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Análisis estructural de placas con elementos finitos

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EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 1 EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANALISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. mromo@espe.edu.ec Centro de Investigación Científica Escuela Politécnica del Ejército RESUMEN Se presenta una introducción a la utilización de los elementos finitos en el análisis estructural de placas, para lo que se revisan las ecuaciones básicas de la Teoría de la Elasticidad, y se da una interpretación física al Método de Ensamblaje Directo, empleado en el Análisis Matricial de Estructuras; esa misma interpretación se puede usar también en elementos finitos. Además se establece una metodología genérica y directa tipo Rayleigh-Ritz, basada en la minimización de la energía potencial y en campos de desplazamientos predefinidos, para la deducción de las matrices de rigideces de los elementos finitos, tomando como referencia a un cuadrilátero plano para placas. Se adjunta un programa de computación para el análisis de placas planas que incluyen elementos finitos cuadriláteros, y se comparan resultados numéricos con paquetes comerciales de análisis estructural. Se presenta una gran variedad de ejercicios de aplicación, incluyendo condiciones de borde especiales. ABSTRACT An introduction to the use of finite elements in structural analysis of plates is presented. Basic equations of Elasticity Theory are reviewed, and a physical interpretation of the Direct Assembly Method is introduced; such interpretation can be adapted to finite elements. A generic methodology of a Rayleigh-Ritz type, based on potential energy minimization and predefined displacements is established to deduce stiffness matrices for finite elements, using as a reference a flat plate quadrilateral. A computer program for flat plate analysis is provided, which includes quadrilateral finite elements. Numerical results of the program are compared to results in commercial structural analysis software. A large number of examples are presented, including special border conditions. 1. INTRODUCCIÓN: El método de los elementos finitos es un método genérico para obtener soluciones numéricas, con una precisión aceptable, a muchos problemas complejos de ingeniería, constituidos o modelados mediante continuos. A través del método de los elementos finitos se ha conseguido abordar, con eficiencia, problemas tan disímiles como el análisis estructural, la transferencia de calor, el flujo de fluidos, los campos eléctricos, etc.
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 2 Si se quisieran determinar los desplazamientos en la placa de la figura, los métodos clásicos nos conducirían al planteamiento de ecuaciones diferenciales parciales sin solución numérica específica, debido a que la estructura y el estado de carga son demasiado complicados. Para utilizar el método de los elementos finitos, por otro parte, se requiere discretizar el continuo material en un número finito de sectores (elementos finitos con dimensiones finitas), con geometría más simple, interconectados entre sí a través de nudos. En cierto modo, los elementos finitos son pequeños pedazos de la estructura real. El hecho de idealizar la interconexión entre los elementos finitos exclusivamente a través de sus nudos, podría determinar que solamente en tales nudos se cumplan obligatoriamente las condiciones de compatibilidad de deformación. El resultado que se obtendría es una flexibilización excesiva de la estructura, pues se permitirían traslapes, separaciones o quiebres entre caras de los elementos contiguos.
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 3 Es evidente que éste no es el comportamiento de la estructura real, por lo que para un modelamiento más apropiado, los elementos finitos aparentemente deberían deformarse siguiendo elásticas que mantengan la continuidad entre elementos, consiguiéndose de este modo compatibilidad de deformaciones entre las caras adyacentes de los elementos (no siempre ese enfoque es el más conveniente, pero es un buen punto de partida). Los triángulos y los cuadriláteros planos, constituyen los elementos finitos bidimensionales más utilizados en el análisis estructural, tanto por la facilidad con que se adaptan a casi cualquier configuración geométrica, como por la relativa simplicidad de determinación de sus matrices de rigideces. Las barras lineales, que conforman las estructuras aporticadas y las celosías, constituyen los elementos finitos naturales. El estudio de las barras lineales ha sido extenso, y los tratados de Análisis Matricial de Estructuras detallan la manera de modelar su comportamiento.
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 4 Cuando se presentan continuos tridimensionales (como la presa de la siguiente figura), es usual la utilización de elementos finitos poliédricos, como el hexaedro o el tetraedro. En el caso de continuos superficiales curvos, se suelen utilizar cuadriláteros fuera de plano (los cuatro vértices del cuadrilátero no pertenecen a un mismo plano).
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 5 2. ECUACIONES DE LA TEORÍA DE LA ELASTICIDAD: La Teoría de la Elasticidad es un auxilio importante para comprender el Método de los Elementos Finitos. La siguiente figura representa un elemento diferencial plano de espesor constante “t” (no es un elemento finito pues tiene dimensiones infinitamente pequeñas en lugar de dimensiones finitas). Las fuerzas por unidad de volumen “Fx” y “Fy”, que actúan sobre el cuerpo, pueden provenir de la acción de la aceleración de la gravedad, aceleraciones sísmicas, campos magnéticos, etc. a) Ecuaciones Diferenciales de Equilibrio: Planteando equilibrio de fuerzas, en el elemento diferencial bidimensional, en las direcciones “x” y “y”, se tiene:
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 6 0tdydxFtdxdy y tdydx x x xyx =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ∂ τ∂ +⋅⋅⋅ ∂ σ∂ 0tdydxFtdxdy y tdydx x y yyx =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ∂ σ∂ +⋅⋅⋅ ∂ τ∂ Simplificando: 0F yx x xyx =+ ∂ τ∂ + ∂ σ∂ 0F yx y yyx =+ ∂ σ∂ + ∂ τ∂ Donde: xyyx τ=τ Lo que transforma las ecuaciones previas en: 0F yx x xyx =+ ∂ τ∂ + ∂ σ∂ 0F yx y yxy =+ ∂ σ∂ + ∂ τ∂ Por analogía, las ecuaciones diferenciales de equilibrio en un elemento diferencial tridimensional son: 0F zyx x xzxyx =+ ∂ τ∂ + ∂ τ∂ + ∂ σ∂ 0F zyx y yzyxy =+ ∂ τ∂ + ∂ σ∂ + ∂ τ∂ 0F zyx z zyzxz =+ ∂ σ∂ + ∂ τ∂ + ∂ τ∂ b) Compatibilidad de Deformaciones: Cuando un cuerpo elástico se deforma, el campo de desplazamientos es continuo, sin que se produzcan aberturas, traslapes o quiebres de la elástica, lo que da lugar a las condiciones de compatibilidad de deformaciones. Al considerar la compatibilidad de deformaciones en el elemento diferencial plano, las tres deformaciones unitarias “ex”, “ey”, “γxy”, están interrelacionadas, y son función de dos campos de desplazamientos: )y,x(uu = )y,x(vv = De igual manera, al considerar la compatibilidad de deformaciones en el elemento diferencial tridimensional, las seis deformaciones unitarias “ex”, “ey”, “ez”, “γxy”, “γyz”, “γzx”, son función de tres campos de desplazamientos: )z,y,x(uu =
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 7 )z,y,x(vv = )z,y,x(ww = c) Relación entre Desplazamientos y Deformaciones Unitarias: La relación existente entre los desplazamientos y las deformaciones unitarias es fundamental en la formulación de la matriz de rigideces de los elementos finitos. Si se expresa matricialmente la relación entre desplazamientos y deformaciones unitarias para el elemento diferencial bidimensional, se tiene: { }       ⋅                   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =                   ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =           γ ε ε =ε v u xy y 0 0 x x v y u y v x u xy y x Por analogía, la relación entre desplazamientos y deformaciones unitarias para el caso del elemento diferencial tridimensional es:
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 8 { }           ⋅                                 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =                                   ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =                     γ γ γ ε ε ε =ε w v u x 0 z yz 0 0 xy z 00 0 y 0 00 x x w z u y w z v x v y u z w y v x u zx yz xy z y x d) Relaciones Esfuerzo Unitario - Deformación Unitaria: Para el caso de materiales ortotrópicos (materiales con características elásticas diferentes en cada una de las tres direcciones ortogonales principales), en continuos tridimensionales, se tienen las siguientes relaciones: z z xz y y xy x x x EEE 1 σ⋅ µ −σ⋅ µ −σ⋅+=ε [1] z z xz y y x x xy y EE 1 E σ⋅ µ −σ⋅+σ⋅ µ −=ε [2] z z y y yz x x xz z E 1 EE σ⋅+σ⋅ µ −σ⋅ µ −=ε [3] xy xy xy G τ =γ [4] yz yz yz G τ =γ [5] xz xz xz G τ =γ [6] Para el caso de materiales isotrópicos (materiales con características elásticas idénticas en todas las direcciones), en continuos tridimensionales, se tienen las siguientes relaciones simplificadas: zyxx EEE 1 σ⋅ µ −σ⋅ µ −σ⋅+=ε [1’] zyxy EE 1 E σ⋅ µ −σ⋅+σ⋅ µ −=ε [2’] zyxz E 1 EE σ⋅+σ⋅ µ −σ⋅ µ −=ε [3’] G xy xy τ =γ [4’]
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 9 G yz yz τ =γ [5’] G xz xz τ =γ [6’] Donde: )1(2 E G µ+ = Expresando matricialmente las relaciones correspondientes a elementos bidimensionales isotrópicos, bajo condición de esfuerzos planos (se eliminan las ecuaciones “3’ ”, “5’ ” y “6’ ”, y los esfuerzos “s z”, “tyz”y “tzx”), se tiene: { } [ ] { }σ⋅=           τ σ σ ⋅           µ+ +µ− µ−+ =           γ ε ε =ε C )1(200 01 01 E 1 xy y x xy y x La relación matricial inversa para esfuerzos planos es: { } [ ] { }ε⋅=           γ ε ε ⋅             µ− µ µ µ− =           τ σ σ =σ E 2 1 00 01 01 1 E xy y x 2 xy y x Evidentemente la matriz [E] es la matriz inversa de [C]. [E] = [C]-1 La matriz [C] recibe el nombre de matriz de deformabilidad del material, y la matriz [E] se denomina matriz de elasticidad del material. La relación matricial entre deformaciones unitarias y esfuerzos unitarios, para continuos tridimensionales, con materiales isotrópicos es:                     τ τ τ σ σ σ ⋅                     µ+ µ+ µ+ µ−µ− µ−µ− µ−µ− =                     γ γ γ ε ε ε xz yz xy z y x xz yz xy z y x )1(200000 0)1(20000 00)1(2000 0001 0001 0001 E 1 La relación matricial inversa es:
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 10                     γ γ γ ε ε ε ⋅                                 µ− µ− µ− µ− µ− µ− µ− µ µ− µ µ− µ µ− µ µ− µ µ− µ µ−µ+ µ− =                     τ τ τ σ σ σ xz yz xy z y x xz yz xy z y x )1(2 21 00000 0 )1(2 21 0000 00 )1(2 21 000 0001 11 000 1 1 1 000 11 1 )21)(1( )1(E Para el caso de continuos tridimensionales, con materiales isotrópicos, bajo condiciones de deformaciones planas, se descartan las filas “3”, “5”y “6”, de la matriz [E] de 6x6, y se define “ez = 0”, “γyz = 0”y “γxz = 0”, obteniéndose: { } [ ]{ }ε=           γ ε ε             µ− µ−µ µµ− µ−µ+ =           τ σ σ =σ E 2 21 00 01 01 )21)(1( E xy y x xy y x Para el caso de placas planas delgadas, cuyo comportamiento está gobernado por el efecto de flexión, las deformaciones de interés son las curvaturas de la superficie neutra de la estructura, y los esfuerzos requeridos son los momentos flectores por unidad de longitud. [ ]{ }ε=                       µ− µ µ µ− ⋅ =           E æ æ æ 2 21 00 01 01 )1(12 tE M M M xy yy xx 2 3 xy yy xx Donde: Mxx : Momento flector por unidad de longitud alrededor del eje “x”. Myy : Momento flector por unidad de longitud alrededor del eje “y”. Mxy : Momento torsor por unidad de longitud sobre el plano “xy” (alrededor del eje “z”). 2 2 xx x w æ ∂ ∂ = : curvatura de flexión alrededor del eje “x” 2 2 xx y w æ ∂ ∂ = : curvatura de flexión alrededor del eje “y” y.x w æ 2 xx ∂∂ ∂ = : curvatura de torsión
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 11 3. INTERPRETACIÓN FÍSICA DEL MÉTODO DE ENSAMBLAJE DIRECTO: El Método de Ensamblaje Directo, empleado tradicionalmente en el análisis matricial de estructuras aporticadas y en celosía, es la utilización del principio de que, la solicitación (fuerza o momento) nodal que se requiere, para que varios elementos que convergen a un mismo nudo de la estructura tengan una misma magnitud de corrimiento nodal (desplazamiento o rotación compatible, usualmente unitario), es igual a la suma de las solicitaciones que se requieren para conseguir dicha deformación en cada uno de los elementos que convergen al nudo. Dado que los componentes de las matrices de rigideces de cada uno de los elementos de una estructura, son las fuerzas o momentos nodales que se necesitan para mantener una deformación unitaria en uno de los nudos de un elemento estructural, la formación de la matriz de rigideces global de la estructura puede reducirse a la suma selectiva de los componentes de las matrices de rigideces de todos los elementos de una estructura. Este proceso se conoce como Ensamblaje Directo. Los mismos criterios empleados para la utilización del Método de Ensamblaje Directo en el análisis de pórticos y celosías, pueden ser empleados para analizar continuos discretizados mediante elementos finitos. Elásticas de Deformación Fundamentales de las Barras Planas:
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 12 Elásticas de Deformación Correspondientes a los Corrimientos Unitarios de los Grados de Libertad de la Estructura: Por cada desplazamiento nodal desconocido de la estructura se plantea una ecuación de equilibrio de fuerzas, y por cada rotación nodal desconocida se plantea una ecuación de equilibrio de momentos. Cada componente de la matriz de rigideces de la estructura (matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones de equilibrio), se puede obtener directamente de las elásticas de deformación para corrimientos unitarios, sumando las solicitaciones de todas las barras que concurren al nudo donde se está especificando la condición de equilibrio.
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 13 Ecuaciones de equilibrio del pórtico: δx3 δy3 θz3 δx4 δy4 θz4 = Término Independiente 320 +4 0 600 -320 0 0 2 ΣFx3 0 600 +1.024 256 0 -1.024 256 -7.50 ΣFy3 600 256 180000 +17066 7 0 -256 85333 -625 ΣMz3 -320 0 0 320 +4 0 600 0 ΣFx4 0 -1.024 -256 0 600 +1.024 -256 -7.50 ΣFy4 0 256 85333 600 -256 180000 +17066 7 625 ΣMz4 En análisis matricial de estructuras, en lugar de emplear las elásticas de deformación para corrimientos unitarios de los grados de libertad, se calculan matrices de rigideces, en coordenadas globales, para cada barra (cada componente de la matriz de rigideces se calcula en base a corrimientos unitarios en los extremos de barra) y, durante el ensamblaje de la matriz de rigideces de la estructura global se realiza la suma de componentes consistentes de las matrices de rigideces de diferentes elementos. Este proceso es numéricamente equivalente a utilizar las elásticas de deformación, y recibe el nombre de Ensamblaje Directo. Los términos independientes, son las solicitaciones nodales más las solicitaciones de barra transformadas a solicitaciones nodales. )z()y()x()z()y()x( 333111 θδδθδδ [ ] )Mz( )(Fy )(Fx )Mz( )(Fy )(Fx 1800000600900000600- 060000600-0 60004.00060004.000- 9000006001800000600- 0600-006000 600-04.000-600-04.000 K 3 3 3 1 1 1 31                     =−
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 14 )z()y()x()z()y()x( 444222 θδδθδδ [ ] )Mz( )(Fy )(Fx )Mz( )(Fy )(Fx 1800000600900000600- 060000600-0 60004.00060004.000- 9000006001800000600- 0600-006000 600-04.000-600-04.000 K 4 4 4 2 2 2 42                     =− )z()y()x()z()y()x( 333222 θδδθδδ [ ] )Mz( )(Fy )(Fx )Mz( )(Fy )(Fx 1706672560853332560 256024.10256024.10 0032000320 8533325601706672560 256024.10256024.10 0032000320 K 3 3 3 2 2 2 32                     − −−− − − − − =− Si mediante algún proceso especial (luego se describirá tal proceso), se pudieran determinar las rigideces de los elementos finitos que conforman un continuo (por ejemplo un cuadrilátero plano en placas delgadas), no existiría ningún obstáculo para que se construyan elásticas de deformación correspondientes a corrimientos unitarios de nudo, que permitan visualizar físicamente los componentes de las diferentes ecuaciones de equilibrio que deberían plantearse. Como alternativa podrían utilizarse las matrices de rigideces de los elementos finitos, en conjunto con el método de ensamblaje directo, para conseguir el mismo objetivo. Si se supone que los nudos de la placa solamente admiten un desplazamiento transversal y dos rotaciones como corrimientos, y que la estructura está empotrada en su perímetro, el número total de grados de libertad de la estructura sería de 9. Las elásticas correspondientes a los 3 corrimientos unitarios del nudo “7” de la estructura serían:
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 15 1w7 = 1x7 =θ 1y7 =θ 4. LA ENERGÍA POTENCIAL Y EL MÉTODO RAYLEIGH - RITZ: a) Energía Potencial: La Energía Potencial de un sistema estructural se designa “pP”, y se puede expresar como función de los corrimientos. Cuando “pP” se minimiza con respecto a los corrimientos, da lugar a ecuaciones de
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 16 equilibrio de la forma [ ] { } { }RDK =⋅ Un sistema estructural es conservativo si, partiendo de una configuración inicial, sufre corrimientos arbitrarios y retorna a la configuración inicial sin efectuar trabajo físico alguno (realiza trabajo nulo). Una configuración o un corrimiento es admisible cuando no viola ni las condiciones internas de compatibilidad, ni las condiciones de borde esenciales. b) Energía Potencial en Sistemas con un Grado de Libertad: Como ejemplo, se puede tomar un resorte suspendido, de longitud “L”, de rigidez axial “k”, en cuyo extremo libre se aplica una fuerza “P”, y se permite un desplazamiento vertical “D” en el lugar de aplicación de la fuerza. La energía potencial (capacidad de realizar trabajo a futuro) de un sistema estructural tiene dos componentes: Ø Energía Potencial de Deformación de la estructura. Ø Energía Potencial de las solicitaciones.
