Este documento describe los intervalos de confianza, que son rangos de valores entre los cuales se espera que se encuentre un parámetro desconocido con una cierta probabilidad. Explica que se requiere conocer la distribución del parámetro para construir el intervalo y cómo calcular los límites superior e inferior utilizando valores críticos de distribuciones como la normal. También incluye ejemplos numéricos de cálculos de intervalos de confianza para la media, varianza y proporción.

1. Intervalos de confianza
En estadística, se llama intervalo de confianza a un par
de números entre los cuales se estima que estará cierto
valor desconocido con una determinada probabilidad de
acierto..
. La probabilidad de éxito en la estimación se representa con
1-α.
En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio

2. • Para la construcción de un determinado intervalo de
confianza es necesario conocer la distribución teórica
que sigue el parámetro a estimar, θ. Es habitual que el
parámetro presente una distribución normal. También
pueden construirse intervalos de confianza con la
desigualdad de Chebyshov.
• En definitiva, un intervalo de confianza al 1 - α por
ciento para la estimación de un parámetro poblacional
θ que sigue una determinada distribución de
probabilidad, es una expresión del tipo [θ1, θ2] tal que
P[θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α, donde P es la función de
distribución de probabilidad de θ.

3. • Ejemplo:
• Se desea obtener una expresión tal que
• En esta distribución normal de medias se puede
calcular el intervalo de confianza donde se encontrará
la media poblacional si sólo se conoce una media
maestral ( ), con una confianza determinada.
Habitualmente se manejan valores de confianza del 95
y del 99 por ciento. A este valor se le llamará
• debido a que es el error que se cometerá, un término
opuesto).

4. • Para ello se necesita calcular el punto , mejor
dicho, su versión estandarizada valor crítico—
junto con su "opuesto en la distribución“ . Estos
puntos delimitan la probabilidad para el intervalo,
como se muestra en la siguiente imagen:

5. • 1- Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a
una matriz de 15
• estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507,
513, 492, 534,
• 523, 452, 464, 562, 584, 507, 461
• Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente,
determine un intervalo de
• confianza para la media a un nivel de confianza del 95%.
• Solución:
• Mediante los cálculos básicos obtenemos que la media maestral vale
505,35 y la desviación
• típica 42,54.
• Buscando en las tablas de la t de Student con 16 grados de libertad,
obtenemos que el valor
• que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2,12
• Sustituyendo estos valores en la expresión del intervalo de confianza
de la media tenemos:
• (505,35 - 2,12 · 42,54 / 4 ,, 505,35 + 2,12 · 42,54 / 4)
• operando
• ( 482,80 ,, 527,90 )

6. • 2- En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de
extroversión tienen una
• media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64.
• a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de
confianza, a un nivel del
• 90%, para la media de la población.
• b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el máximo
error que podríamos
• cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la
estimación puntual.
• Solución:
• a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor
que deja por debajo una
• probabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los
valores de esta muestra
• en la expresión del intervalo de confianza obtenemos:
• ( 32,7 - 1,671 · 12,64 / 8 ,, 32,7 + 1,671 · 12,64 / 8 )

7. • operando
• ( 30,06 ,, 35,34 )
• b) En las tablas de la t de Student encontramos que el
valor de la variable que deja por
• debajo una probabilidad de 0,975 es 2. En consecuencia
a un nivel de confianza del 95% la
• media de la población puede valer
• 32,7 ± 2 · 12,64 / 8
• luego el máximo error que se puede cometer, a este nivel
de confianza, es: 3,16

8. • 3- Con los datos del problema 1, calcule a un nivel de confianza del 90% un intervalo
de
• confianza para la varianza e indique cual sería el máximo error por exceso y por
defecto que
• podría cometerse utilizando el estimador insesgado de la varianza.
• Solución:
• Mediante cálculos básicos obtenemos que la varianza de la muestra vale 1809,29 y
la
• cuasi varianza 1922,37
• En las tablas de la Ji-cuadrado encontramos que el valor que deja por debajo una
• probabilidad de 0,05 es 7,96 y que 26,30 deja por debajo una probabilidad de 0,95.
• Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para la varianza tenemos:
• ( 17 · 1809,29 / 26,30 ,, 17 · 1809,29 / 7,96 )
• operando
• ( 1169,50 ,, 3864,06 )
• Por tanto el error por defecto sería 1922,37 - 3864,06 = -1941,69
• y el error por exceso 1922,37 – 1169,50 = 752,87

9. • 4- En una muestra de 300 universitarios el 80% ha
respondido que asiste semanalmente al
• cine. Entre que valores se encuentra, con un nivel de
confianza del 95%, la proporción de
• universitarios que acude todas las semanas al cine.
• Solución:
• En las tablas de la Normal encontramos que el valor de la
variable que deja por debajo una
• probabilidad de 0,975 es 1,96.
• Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza
para una proporción: