para experimentarlas
Introducción a las actividades:
En esta secuencia se abordarán los siguientes aspectos: las cónicas como secciones del cono y el uso del
programa Tinkercad, Winplot, Desmos y GeoGebra como herramientas para la construcción.
Objetivos de las actividades:
● Promover la discusión y el intercambio de diversas estrategias entre pares en la realización de los
gráficos.
● Promover el trabajo colaborativo, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los
alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.
Utilización del programa Tinkercad:
En principio diremos que las cónicas surgen de la intersección entre un doble cono cilíndrico y un plano, los
elementos más importantes del cono son las generatrices y el eje de generatriz.
Para poder observar estas intersecciones utilizaremos la herramienta digital de Tinkercad.
A continuación, a modo de actividad les pediremos la construcción de las figuras y sus respectivas
intersecciones.
Actividad 1:
Con el programa Tinkercad se les pedirá a los alumnos que creen un cono (ilustración 1). En la barra
derecha tienen las figuras básicas. Se pondrán las medidas a gusto y luego se rotará 90° o -90° (ilustración
2) para que sea más simple de maniobrar posteriormente presionando donde tiene la flechita con ambas
direcciones que está por encima de la figura.

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Ilustración 1: Colocación del cono utilizando el programa Tinkercad. Captura de pantalla.
Ilustración 2: Cono girado utilizando el programa Tinkercad. Captura de pantalla.
Luego se pedirá que se copie la figura que es mucho más fáciles con los comandos (Ctrl + C) y que lo
pegue (Ctrl + V) a lo que les aparecerá de esta forma. (Ilustración 3)
Ilustración 3: Cono copiado utilizando el programa Tinkercad. Captura de pantalla.
Se trabajara con el nuevo cono y se girará 180° o -180° para que queden enfrentados de la siguiente
manera. (Ilustración 4)

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Ilustración 4: Conos enfrentados utilizando el programa Tinkercad. Captura de pantalla.
El siguiente paso sería agruparlos con el botón que aparece arriba a la derecha o como dice en la imagen
con los comandos (Ctrl + G) (ilustración 5), esto me permitirá trabajar con un cono doble en vez de tener
dos conos aislados, al maniobrar se moverán los dos juntos sin separarse.
Ilustración 5: Botón de agrupar del programa Tinkercad. Captura de pantalla.
Ilustración 6: Conos agrupados y enfrentados utilizando el programa Tinkercad. Captura de pantalla.
Al presionar en el siguiente botón me quedará la superficie hueca (ilustración 7), esto me servirá más
adelante para apreciar más las intersecciones. (Ilustración 8).

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Ilustración 7: Botón para hacer hueco la figura en Tinkercad. Captura de pantalla.
Ilustración 8: Figura hueca utilizando el programa Tinkercad. Captura de pantalla.
Actividad 2:
A continuación necesitaremos crear un plano con lo cual la manera más sencilla es colocar la figura de un
cubo (ilustración 9) y en las medidas agrandar a gusto la anchura y longitud, pero a su vez se debe achicar
toda la altura para que quede un plano (ilustración 10) así como se muestra en las siguientes imágenes.
(Ilustración 11).
Ilustración 9: Colocación de la figura cubo utilizando el programa Tinkercad. Captura de pantalla.

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Ilustración 10: Creación del plano a partir del cubo utilizando el programa Tinkercad. Captura de pantalla.
Ilustración 11: Características del cubo para que se convierta en un plano utilizando el programa Tinkercad. Captura de pantalla.
Luego se girará y se moverá de forma que corte de las siguientes maneras al cono.
Actividad 3
Intersecar el plano con el cono de tal manera que nos quede una circunferencia. (Ilustracion 12)
Ilustración 12: Intersección del plano verticalmente al cono utilizando el programa Tinkercad. Captura de pantalla.

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Ilustración 13: Cónica circunferencia utilizando el programa Tinkercad. Captura de pantalla.
Si se lo corta con el plano verticalmente se obtiene la cónica llamada circunferencia. (Ilustración 13)

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Actividad 4
Intersecar el plano con el cono de tal manera que nos quede una elipse.
Ilustración 14: Intersección del plano inclinado al cono utilizando el programa Tinkercad. Captura de pantalla.
Ilustración 15: Cónica elipse utilizando el programa Tinkercad. Captura de pantalla.
Si se inclina el plano de forma tal que corte el cono de forma diagonal pero sin llegar a cortar la base del
cono (ya que si no tendríamos otro tipo de cónica), a ésta se la llama elipse.

