slideshare Solución de sistemas de ecuaciones lineales

1. Slideshare
JOSÉ MANUEL BORGES
C.I. V.- 23.537.796
SAIA A
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICERRECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
CABUDARE- EDO. LARA

2. Métodos De Eliminación Gaussiana
 Es aquel proceso que consiste en realizar transformaciones elementales en el
sistema inicial, ya sea un intercambio de filas, un intercambio de columnas,
una multiplicación de filas o columnas por constantes, unas operaciones con
filas o columnas, entre otras, donde se tiene por objetivo transformar en un
sistema triangular superior, que resolveremos por remonte.
 Por otra parte, la matriz de partida tiene el mismo determinante que la
matriz de llegada, donde el determinante es el producto de los coeficientes
diagonales de la matriz.
 El método de eliminación Gaussiana es el mismo para sistemas de ecuaciones
2×2, 3×3, 4×4 y así sucesivamente siempre y cuando se respete la relación de
al menos una ecuación por cada variable.
 En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables
en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita.
Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los
valores de todas las variables.

3. Método de Gauss-Jordan
 El proceso de eliminación de Gauss - Jordán es aquel donde se realizan
transformaciones elementales en el sistema inicial, destinadas a transformarlo
en un sistema diagonal. El número de operaciones elementales de este método,
es superior al del método de Gauss (alrededor de un 50% más).
 Sin embargo, a la hora de resolver el sistema de llegada por
remonte, el número de operaciones es menor, motivo
por el cual, el método de Gauss - Jordán es un método computacionalmente
bueno cuando tenemos que resolver varios sistemas con la misma matriz A y
resolverlos simultáneamente, utilizando el algoritmo de Gauss-Jordán.
 En base a lo anteriormente expuesto, solo haríamos
un proceso de eliminación en la matriz y la resolución de un sistema con esta
matriz es muy fácil. Un ejemplo en el que se suele usar Gauss - Jordán es
en el cálculo de la matriz inversa, ya que calcular la inversa de A, es calcular N
sistemas con la misma matriz.

4. Descomposición LU
 El método de Descomposición LU se basa en demostrar que una matriz A se
puede factorizar como el producto de una matriz triangular inferior L con una
matriz triangular superior U, donde en el paso de eliminación sólo se
involucran operaciones sobre los coeficientes de la matriz, permitiendo así
evaluar los términos independientes bi de manera eficiente.
 La implementación del algoritmo de la Descomposición LU tiene sus variantes
en cuanto a los valores iniciales de la diagonal que tomen las matrices L y U,
es decir si los valores de la diagonal de la matriz L tiene números 1,
formalmente esto se refiere a la Descomposición de Doolitle. Pero si los
valores de la diagonal de la matriz U tiene números 1, formalmente esto se
refiere a la Descomposición de Crout

5. Factorización de Cholesky
 Esta factorización se usa ampliamente en los programas de computadora para
determinar valores propios de una matriz, para resolver sistemas lineales y
para determinar aproximaciones por mínimos cuadrados
 Para encontrar las matrices Q y R se utiliza un método basado en
Transformaciones Sucesivas de Householder
Factorización de QR, Householder
 El método de Factorización de Cholesky se basa en demostrar que si una
matriz A es simétrica y definida positiva en lugar de factorizarse como LU,
puede ser factorizada como el producto de una matriz triangular inferior y la
traspuesta de la matriz triangular inferior, es decir los factores triangulares
resultantes

6. Solución De Sistemas Lineales Utilizando
Métodos Iterativos
 Un método iterativo da lugar a una sucesión de vectores que idealmente
converge a la solución. El cálculo se detiene cuando se cuenta con una
solución aproximada con cierto grado de precisión especificado de antemano
o después de cierto número de iteraciones. Los métodos indirectos son casi
siempre iterativos.
 Es evidente que si un método es convergente es consistente, sin embargo, el
recíproco no es cierto.

7. Método de Gauss Seidel
 Emplea valores iniciales y después itera para obtener estimaciones refinadas
de la solución; es particularmente adecuado para un gran número de
ecuaciones, lo cual en cierto modo lo hace un método más comúnmente
usado.
 La desventaja del método de Gauss-Seidel es que no siempre converge a la
solución exacta o algunas veces los hace de manera muy lenta. Únicamente es
confiable para aquellos sistemas dominantes diagonalmente.
Método de Jacobi
 El Método de Jacobi transforma una matriz simétrica en una matriz diagonal
al eliminar de forma simétrica los elementos que están fuera de la diagonal.
 Desafortunadamente, el método requiere un número infinito de operaciones,
ya que la eliminación de cada elemento no cero a menudo crea un nuevo
valor no cero en el elemento cero anterior.