El documento explica los conceptos de estimación por intervalos y intervalos de confianza. Explica que la estimación puntual aproxima el valor de un parámetro poblacional sin indicar el error, mientras que la estimación por intervalos considera un rango que incluye el parámetro real con cierta probabilidad. Luego detalla cómo construir intervalos de confianza para la media a partir de una muestra, usando la distribución normal y el estadístico Z.

1. ESTADÍSTICA APLICADA
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1

2. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
La estimación puntual aproxima mediante un número,
el valor de una característica poblacional o parámetro
desconocido, sin embargo, no nos indica el error que se
puede estar cometiendo en aquella estimación.
Lo criterioso, no sólo es trabajar con la estimación
puntual del parámetro; sino también considerar un
intervalo que mida el margen de error de la estimación.
El objetivo de la estimación por parámetros, es la
construcción de la estimación por intervalos de
confianza.

3. Utilizamos los Intervalos de Confianza, cuando el
azar juega un papel preponderante en la obtención de
los datos.
Un intervalo de confianza para un parámetro con nivel
de confianza 1 − 𝛼 con 0 < 𝛼 < 1 es un intervalo de
extremos aleatorios 𝐿, 𝑈 que con probabilidad 1 − 𝛼,
contiene al parámetro que debemos observar:
𝑃 𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ∈ 𝐿, 𝑈 = 1 − 𝛼
0,9 ֜ 90%
0,95 ֜ 95%
0,99 ֜ 99%

4. Para la estimación de Intervalos de Confianza (IC)
debemos partir con una muestra 𝑥1; … … . ; 𝑥𝑛; luego
con estos valores, obtendremos un intervalo numérico.
Ejemplo: Un IC del 98% indica, que si tomamos 100
muestras, el verdadero valor del parámetro estará
dentro del intervalo en aproximadamente 98 de los
intervalos construidos.
IC para la Media
Dada la DE ֜ 𝜇 (𝜇: 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎)
Para la construcción del IC, consideraremos la variable
𝑋 ∈ 𝑁 𝜇, 𝜎 , que represente a la característica que
estamos midiendo (con 𝜎 conocido)

5. Consideremos una muestra aleatoria simple 𝑋1; … . ; 𝑋𝑛
de la variable 𝑋.
Dado 1 -  → 𝑇 =
ҧ
𝑥−𝜇
𝜎
𝑛
(Estadístico Pivote)
Por otra parte, la media muestral verifica que:
ҧ
𝑥 ∈ 𝑁 𝜇,
𝜎
𝑛
Por otra parte:
ҧ
𝑥−𝜇
𝜎
𝑥
sigue una distribución normal
estándar 𝑁 0,1

6. Teniendo en cuenta que:
𝛼
2
= 𝑃 𝑍 ≥ 𝑍 Τ
𝛼
2
, sabemos:
Así:
1 − 𝛼 = 𝑃 −𝑍 ൗ
𝛼
2
<
ҧ
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑛
< 𝑍 ൗ
𝛼
2

7. Despejar 𝜇: 1 − 𝛼 = 𝑃 −𝑍 Τ
𝛼
2
<
ҧ
𝑥−𝜇
𝜎
𝑛
< 𝑍 Τ
𝛼
2

9. Despejando 𝜇, nos quedó:
1 − 𝛼 = 𝑃 ത
𝑋 − 𝑍 ൗ
𝛼
2
∙
𝜎
𝑛
< 𝜇 < ത
𝑋 + 𝑍 ൗ
𝛼
2
∙
𝜎
𝑛
Por lo tanto, el Intervalo de Confianza para 𝜇, al nivel
de confianza 1 − 𝛼, es:
𝐿, 𝑈 = ത
𝑋 − 𝑍 ൗ
𝛼
2
∙
𝜎
𝑛
, ത
𝑋 + 𝑍 ൗ
𝛼
2
∙
𝜎
𝑛

10. A considerar:
- El Objetivo primordial de la construcción de un IC,
es la obtención de un intervalo, sobre el cual se
encuentra el fidedigno valor del parámetro de una
determina probabilidad.
- Un IC es un rango de valores, que presumiblemente,
incluye un parámetro de la población que es
desconocido.
- Describe la variablidad entre la media obtenida y la
media real de la población, de este modo,
corresponde a un rango de valores cuya distribución
debe ser normal.

11. Ejemplo : Si en una muestra aleatoria de tamaño 20
de una población normal con varianza 225, tiene una
media muestral de 64,3. Construya un IC del 95% para
𝜇.

13. Ejemplo: Realizar el cálculo para un nivel de
confianza de 95%.

14. Ejemplo: Realizar el cálculo para un nivel de
confianza de 90%.

15. Definición: Si se utiliza ҧ
𝑥 como estimación de 𝜇,
entonces se puede tener una confianza del 1 − 𝛼 100%
de que el error, no excederá una cantidad específica 𝑒
cuando el tamaño de la muestra es:

16. Ejemplo: Si en una muestra aleatoria de tamaño 20 de
una población normal, con varianza 225, tiene una
media muestral de 64,3. ¿Qué tan grande debe ser la
muestra si se desea una confianza del 95%, de que la
estimación de 𝜇 difiera de esta por menos de 0,05?

18. Definición: Si ҧ
𝑥 es la media de una muestra aleatoria
de tamaño 𝑛 de una población normal con varianza
desconocida, el intervalo de confianza de 1 − 𝛼 100%
para 𝜇 es:

19. Ejemplo: Una empresa de limpieza, quiere determinar el
tiempo promedio de secado, que tiene una nueva máquina
secadora de alfombras. Si para una prueba de 12 alfombras de
igual superficie, obtiene un tiempo medio de secado de 66,3
minutos y una desviación estándar de 8,4 minutos.
Construya un intervalo del 95% de confianza para 𝜇, si el tiempo
de secado tiene una distribución normal.

21. Definición: Si se usa ҧ
𝑥 como una estimación de 𝜇, se
puede tener una confianza del 1 − 𝛼 100% de que el
error, no excederá de: 𝑒 = 𝑡𝛼
2
∙
𝑆
𝑛
Ejemplo: Usando el ejemplo anterior, determine el
tamaño de la muestra, si el error no debe exceder de
0,25.