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Actividad 5
Intersecar el plano con el cono de tal manera que nos quede una parábola. (Ilustración 16)
Ilustración 16: Intersección del plano cortando la base del cono utilizando el programa Tinkercad. Captura de pantalla.
Ilustración 17: Cónica parábola utilizando el programa Tinkercad. Captura de pantalla.
Como habíamos hablado antes, si el plano corta al cono de tal manera que se corte también la base de uno
de los conos obtendremos la cónica denominada parábola. (Ilustración 17)
Actividad 6
Intersecar el plano con el cono de tal manera que nos quede una hipérbola. (Ilustración 18)
Ilustración 18: Intersección del plano horizontalmente con el cono utilizando el programa Tinkercad. Captura de pantalla.

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Ilustración 19: Cónica hipérbola utilizando el programa Tinkercad. Captura de pantalla.
Y por último si dejamos el plano horizontalmente o de tal manera que corte a ambos conos obtendremos la
cónica llamada hipérbola. (Ilustración 19)
Al finalizar éstas construcciones tendremos finalizado el recorrido que se debe realizar y sacando
conclusiones para saber la manera en que tendrían que estar los planos para que con su intersección con el
cono me den uno de los 4 tipos de cónicas.
(Esto último no se menciona al comienzo de la actividad ya que pretendo que al realizar las actividades
vayan produciendo sus propias conclusiones y no decirles a lo que quiero llegar desde un comienzo).
Utilización del programa Winplot
Utilizaremos para examinar desde otra perspectiva la aplicación de Winplot, donde observamos que las
diferentes elipses, que cada vez se hacen más pequeñas, forman un sombreado de color azul en el plano.
En un determinado momento, dentro del sombreado, queda formada una elipse que tiene el mismo color
que el plano (rojo punteado).
Actividad 1
Graficar un cono con Winplot
Para graficar un cono en Winplot debemos saber que su ecuación es de la siguiente forma z^2 = x^2+y^2
(éste cono tendrá su eje en z).
Lo primero que haremos es ir a la aplicación; con el puntero
iremos a “ventana”; “3-dim” en donde se abrirá una nueva
ventana. (Ilustración 20)
Luego con el puntero ir a la barra “Ecua”; ”3.implicita…”
(Ilustración 21)
Ilustración 20: Seleccionando la opción de 3
dimensiones utilizando el programa Winplot.
Captura de pantalla

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Ilustración 21: Abriendo las opciones para la creación del cono utilizando el programa Winplot. Captura de pantalla
Consecuente abrirá otra ventana en donde pondremos la ecuación ”z^2 = x^2+y^2” de la cónica y daremos
“ok”; siguiente “ok”.
A continuación se abrirá una ventana donde deberemos hacer clic en niveles; consecuente se abrirá otra
ventana. (Ilustración 22)
Ilustración 22: Pasos a seguir para la creación del cono utilizando el programa Winplot. Captura de pantalla

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En esta nueva ventana debemos hacer clic poniendo la opción “x” luego clic en “auto”, a continuación hacer
lo mismo con “y” con “z”.
Hacer clic en conservar cambios donde me quedará el siguiente cono; (Ilustración 23)
Si quiero ponerle los ejes, “Ctrl+E”
Ilustración 23: Cono doble utilizando el programa Winplot. Captura de pantalla.
Actividad 2
Construir un plano de forma tal que con la intersección con el cono me forme una elipse.
Luego de construir los conos vamos a “Ecua”; “Explícita” (ilustración 24) consecuente se abrirá una ventana
en donde en el eje “z=” pondremos una ecuación de forma tal que me forme un plano que corte dicho cono
y me quede una elipse: (Ilustración 25)

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Ilustración 24: Pasos a seguir para obtener la elipse utilizando el programa Winplot. Captura de pantalla.
Elipse - Winplot
Ilustración 25: Cónica elipse utilizando el programa Winplot. Captura de pantalla.
La herramienta de Winplot nos permite ver las respectivas ubicaciones del plano y el doble cono, pero en
este caso es necesario observar su posición. Éste se encuentra totalmente horizontal. Cuando el plano corte
en esta posición al cono (excepto cuando pase por el vértice del cono) queda determinada una
circunferencia, ya que el ángulo que forma el plano con el eje de generatrices es de 90 grados.
Actividad 3:
Construir una circunferencia, una hipérbola y una parábola consecuente de una intersección de un cono y
un plano

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Con el mismo procedimiento de la construcción de la elipse, cambiaremos los valores de forma tal que me
dé un plano perpendicular al eje “z” y su intersección forme una circunferencia. (Ilustración 26)
Circunferencia - Winplot
Ilustración 26: Cónica circunferencia utilizando el programa Winplot. Captura de pantalla.
Al igual que hicimos con la construcción de la elipse y la circunferencia, esta vez manipularemos los valores
para que su resultado (plano) con la intersección del cono sea una hipérbola (ilustración 27)
Hipérbola - Winplot
Ilustración 27: Cónica hipérbola utilizando el programa Winplot. Captura de pantalla.