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 17 Si se toma como nivel de referencia al extremo libre del resorte cuando no está solicitado por la fuerza, la energía potencial del sistema, después de aplicada la fuerza y producidos los corrimientos es: D.PDk 2 1 2 P −⋅⋅=π El signo negativo de la energía potencial de la fuerza obedece a que, una vez realizado el trabajo, la fuerza ha perdido capacidad de realizar trabajo a futuro. Derivando la energía potencial “pP” con respecto a “D”, e igualando a cero para obtener un mínimo, se tiene: 0PDk =−⋅ PDk =⋅ Esta ecuación es exactamente la misma que se plantearía al imponer condiciones de equilibrio en el sistema. k P Deq = Si alternativamente se toma como nivel de referencia a un punto ubicado “H” unidades hacia abajo del extremo libre del resorte cuando no está solicitado por la fuerza, la energía potencial del sistema se describiría como: )CH(PDk 2 1 2 P −⋅−⋅⋅=π Derivando la nueva ecuación de energía potencial con respecto a “D”, e igualando a cero para obtener un mínimo, se tiene: 0PDk =−⋅ PDk =⋅ Nuevamente se obtiene que: k P Deq = El resultado obtenido es independiente de cualquier nivel de referencia que se escoja para definir la energía potencial del sistema estructural, por lo que resultaría conveniente escoger aquel que defina las expresiones más sencillas o las más convenientes para simplificación. Cualitativamente se puede decir que las solicitaciones pierden energía potencial cuando han realizado trabajo sobre una deformación en la misma dirección que la solicitación, mientras que los resortes almacenan energía potencial positiva sin importar la dirección de la deformación. La representación gráfica de las dos ecuaciones antes detalladas indica que la energía potencial ha sido minimizada, y que los mínimos son coincidentes:
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 18 De todas las configuraciones admisibles de la elástica de deformación de un sistema conservativo, aquellas que satisfacen las ecuaciones de equilibrio convierten a la energía potencial del sistema en estacionaria con respecto a pequeñas variaciones de los corrimientos. c) Energía Potencial en Sistemas con Múltiples Grados de Libertad: Se dice que un sistema tiene “n” grados de libertad, si se requieren “n” magnitudes independientes para definir su configuración. En este caso, la energía potencial del sistema será función de la magnitud de los diferentes grados de libertad. )D...,,D,D,D(F n321P =π Si se aplica la condición estacionaria de la energía potencial se tiene: 0 Di P = ∂ π∂ )n...,,3,2,1i( = El resultado es un sistema de “n” ecuaciones simultáneas con “n” incógnitas. Como ejemplo, se pueden tomar tres resortes en serie, de rigideces axiales “k1”, “k2” y “k3”, en cuyos extremos se aplican fuerzas “P1”, “P2”y “P3”, respectivamente, y se permiten desplazamientos absolutos “D1”, “D2”y “D3” en los sitios de aplicación de las fuerzas. La energía potencial del sistema, después de las deformaciones es: 332211 2 233 2 122 2 11P DPDPDP)DD(k 2 1 )DD(k 2 1 Dk 2 1 ⋅−⋅−⋅−−⋅+−⋅+⋅=π Derivando con respecto a cada corrimiento, e igualando a “0”, para minimizar la energía potencial del sistema, se tiene:
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 19 0P)DD(kDk D 112211 1 P =−−⋅−⋅= ∂ π∂ 0P)DD(k)DD(k D 2233122 2 P =−−⋅−−⋅= ∂ π∂ 0P)DD(k D 3233 3 P =−−⋅= ∂ π∂ Organizando matricialmente el sistema de ecuaciones se tiene:           =           ⋅           − −+− −+ 3 2 1 3 2 1 33 3322 221 P P P D D D kk0 kkkk 0kkk La expresión matricial simplificada es: [ ] { } { }PDK =⋅ El sistema de ecuaciones es exactamente igual al que se obtendría planteando ecuaciones de equilibrio en los puntos de aplicación de las fuerzas. Una manera alternativa de plantear la ecuación de energía potencial, en términos matriciales, es: { } [ ] { } { } { }P.DDKD 2 1 TT P −⋅⋅=π En el caso del ejemplo previo, la expresión desarrollada de la ecuación de energía potencial es: [ ] [ ]           −           ⋅           − −+− −+ ⋅=π 3 2 1 321 3 2 1 33 3322 221 321P P P P .DDD D D D kk0 kkkk 0kkk DDD 2 1 d) Expresiones para la Energía Potencial: Se puede tomar como referencia el caso general de esfuerzos tridimensionales {s} y deformaciones tridimensionales {e}: { } [ ]T zxyzxyzyx τττσσσ=σ { } [ ]T zxyzxyzyx γγγεεε=ε La relación esfuerzo unitario - deformación unitaria en coordenadas rectangulares es: { } [ ] { }ε⋅=σ E Si se define como “Uo” a la energía potencial de deformación por unidad de volumen, tal magnitud representa el trabajo realizado por las fuerzas internas. En un cubo de dimensiones unitarias, el esfuerzo unitario es igual a la fuerza y la deformación unitaria es igual al desplazamiento sobre el que actúa el esfuerzo unitario. Con estas consideraciones, incluyendo todos los esfuerzos unitarios, las deformaciones unitarias infinitesimales producen un cambio en la energía de deformación interna de acuerdo a la siguiente expresión. { } { }T o ddU ε⋅σ=
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 20 zxzxyzyzxyxyzzyyxxo dddddddU γ⋅τ+γ⋅τ+γ⋅τ+ε⋅σ+ε⋅σ+ε⋅σ= Derivando parcialmente con relación a cada deformación unitaria se tienen las siguientes expresiones. x x odU σ= ε∂ y y odU σ= ε∂ z z odU σ= ε∂ xy xy odU τ= γ∂ yz yz odU τ= γ∂ zx zx odU τ= γ∂ Generalizando las expresiones anteriores, con ecuaciones matriciales: { } [ ] { }ε⋅=σ=       ε∂ E dUo Integrando con respecto a las deformaciones unitarias se tiene: { } [ ] { }ε⋅⋅ε= E 2 1 U T o Se definen a los desplazamientos de un punto arbitrario de coordenadas “x”, “y”, “z” con la siguiente expresión: { } [ ]T wvuf = Donde “u”, “v”, “w” son función de las coordenadas “x”, “y”, “z”. Las fuerzas por unidad de volumen pierden potencial cuando ocurren los desplazamientos en la misma dirección de las fuerzas. En un volumen unitario el cambio de energía potencial es: wFvFuFPotencialdeCambio zyx ⋅−⋅−⋅−= Un cuerpo de volumen “V” tiene una energía potencial total: { } { } { } { }PDdVFfdV.U T V T V oP ⋅−⋅⋅−=π ∫∫ La primera expresión es la energía de deformación interna, la segunda es el cambio de potencial en las fuerzas volumétricas, y la tercera es el cambio de potencial en las fuerzas que actúan sobre los nudos. Previamente se estableció que, para el caso de sistemas estructurales sin fuerzas volumétricas, la energía potencial podía calcularse con la siguiente expresión:
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 21 { } [ ] { } { } { }P.DDKD 2 1 TT P −⋅⋅=π Comparando las dos ecuaciones se deduce que: { } [ ] { } ∫ ⋅=⋅⋅ V o T dVUDKD 2 1 Reemplazando “Uo” en la expresión anterior: { } [ ] { } { } [ ] { }∫ ⋅ε⋅⋅ε=⋅⋅ V TT dVE 2 1 DKD 2 1 Simplificando: { } [ ] { } { } [ ] { }∫ ⋅ε⋅⋅ε=⋅⋅ V TT dVEDKD Esta relación permite la determinación de la matriz de rigideces de un elemento finito, en función de sus deformaciones unitarias internas. e) El Método Rayleigh - Ritz: Las estructuras con miembros discretos, como los pórticos y celosías, tienen un número finito de grados de libertad, pero los sistemas continuos pueden tener grados de libertad en cada uno de sus puntos, y su comportamiento se describe mediante ecuaciones diferenciales parciales simultáneas. Se puede evitar resolver dichas ecuaciones (en la gran mayoría de los casos no tienen solución cerrada), empleando el Método Rayleigh - Ritz, que utiliza expresiones matemáticas de interpolación para expresar los corrimientos de cada punto, en función de un número finito de grados de libertad. El Método Rayleigh - Ritz se vuelve más exacto mientras mayor sea el número de grados de libertad que se utilice. 5. EL ELEMENTO FINITO CUADRILÁTERO PLANO PARA MODELAR DEFORMACIONES FLEXIONANTES EN PLACAS DELGADAS: A continuación se presenta una metodología genérica para formular la matriz de rigideces de un elemento finito cuadrilátero plano, empleado en el análisis estructural de placas delgadas. Procedimientos muy similares se emplean en la deducción de matrices de rigideces de otros tipos de elementos finitos, utilizados en otros tipos de problemas estructurales.
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 22 a) El Cuadrilátero Plano en Coordenadas Globales: El elemento finito cuadrilátero plano puede tener una geometría real arbitraria. b) El Cuadrilatero Plano en Coordenadas Naturales: Para efectos de simplificar las operaciones se utiliza como referencia al elemento finito cuadrilátero plano en coordenadas normalizadas (coordenadas naturales).
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 23 A cada punto del cuadrilátero plano real le corresponde un punto del cuadrilátero normalizado con coordenadas naturales. Las ecuaciones de transformación entre los sistemas de coordenadas se discuten posteriormente. c) Grados de Libertad del Cuadrilátero Plano: Los grados de libertad (corrimientos) del cuadrilátero plano utilizado en el modelamiento de placas, tanto en coordenadas globales como en coordenadas naturales, son un desplazamiento “w” transversal al plano principal y dos rotaciones (“θx=∂w/∂y”, “θy=-∂w/∂x”) por cada nudo, lo que significa un total de 12 corrimientos referenciales para el elemento finito. d) Funciones de Forma de los Desplazamientos Nodales en el Cuadrilátero Plano en Coordenadas Naturales: Se definen las siguientes Funciones de Forma de los Corrimientos Nodales, cuya característica es la de ser funciones de dos variables (“r”, “s”) simples y manejables, que tienen valor unitario para uno de los grados de libertad de los nudos del elemento finito y valor nulo para los restantes once grados de libertad. Por facilidad de formulación se utiliza como base al elemento finito en coordenadas naturales, y posteriormente se realiza una transformación consistente de coordenadas para modelar los corromientos en el elemento finito en coordenadas reales. Los desplazamientos transversales en el elemento finito se describen mediante la variable “w”, la rotación de nudo alrededor del eje “x” es “θx=∂w/∂y”, y la rotación de nudo alrededor del eje “y” es “θy=-∂w/∂x”. Desplazamiento Unitario Perpendicular al Nudo “1” (w1=1): )2s3s)(2r3r( 16 1 w 33 +−+−=
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 24 Rotación Unitaria Alrededor del Eje “x” en el Nudo “1” (θx1=∂w1/∂s=1): )1sss)(2r3r( 16 1 w 233 +−−+−= Rotación Unitaria Alrededor del Eje “y” en el Nudo “1” (θy1=-∂w1/∂r=1): )2s3s)(1rrr( 16 1 w 323 +−−++−=
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 25 Desplazamiento Unitario Perpendicular al Nudo “2” (w2=1): )2s3s)(2r3r( 16 1 w 33 +−++−= Rotación Unitaria Alrededor del Eje “x” en el Nudo “2” (θx2=∂w2/∂s=1): )1sss)(2r3r( 16 1 w 233 +−−++−=
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 26 Rotación Unitaria Alrededor del Eje “y” en el Nudo “2” (θy2=-∂w2/∂r=1): )2s3s)(1rrr( 16 1 w 323 +−++−−= Desplazamiento Unitario Perpendicular en el Nudo “3” (w3=1): )2s3s)(2r3r( 16 1 w 33 ++−++−=
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 27 Rotación Unitaria Alrededor del Eje “x” en el Nudo “3” (θx3=∂w3/∂s=1): )1sss)(2r3r( 16 1 w 233 −−+++−= Rotación Unitaria Alrededor del Eje “y” en el Nudo “3” (θy3=-∂w3/∂r=1): )2s3s)(1rrr( 16 1 w 323 ++−++−−=
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 28 Desplazamiento Unitario Perpendicular al Nudo “4” (w4=1): )2s3s)(2r3r( 16 1 w 33 ++−+−= Rotación Unitaria Alrededor del Eje “x” en el Nudo “4” (θx4=∂w4/∂s=1): )1sss)(2r3r( 16 1 w 233 −−++−=
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 29 Rotación Unitaria Alrededor del Eje “y” en el Nudo “4” (θy4=-∂w4/∂r=1): )2s3s)(1rrr( 16 1 w 323 ++−−++−= f) Funciones de Transformación de Coordenadas: Para transformar coordenadas entre el elemento finito en coordenadas naturales y el elemento finito en coordenadas globales se utilizan las siguientes funciones paramétricas cuyo valor es unitario para las coordenadas de uno de los nudos y nulo para los tres restantes: )2s3s)(2r3r( 16 1 N 33 I +−+−= )2s3s)(2r3r( 16 1 N 33 II +−++−= )2s3s)(2r3r( 16 1 N 33 III ++−++−= )2s3s)(2r3r( 16 1 N 33 IV ++−+−= Las cuatro funciones paramétricas detalladas son coincidentes con las funciones que describen los cuatro desplazamientos transversales de nudo. Las expresiones de transformación entre los dos sistemas de coordenadas, que utilizan las funciones paramétricas detalladas anteriormente son: 4IV3III2II1I xNxNxNxNx ⋅+⋅+⋅+⋅= 4IV3III2II1I yNyNyNyNy ⋅+⋅+⋅+⋅= Reemplazando se tiene:
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 30         ++−+−+++−++−+ +−++−++−+− = 4 33 3 33 2 33 1 33 x)2s3s)(2r3r(x)2s3s)(2r3r( x)2s3s)(2r3r(x)2s3s)(2r3r( 16 1 x         ++−+−+++−++−+ +−++−++−+− = 4 33 3 33 2 33 1 33 y)2s3s)(2r3r(y)2s3s)(2r3r( y)2s3s)(2r3r(y)2s3s)(2r3r( 16 1 y g) Campo de Desplazamientos: En el literal “d” se detallan doce funciones de forma para describir los campos de desplazamientos transversales del elemento finito, basadas en los desplazamientos transversales y rotaciones de nudo. )2s3s)(2r3r( 16 1 N 33 1 +−+−= )1sss)(2r3r( 16 1 N 233 2 +−−+−= )2s3s)(1rrr( 16 1 N 323 3 +−−++−= )2s3s)(2r3r( 16 1 N 33 4 +−++−= )1sss)(2r3r( 16 1 N 233 5 +−−++−= )2s3s)(1rrr( 16 1 N 323 6 +−++−−= )2s3s)(2r3r( 16 1 N 33 7 ++−++−= )1sss)(2r3r( 16 1 N 233 8 −−+++−= )2s3s)(1rrr( 16 1 N 323 9 ++−++−−= )2s3s)(2r3r( 16 1 N 33 10 ++−+−= )1sss)(2r3r( 16 1 N 233 11 −−++−= )2s3s)(1rrr( 16 1 N 323 12 ++−−++−= El campo de desplazamientos transversales en el elemento finito normalizado es una función de los corrimientos nodales. La contribución de cada corrimiento nodal está definida por la respectiva función de forma. 412411410393837 262524131211 yNxNwNyNxNwN yNxNwNyNxNwNw θ⋅+θ⋅+⋅+θ⋅+θ⋅+⋅+ θ⋅+θ⋅+⋅+θ⋅+θ⋅+⋅= Se podrían utilizar formulaciones más sencillas (menos elaboradas) que incluyan como únicos grados de libertad los desplazamientos transversales de nudo, en dicho caso existirán solamente cuatro
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 31 funciones de forma que describan los desplazamientos, ylas mismas ecuaciones deben emplearse para las transformaciones de coordenadas. )s1)(r1( 4 1 NI −−= )s1)(r1( 4 1 NII −+= )s1)(r1( 4 1 NIII ++= )s1)(r1( 4 1 NIV +−= Basado en las últimas funciones de forma, la relación entre coordenadas sería: { }4321 x)s1)(r1(x)s1)(r1(x)s1)(r1(x)s1)(r1( 4 1 x +−++++−++−−= { }4321 y)s1)(r1(y)s1)(r1(y)s1)(r1(y)s1)(r1( 4 1 y +−++++−++−−= h) Relaciones Deformaciones Unitarias - Desplazamientos: Por el principio de Kirchoff, que es una extensión de una hipótesis básica de flexión en vigas, cualquier línea recta perpendicular al plano principal de una placa, antes de la aplicación de solicitaciones, mantiene su condición de recta después de la deformación provocada por las solicitaciones, lo que determina las siguientes equivalencias: yzu θ⋅= xzv θ⋅−= De las seis componentes de deformación unitaria en problemas tridimensionales (ex, ey, ez, γxy, γyz, γzx). En el presente caso ez se considera despreciable y se asume nula. 0 z w z = ∂ ∂ =ε Las restantes deformaciones unitarias se describen con las siguientes igualdades: x u x ∂ ∂ =ε y v y ∂ ∂ =ε x v y u xy ∂ ∂ + ∂ ∂ =γ y w z v yz ∂ ∂ + ∂ ∂ =γ x w z u xz ∂ ∂ + ∂ ∂ =γ Se requiere transformar las derivadas parciales respecto a las coordenadas x, y, z del elemento finito en coordenadas reales, tomando como base las derivadas respecto a r, s, t del elemento finito en coordenadas normalizadas, para lo que se utilizan las expresiones de la derivación en cadena para
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 32 funciones de funciones. r z z u r y y u r x x u r u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ s z z u s y y u s x x u s u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ t z z u t y y u t x x u t u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ Para el caso de placas la coordenada perpendicular al plano es independiente de las coordenadas coplanares, y es conveniente que sean coincidentes tanto en coordenadas reales como en coordenadas normalizadas. tz = De donde: 0 r z = ∂ ∂ 0 s z = ∂ ∂ 1 t z = ∂ ∂ 0 t x = ∂ ∂ 0 t y = ∂ ∂ Reemplazando en las derivaciones en cadena, y simplificando, se tiene: r y y u r x x u r u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ s y y u s x x u s u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ 1 t u = ∂ ∂ Se puede emplear un procedimiento similar para relacionar las derivadas parciales de v, w, respecto a r, s, t. Si se agrupan matricialmente las expresiones, se obtiene:                   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅                 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =                   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z u y u x u 100 0 s y s x 0 r y r x x u y u s u Expresiones similares pueden obtenerse para las derivadas parciales de v, w respecto a r, s, t.
