El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y los métodos iterativos como Gauss-Seidel y Jacobi. Explica las ventajas y desventajas de cada método y provee ejemplos para ilustrarlos.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
BARQUISIMETO ESTADO LARA
Solución de Sistemas de
Ecuaciones Lineales
Integrante:
Darwin Vasquez
CI.26238428
Ingeniería mecánica

2. En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también
conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es
un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en
donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo
conmutativo.
Métodos De Eliminación Gaussiana
El proceso de eliminación de Gaussiana o de Gauss, consiste en realizar
transformaciones elementales en el sistema inicial (intercambio de filas,
intercambio de columnas, multiplicación de filas o columnas por constantes,
operaciones con filas o
Columnas,. . .), destinadas a transformarlo en un sistema triangular superior,
que resolveremos por remonte
Uno de los problemas de la eliminación Gaussiana es que debemos dividir
entre el pivote; si este es un número muy pequeño, entonces un error de
redondeo puede arrojar serias dudas sobre la respuesta final

3. Método de Gauss-Jordán
El proceso de eliminación de Gauss -Jordán consiste en realizar
transformaciones elementales en el sistema inicial, destinadas a transformarlo
en un sistema diagonal. El número de operaciones elementales de este
método, es superior al del método de Gauss (alrededor de un 50% más).
Sin embargo, a la hora de resolver el sistema de llegada por remonte, el
número de operaciones es menor, motivo por el cual, el método de Gauss -
Jordán es un método computacionalmente bueno cuando tenemos que resolver
varios sistemas con la misma matriz A y resolverlos simultáneamente,
utilizando el algoritmo de Gauss-Jordán. En base a lo anteriormente expuesto,
solo haríamos un proceso de Eliminación en la matriz y la resolución de un
sistema con esta matriz es muy fácil. Un ejemplo en el que se suele usar
Gauss -Jordán es en el cálculo de la matriz inversa, ya que calcular la inversa
de A, es calcular N sistemas con la misma matriz. Para un mayor
entendimiento de este método veamos un ejemplo práctico del método de
Gauss –Jordán.

4. DescomposiciónLU
Descomposición LU El método de DescomposiciónLU se basa en demostrar
que una matriz A se puede factorizar como el producto de una matriz triangular
inferior L con una matriz triangular superior U, donde en el paso de eliminación
sólo se involucran operaciones sobre los coeficientes de la matriz, permitiendo
así evaluar los términos independientes y de manera eficiente.
.
Factorización De Cholesky
Una matriz simétrica es aquella donde Aij = Aji para toda i y j, En otras
palabras, [A] = [A] T. Tales sistemas ocurren comúnmente en problemas de
ambos contextos: el matemático y el de ingeniería. Ellos ofrecen ventajas
computacionales ya que sólo se necesita la mitad de almacenamiento y, en la
mayoría de los casos, sólo se requiere la mitad del tiempo de cálculo para su
solución. Al contrario de la Descomposición LU, no requiere de pivoteo. El
método de Factorización de Cholesky se basa en demostrar que si una matriz
A es simétrica y definida positiva en lugar de factorizarse como LU, puede ser
factorizada como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de
la matriz triangular inferior, es decir los factores triangulares resultantes son la
traspuesta de cada uno.
A = L. LT
Para un mayor entendimiento de este método veamos un ejemplo práctico del
método de Cholesky

5. Factorización de QR, Householder
En muchas aplicaciones el número de filas (M) de una matriz de coeficientes A
mxn puede ser 3 al número de columnas (N). La Factorización QR consiste en
descomponer la matriz Amxn
En el producto de dos matrices
Una matriz Ortogonal: Qmxn ® QT. Q = INxN
Una matriz Triangular Superior: U = RNxN
Para encontrar las matrices Q y R se utiliza un método basado en
Transformaciones Sucesivas de Householder.
Solución De Sistemas Lineales Utilizando Métodos Iterativos
El método de Gauss y sus variantes son conocidos como métodos directos
para resolver el problema inicial Ax = b. Se ejecutan a través de un número
finito de pasos y generan una solución x que sería exacta sino fuera por los
errores de redondeo
Un método iterado de resolución del sistema
Ax = bes aquel
Que genera, a partir de un vector inicial x0, una sucesión de vectores x1, x2,. . .
xn... "Un método iterado se dirá que es
Consistente con el sistema Ax = b, si el límite x de la sucesión
(xn), en caso de existir, es solución del sistema.

6. Se dirá que el método es convergente si la sucesión generada por cualquier
vector inicial x0 es convergente a la solución del sistema”. Es evidente que si
un método es convergente es consistente, sin embargo, el recíproco no es
cierto.
Método De Gauss Seidel
El Método de Gauss Seidel emplea valores iniciales y después itera para
obtener estimaciones refinadas de la solución; es particularmente adecuado
para un gran número de ecuaciones, lo cual en cierto modo lo hace un método
más comúnmente usado. La fórmula utilizada para hallar los xi viene dada por
el despeje de cada una de las xi en cada una de las ecuaciones y se les da un
valor inicial a cada xi de cero.
La desventaja del método de Gauss-Seidel es que no siempre converge a la
solución exacta o algunas veces los hace de manera muy lenta. Únicamente es
confiable para aquellos sistemas dominantes diagonalmente.
Método de Jacobi
El Método de Jacobi transforma una matriz simétrica en una matriz diagonal al
eliminar de forma simétrica los elementos que están fuera de la diagonal.
Desafortunadamente, el método requiere un número infinito de operaciones, ya
que la eliminación de cada elemento no cero a menudo crea un nuevo valor no
cero en el elemento cero anterior.

7. Si A es diagonalmente dominante, entonces la sucesión que resulta de la
iteración de Jacobi converge a la solución de Ax = b para cualquier vector
inicial Xo. Partimos de una aproximación inicial Xo para las soluciones Xi al
sistema de ecuaciones y sustituimos estos valores en la ecuación:
Que es la expresión que nos proporciona las nuevas componentes del vector
x(k) en función de vector anterior x(k-1) en la iteración de Jacobi, en su
respectivo algoritmo; donde el a el método de Jacobi más que usar el último
valor disponible de, con base en un conjunto de las x anteriores (). De esta
forma, como se generan nuevos valores, no se usan en forma inmediata sino
que se retienen para la siguiente iteración.