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Parábola – Winplot
Ilustración 28: Cónica parábola utilizando el programa Winplot. Captura de pantalla.
Utilización del programa Desmos:
Actividad 1:
Armar una elipse.
Para poder realizar el gráfico de una Elipse, vamos a la parte izquierda de la pantalla y podemos acceder a
una ventana con una gráfica nueva para poder analizar la función. (Ilustración 29)
Ilustración 29: Creación de una elipse utilizando el programa Desmos

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Al abrir la nueva gráfica, podemos volcar la función en la fórmula general que aparece: (ilustración 30)
Ilustración 30: Colocación de la formula utilizando el programa Desmos. Captura de pantalla.
Nos permite volcar los datos en:
Ilustración 31: Formula de la elipse. Captura de pantalla.
Actividad 2:
Ver los movimientos de “a” y “b” en el graficador.
Para poder analizar el movimiento que pueden hacer los radios dependiendo el valor que tengan, se puede
usar el deslizador para poder visualizar cómo se mueven “a” y “b”.
Podemos ver en la imagen que si movemos “a” y “b” con el deslizador de esa manera, podemos ver como
se achica la elipse. Cuando “a” es mayor que “b”.
Ilustración 32: Deslizadores del programa Desmos. Captura de pantalla.

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Si movemos “a” y “b” con el deslizador de la
siguiente manera, podemos ver como se
agranda la elipse. Cuando “a” es menor que
“b”. (Ilustración 33)
Actividad 3:
Realiza el gráfico de la elipse cuando “a” y “b” son iguales.
Para darles valores iguales a “a” y “b”
hacer doble clic en el valor de a y doble
clic en el valor de b para poder
cambiarlos. (Ilustración 34)
Actividad 4:
Mostrar las diferentes soluciones que toma la elipse cuando se cambia el signo .
Las soluciones de las funciones pueden
estar dadas de las siguientes maneras:
Ilustración 36: Formula de la elipse mayor o igual a 1.
Captura de pantalla
Ilustración 36
Ilustración 37
Ilustración 38
Ilustración 33: Deslizadores utilizando el programa Desmos. Captura de
pantalla.
Ilustración 34: Deslizadores utilizando el programa Desmos. Captura de
pantalla.
Ilustración 35: Deslizadores utilizando el programa Desmos. Captura de
pantalla

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En donde el gráfico está representado como figura en la imagen.
Las soluciones serán las que estén fuera de la elipse, o sea todo lo que está pintado en color rojo.
Cuando la fórmula esté dada de la siguiente manera:
Ilustración 37: Formula de la elipse mayor a 1. Captura de pantalla.
En este caso, la solución sería la línea
punteada y todo lo que aparece en color
rojo.
Ahora, si a la función la presentamos de la siguiente manera:
Ilustración 39: Formula de la elipse menor a 1. Captura de pantalla.
Ilustración 40: Dominio de la elipse menor a 1 utilizando Desmos. Captura de pantalla
Ilustración 41Ilustración 38: Dominio de la elipse mayor a 1 utilizando el programa
Desmos. Captura de pantalla

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El conjunto solución serían todos los valores que están dentro de la elipse y el borde de ésta.
Y por último, si analizamos la siguiente función:
Ilustración 41: Formula de la elipse menor o igual a 1. Captura de pantalla.
La gráfica quedaría de la siguiente manera. En
donde el conjunto solución es lo que está en rojo.
Para la siguiente función
Ilustración 43: Formula de la elipse igual a 1. Captura de pantalla.
La gráfica queda de la siguiente manera, en donde el conjunto solución sería lo que está marcado en rojo
Ilustración 44: Dominio de la elipse igual a 1 usando Desmos. Captura de pantalla.
Ilustración 45Ilustración 42: Dominio de la elipse menor o igual a 1 usando
Desmos. Captura de pantalla.

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Utilización del programa GeoGebra
Actividad 1
Construir un cono doble unido por su vértice
Antes que nada se debe activar la vista gráfica 3D como se muestra en la imagen y se puede sacar la vista
gráfica 2 (que sería en 2D), (ilustración 45)
Luego en la parte superior izquierda seleccionamos esa función y seleccionamos donde dice punto y
colocamos 2 puntos que estén verticales por ejemplo en el eje Z (la recta azul) (0;0;0) y (0;0;4).
Ilustración 48Ilustración 45: Activar la vista grafica 3D utilizando el programa GeoGebra. Captura de pantalla.