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 33 La matriz de transformación obtenida recibe el nombre de matriz Jacobiana. [ ]                 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 100 0 s y s x 0 r y r x J La inversa de la matriz Jacobiana puede representarse: [ ] [ ]           Γ ΓΓ ==Γ − 100 0 0 J 2221 1211 1 Las relaciones inversas agrupadas se pueden expresar:                               ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⋅                                         ′′ ′′           ′′ ′′           ′′ ′′ =                               ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ − − − t s r t s r t s r 1 ss rr 1 ss rr 1 ss rr z y x z y x z y x w w w v v v u u u 100 0xx 0yx 100 0xx 0yx 100 0xx 0yx w w w v v v u u u Las derivadas de u, v, w respecto a r, s, t (u’y es la derivada parcial de “u” respecto a “y” o “∂u/∂y”)se calculan con las funciones de forma de w y las expresiones que relacionan las rotaciones de nudo con los corrimientos u, v.           θ θ⋅                             − ′⋅− ′⋅− − ′⋅− ′⋅− − ′⋅− ′⋅− =                               ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∑ = yi xi wi 00Ni 00iNz 00iNz Ni00 iNz00 iNz00 0Ni0 0iNz0 0iNz0 w w w v v v u u u n 1i s r s r s r t s r t s r t s r Donde n es el número de funciones de forma (12 para la solución más exacta y 4 para la solución simplificada). Se debe recordar que:
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 34 xx u′=ε yy v′=ε 0zz w =′=ε xyxy vu ′+′=γ yzyz wv ′+′=γ xzxz wu ′+′=γ Condensando las últimas expresiones para obtener matrices de cinco filas se tiene:           θ θ                                 −− − − +                 − − Σ=                 γ γ γ ε ε = yi xi i ii i i ii ii n 1i xz yz xy y x w 000 000 a.zb.z0 b.z00 0a.z0 0Na N0b 000 000 000 O en su forma simplificada: { } [ ] { }dB ⋅=ε Donde: s12r11i iNiNa ′⋅Γ+′⋅Γ= s22r21i iNiNb ′⋅Γ+′⋅Γ= i) Derivadas Parciales de las Funciones de Forma: A continuación se presenta un resumen de las derivadas parciales que se requieren para determinar la matriz de rigideces de los elementos finitos cuadriláteros en placas. Las derivadas parciales que aparecen en la Matriz Jacobiana, y que son utilizadas con las 4 funciones de forma nodales, son:         ++−−+ +++−+−++−+−++−− = ∂ ∂ 4 32 3 32 2 32 1 32 x)2s3s)(3r3( x)2s3s)(3r3(x)2s3s)(3r3(x)2s3s)(3r3( 16 1 r x         ++−−+ +++−+−++−+−++−− = ∂ ∂ 4 32 3 32 2 32 1 32 y)2s3s)(3r3( y)2s3s)(3r3(y)2s3s)(3r3(y)2s3s)(3r3( 16 1 r y         +−+−+ ++−++−+−++−+−+− = ∂ ∂ 4 23 3 23 2 23 1 23 x)3s3)(2r3r( x)3s3)(2r3r(x)3s3)(2r3r(x)3s3)(2r3r( 16 1 s x         +−+−+ ++−++−+−++−+−+− = ∂ ∂ 4 23 3 23 2 23 1 23 y)3s3)(2r3r( y)3s3)(2r3r(y)3s3)(2r3r(y)3s3)(2r3r( 16 1 s y Las derivadas parciales de las funciones de forma respecto a r son: )2s3s)(3r3( 16 1 N 32 r1 +−−=′ )1sss)(3r3( 16 1 N 232 r2 +−−−=′
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 35 )2s3s)(1r2r3( 16 1 N 32 r3 +−++−=′ )2s3s)(3r3( 16 1 N 32 r4 +−+−=′ )1sss)(3r3( 16 1 N 232 r5 +−−+−=′ )2s3s)(1r2r3( 16 1 N 32 r6 +−+−−=′ )2s3s)(3r3( 16 1 N 32 r7 ++−+−=′ )1sss)(3r3( 16 1 N 232 r8 −−++−=′ )2s3s)(1r2r3( 16 1 N 32 r9 ++−+−−=′ )2s3s)(3r3( 16 1 N 32 r10 ++−−=′ )1sss)(3r3( 16 1 N 232 r11 −−+−=′ )2s3s)(1r2r3( 16 1 N 32 r12 ++−++−=′ Las derivadas parciales de las funciones de forma respecto a s son: )3s3)(2r3r( 16 1 N 23 s1 −+−=′ )1s2s3)(2r3r( 16 1 N 23 s2 −−+−=′ )3s3)(1rrr( 16 1 N 223 s3 −−++−=′ )3s3)(2r3r( 16 1 N 23 s4 −++−=′ )1s2s3)(2r3r( 16 1 N 23 s5 −−++−=′ )3s3)(1rrr( 16 1 N 223 s6 −++−−=′ )3s3)(2r3r( 16 1 N 23 s7 +−++−=′ )1s2s3)(2r3r( 16 1 N 23 s8 −+++−=′ )3s3)(1rrr( 16 1 N 223 s9 +−++−−=′ )3s3)(2r3r( 16 1 N 23 s10 +−+−=′
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 36 )1s2s3)(2r3r( 16 1 N 23 s11 −++−=′ )3s3)(1rrr( 16 1 N 223 s12 +−−++−=′ A partir de estas expresiones y de la inversa de la Matriz Jacobiana se obtienen las derivadas de las 4 funciones de forma nodales (N1, N4, N7, N10) respecto a las variables (x, y), quedando establecida la matriz [B]. Para las 8 funciones complementarias de flexión (N2, N3, N5, N6, N8, N9, N11, N12) se calcula la inversa de la Matriz Jacobiana, evaluando solamente las derivadas de las funciones antes detalladas para valores de (r=0; s=0). j) Relaciones Esfuerzos Unitarios - Deformaciones Unitarias: La matriz de elasticidad que incluye las deformaciones por corte es: [ ]                 ′′′ ′′′ = xz yz y x G0000 0G000 00G00 000EE 000EE E Donde: 2yx 1 E EE µ− =′=′ )1(2 E E 2 µ+ ⋅µ =′′ )1(2 E G µ+ = De la teoría de Elasticidad se conoce la siguiente relación para el caso de placas planas: {s } = [E].{e} {s } = [E].[B].{d} k) Matriz de Rigideces del Elemento Finito: La siguiente expresión relaciona la matriz de rigideces de un elemento finito genérico con sus deformaciones unitarias internas: { } [ ] { } { } [ ] { }∫ ε⋅⋅ε=⋅⋅ V TT dV.EdKd Donde: { } [ ] { }dB ⋅=ε { } { } [ ]TTT Bd ⋅=ε Reemplazando {e} y {e}T se tiene:
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 37 { } [ ] { } { } [ ] [ ] [ ] { }∫ ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅ V TTT dVdBEBddKd Simplificando: [ ] [ ] [ ] [ ]∫ ⋅⋅⋅= V T dVBEBK Efectuando la integración en coordenadas normalizadas (se utiliza el determinante de la matriz jacobiana), la matriz de rigideces del elemento finito cuadrilátero plano queda definida como: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∫ ∫− − ⋅⋅⋅⋅= 1 1 1 1 T dVJDetBEBK Donde: dVn : diferencial volumétrico en el elemento finito normalizado dVn = espesor.dAn [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∫ ∫− − ⋅⋅⋅⋅⋅= 1 1 1 1 T dAnespesorJDetBEBK Para integrar numéricamente la expresión se pueden utilizar 4 puntos de integración (un punto de Gauss-Legendre por cada cuadrante), cuyas coordenadas son: (0.57735,0.57735), (- 0.57735,0.57735), (-0.57735,-0.57735) y (0.57735,-0.57735), o ( 3/3 , 3/3 )... [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]∑ = ⋅⋅⋅⋅⋅= 4 1i T AiespesorJDetBiEiBiK El área de influencia de cada punto de integración (Ai) es unitaria, por lo tanto: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]∑ = ⋅⋅⋅⋅= 4 1i T espesorJDetBiEiBiK La matriz de rigideces obtenida es de 12x12 Para obtener una mayor precisión en la integración numérica se podría emplear un mayor número de puntos de integración, con coordenadas y áreas de influencia descritas por los coeficientes de Gauss para los polinomios de Legendre (Gauss-Legendre). Las coordenadas de los puntos de Gauss y sus respectivos pesos de integración (áreas de influencia), para diferentes números de puntos de integración son:
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 38 Número de Puntos de Integración Coordenadas Área de Influencia de cada punto (Ai) (-0.57735027,-0.57735027) 1.0000000000x1.0000000000=1.0000000000 (+0.57735027,-0.57735027) 1.0000000000x1.0000000000=1.0000000000 (+0.57735027,+0.57735027) 1.0000000000x1.0000000000=1.0000000000 4 (-0.57735027,+0.57735027) 1.0000000000x1.0000000000=1.0000000000 (-0.77459667,-0.77459667) 0.5555555556x0.5555555556=0.3086419753 (-0.77459667,0.00000000) 0.5555555556x0.8888888889=0.4938271605 (-0.77459667,+0.77459667) 0.5555555556x0.5555555556=0.3086419753 (0.00000000,-0.77459667) 0.8888888889x0.5555555556=0.4938271605 (0.00000000,0.00000000) 0.8888888889x0.8888888889=0.7901234568 (0.00000000,+0.77459667) 0.8888888889x0.5555555556=0.4938271605 (+0.77459667,-0.77459667) 0.5555555556x0.5555555556=0.3086419753 (+0.77459667,0.00000000) 0.5555555556x0.8888888889=0.4938271605 9 (+0.77459667,+0.77459667) 0.5555555556x0.5555555556=0.3086419753 (-0.86113631,-0.866113631) 0.3478548451x0.3478548451=0.1210029933 (-0.86113631,-0.33998104) 0.3478548451x0.6521451549=0.2268518518 (-0.86113631,+0.33998104) 0.3478548451x0.6521451549=0.2268518518 (-0.86113631,+0.866113631) 0.3478548451x0.3478548451=0.1210029933 (-0.33998104,-0.866113631) 0.6521451549x0.3478548451=0.2268518518 (-0.33998104,-0.33998104) 0.6521451549x0.6521451549=0.4252933031 (-0.33998104,+0.33998104) 0.6521451549x0.6521451549=0.4252933031 (-0.33998104,+0.866113631) 0.6521451549x0.3478548451=0.2268518518 (+0.33998104,-0.866113631) 0.6521451549x0.3478548451=0.2268518518 (+0.33998104,-0.33998104) 0.6521451549x0.6521451549=0.4252933031 (+0.33998104,+0.33998104) 0.6521451549x0.6521451549=0.4252933031 (+0.33998104,+0.866113631) 0.6521451549x0.3478548451=0.2268518518 (+0.86113631,-0.866113631) 0.3478548451x0.3478548451=0.1210029933 (+0.86113631,-0.33998104) 0.3478548451x0.6521451549=0.2268518518 (+0.86113631,+0.33998104) 0.3478548451x0.6521451549=0.2268518518 16 (+0.86113631,+0.866113631) 0.3478548451x0.3478548451=0.1210029933 l) Los Términos de Carga de las Ecuaciones de Equilibrio: Los términos independientes de las ecuaciones de equilibrio, al igual que en el Análisis Matricial de Estructuras Aporticadas y en Celosía, son las solicitaciones nodales que actúan sobre la estructura, más las solicitaciones sobre las caras transformadas a solicitaciones nodales equivalentes. Para determinar las solicitaciones nodales equivalentes se puede igualar el trabajo virtual de las solicitaciones sobre las caras, al trabajo virtual de las solicitaciones nodales equivalentes, tomando como deformación virtual en ambos casos a la elástica de deformación genérica de la cara del elemento. 6. PROGRAMA DE COMPUTACIÓN Y EJEMPLOS: 6.1 Programa de Análisis de Placas Planas con Elementos Finitos Cuadriláteros Planos: A continuación se presenta un programa ilustrativo del uso de elementos finitos en el análisis de
