Sistema de Ecuaciones Lineales David Alejandro Singer Saia UFT

1. UNIDAD III
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
David Alejandro Singer
CI. 21.048.686
Análisis Numérico
SAIA B
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
DECANATO DE INGENIERIA
ESCUELA DE COMPUTACION

2. • El objetivo primordial de la unidad III es conocer y entender los diferentes
métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, entre los cuales tenemos los de
eliminación y los iterativos.
• Entre los métodos de eliminación tenemos: Eliminación gaussiana, el método de
eliminación de Gauss-Jordan, (descomposición LU, factorización de Cholesky y el
de QR, factorización Householder.) Los métodos iterativos son el de Gauss Seidel y
el de Jacobi.
CONTENIDOS:

3. MÉTODOS DE ELIMINACIÓN:
Eliminación Gaussiana: Este método consiste en descomponer una matriz ampliada
del sistema de ecuaciones dado, en una matriz Diagonal superior o Diagonal inferior,
y según el caso se hace sustitución hacia atrás o hacia adelante para hallar el valor
de las variables en cuestión.
Para la descomposición matricial existen varios métodos: descomposición LU,
factorización de Cholesky y el de QR, factorización Householder.
Para la eliminación Gaussiana se requiere conocer las operaciones básicas con
matrices, a saber:
• Cualquier renglón de la matriz de coeficientes aumentadas puede
multiplicarse por cualquier constante.
• Es posible sumar un múltiplo de un renglón a un múltiplo de cualquier otro
renglón.
• Es posible intercambiar el orden de dos renglones cualesquiera.

4. Supongamos que se quiere resolver el sistema:
4x1-2x2+x3=15
-3x1-x2+4x3=8
X1-x2+3x3 =13
La matriz ampliada es:
Si multiplicamos

5. La matriz final resultante se conoce por
matriz triangular superior, puesto que
todos los elementos por debajo de la
diagonal principal son ceros. Pudimos
haber hecho que todos los ceros
quedaran por encima de la diagonal
principal, en este caso sería una matriz
diagonal inferior.
Esta matriz podría descomponerse de la
forma A=L*U donde L es diagonal inferior
y U diagonal superior. Pero podría
descomponerse de la forma: A=L*Lt,
siendo Lt la transpuesta de la matriz
diagonal inferior (Esto se conoce por
factorización de Cholesky) y finalmente
pudimos descomponerla con el método
QR, que es un método computacional que
trabaja con valores propios de la matrices.

6. ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN:
Este método consiste en realizar las mismas operaciones anteriores pero en mayor
cantidad, pues se requiere dejar una matriz ampliada Diagonal, es decir los elementos por
encima y por debajo de la diagonal principal son ceros. En el ejemplo anterior, si
operásemos un poco mas deberíamos llegar a la matriz:

7. MÉTODOS ITERATIVOS:
• Los métodos anteriores son métodos fijos que utilizan un número determinado de
operaciones que permiten llegar a un resultado exacto o aproximado. Los métodos
iterativos resuelven un sistema de ecuaciones A.X=B a partir de valores iniciales Xo.
• Si el limite de Xn converge se dice que el método es consistente con el sistema y la
solución existente converge a la solución del mismo.
• Entre estos métodos tenemos el de Jacobi y el de Gauss-Seidel.

8. MÉTODO DE JACOBI:
El método Jacobi es el método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales más
simple y se aplica solo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como
ecuaciones.
Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para el lo se ordenan las ecuaciones y las
incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita i. En notación matricial se escribirse
como
Donde x es el vector de incógnitas
Se toma una aproximación para las soluciones y a ́esta se le designa por
Se itera en el ciclo que cambia la aproximación

9. Ejemplo partiendo de aplique dos iteraciones del método de jacobi para
resolver el sistema:
Solución
Debemos primeramente despejar de la ecuación la incógnita correspondiente
Escrito en la notación vectorial quedaría:
Aplicamos la primera iteración partiendo de
Aplicamos la segunda iteración partiendo de

10. Aplicamos la siguiente iteración partiendo de
Aplicamos la siguiente iteración partiendo de
Aplicamos la siguiente iteración partiendo de
Aplicamos la siguiente iteración partiendo de

11. EL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL:
El método de Gauss-Seidel es muy semejante al método de Jacobi. Mientras que en el de
Jacobi se utiliza el valor de las incógnitas para determinar una nueva aproximación, en el de
Gauss-Seidel se va utilizando los valores de las incógnitas recién calculados en la misma
iteración, y no en la siguiente. Por ejemplo, en el método de Jacobi se obtiene en el primer
calculo xi+1, pero este valor de x no se utiliza sino hasta la siguiente iteración. En el método
de Gauss-Seidel en lugar de eso se utiliza de xi+1 en lugar de xi en forma inmediata para
calcular el valor de yi+1 de igual manera procede con las siguientes variables; siempre se
utilizan las variables recién calculadas

12. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL: EJEMPLO
Partiendo de aplique dos iteraciones del método de Gauss-Seidel para
resolver el sistema:
Solución
Debemos primeramente despejar de la ecuación la incógnita correspondiente
Aplicamos la primera iteración partiendo de

13. Aplicamos la tercera iteración partiendo de
Aplicamos la segunda iteración partiendo de