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Ilustración 46: Colocación de puntos en el plano 3D utilizando el programa GeoGebra. Captura de pantalla.
Luego seleccionamos la opción donde aparece una pirámide y presionamos en cono. Para formar el cono
nos piden que presionemos en el punto central de la base de nuestro cono que sería (0;0;0), luego el vértice
de la misma (0;0;4) y por último nos pide un radio, por ejemplo 2.
Ilustración 47: Insertar un cono en GeoGebra 3D. Captura de pantalla.

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Se pide que se haga de la misma manera otro cono que esté unido al cono anterior por su vértice, por lo
tanto tendríamos que hacer el mismo procedimiento a los que nos quedaría el centro de la base por ejemplo
en el punto (0;0;8) y el vértice en (0;0;4) manteniendo el radio en 2.
Ilustración 48: Doble cono unido por sus vértices utilizando GeoGebra 3D. Captura de pantalla.
Actividad 2
Crear un plano e intersecarlo con los conos de manera tal que nos quede una elipse
Iremos a la opción plano por tres puntos como se muestra en la imagen y colocaremos esos 3 puntos sobre
el plano X e Y (mismo plano que la base del cono inferior), (lustración 49).

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Ilustración 49: Insertando un plano utilizando GeoGebra 3D. Captura de pantalla.
Una vez colocado los puntos vamos a la opción donde aparece la imagen de una flecha que sirve para
poder mover los elementos, en este caso los puntos últimos.
Así podremos mover el punto (F) en este ejemplo para poder manipular el plano creado de color celeste
Ilustración 50: Doble cono y un plano usando GeoGebra 3D. Captura de pantalla.
Si hacemos clic derecho y presionamos en ejes y plano quedará la construcción más limpia para poder
trabajar.

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Ilustración 51: Intersección entre uno de los conos y el plano formando una elipse con GeoGebra 3D. Captura de pantalla.
Ilustración 52: La cónica elipse utilizando GeoGebra 3D. Captura de pantalla.
Acá ya tenemos la construcción pedida, se podría pedir que marquen la intersección. Para esto podríamos
utilizar el botón de intersección y nos pide que seleccionemos los 2 elementos para poder marcar la

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intersección. Presionamos en el plano y luego en el cono y nos quedara de la siguiente manera. (Queda
marcado con el color naranja). (Ilustración 53).
Ilustración 53: Aplicación de la función intersección entre dos superficies usando GeoGebra 3D. Captura de pantalla.
Actividad 3
Se pide que se obtenga en la intersección a una parábola.
Lo único que deberíamos hacer es manipular el plano de tal manera que me corte un solo cono y que a la
vez me corte la base del cono seleccionado, en este caso elegimos el cono superior para verlo mejor desde
arriba

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Ilustración 54: Intersección entre el cono y el plano formando la cónica parábola usando GeoGebra 3D. Captura de pantalla.
Actividad 4
Mover el plano de tal manera que me quede una hipérbola en su intersección.
Ilustración 55: Intersección entre el cono y el plano formando la cónica hipérbola usando GeoGebra 3D. Captura de pantalla.

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En este caso me tiene que cortar ambos conos y los pinte de color verde para que se vea más (clic derecho
en la intersección, propiedades, color)
Actividad 5
Mover el plano de tal manera que me quede una circunferencia
Ilustración 56: Intersección entre el cono y el plano formando la cónica circunferencia usando GeoGebra 3D. Captura de pantalla.
En este caso es muy difícil que a ojo me pueda quedar el plano para que se me forme una circunferencia ya
que tiene que estar el plano perpendicularmente a la base de ambos conos. Por eso si vamos a la columna
izquierda donde aparecen los elementos que fuimos haciendo, los puntos (D), (E) y (F) son los que
conforman al plano, si presionamos doble clic y le cambiamos la tercer coordenada por 2 por ejemplo en los
3 puntos ya me va a quedar determinada la circunferencia (presionar enter luego de cada cambio de valores
en los puntos sino no se realizará).
Otra cosa que se puede hacer es ir haciendo clic derecho en los objetos e ir haciéndolos invisibles
presionando donde dice objeto visible para que solo aparezcan las intersecciones al mover los puntos del
plano.

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Ilustración 57: Ocultando objetos en GeoGebra. Captura de pantalla.
Parábola - GeoGebra
Ilustración 58: Cónica parábola utilizando el programa GeoGebra. Captura de pantalla.

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Elipse - GeoGebra
Ilustración 59: Cónica elipse utilizando el programa GeoGebra. Captura de pantalla.
Hipérbola - GeoGebra
Ilustración 60: Cónica hipérbola utilizando el programa GeoGebra. Captura de pantalla.

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Circunferencia - GeoGebra
Ilustración 61: Cónica circunferencia utilizando el programa GeoGebra. Captura de pantalla.