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 39 placas, escrito en lenguaje GWBASIC, cuyos algoritmos pueden ser fácilmente adaptados a cualquier lenguaje científico. 10 REM PROGRAMA DE ANALISIS DE PLACAS PLANAS CON ELEMENTOS FINITOS CUADRANGULARES 20 REM DESARROLLADO POR MARCELO ROMO EN NOVIEMBRE DE 1993 30 A1$=" ### ######.### ######.### ## ## ##" 40 A2$=" ### ### ### #######.### ######.### ########.###" 50 A3$=" ### #.######^^^^ #.######^^^^ #.######^^^^" 60 A4$=" ### #.######^^^^ #.######^^^^ #.######^^^^" 70 A5$=" ### #.###^^^^ #.###^^^^ #.###^^^^ #.###^^^^ #.###^^^^ #.###^^^^" 80 A6$=" ### ######.### ######.### ######.###" 90 A7$=" ### #####.#### #####.####" 100 A8$=" ### ### ### ### ### #######.## ##.### ####.###" 110 REM LEE NOMBRE DEL ARCHIVO DE ENTRADA DE DATOS 120 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "DEME NOMBRE DEL ARCHIVO DE ENTRADA DE DATOS"; 130 INPUT ARCHIVO$ 140 REM ABRE ARCHIVOS DE ENTRADA DE DATOS Y SALIDA DE RESULTADOS 150 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "ABRE ARCHIVOS DE ENTRADA DE DATOS Y SALIDA DE RESULTADOS" 160 OPEN ARCHIVO$ FOR INPUT AS#1 LEN=128 170 A$=ARCHIVO$+".RES" 180 OPEN A$ FOR OUTPUT AS#2 LEN=128 190 REM LEE E IMPRIME TITULO DEL PROBLEMA 200 INPUT#1,A$ 210 INPUT#1,TITULO$ 220 PRINT#2,TITULO$ 230 PRINT#2," " 240 PRINT#2," DATOS DE LA ESTRUCTURA:" 250 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "LEE DATOS DE LA ESTRUCTURA" 260 INPUT#1,A$,A$,A$ 270 REM LEE CARACTERISTICAS BASICAS DE LA ESTRUCTURA Y DIMENSIONA LOS ARREGLOS: 280 REM LEE NUMERO DE NUDOS, NUMERO DE ELEMENTOS FINITOS, NUMERO DE ESTADOS DE CARGA 290 INPUT#1,NNUDOS,NFINITOS,NCARGAS 300 DIM X(NNUDOS),Y(NNUDOS),ORDEN(NNUDOS,3),P1#(NNUDOS,3),CORRIM#(NNUDOS,3) ,P#(3*NNUDOS),PUN(3*NNUDOS) 310 DIM NUDO1F(NFINITOS),NUDO2F(NFINITOS),NUDO3F(NFINITOS),NUDO4F(NFINITOS) ,EF#(NFINITOS),POISSON#(NFINITOS),ESPESOR#(NFINITOS) 320 DIM KM#(12,12),IT(12),F#(12),REACCION#(12),CORR#(12),F1#(12),RE#(12) 330 DIM ESFUERZOS#(3),JCB#(3,3),JI#(3,3),B#(5,12),ELAS#(5,5),PROD#(12,5),R( 16),S(16),P(16),EPSILON#(3),NUDO(4) 340 PRINT#2,"NUMERO DE NUDOS =";NNUDOS 350 PRINT#2,"NUMERO DE ELEMENTOS FINITOS =";NFINITOS 360 PRINT#2,"NUMERO DE ESTADOS DE CARGA =";NCARGAS 370 PRINT#2," " 380 PRINT#2," CARACTERISTICAS DE NUDO:" 390 PRINT#2," NUDO COORDENADAS RESTRICCIONES" 400 PRINT#2," X Y DES.Z ROT.X
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 40 ROT.Y" 410 REM LEE COORDENADAS Y RESTRICCIONES DE NUDO 420 REM # NUDO, COORDENADA X, COORDENADA Y, RESTRICCION DESPL. Z, RESTRICCION ROTAC. X, RESTRICCION ROTAC. Y 430 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "LEE COORDENADAS Y RESTRICCIONES DE NUDO" 440 INPUT#1,A$,A$,A$,A$,A$,A$,A$ 450 FOR I=1 TO NNUDOS 460 INPUT#1,J,X(J),Y(J),ORDEN(J,1),ORDEN(J,2),ORDEN(J,3) 470 PRINT#2,USING A1$;J,X(J),Y(J),ORDEN(J,1),ORDEN(J,2),ORDEN(J,3) 480 NEXT I 490 PRINT #2," " 500 PRINT#2," PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS FINITOS:" 510 PRINT#2," ELEMENTO NUDO 1 NUDO 2 NUDO 3 NUDO 4 MODULO MODULO ESPESOR" 520 PRINT#2," ELASTICO POISSON" 530 INPUT#1,A$,A$,A$,A$,A$,A$,A$,A$,A$ 540 REM LEE PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS FINITOS 550 REM # ELEMENTO, NUDO 1, NUDO 2, NUDO 3, NUDO 4, MODULO ELASTICO, MODULO DE POISSON, ESPESOR 560 FOR I=1 TO NFINITOS 570 INPUT#1,J,NUDO1F(J),NUDO2F(J),NUDO3F(J),NUDO4F(J),EF#(J),POISSON#(J ),ESPESOR#(J) 580 PRINT#2,USING A8$;J,NUDO1F(J),NUDO2F(J),NUDO3F(J),NUDO4F(J),EF#(J),POISSON#(J),ES PESOR#(J) 590 NEXT I 600 REM CALCULA EL NUMERO DE GRADOS DE LIBERTAD Y ORDENA LAS ECUACIONES 610 NGRADOS=0 620 FOR I=1 TO NNUDOS 630 FOR J=1 TO 3 640 IF ORDEN(I,J)=0 GOTO 670 650 ORDEN(I,J)=0 660 GOTO 690 670 NGRADOS=NGRADOS+1 680 ORDEN(I,J)=NGRADOS 690 NEXT J 700 NEXT I 710 PRINT#2,"NUMERO DE GRADOS DE LIBERTAD =";NGRADOS 720 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "NUMERO DE GRADOS DE LIBERTAD =";NGRADOS 730 REM CALCULA EL NUMERO DE ELEMENTOS POR COLUMNA MATRICIAL Y DETERMINA PUNTEROS DEL VECTOR SKYLINE 740 FOR I=1 TO NGRADOS 750 PUN(I)=1 760 NEXT I 770 REM DETERMINA VECTOR DE PUNTEROS EN FUNCION DE LOS ELEMENTOS FINITOS 780 FOR I=1 TO NFINITOS 790 FOR J=1 TO 3 800 IT(J)=ORDEN(NUDO1F(I),J) 810 IT(J+3)=ORDEN(NUDO2F(I),J) 820 IT(J+6)=ORDEN(NUDO3F(I),J) 830 IT(J+9)=ORDEN(NUDO4F(I),J) 840 NEXT J 850 REM ORDENA DE MENOR A MAYOR LOS GRADOS DE LIBERTAD DEL ELEMENTO FINITO 860 FOR J=2 TO 12
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 41 870 FOR K=1 TO J-1 880 IF IT(J)>IT(K) GOTO 920 890 TEMP=IT(J) 900 IT(J)=IT(K) 910 IT(K)=TEMP 920 NEXT K 930 NEXT J 940 REM CALCULA LONGITUDES DE COLUMNAS MATRICIALES DEL ELEMENTO FINITO 950 FOR J=2 TO 12 960 IF IT(J)=0 GOTO 1020 970 FOR K=1 TO J-1 980 IF IT(K)=0 GOTO 1010 990 IF IT(J)-IT(K)+1<=PUN(IT(J)) GOTO 1010 1000 PUN(IT(J))=IT(J)-IT(K)+1 1010 NEXT K 1020 NEXT J 1030 NEXT I 1040 FOR I=2 TO NGRADOS 1050 PUN(I)=PUN(I)+PUN(I-1) 1060 NEXT I 1070 PRINT#2,"LONGITUD DEL VECTOR SKYLINE =";PUN(NGRADOS) 1080 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "LONGITUD DEL VECTOR SKYLINE =";PUN(NGRADOS) 1090 REM INICIALIZA EL VECTOR SKYLINE DE RIGIDECES Y LO ALMACENA EN DISCO DURO 1100 OPEN "SKYLINE" AS # 3 LEN = 8 1110 FIELD #3, 8 AS C$ 1120 C#=0 1130 LSET C$=MKD$(C#) 1140 FOR I=1 TO PUN(NGRADOS) 1150 PUT #3,I 1160 NEXT I 1170 REM FORMA LA MATRIZ DE RIGIDECES DENTRO DEL VECTOR SKYLINE 1180 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "FORMA LA MATRIZ DE RIGIDECES DE LA ESTRUCTURA" 1190 FOR ELEMENTO=1 TO NFINITOS 1200 LOCATE 11,1:PRINT "ELEMENTO FINITO ";ELEMENTO;" DE ";NFINITOS 1210 REM CALCULA MATRIZ DE RIGIDECES DE 12X12 DEL ELEMENTO FINITO 1220 GOSUB 4480 1230 REM COLOCA LA MATRIZ DE RIGIDECES DEL ELEMENTO FINITO EN LA MATRIZ DE RIGIDECES DE LA ESTRUCTURA 1240 FOR J=1 TO 12 1250 FOR K=1 TO 12 1260 IF IT(J)>IT(K) OR IT(J)=0 OR IT(K)=0 GOTO 1330 1270 TEMP=PUN(IT(K))+IT(J)-IT(K) 1280 GET #3,TEMP 1290 C1#=CVD(C$) 1300 C1#=C1#+KM#(J,K) 1310 LSET C$=MKD$(C1#) 1320 PUT #3,TEMP 1330 NEXT K 1340 NEXT J 1350 NEXT ELEMENTO 1360 REM OPERA LA MATRIZ DE COEFICIENTES CON LA TECNICA DEL SKYLINE 1370 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "OPERA LA MATRIZ DE COEFICIENTES" 1380 EPSILON#=1E-10 1390 GET #3,1 1400 C1#=CVD(C$)
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 42 1410 IF ABS(C1#)<EPSILON# GOTO 1750 1420 LOCATE 11,1:PRINT "ECUACION ";1;" DE ";NGRADOS;" " 1430 FOR J=2 TO NGRADOS 1440 LOCATE 11,1:PRINT "ECUACION ";J;" DE ";NGRADOS;" " 1450 IF PUN(J)-PUN(J-1)<=1 GOTO 1860 1460 I1=J-PUN(J)+PUN(J-1)+1 1470 I2=I1+1 1480 GET #3,PUN(J-1)+1 1490 C1#=CVD(C$) 1500 GET #3,PUN(I1) 1510 C2#=CVD(C$) 1520 C1#=C1#/C2# 1530 LSET C$=MKD$(C1#) 1540 PUT #3,PUN(J-1)+1 1550 FOR I=I2 TO J 1560 K1=PUN(J)+I-J 1570 I3=I-1 1580 FOR K=I1 TO I3 1590 IF K<I-PUN(I)+PUN(I-1)+1 GOTO 1710 1600 GET #3,K1 1610 C1#=CVD(C$) 1620 GET #3,PUN(I)+K-I 1630 C2#=CVD(C$) 1640 GET #3,PUN(K) 1650 C3#=CVD(C$) 1660 GET #3,PUN(J)+K-J 1670 C4#=CVD(C$) 1680 C1#=C1#-C2#*C3#*C4# 1690 LSET C$=MKD$(C1#) 1700 PUT #3,K1 1710 NEXT K 1720 GET #3,PUN(J) 1730 C1#=CVD(C$) 1740 IF ABS(C1#)>=EPSILON# GOTO 1770 1750 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "LA ESTRUCTURA PRESENTA MAL CONDICIONAMIENTO" 1760 END 1770 IF I=J GOTO 1850 1780 GET #3,K1 1790 C1#=CVD(C$) 1800 GET #3,PUN(I) 1810 C2#=CVD(C$) 1820 C1#=C1#/C2# 1830 LSET C$=MKD$(C1#) 1840 PUT #3,K1 1850 NEXT I 1860 NEXT J 1870 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "OPERA TERMINOS INDEPENDIENTES" 1880 INPUT#1,A$ 1890 FOR C=1 TO NCARGAS 1900 INPUT#1,A$ 1910 PRINT#2," " 1920 PRINT#2,"ESTADO DE CARGA";C 1930 INPUT#1,TITULO$ 1940 PRINT#2," " 1950 PRINT#2,TITULO$ 1960 LOCATE 11,1:PRINT "ESTADO DE CARGA ";C;" DE ";NCARGAS:PRINT"
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 43 ":PRINT" " 1970 REM INICIALIZA CARGAS CONCENTRADAS SOBRE LOS NUDOS 1980 FOR I=1 TO NNUDOS 1990 FOR J=1 TO 3 2000 P1#(I,J)=0 2010 NEXT J 2020 NEXT I 2030 REM LEE DATOS DE CARGA: NUDOS CARGADOS 2040 INPUT#1,A$ 2050 INPUT#1,NUDOSCARGADOS 2060 INPUT#1,A$,A$,A$,A$,A$ 2070 PRINT#2," " 2080 REM LEE CARGAS CONCENTRADAS EN LOS NUDOS 2090 PRINT#2," NUDOS CARGADOS:" 2100 PRINT#2," NUDO FZ MX MY" 2110 FOR I=1 TO NUDOSCARGADOS 2120 INPUT#1,J,P1#(J,1),P1#(J,2),P1#(J,3) 2130 PRINT#2,USING A6$;J,P1#(J,1),P1#(J,2),P1#(J,3) 2140 NEXT I 2150 REM INICIALIZA TERMINOS INDEPENDIENTES 2160 FOR I=1 TO NGRADOS 2170 P#(I)=0 2180 NEXT I 2190 REM TRANSFORMA CARGAS CONCENTRADAS EN TERMINOS INDEPENDIENTES 2200 FOR I=1 TO NNUDOS 2210 FOR J=1 TO 3 2220 IF ORDEN(I,J)=0 GOTO 2240 2230 P#(ORDEN(I,J))=P#(ORDEN(I,J))+P1#(I,J) 2240 NEXT J 2250 NEXT I 2260 REM OPERA TERMINOS INDEPENDIENTES CON LA TECNICA DEL SKYLINE 2270 REM EJECUTA ETAPA DE IDA CON LOS TERMINOS INDEPENDIENTES 2280 LOCATE 12,1:PRINT "ECUACION ";1;" DE ";NGRADOS;" " 2290 GET #3,1 2300 C1#=CVD(C$) 2310 P#(1)=P#(1)/C1# 2320 FOR I=2 TO NGRADOS 2330 LOCATE 12,1:PRINT "ECUACION ";I;" DE ";NGRADOS;" " 2340 I3=I-1 2350 FOR J=1 TO I3 2360 IF J<I-PUN(I)+PUN(I-1)+1 GOTO 2420 2370 GET #3,PUN(I)+J-I 2380 C1#=CVD(C$) 2390 GET #3,PUN(J) 2400 C2#=CVD(C$) 2410 P#(I)=P#(I)-C1#*C2#*P#(J) 2420 NEXT J 2430 GET #3,PUN(I) 2440 C1#=CVD(C$) 2450 P#(I)=P#(I)/C1# 2460 NEXT I 2470 REM EJECUTA ETAPA DE REGRESO CON LOS TERMINOS INDEPENDIENTES 2480 FOR I1=2 TO NGRADOS 2490 I=NGRADOS+2-I1 2500 LOCATE 12,1:PRINT "ECUACION ";I-1;" DE ";NGRADOS;" " 2510 IF PUN(I)-PUN(I-1)<=1 GOTO 2590 2520 I2=I-PUN(I)+PUN(I-1)+1 2530 I3=I-1
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 44 2540 FOR J=I2 TO I3 2550 GET #3,PUN(I)+J-I 2560 C1#=CVD(C$) 2570 P#(J)=P#(J)-P#(I)*C1# 2580 NEXT J 2590 NEXT I1 2600 LOCATE 12,1:PRINT "CALCULA CORRIMIENTOS DE NUDO" 2610 REM CALCULA E IMPRIME CORRIMIENTOS DE NUDO 2620 PRINT#2," " 2630 PRINT#2," CORRIMIENTOS DE NUDO:" 2640 PRINT#2," NUDO DESPL. Z ROTAC. X ROTAC. Y" 2650 FOR I=1 TO NNUDOS 2660 LOCATE 13,1:PRINT "NUDO ";I;" DE ";NNUDOS 2670 FOR J=1 TO 3 2680 CORR#(J)=0 2690 IF ORDEN(I,J)=0 GOTO 2710 2700 CORR#(J)=P#(ORDEN(I,J)) 2710 NEXT J 2720 PRINT#2,USING A3$;I,CORR#(1),CORR#(2),CORR#(3) 2730 CORRIM#(I,1)=CORR#(1) 2740 CORRIM#(I,2)=CORR#(2) 2750 CORRIM#(I,3)=CORR#(3) 2760 NEXT I 2770 LOCATE 12,1:PRINT "CALCULA REACCIONES DE APOYO " 2780 PRINT#2," " 2790 REM CALCULA E IMPRIME REACCIONES DE APOYO 2800 PRINT#2," REACCIONES DE APOYO:" 2810 PRINT#2," NUDO FUERZA Z MOMENTO X MOMENTO Y" 2820 REM CALCULA REACCIONES POR CARGAS Y CORRIMIENTOS 2830 FOR I1=1 TO NNUDOS 2840 IF ORDEN(I1,1)<>0 AND ORDEN(I1,2)<>0 AND ORDEN(I1,3)<>0 GOTO 3130 2850 LOCATE 13,1:PRINT "NUDO ";I1 2860 REM CALCULA REACCIONES POR CARGAS CONCENTRADAS EXTERIORES 2870 FOR I=1 TO 3 2880 REACCION#(I)=-P1#(I1,I) 2890 NEXT I 2900 REM CALCULA REACCIONES POR CORRIMIENTOS DE NUDO EN LOS ELEMENTOS FINITOS 2910 FOR ELEMENTO=1 TO NFINITOS 2920 IF NUDO1F(ELEMENTO)<>I1 AND NUDO2F(ELEMENTO)<>I1 AND NUDO3F(ELEMENTO)<>I1 AND NUDO4F(ELEMENTO)<>I1 GOTO 3110 2930 GOSUB 6420 2940 IF NUDO4F(ELEMENTO)=I1 GOTO 3090 2950 IF NUDO3F(ELEMENTO)=I1 GOTO 3050 2960 IF NUDO2F(ELEMENTO)=I1 GOTO 3010 2970 REACCION#(1)=REACCION#(1)+F1#(1) 2980 REACCION#(2)=REACCION#(2)+F1#(2) 2990 REACCION#(3)=REACCION#(3)+F1#(3) 3000 GOTO 3110 3010 REACCION#(1)=REACCION#(1)+F1#(4) 3020 REACCION#(2)=REACCION#(2)+F1#(5) 3030 REACCION#(3)=REACCION#(3)+F1#(6) 3040 GOTO 3110 3050 REACCION#(1)=REACCION#(1)+F1#(7) 3060 REACCION#(2)=REACCION#(2)+F1#(8) 3070 REACCION#(3)=REACCION#(3)+F1#(9) 3080 GOTO 3110
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 45 3090 REACCION#(1)=REACCION#(1)+F1#(10) 3100 REACCION#(3)=REACCION#(3)+F1#(12) 3110 NEXT ELEMENTO 3120 PRINT#2,USING A4$;I1,REACCION#(1),REACCION#(2),REACCION#(3) 3130 NEXT I1 3140 REM SUSPENSION TEMPORAL 3150 END 3160 PRINT#2," " 3170 REM CALCULA E IMPRIME ESFUERZOS EN LOS ELEMENTOS FINITOS 3180 PRINT#2," ESFUERZOS EN LOS ELEMENTOS FINITOS:" 3190 PRINT#2," ELEMENTO NUDO MOMENTO X MOMENTO Y MOMENTO X-Y" 3200 FOR ELEMENTO=1 TO NFINITOS 3210 PRINT#2,USING " #####";ELEMENTO 3220 LOCATE 13,1:PRINT "ELEMENTO ";ELEMENTO;" DE ";NFINITOS 3230 REM CALCULA LA MATRIZ DE RIGIDECES DE 12X12 DEL ELEMENTO FINITO 3240 GOSUB 4480 3250 REM DETERMINA LA MAGNITUD DE LOS GRADOS DE LIBERTAD DEL ELEMENTO FINITO 3260 RE#(1)=CORRIM#(NUDO1F(ELEMENTO),1) 3270 RE#(12)=CORRIM#(NUDO4F(ELEMENTO),3) 3280 RE#(4)=CORRIM#(NUDO2F(ELEMENTO),1) 3290 RE#(5)=CORRIM#(NUDO2F(ELEMENTO),2) 3300 RE#(7)=CORRIM#(NUDO3F(ELEMENTO),1) 3310 RE#(8)=CORRIM#(NUDO3F(ELEMENTO),2) 3320 RE#(10)=CORRIM#(NUDO4F(ELEMENTO),1) 3330 RE#(11)=CORRIM#(NUDO4F(ELEMENTO),2) 3340 REM DETERMINA COORDENADAS LOCALES DE LOS NUDOS PARA EVALUACION DE ESFUERZOS 3350 R(1)=-1:S(1)=-1 3360 R(2)= 1:S(2)=-1 3370 R(3)= 1:S(3)= 1 3380 R(4)=-1:S(4)= 1 3390 REM DETERMINA LA NUMERACION DE NUDOS 3400 NUDO(1)=NUDO1F(ELEMENTO) 3410 NUDO(2)=NUDO2F(ELEMENTO) 3420 NUDO(3)=NUDO3F(ELEMENTO) 3430 NUDO(4)=NUDO4F(ELEMENTO) 3440 FOR I=1 TO 4 3450 REM DETERMINA LA MATRIZ JACOBIANA DE CADA NUDO DEL CUADRILATERO EN COORDENADAS LOCALES 3460 REM *********************************** 3470 JCB#(1,1)=.25*(-(1-T(I))*X1+(1-T(I))*X2+(1+T(I))*X3- (1+T(I))*X4) 3480 JCB#(1,2)=.25*(-(1-T(I))*Y1+(1-T(I))*Y2+(1+T(I))*Y3- (1+T(I))*Y4) 3490 JCB#(2,1)=.25*(-(1-S(I))*X1-(1+S(I))*X2+(1+S(I))*X3+(1- S(I))*X4) 3500 JCB#(2,2)=.25*(-(1-S(I))*Y1-(1+S(I))*Y2+(1+S(I))*Y3+(1- S(I))*Y4) 3510 REM *********************************** 3520 REM CALCULA LA INVERSA DE LA MATRIZ JACOBIANA DE CADA NUDO PARA LAS FUNCIONES DE FORMA PRINCIPALES 3530 REM *********************************** 3540 DET#=JCB#(1,1)*JCB#(2,2)-JCB#(1,2)*JCB#(2,1) 3550 JI#(1,1)=JCB#(2,2)/DET# 3560 JI#(1,2)=-JCB#(1,2)/DET# 3570 JI#(2,1)=-JCB#(2,1)/DET#
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 46 3580 JI#(2,2)=JCB#(1,1)/DET# 3590 REM *********************************** 3600 REM CALCULA LA INVERSA DE LA MATRIZ JACOBIANA DEL ORIGEN PARA LAS FUNCIONES DE FORMA AUXILIARES 3610 REM *********************************** 3620 JIAUX#(1,1)=.25*(-Y1-Y2+Y3+Y4)/DET# 3630 JIAUX#(1,2)=.25*(Y1-Y2-Y3+Y4)/DET# 3640 JIAUX#(2,1)=.25*(X1+X2-X3-X4)/DET# 3650 JIAUX#(2,2)=.25*(-X1+X2+X3-X4)/DET# 3660 REM *********************************** 3670 REM CALCULA LA MATRIZ DE TRANSFORMACION [B] DEL NUDO 3680 REM DEFINE MATRIZ DE TRANSFORMACION [B] PARA LAS FUNCIONES DE FORMA PRINCIPALES 3690 REM *********************************** 3700 B#(1,1)=JI#(1,1)*(-1/4*(1-T(I)))+JI#(1,2)*(-1/4*(1-S(I))) 3710 B#(2,1)=0 3720 B#(3,1)=JI#(2,1)*(-1/4*(1-T(I)))+JI#(2,2)*(-1/4*(1-S(I))) 3730 B#(1,2)=0 3740 B#(2,2)=JI#(2,1)*(-1/4*(1-T(I)))+JI#(2,2)*(-1/4*(1-S(I))) 3750 B#(3,2)=JI#(1,1)*(-1/4*(1-T(I)))+JI#(1,2)*(-1/4*(1-S(I))) 3760 B#(1,3)=JI#(1,1)*(1/4*(1-T(I)))+JI#(1,2)*(-1/4*(1+S(I))) 3770 B#(2,3)=0 3780 B#(3,3)=JI#(2,1)*(1/4*(1-T(I)))+JI#(2,2)*(-1/4*(1+S(I))) 3790 B#(1,4)=0 3800 B#(2,4)=JI#(2,1)*(1/4*(1-T(I)))+JI#(2,2)*(-1/4*(1+S(I))) 3810 B#(3,4)=JI#(1,1)*(1/4*(1-T(I)))+JI#(1,2)*(-1/4*(1+S(I))) 3820 B#(1,5)=JI#(1,1)*(1/4*(1+T(I)))+JI#(1,2)*(1/4*(1+S(I))) 3830 B#(2,5)=0 3840 B#(3,5)=JI#(2,1)*(1/4*(1+T(I)))+JI#(2,2)*(1/4*(1+S(I))) 3850 B#(1,6)=0 3860 B#(2,6)=JI#(2,1)*(1/4*(1+T(I)))+JI#(2,2)*(1/4*(1+S(I))) 3870 B#(3,6)=JI#(1,1)*(1/4*(1+T(I)))+JI#(1,2)*(1/4*(1+S(I))) 3880 B#(1,7)=JI#(1,1)*(-1/4*(1+T(I)))+JI#(1,2)*(1/4*(1-S(I))) 3890 B#(2,7)=0 3900 B#(3,7)=JI#(2,1)*(-1/4*(1+T(I)))+JI#(2,2)*(1/4*(1-S(I))) 3910 B#(1,8)=0 3920 B#(2,8)=JI#(2,1)*(-1/4*(1+T(I)))+JI#(2,2)*(1/4*(1-S(I))) 3930 B#(3,8)=JI#(1,1)*(-1/4*(1+T(I)))+JI#(1,2)*(1/4*(1-S(I))) 3940 REM *********************************** 3950 REM DEFINE MATRIZ DE TRANSFORMACION [B] PARA LAS FUNCIONES DE FORMA AUXILIARES 3960 REM *********************************** 3970 B#(1,9)=JIAUX#(1,1)*(-2*S(I)) 3980 B#(2,9)=0 3990 B#(3,9)=JIAUX#(2,1)*(-2*S(I)) 4000 B#(1,10)=0 4010 B#(2,10)=JIAUX#(2,1)*(-2*S(I)) 4020 B#(3,10)=JIAUX#(1,1)*(-2*S(I)) 4030 B#(1,11)=JIAUX#(1,2)*(-2*T(I)) 4040 B#(2,11)=0 4050 B#(3,11)=JIAUX#(2,2)*(-2*T(I)) 4060 B#(1,12)=0 4070 B#(2,12)=JIAUX#(2,2)*(-2*T(I)) 4080 B#(3,12)=JIAUX#(1,2)*(-2*T(I)) 4090 REM ************************************ 4100 REM CALCULA EL VECTOR DE DEFORMACIONES UNITARIAS {áîá}=[B].{D} 4110 REM ************************************ 4120 FOR J=1 TO 3 4130 EPSILON#(J)=0
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 47 4140 NEXT J 4150 FOR J=1 TO 3 4160 FOR K=1 TO 12 4170 EPSILON#(J)=EPSILON#(J)+B#(J,K)*RE#(K) 4180 NEXT K 4190 NEXT J 4200 REM ************************************* 4210 REM CALCULA EL VECTOR DE ESFUERZOS {áåá}=[E].{áîá} 4220 REM ************************************* 4230 FOR J=1 TO 5 4240 ESFUERZOS#(J)=0 4250 NEXT J 4260 FOR J=1 TO 5 4270 FOR K=1 TO 5 4280 ESFUERZOS#(J)=ESFUERZOS#(J)+ELAS#(J,K)*EPSILON#(K) 4290 NEXT K 4300 NEXT J 4310 REM ************************************* 4320 REM IMPRIME EL VECTOR DE ESFUERZOS {áåá} 4330 REM ************************************* 4340 PRINT #2,USING" ######";NUDO(I); 4350 FOR J=1 TO 5 4360 PRINT #2,USING" #.######^^^^^";ESFUERZOS#(J); 4370 NEXT J 4380 REM ************************************* 4390 PRINT #2," " 4400 NEXT I 4410 NEXT ELEMENTO 4420 NEXT C 4430 CLOSE #1 4440 CLOSE #2 4450 CLOSE #3 4460 KILL"SKYLINE 4470 END 4480 REM SUBRUTINA MATRIZ DE RIGIDECES DEL ELEMENTO FINITO 4490 REM DETERMINA GRADOS DE LIBERTAD DEL ELEMENTO FINITO 4500 FOR I=1 TO 3 4510 IT(I)=ORDEN(NUDO1F(ELEMENTO),I) 4520 IT(I+3)=ORDEN(NUDO2F(ELEMENTO),I) 4530 IT(I+6)=ORDEN(NUDO3F(ELEMENTO),I) 4540 IT(I+9)=ORDEN(NUDO4F(ELEMENTO),I) 4550 NEXT I 4560 REM DETERMINA COORDENADAS LOCALES DE LOS PUNTOS DE INTEGRACION Y PESO DE INTEGRACION 4570 R(1)=-.5773502692#:S(1)=-.5773502692#:P(1)=1#*1# 4580 R(2)= .5773502692#:S(2)=-.5773502692#:P(2)=1#*1# 4590 R(3)= .5773502692#:S(3)= .5773502692#:P(3)=1#*1# 4600 R(4)=-.5773502692#:S(4)= .5773502692#:P(4)=1#*1# 4610 REM DETERMINA COORDENADAS GLOBALES DE LOS NUDOS DEL ELEMENTO FINITO 4620 X1=X(NUDO1F(ELEMENTO)) 4630 Y1=Y(NUDO1F(ELEMENTO)) 4640 X2=X(NUDO2F(ELEMENTO)) 4650 Y2=Y(NUDO2F(ELEMENTO)) 4660 X3=X(NUDO3F(ELEMENTO)) 4670 Y3=Y(NUDO3F(ELEMENTO)) 4680 X4=X(NUDO4F(ELEMENTO)) 4690 Y4=Y(NUDO4F(ELEMENTO)) 4700 REM CALCULA LA MATRIZ DE ELASTICIDAD DEL ELEMENTO FINITO PARA
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 48 PLACAS PLANAS 4710 CONST#=EF#(ELEMENTO)*ESPESOR#(ELEMENTO)^3/(12*(1- POISSON#(ELEMENTO)^2)) 4720 ELAS#(1,1)=CONST# 4730 ELAS#(1,2)=CONST#*POISSON#(ELEMENTO) 4740 ELAS#(1,3)=0 4750 ELAS#(1,4)=0 4760 ELAS#(1,5)=0 4770 ELAS#(2,1)=CONST#*POISSON#(ELEMENTO) 4780 ELAS#(2,2)=CONST# 4790 ELAS#(2,3)=0 4800 ELAS#(2,4)=0 4810 ELAS#(2,5)=0 4820 ELAS#(3,1)=0 4830 ELAS#(3,2)=0 4840 ELAS#(3,3)=CONST#*(1-POISSON#(ELEMENTO))/2 4850 ELAS#(3,4)=0 4860 ELAS#(3,5)=0 4870 ELAS#(4,1)=0 4880 ELAS#(4,2)=0 4890 ELAS#(4,3)=0 4900 ELAS#(4,4)=EF#(ELEMENTO)/(2*(1+POISSON#(ELEMENTO)))*ESPESOR#(ELEMEN TO) 4910 ELAS#(4,5)=0 4920 ELAS#(5,1)=0 4930 ELAS#(5,2)=0 4940 ELAS#(5,3)=0 4950 ELAS#(5,4)=0 4960 ELAS#(5,5)=EF#(ELEMENTO)/(2*(1+POISSON#(ELEMENTO)))*ESPESOR#(ELEMEN TO) 4970 REM INICIALIZA CON VALORES NULOS LA MATRIZ DE RIGIDECES DEL ELEMENTO FINITO 4980 FOR I=1 TO 12 4990 FOR J=1 TO 12 5000 KM#(I,J)=0 5010 NEXT J 5020 NEXT I 5030 FOR I=1 TO 4 5040 REM DETERMINA LA MATRIZ JACOBIANA PARA CADA PUNTO DE INTEGRACION 5050 JCB#(1,1)=.25*(-(1-S(I))*X1+(1-S(I))*X2+(1+S(I))*X3- (1+S(I))*X4) 5060 JCB#(1,2)=.25*(-(1-S(I))*Y1+(1-S(I))*Y2+(1+S(I))*Y3- (1+S(I))*Y4) 5070 JCB#(1,3)=0 5080 JCB#(2,1)=.25*(-(1-R(I))*X1-(1+R(I))*X2+(1+R(I))*X3+(1- R(I))*X4) 5090 JCB#(2,2)=.25*(-(1-R(I))*Y1-(1+R(I))*Y2+(1+R(I))*Y3+(1- R(I))*Y4) 5100 JCB#(2,3)=0 5110 JCB#(3,1)=0 5120 JCB#(3,2)=0 5130 JCB#(3,3)=1 5140 REM CALCULA LA INVERSA DE LA MATRIZ JACOBIANA DEL PUNTO DE INTEGRACION PARA LAS CUATRO FUNCIONES DE FORMA PRINCIPALES 5150 DET#=JCB#(1,1)*JCB#(2,2)-JCB#(1,2)*JCB#(2,1) 5160 JI#(1,1)=JCB#(2,2)/DET#
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 49 5170 JI#(1,2)=-JCB#(1,2)/DET# 5180 JI#(1,3)=0 5190 JI#(2,1)=-JCB#(2,1)/DET# 5200 JI#(2,2)=JCB#(1,1)/DET# 5210 JI#(2,3)=0 5220 JI#(3,1)=0 5230 JI#(3,2)=0 5240 JI#(3,3)=1 5250 REM CALCULA LA INVERSA DE LA MATRIZ JACOBIANA PARA LAS DOS FUNCIONES DE FORMA AUXILIARES 5260 JIAUX#(1,1)=.25*(-Y1-Y2+Y3+Y4)/DET# 5270 JIAUX#(1,2)=.25*(Y1-Y2-Y3+Y4)/DET# 5280 JIAUX#(2,1)=.25*(X1+X2-X3-X4)/DET# 5290 JIAUX#(2,2)=.25*(-X1+X2+X3-X4)/DET# 5300 REM DEFINE DERIVADAS PARCIALES DE LAS FUNCIONES DE FORMA RESPECTO A R Y S 5310 DN1DR#=-.25*(-S(I)+1) 5320 DN2DR#=.25*(1-S(I)) 5330 DN3DR#=.25*(1+S(I)) 5340 DN4DR#=-.25*(1+S(I)) 5350 DN5DR#=-2*R(I) 5360 DN6DR#=0 5370 DN1DS#=-.25*(-R(I)+1) 5380 DN2DS#=-.25*(R(I)+1) 5390 DN3DS#=.25*(R(I)+1) 5400 DN4DS#=.25*(-R(I)+1) 5410 DN5DS#=0 5420 DN6DS#=-2*T(I) 5430 REM DEFINE CONSTANTES PARA MATRIZ DE TRANSFORMACION [B] 5440 A1#=JI#(1,1)*DN1DR#+JI#(1,2)*DN1DS# 5450 B1#=JI#(2,1)*DN1DR#+JI#(2,2)*DN1DS# 5460 A2#=JI#(1,1)*DN2DR#+JI#(1,2)*DN2DS# 5470 B2#=JI#(2,1)*DN2DR#+JI#(2,2)*DN2DS# 5480 A3#=JI#(1,1)*DN3DR#+JI#(1,2)*DN3DS# 5490 B3#=JI#(2,1)*DN3DR#+JI#(2,2)*DN3DS# 5500 A4#=JI#(1,1)*DN4DR#+JI#(1,2)*DN4DS# 5510 B4#=JI#(2,1)*DN4DR#+JI#(2,2)*DN4DS# 5520 A5#=JI#(1,1)*DN5DR#+JI#(1,2)*DN5DS# 5530 B5#=JI#(2,1)*DN5DR#+JI#(2,2)*DN5DS# 5540 A6#=JI#(1,1)*DN6DR#+JI#(1,2)*DN6DS# 5550 B6#=JI#(2,1)*DN6DR#+JI#(2,2)*DN6DS# 5560 N1#=.25*(-R(I)+1)*(-S(I)+1) 5570 N2#=.25*(R(I)+1)*(-S(I)+1) 5580 N3#=.25*(R(I)+1)*(S(I)+1) 5590 N4#=.25*(-R(I)+1)*(S(I)+1) 5600 N5#=1-R(I)*R(I) 5610 N6#=1-S(I)*S(I) 5620 REM DEFINE MATRIZ DE TRANSFORMACION [B] PARA LAS CUATRO FUNCIONES DE FORMA PRINCIPALES 5630 B#(1,1)=0 5640 B#(2,1)=0 5650 B#(3,1)=0 5660 B#(4,1)=B1# 5670 B#(5,1)=A1# 5680 B#(1,2)=-A1# 5690 B#(2,2)=0 5700 B#(3,2)=-B1# 5710 B#(4,2)=0 5720 B#(5,2)=-N1#
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 50 5730 B#(1,3)=0 5740 B#(2,3)=-B1# 5750 B#(3,3)=-A1# 5760 B#(4,3)=-N1# 5770 B#(5,3)=0 5780 B#(1,4)=0 5790 B#(2,4)=0 5800 B#(3,4)=0 5810 B#(4,4)=B2# 5820 B#(5,4)=A2# 5830 B#(1,5)=-A2# 5840 B#(2,5)=0 5850 B#(3,5)=-B2# 5860 B#(4,5)=0 5870 B#(5,5)=-N2# 5880 B#(1,6)=0 5890 B#(2,6)=-B2# 5900 B#(3,6)=-A2# 5910 B#(4,6)=-N2# 5920 B#(5,6)=0 5930 B#(1,7)=0 5940 B#(2,7)=0 5950 B#(3,7)=0 5960 B#(4,7)=B3# 5970 B#(5,7)=A3# 5980 B#(1,8)=-A3# 5990 B#(2,8)=0 6000 B#(3,8)=-B3# 6010 B#(4,8)=0 6020 B#(5,8)=-N3# 6030 B#(1,9)=0 6040 B#(2,9)=-B3# 6050 B#(3,9)=-A3# 6060 B#(4,9)=-N3# 6070 B#(5,9)=0 6080 B#(1,10)=0 6090 B#(2,10)=0 6100 B#(3,10)=0 6110 B#(4,10)=B4# 6120 B#(5,10)=A4# 6130 B#(1,11)=-A4# 6140 B#(2,11)=0 6150 B#(3,11)=-B4# 6160 B#(4,11)=0 6170 B#(5,11)=-N4# 6180 B#(1,12)=0 6190 B#(2,12)=-B4# 6200 B#(3,12)=-A4# 6210 B#(4,12)=-N4# 6220 B#(5,12)=0 6230 REM CALCULA PRODUCTO MATRICIAL INTERMEDIO [Bi]T.[Ei] 6240 FOR J=1 TO 12 6250 FOR K=1 TO 5 6260 PROD#(J,K)=0 6270 FOR L=1 TO 5 6280 PROD#(J,K)=PROD#(J,K)+B#(L,J)*ELAS#(L,K) 6290 NEXT L 6300 NEXT K 6310 NEXT J
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 51 6320 REM COMPLETA EL TRIPLE PRODUCTO MATRICIAL [Bi]T.[Ei].[B] 6330 FOR J=1 TO 12 6340 FOR K=1 TO 12 6350 FOR L=1 TO 5 6360 KM#(J,K)=KM#(J,K)+DET#*ESPESOR#(ELEMENTO)*PROD#(J,L)*B#(L,K)*P(I) 6370 NEXT L 6380 NEXT K 6390 NEXT J 6400 NEXT I 6410 RETURN 6420 REM SUBRUTINA CALCULA SOLICITACIONES DEBIDAS A LOS CORRIMIENTOS EN LOS ELEMENTOS FINITOS 6430 REM CALCULA MATRIZ DE RIGIDECES DE 12X12 DEL ELEMENTO FINITO 6440 GOSUB 4480 6450 F(1)=NUDO1F(ELEMENTO) 6460 F(2)=NUDO2F(ELEMENTO) 6470 F(3)=NUDO3F(ELEMENTO) 6480 F(4)=NUDO4F(ELEMENTO) 6490 FOR J=1 TO 4 6500 CORR#(3*J-2)=CORRIM#(F(J),1) 6510 CORR#(3*J-1)=CORRIM#(F(J),2) 6520 CORR#(3*J)=CORRIM#(F(J),3) 6530 NEXT J 6540 FOR J=1 TO 12 6550 F1#(J)=0 6560 FOR K=1 TO 12 6570 F1#(J)=F1#(J)+KM#(J,K)*CORR#(K) 6580 NEXT K 6590 NEXT J 6600 RETURN 6.2 Ejemplo de Aplicación: Archivo de Datos Tipo: A continuación se presenta un programa ilustrativo del uso de elementos finitos en losas macizas, escrito en lenguaje GWBASIC, cuyos algoritmos pueden ser fácilmente adaptados a cualquier lenguaje científico. TITULO DE IDENTIFICACION DEL PROBLEMA: LOSA CUADRADA EMPOTRADA EN SU PERIMETRO NUMERO DE NUDOS, NUMERO DE ELEMENTOS FINITOS, NUMERO DE ESTADOS DE CARGA: 81 64 1 DATOS DE LOS NUDOS: NUDO, COORD. X, COORD. Y, RESTRICCION DESPLAZAMIENTO Z, RESTRICCION ROTAC. X, RESTRICCION ROTAC. Y: 1 0.00 0.00 1 1 1 2 1.00 0.00 1 1 1 3 2.00 0.00 1 1 1 4 3.00 0.00 1 1 1 5 4.00 0.00 1 1 1 6 5.00 0.00 1 1 1 7 6.00 0.00 1 1 1 8 7.00 0.00 1 1 1 9 8.00 0.00 1 1 1 10 0.00 1.00 1 1 1
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 52 11 1.00 1.00 0 0 0 12 2.00 1.00 0 0 0 13 3.00 1.00 0 0 0 14 4.00 1.00 0 0 0 15 5.00 1.00 0 0 0 16 6.00 1.00 0 0 0 17 7.00 1.00 0 0 0 18 8.00 1.00 1 1 1 19 0.00 2.00 1 1 1 20 1.00 2.00 0 0 0 21 2.00 2.00 0 0 0 22 3.00 2.00 0 0 0 23 4.00 2.00 0 0 0 24 5.00 2.00 0 0 0 25 6.00 2.00 0 0 0 26 7.00 2.00 0 0 0 27 8.00 2.00 1 1 1 28 0.00 3.00 1 1 1 29 1.00 3.00 0 0 0 30 2.00 3.00 0 0 0 31 3.00 3.00 0 0 0 32 4.00 3.00 0 0 0 33 5.00 3.00 0 0 0 34 6.00 3.00 0 0 0 35 7.00 3.00 0 0 0 36 8.00 3.00 1 1 1 37 0.00 4.00 1 1 1 38 1.00 4.00 0 0 0 39 2.00 4.00 0 0 0 40 3.00 4.00 0 0 0 41 4.00 4.00 0 0 0 42 5.00 4.00 0 0 0 43 6.00 4.00 0 0 0 44 7.00 4.00 0 0 0 45 8.00 4.00 1 1 1 46 0.00 5.00 1 1 1 47 1.00 5.00 0 0 0 48 2.00 5.00 0 0 0 49 3.00 5.00 0 0 0 50 4.00 5.00 0 0 0 51 5.00 5.00 0 0 0 52 6.00 5.00 0 0 0 53 7.00 5.00 0 0 0 54 8.00 5.00 1 1 1 55 0.00 6.00 1 1 1 56 1.00 6.00 0 0 0 57 2.00 6.00 0 0 0 58 3.00 6.00 0 0 0 59 4.00 6.00 0 0 0 60 5.00 6.00 0 0 0 61 6.00 6.00 0 0 0 62 7.00 6.00 0 0 0 63 8.00 6.00 1 1 1 64 0.00 7.00 1 1 1 65 1.00 7.00 0 0 0 66 2.00 7.00 0 0 0 67 3.00 7.00 0 0 0 68 4.00 7.00 0 0 0 69 5.00 7.00 0 0 0
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 53 70 6.00 7.00 0 0 0 71 7.00 7.00 0 0 0 72 8.00 8.00 1 1 1 73 0.00 8.00 1 1 1 74 1.00 8.00 1 1 1 75 2.00 8.00 1 1 1 76 3.00 8.00 1 1 1 77 4.00 8.00 1 1 1 78 5.00 8.00 1 1 1 79 6.00 8.00 1 1 1 80 7.00 8.00 1 1 1 81 8.00 8.00 1 1 1 DATOS DE LOS ELEMENTOS FINITOS: ELEMENTO, NUDO 1, NUDO 2, NUDO 3, NUDO 4, MOD. ELASTICO, MOD. POISSON, ESPESOR: 1 1 2 11 10 2100000 0.3 0.2 2 2 3 12 11 2100000 0.3 0.2 3 3 4 13 12 2100000 0.3 0.2 4 4 5 14 13 2100000 0.3 0.2 5 5 6 15 14 2100000 0.3 0.2 6 6 7 16 15 2100000 0.3 0.2 7 7 8 17 16 2100000 0.3 0.2 8 8 9 18 17 2100000 0.3 0.2 9 10 11 20 19 2100000 0.3 0.2 10 11 12 21 20 2100000 0.3 0.2 11 12 13 22 21 2100000 0.3 0.2 12 13 14 23 22 2100000 0.3 0.2 13 14 15 24 23 2100000 0.3 0.2 14 15 16 25 24 2100000 0.3 0.2 15 16 17 26 25 2100000 0.3 0.2 16 17 18 27 26 2100000 0.3 0.2 17 19 20 29 28 2100000 0.3 0.2 18 20 21 30 29 2100000 0.3 0.2 19 21 22 31 30 2100000 0.3 0.2 20 22 23 32 31 2100000 0.3 0.2 21 23 24 33 32 2100000 0.3 0.2 22 24 25 34 33 2100000 0.3 0.2 23 25 26 35 34 2100000 0.3 0.2 24 26 27 36 35 2100000 0.3 0.2 25 28 29 38 37 2100000 0.3 0.2 26 29 30 39 38 2100000 0.3 0.2 27 30 31 40 39 2100000 0.3 0.2 28 31 32 41 40 2100000 0.3 0.2 29 32 33 42 41 2100000 0.3 0.2 30 33 34 43 42 2100000 0.3 0.2 31 34 35 44 43 2100000 0.3 0.2 32 35 36 45 44 2100000 0.3 0.2 33 37 38 47 46 2100000 0.3 0.2 34 38 39 48 47 2100000 0.3 0.2 35 39 40 49 48 2100000 0.3 0.2 36 40 41 50 49 2100000 0.3 0.2 37 41 42 51 50 2100000 0.3 0.2 38 42 43 52 51 2100000 0.3 0.2 39 43 44 53 52 2100000 0.3 0.2 40 44 45 54 53 2100000 0.3 0.2 41 46 47 56 55 2100000 0.3 0.2 42 47 48 57 56 2100000 0.3 0.2 43 48 49 58 57 2100000 0.3 0.2 44 49 50 59 58 2100000 0.3 0.2
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 54 45 50 51 60 59 2100000 0.3 0.2 46 51 52 61 60 2100000 0.3 0.2 47 52 53 62 61 2100000 0.3 0.2 48 53 54 63 62 2100000 0.3 0.2 49 55 56 65 64 2100000 0.3 0.2 50 56 57 66 65 2100000 0.3 0.2 51 57 58 67 66 2100000 0.3 0.2 52 58 59 68 67 2100000 0.3 0.2 53 59 60 69 68 2100000 0.3 0.2 54 60 61 70 69 2100000 0.3 0.2 55 61 62 71 70 2100000 0.3 0.2 56 62 63 72 71 2100000 0.3 0.2 57 64 65 74 73 2100000 0.3 0.2 58 65 66 75 74 2100000 0.3 0.2 59 66 67 76 75 2100000 0.3 0.2 60 67 68 77 76 2100000 0.3 0.2 61 68 69 78 77 2100000 0.3 0.2 62 69 70 79 78 2100000 0.3 0.2 63 70 71 80 79 2100000 0.3 0.2 64 71 72 81 80 2100000 0.3 0.2 DATOS GENERALES DE LAS CARGAS: TITULO DE IDENTIFICACION DEL ESTADO DE CARGA # 1 : CARGA VERTICAL UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA NUMERO DE NUDOS CARGADOS: 49 DATOS DE NUDOS CARGADOS: NUDO, FUERZA EN Z, MOMENTO EN X, MOMENTO EN Y: 11 -1 0 0 12 -1 0 0 13 -1 0 0 14 -1 0 0 15 -1 0 0 16 -1 0 0 17 -1 0 0 20 -1 0 0 21 -1 0 0 22 -1 0 0 23 -1 0 0 24 -1 0 0 25 -1 0 0 26 -1 0 0 29 -1 0 0 30 -1 0 0 31 -1 0 0 32 -1 0 0 33 -1 0 0 34 -1 0 0 35 -1 0 0 38 -1 0 0 39 -1 0 0 40 -1 0 0 41 -1 0 0 42 -1 0 0 43 -1 0 0 44 -1 0 0 47 -1 0 0 48 -1 0 0 49 -1 0 0 50 -1 0 0
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 55 51 -1 0 0 52 -1 0 0 53 -1 0 0 56 -1 0 0 57 -1 0 0 58 -1 0 0 59 -1 0 0 60 -1 0 0 61 -1 0 0 62 -1 0 0 65 -1 0 0 66 -1 0 0 67 -1 0 0 68 -1 0 0 69 -1 0 0 70 -1 0 0 71 -1 0 0 Gráfico de la Estructura Analizada y Cargas: Archivo de Resultados: LOSA CUADRADA EMPOTRADA EN SU PERIMETRO DATOS DE LA ESTRUCTURA: NUMERO DE NUDOS = 81 NUMERO DE ELEMENTOS FINITOS = 64 NUMERO DE ESTADOS DE CARGA = 1 CARACTERISTICAS DE NUDO: NUDO COORDENADAS RESTRICCIONES X Y DES.Z ROT.X ROT.Y 1 0.000 0.000 1 1 1 2 1.000 0.000 1 1 1 3 2.000 0.000 1 1 1 4 3.000 0.000 1 1 1 5 4.000 0.000 1 1 1 6 5.000 0.000 1 1 1 7 6.000 0.000 1 1 1 8 7.000 0.000 1 1 1 9 8.000 0.000 1 1 1 10 0.000 1.000 1 1 1 11 1.000 1.000 0 0 0 12 2.000 1.000 0 0 0 13 3.000 1.000 0 0 0 14 4.000 1.000 0 0 0 15 5.000 1.000 0 0 0 16 6.000 1.000 0 0 0
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 56 17 7.000 1.000 0 0 0 18 8.000 1.000 1 1 1 19 0.000 2.000 1 1 1 20 1.000 2.000 0 0 0 21 2.000 2.000 0 0 0 22 3.000 2.000 0 0 0 23 4.000 2.000 0 0 0 24 5.000 2.000 0 0 0 25 6.000 2.000 0 0 0 26 7.000 2.000 0 0 0 27 8.000 2.000 1 1 1 28 0.000 3.000 1 1 1 29 1.000 3.000 0 0 0 30 2.000 3.000 0 0 0 31 3.000 3.000 0 0 0 32 4.000 3.000 0 0 0 33 5.000 3.000 0 0 0 34 6.000 3.000 0 0 0 35 7.000 3.000 0 0 0 36 8.000 3.000 1 1 1 37 0.000 4.000 1 1 1 38 1.000 4.000 0 0 0 39 2.000 4.000 0 0 0 40 3.000 4.000 0 0 0 41 4.000 4.000 0 0 0 42 5.000 4.000 0 0 0 43 6.000 4.000 0 0 0 44 7.000 4.000 0 0 0 45 8.000 4.000 1 1 1 46 0.000 5.000 1 1 1 47 1.000 5.000 0 0 0 48 2.000 5.000 0 0 0 49 3.000 5.000 0 0 0 50 4.000 5.000 0 0 0 51 5.000 5.000 0 0 0 52 6.000 5.000 0 0 0 53 7.000 5.000 0 0 0 54 8.000 5.000 1 1 1 55 0.000 6.000 1 1 1 56 1.000 6.000 0 0 0 57 2.000 6.000 0 0 0 58 3.000 6.000 0 0 0 59 4.000 6.000 0 0 0 60 5.000 6.000 0 0 0 61 6.000 6.000 0 0 0 62 7.000 6.000 0 0 0 63 8.000 6.000 1 1 1 64 0.000 7.000 1 1 1 65 1.000 7.000 0 0 0 66 2.000 7.000 0 0 0 67 3.000 7.000 0 0 0 68 4.000 7.000 0 0 0 69 5.000 7.000 0 0 0 70 6.000 7.000 0 0 0 71 7.000 7.000 0 0 0 72 8.000 7.000 1 1 1 73 0.000 8.000 1 1 1 74 1.000 8.000 1 1 1 75 2.000 8.000 1 1 1
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 57 76 3.000 8.000 1 1 1 77 4.000 8.000 1 1 1 78 5.000 8.000 1 1 1 79 6.000 8.000 1 1 1 80 7.000 8.000 1 1 1 81 8.000 8.000 1 1 1 PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS FINITOS: ELEMENTO NUDO 1 NUDO 2 NUDO 3 NUDO 4 MODULO MODULO ESPESOR ELASTICO POISSON 1 1 2 11 10 2100000 0.300 0.200 2 2 3 12 11 2100000 0.300 0.200 3 3 4 13 12 2100000 0.300 0.200 4 4 5 14 13 2100000 0.300 0.200 5 5 6 15 14 2100000 0.300 0.200 6 6 7 16 15 2100000 0.300 0.200 7 7 8 17 16 2100000 0.300 0.200 8 8 9 18 17 2100000 0.300 0.200 9 10 11 20 19 2100000 0.300 0.200 10 11 12 21 20 2100000 0.300 0.200 11 12 13 22 21 2100000 0.300 0.200 12 13 14 23 22 2100000 0.300 0.200 13 14 15 24 23 2100000 0.300 0.200 14 15 16 25 24 2100000 0.300 0.200 15 16 17 26 25 2100000 0.300 0.200 16 17 18 27 26 2100000 0.300 0.200 17 19 20 29 28 2100000 0.300 0.200 18 20 21 30 29 2100000 0.300 0.200 19 21 22 31 30 2100000 0.300 0.200 20 22 23 32 31 2100000 0.300 0.200 21 23 24 33 32 2100000 0.300 0.200 22 24 25 34 33 2100000 0.300 0.200 23 25 26 35 34 2100000 0.300 0.200 24 26 27 36 35 2100000 0.300 0.200 25 28 29 38 37 2100000 0.300 0.200 26 29 30 39 38 2100000 0.300 0.200 27 30 31 40 39 2100000 0.300 0.200 28 31 32 41 40 2100000 0.300 0.200 29 32 33 42 41 2100000 0.300 0.200 30 33 34 43 42 2100000 0.300 0.200 31 34 35 44 43 2100000 0.300 0.200 32 35 36 45 44 2100000 0.300 0.200 33 37 38 47 46 2100000 0.300 0.200 34 38 39 48 47 2100000 0.300 0.200 35 39 40 49 48 2100000 0.300 0.200 36 40 41 50 49 2100000 0.300 0.200 37 41 42 51 50 2100000 0.300 0.200 38 42 43 52 51 2100000 0.300 0.200 39 43 44 53 52 2100000 0.300 0.200 40 44 45 54 53 2100000 0.300 0.200 41 46 47 56 55 2100000 0.300 0.200 42 47 48 57 56 2100000 0.300 0.200 43 48 49 58 57 2100000 0.300 0.200 44 49 50 59 58 2100000 0.300 0.200 45 50 51 60 59 2100000 0.300 0.200 46 51 52 61 60 2100000 0.300 0.200 47 52 53 62 61 2100000 0.300 0.200 48 53 54 63 62 2100000 0.300 0.200
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 58 49 55 56 65 64 2100000 0.300 0.200 50 56 57 66 65 2100000 0.300 0.200 51 57 58 67 66 2100000 0.300 0.200 52 58 59 68 67 2100000 0.300 0.200 53 59 60 69 68 2100000 0.300 0.200 54 60 61 70 69 2100000 0.300 0.200 55 61 62 71 70 2100000 0.300 0.200 56 62 63 72 71 2100000 0.300 0.200 57 64 65 74 73 2100000 0.300 0.200 58 65 66 75 74 2100000 0.300 0.200 59 66 67 76 75 2100000 0.300 0.200 60 67 68 77 76 2100000 0.300 0.200 61 68 69 78 77 2100000 0.300 0.200 62 69 70 79 78 2100000 0.300 0.200 63 70 71 80 79 2100000 0.300 0.200 64 71 72 81 80 2100000 0.300 0.200 NUMERO DE GRADOS DE LIBERTAD = 147 LONGITUD DEL VECTOR SKYLINE = 3318 ESTADO DE CARGA 1 CARGA VERTICAL UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA NUDOS CARGADOS: NUDO FZ MX MY 11 -1.000 0.000 0.000 12 -1.000 0.000 0.000 13 -1.000 0.000 0.000 14 -1.000 0.000 0.000 15 -1.000 0.000 0.000 16 -1.000 0.000 0.000 17 -1.000 0.000 0.000 20 -1.000 0.000 0.000 21 -1.000 0.000 0.000 22 -1.000 0.000 0.000 23 -1.000 0.000 0.000 24 -1.000 0.000 0.000 25 -1.000 0.000 0.000 26 -1.000 0.000 0.000 29 -1.000 0.000 0.000 30 -1.000 0.000 0.000 31 -1.000 0.000 0.000 32 -1.000 0.000 0.000 33 -1.000 0.000 0.000 34 -1.000 0.000 0.000 35 -1.000 0.000 0.000 38 -1.000 0.000 0.000 39 -1.000 0.000 0.000 40 -1.000 0.000 0.000 41 -1.000 0.000 0.000 42 -1.000 0.000 0.000 43 -1.000 0.000 0.000 44 -1.000 0.000 0.000 47 -1.000 0.000 0.000 48 -1.000 0.000 0.000 49 -1.000 0.000 0.000 50 -1.000 0.000 0.000 51 -1.000 0.000 0.000 52 -1.000 0.000 0.000
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 59 53 -1.000 0.000 0.000 56 -1.000 0.000 0.000 57 -1.000 0.000 0.000 58 -1.000 0.000 0.000 59 -1.000 0.000 0.000 60 -1.000 0.000 0.000 61 -1.000 0.000 0.000 62 -1.000 0.000 0.000 65 -1.000 0.000 0.000 66 -1.000 0.000 0.000 67 -1.000 0.000 0.000 68 -1.000 0.000 0.000 69 -1.000 0.000 0.000 70 -1.000 0.000 0.000 71 -1.000 0.000 0.000 CORRIMIENTOS DE NUDO: NUDO DESPL. Z ROTAC. X ROTAC. Y 1 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 2 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 3 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 4 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 5 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 6 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 7 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 8 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 9 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 10 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 11 -.109749D-03 -.173202D-03 -.173202D-03 12 -.286480D-03 -.167423D-03 -.462825D-03 13 -.419426D-03 -.955940D-04 -.689720D-03 14 -.467452D-03 0.120961D-10 -.772267D-03 15 -.419426D-03 0.955941D-04 -.689720D-03 16 -.286480D-03 0.167423D-03 -.462825D-03 17 -.109749D-03 0.173202D-03 -.173202D-03 18 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 19 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 20 -.286480D-03 -.462825D-03 -.167423D-03 21 -.787667D-03 -.481289D-03 -.481289D-03 22 -.118243D-02 -.282577D-03 -.745160D-03 23 -.132730D-02 0.252506D-10 -.844140D-03 24 -.118243D-02 0.282577D-03 -.745160D-03 25 -.787667D-03 0.481289D-03 -.481289D-03 26 -.286480D-03 0.462825D-03 -.167423D-03 27 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 28 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 29 -.419426D-03 -.689720D-03 -.955941D-04 30 -.118243D-02 -.745160D-03 -.282577D-03 31 -.180163D-02 -.447452D-03 -.447452D-03 32 -.203210D-02 0.425093D-10 -.511056D-03 33 -.180163D-02 0.447452D-03 -.447452D-03 34 -.118243D-02 0.745160D-03 -.282577D-03 35 -.419426D-03 0.689720D-03 -.955941D-04 36 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 37 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 38 -.467452D-03 -.772267D-03 -.591680D-11 39 -.132730D-02 -.844140D-03 0.133626D-10 40 -.203210D-02 -.511056D-03 -.547291D-11 41 -.229586D-02 0.514298D-10 0.568518D-10
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EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 61 45 0.255203D+01 -.349898D+01 -.156938D-05 46 0.233392D+01 0.145809D+01 -.179446D-01 54 0.233392D+01 -.315624D+01 -.179460D-01 55 0.168541D+01 0.893763D+00 -.307957D-01 63 0.168541D+01 -.220822D+01 -.307966D-01 64 0.705008D+00 0.294071D+00 -.286918D-01 72 0.705008D+00 -.985824D+00 -.286922D-01 73 0.249286D+00 0.000000D+00 -.160692D+00 74 0.705008D+00 -.173959D-01 -.985824D+00 75 0.168541D+01 0.224080D-01 -.220822D+01 76 0.233392D+01 0.257331D-01 -.315624D+01 77 0.255203D+01 0.186134D-01 -.349898D+01 78 0.233392D+01 0.778856D-02 -.315624D+01 79 0.168541D+01 -.838762D-02 -.220822D+01 80 0.705008D+00 -.460877D-01 -.985824D+00 81 0.249287D+00 -.160692D+00 -.160692D+00 Deformada de la Estructura Analizada: A partir del archivo de resultados se tiene la siguiente deformada de la estructura, ampliada 100 veces para facilitar su visualización:

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  • 1. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 1 EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANALISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. mromo@espe.edu.ec Centro de Investigación Científica Escuela Politécnica del Ejército RESUMEN Se presenta una introducción a la utilización de los elementos finitos en el análisis estructural de placas, para lo que se revisan las ecuaciones básicas de la Teoría de la Elasticidad, y se da una interpretación física al Método de Ensamblaje Directo, empleado en el Análisis Matricial de Estructuras; esa misma interpretación se puede usar también en elementos finitos. Además se establece una metodología genérica y directa tipo Rayleigh-Ritz, basada en la minimización de la energía potencial y en campos de desplazamientos predefinidos, para la deducción de las matrices de rigideces de los elementos finitos, tomando como referencia a un cuadrilátero plano para placas. Se adjunta un programa de computación para el análisis de placas planas que incluyen elementos finitos cuadriláteros, y se comparan resultados numéricos con paquetes comerciales de análisis estructural. Se presenta una gran variedad de ejercicios de aplicación, incluyendo condiciones de borde especiales. ABSTRACT An introduction to the use of finite elements in structural analysis of plates is presented. Basic equations of Elasticity Theory are reviewed, and a physical interpretation of the Direct Assembly Method is introduced; such interpretation can be adapted to finite elements. A generic methodology of a Rayleigh-Ritz type, based on potential energy minimization and predefined displacements is established to deduce stiffness matrices for finite elements, using as a reference a flat plate quadrilateral. A computer program for flat plate analysis is provided, which includes quadrilateral finite elements. Numerical results of the program are compared to results in commercial structural analysis software. A large number of examples are presented, including special border conditions. 1. INTRODUCCIÓN: El método de los elementos finitos es un método genérico para obtener soluciones numéricas, con una precisión aceptable, a muchos problemas complejos de ingeniería, constituidos o modelados mediante continuos. A través del método de los elementos finitos se ha conseguido abordar, con eficiencia, problemas tan disímiles como el análisis estructural, la transferencia de calor, el flujo de fluidos, los campos eléctricos, etc.
  • 2. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 2 Si se quisieran determinar los desplazamientos en la placa de la figura, los métodos clásicos nos conducirían al planteamiento de ecuaciones diferenciales parciales sin solución numérica específica, debido a que la estructura y el estado de carga son demasiado complicados. Para utilizar el método de los elementos finitos, por otro parte, se requiere discretizar el continuo material en un número finito de sectores (elementos finitos con dimensiones finitas), con geometría más simple, interconectados entre sí a través de nudos. En cierto modo, los elementos finitos son pequeños pedazos de la estructura real. El hecho de idealizar la interconexión entre los elementos finitos exclusivamente a través de sus nudos, podría determinar que solamente en tales nudos se cumplan obligatoriamente las condiciones de compatibilidad de deformación. El resultado que se obtendría es una flexibilización excesiva de la estructura, pues se permitirían traslapes, separaciones o quiebres entre caras de los elementos contiguos.
  • 3. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 3 Es evidente que éste no es el comportamiento de la estructura real, por lo que para un modelamiento más apropiado, los elementos finitos aparentemente deberían deformarse siguiendo elásticas que mantengan la continuidad entre elementos, consiguiéndose de este modo compatibilidad de deformaciones entre las caras adyacentes de los elementos (no siempre ese enfoque es el más conveniente, pero es un buen punto de partida). Los triángulos y los cuadriláteros planos, constituyen los elementos finitos bidimensionales más utilizados en el análisis estructural, tanto por la facilidad con que se adaptan a casi cualquier configuración geométrica, como por la relativa simplicidad de determinación de sus matrices de rigideces. Las barras lineales, que conforman las estructuras aporticadas y las celosías, constituyen los elementos finitos naturales. El estudio de las barras lineales ha sido extenso, y los tratados de Análisis Matricial de Estructuras detallan la manera de modelar su comportamiento.
  • 4. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 4 Cuando se presentan continuos tridimensionales (como la presa de la siguiente figura), es usual la utilización de elementos finitos poliédricos, como el hexaedro o el tetraedro. En el caso de continuos superficiales curvos, se suelen utilizar cuadriláteros fuera de plano (los cuatro vértices del cuadrilátero no pertenecen a un mismo plano).
  • 5. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 5 2. ECUACIONES DE LA TEORÍA DE LA ELASTICIDAD: La Teoría de la Elasticidad es un auxilio importante para comprender el Método de los Elementos Finitos. La siguiente figura representa un elemento diferencial plano de espesor constante “t” (no es un elemento finito pues tiene dimensiones infinitamente pequeñas en lugar de dimensiones finitas). Las fuerzas por unidad de volumen “Fx” y “Fy”, que actúan sobre el cuerpo, pueden provenir de la acción de la aceleración de la gravedad, aceleraciones sísmicas, campos magnéticos, etc. a) Ecuaciones Diferenciales de Equilibrio: Planteando equilibrio de fuerzas, en el elemento diferencial bidimensional, en las direcciones “x” y “y”, se tiene:
  • 6. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 6 0tdydxFtdxdy y tdydx x x xyx =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ∂ τ∂ +⋅⋅⋅ ∂ σ∂ 0tdydxFtdxdy y tdydx x y yyx =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ∂ σ∂ +⋅⋅⋅ ∂ τ∂ Simplificando: 0F yx x xyx =+ ∂ τ∂ + ∂ σ∂ 0F yx y yyx =+ ∂ σ∂ + ∂ τ∂ Donde: xyyx τ=τ Lo que transforma las ecuaciones previas en: 0F yx x xyx =+ ∂ τ∂ + ∂ σ∂ 0F yx y yxy =+ ∂ σ∂ + ∂ τ∂ Por analogía, las ecuaciones diferenciales de equilibrio en un elemento diferencial tridimensional son: 0F zyx x xzxyx =+ ∂ τ∂ + ∂ τ∂ + ∂ σ∂ 0F zyx y yzyxy =+ ∂ τ∂ + ∂ σ∂ + ∂ τ∂ 0F zyx z zyzxz =+ ∂ σ∂ + ∂ τ∂ + ∂ τ∂ b) Compatibilidad de Deformaciones: Cuando un cuerpo elástico se deforma, el campo de desplazamientos es continuo, sin que se produzcan aberturas, traslapes o quiebres de la elástica, lo que da lugar a las condiciones de compatibilidad de deformaciones. Al considerar la compatibilidad de deformaciones en el elemento diferencial plano, las tres deformaciones unitarias “ex”, “ey”, “γxy”, están interrelacionadas, y son función de dos campos de desplazamientos: )y,x(uu = )y,x(vv = De igual manera, al considerar la compatibilidad de deformaciones en el elemento diferencial tridimensional, las seis deformaciones unitarias “ex”, “ey”, “ez”, “γxy”, “γyz”, “γzx”, son función de tres campos de desplazamientos: )z,y,x(uu =
  • 7. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 7 )z,y,x(vv = )z,y,x(ww = c) Relación entre Desplazamientos y Deformaciones Unitarias: La relación existente entre los desplazamientos y las deformaciones unitarias es fundamental en la formulación de la matriz de rigideces de los elementos finitos. Si se expresa matricialmente la relación entre desplazamientos y deformaciones unitarias para el elemento diferencial bidimensional, se tiene: { }       ⋅                   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =                   ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =           γ ε ε =ε v u xy y 0 0 x x v y u y v x u xy y x Por analogía, la relación entre desplazamientos y deformaciones unitarias para el caso del elemento diferencial tridimensional es:
  • 8. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 8 { }           ⋅                                 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =                                   ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =                     γ γ γ ε ε ε =ε w v u x 0 z yz 0 0 xy z 00 0 y 0 00 x x w z u y w z v x v y u z w y v x u zx yz xy z y x d) Relaciones Esfuerzo Unitario - Deformación Unitaria: Para el caso de materiales ortotrópicos (materiales con características elásticas diferentes en cada una de las tres direcciones ortogonales principales), en continuos tridimensionales, se tienen las siguientes relaciones: z z xz y y xy x x x EEE 1 σ⋅ µ −σ⋅ µ −σ⋅+=ε [1] z z xz y y x x xy y EE 1 E σ⋅ µ −σ⋅+σ⋅ µ −=ε [2] z z y y yz x x xz z E 1 EE σ⋅+σ⋅ µ −σ⋅ µ −=ε [3] xy xy xy G τ =γ [4] yz yz yz G τ =γ [5] xz xz xz G τ =γ [6] Para el caso de materiales isotrópicos (materiales con características elásticas idénticas en todas las direcciones), en continuos tridimensionales, se tienen las siguientes relaciones simplificadas: zyxx EEE 1 σ⋅ µ −σ⋅ µ −σ⋅+=ε [1’] zyxy EE 1 E σ⋅ µ −σ⋅+σ⋅ µ −=ε [2’] zyxz E 1 EE σ⋅+σ⋅ µ −σ⋅ µ −=ε [3’] G xy xy τ =γ [4’]
  • 9. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 9 G yz yz τ =γ [5’] G xz xz τ =γ [6’] Donde: )1(2 E G µ+ = Expresando matricialmente las relaciones correspondientes a elementos bidimensionales isotrópicos, bajo condición de esfuerzos planos (se eliminan las ecuaciones “3’ ”, “5’ ” y “6’ ”, y los esfuerzos “s z”, “tyz”y “tzx”), se tiene: { } [ ] { }σ⋅=           τ σ σ ⋅           µ+ +µ− µ−+ =           γ ε ε =ε C )1(200 01 01 E 1 xy y x xy y x La relación matricial inversa para esfuerzos planos es: { } [ ] { }ε⋅=           γ ε ε ⋅             µ− µ µ µ− =           τ σ σ =σ E 2 1 00 01 01 1 E xy y x 2 xy y x Evidentemente la matriz [E] es la matriz inversa de [C]. [E] = [C]-1 La matriz [C] recibe el nombre de matriz de deformabilidad del material, y la matriz [E] se denomina matriz de elasticidad del material. La relación matricial entre deformaciones unitarias y esfuerzos unitarios, para continuos tridimensionales, con materiales isotrópicos es:                     τ τ τ σ σ σ ⋅                     µ+ µ+ µ+ µ−µ− µ−µ− µ−µ− =                     γ γ γ ε ε ε xz yz xy z y x xz yz xy z y x )1(200000 0)1(20000 00)1(2000 0001 0001 0001 E 1 La relación matricial inversa es:
  • 10. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 10                     γ γ γ ε ε ε ⋅                                 µ− µ− µ− µ− µ− µ− µ− µ µ− µ µ− µ µ− µ µ− µ µ− µ µ−µ+ µ− =                     τ τ τ σ σ σ xz yz xy z y x xz yz xy z y x )1(2 21 00000 0 )1(2 21 0000 00 )1(2 21 000 0001 11 000 1 1 1 000 11 1 )21)(1( )1(E Para el caso de continuos tridimensionales, con materiales isotrópicos, bajo condiciones de deformaciones planas, se descartan las filas “3”, “5”y “6”, de la matriz [E] de 6x6, y se define “ez = 0”, “γyz = 0”y “γxz = 0”, obteniéndose: { } [ ]{ }ε=           γ ε ε             µ− µ−µ µµ− µ−µ+ =           τ σ σ =σ E 2 21 00 01 01 )21)(1( E xy y x xy y x Para el caso de placas planas delgadas, cuyo comportamiento está gobernado por el efecto de flexión, las deformaciones de interés son las curvaturas de la superficie neutra de la estructura, y los esfuerzos requeridos son los momentos flectores por unidad de longitud. [ ]{ }ε=                       µ− µ µ µ− ⋅ =           E æ æ æ 2 21 00 01 01 )1(12 tE M M M xy yy xx 2 3 xy yy xx Donde: Mxx : Momento flector por unidad de longitud alrededor del eje “x”. Myy : Momento flector por unidad de longitud alrededor del eje “y”. Mxy : Momento torsor por unidad de longitud sobre el plano “xy” (alrededor del eje “z”). 2 2 xx x w æ ∂ ∂ = : curvatura de flexión alrededor del eje “x” 2 2 xx y w æ ∂ ∂ = : curvatura de flexión alrededor del eje “y” y.x w æ 2 xx ∂∂ ∂ = : curvatura de torsión
  • 11. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 11 3. INTERPRETACIÓN FÍSICA DEL MÉTODO DE ENSAMBLAJE DIRECTO: El Método de Ensamblaje Directo, empleado tradicionalmente en el análisis matricial de estructuras aporticadas y en celosía, es la utilización del principio de que, la solicitación (fuerza o momento) nodal que se requiere, para que varios elementos que convergen a un mismo nudo de la estructura tengan una misma magnitud de corrimiento nodal (desplazamiento o rotación compatible, usualmente unitario), es igual a la suma de las solicitaciones que se requieren para conseguir dicha deformación en cada uno de los elementos que convergen al nudo. Dado que los componentes de las matrices de rigideces de cada uno de los elementos de una estructura, son las fuerzas o momentos nodales que se necesitan para mantener una deformación unitaria en uno de los nudos de un elemento estructural, la formación de la matriz de rigideces global de la estructura puede reducirse a la suma selectiva de los componentes de las matrices de rigideces de todos los elementos de una estructura. Este proceso se conoce como Ensamblaje Directo. Los mismos criterios empleados para la utilización del Método de Ensamblaje Directo en el análisis de pórticos y celosías, pueden ser empleados para analizar continuos discretizados mediante elementos finitos. Elásticas de Deformación Fundamentales de las Barras Planas:
  • 12. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 12 Elásticas de Deformación Correspondientes a los Corrimientos Unitarios de los Grados de Libertad de la Estructura: Por cada desplazamiento nodal desconocido de la estructura se plantea una ecuación de equilibrio de fuerzas, y por cada rotación nodal desconocida se plantea una ecuación de equilibrio de momentos. Cada componente de la matriz de rigideces de la estructura (matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones de equilibrio), se puede obtener directamente de las elásticas de deformación para corrimientos unitarios, sumando las solicitaciones de todas las barras que concurren al nudo donde se está especificando la condición de equilibrio.
  • 13. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 13 Ecuaciones de equilibrio del pórtico: δx3 δy3 θz3 δx4 δy4 θz4 = Término Independiente 320 +4 0 600 -320 0 0 2 ΣFx3 0 600 +1.024 256 0 -1.024 256 -7.50 ΣFy3 600 256 180000 +17066 7 0 -256 85333 -625 ΣMz3 -320 0 0 320 +4 0 600 0 ΣFx4 0 -1.024 -256 0 600 +1.024 -256 -7.50 ΣFy4 0 256 85333 600 -256 180000 +17066 7 625 ΣMz4 En análisis matricial de estructuras, en lugar de emplear las elásticas de deformación para corrimientos unitarios de los grados de libertad, se calculan matrices de rigideces, en coordenadas globales, para cada barra (cada componente de la matriz de rigideces se calcula en base a corrimientos unitarios en los extremos de barra) y, durante el ensamblaje de la matriz de rigideces de la estructura global se realiza la suma de componentes consistentes de las matrices de rigideces de diferentes elementos. Este proceso es numéricamente equivalente a utilizar las elásticas de deformación, y recibe el nombre de Ensamblaje Directo. Los términos independientes, son las solicitaciones nodales más las solicitaciones de barra transformadas a solicitaciones nodales. )z()y()x()z()y()x( 333111 θδδθδδ [ ] )Mz( )(Fy )(Fx )Mz( )(Fy )(Fx 1800000600900000600- 060000600-0 60004.00060004.000- 9000006001800000600- 0600-006000 600-04.000-600-04.000 K 3 3 3 1 1 1 31                     =−
  • 14. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 14 )z()y()x()z()y()x( 444222 θδδθδδ [ ] )Mz( )(Fy )(Fx )Mz( )(Fy )(Fx 1800000600900000600- 060000600-0 60004.00060004.000- 9000006001800000600- 0600-006000 600-04.000-600-04.000 K 4 4 4 2 2 2 42                     =− )z()y()x()z()y()x( 333222 θδδθδδ [ ] )Mz( )(Fy )(Fx )Mz( )(Fy )(Fx 1706672560853332560 256024.10256024.10 0032000320 8533325601706672560 256024.10256024.10 0032000320 K 3 3 3 2 2 2 32                     − −−− − − − − =− Si mediante algún proceso especial (luego se describirá tal proceso), se pudieran determinar las rigideces de los elementos finitos que conforman un continuo (por ejemplo un cuadrilátero plano en placas delgadas), no existiría ningún obstáculo para que se construyan elásticas de deformación correspondientes a corrimientos unitarios de nudo, que permitan visualizar físicamente los componentes de las diferentes ecuaciones de equilibrio que deberían plantearse. Como alternativa podrían utilizarse las matrices de rigideces de los elementos finitos, en conjunto con el método de ensamblaje directo, para conseguir el mismo objetivo. Si se supone que los nudos de la placa solamente admiten un desplazamiento transversal y dos rotaciones como corrimientos, y que la estructura está empotrada en su perímetro, el número total de grados de libertad de la estructura sería de 9. Las elásticas correspondientes a los 3 corrimientos unitarios del nudo “7” de la estructura serían:
  • 15. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 15 1w7 = 1x7 =θ 1y7 =θ 4. LA ENERGÍA POTENCIAL Y EL MÉTODO RAYLEIGH - RITZ: a) Energía Potencial: La Energía Potencial de un sistema estructural se designa “pP”, y se puede expresar como función de los corrimientos. Cuando “pP” se minimiza con respecto a los corrimientos, da lugar a ecuaciones de
  • 16. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 16 equilibrio de la forma [ ] { } { }RDK =⋅ Un sistema estructural es conservativo si, partiendo de una configuración inicial, sufre corrimientos arbitrarios y retorna a la configuración inicial sin efectuar trabajo físico alguno (realiza trabajo nulo). Una configuración o un corrimiento es admisible cuando no viola ni las condiciones internas de compatibilidad, ni las condiciones de borde esenciales. b) Energía Potencial en Sistemas con un Grado de Libertad: Como ejemplo, se puede tomar un resorte suspendido, de longitud “L”, de rigidez axial “k”, en cuyo extremo libre se aplica una fuerza “P”, y se permite un desplazamiento vertical “D” en el lugar de aplicación de la fuerza. La energía potencial (capacidad de realizar trabajo a futuro) de un sistema estructural tiene dos componentes: Ø Energía Potencial de Deformación de la estructura. Ø Energía Potencial de las solicitaciones.
  • 17. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 17 Si se toma como nivel de referencia al extremo libre del resorte cuando no está solicitado por la fuerza, la energía potencial del sistema, después de aplicada la fuerza y producidos los corrimientos es: D.PDk 2 1 2 P −⋅⋅=π El signo negativo de la energía potencial de la fuerza obedece a que, una vez realizado el trabajo, la fuerza ha perdido capacidad de realizar trabajo a futuro. Derivando la energía potencial “pP” con respecto a “D”, e igualando a cero para obtener un mínimo, se tiene: 0PDk =−⋅ PDk =⋅ Esta ecuación es exactamente la misma que se plantearía al imponer condiciones de equilibrio en el sistema. k P Deq = Si alternativamente se toma como nivel de referencia a un punto ubicado “H” unidades hacia abajo del extremo libre del resorte cuando no está solicitado por la fuerza, la energía potencial del sistema se describiría como: )CH(PDk 2 1 2 P −⋅−⋅⋅=π Derivando la nueva ecuación de energía potencial con respecto a “D”, e igualando a cero para obtener un mínimo, se tiene: 0PDk =−⋅ PDk =⋅ Nuevamente se obtiene que: k P Deq = El resultado obtenido es independiente de cualquier nivel de referencia que se escoja para definir la energía potencial del sistema estructural, por lo que resultaría conveniente escoger aquel que defina las expresiones más sencillas o las más convenientes para simplificación. Cualitativamente se puede decir que las solicitaciones pierden energía potencial cuando han realizado trabajo sobre una deformación en la misma dirección que la solicitación, mientras que los resortes almacenan energía potencial positiva sin importar la dirección de la deformación. La representación gráfica de las dos ecuaciones antes detalladas indica que la energía potencial ha sido minimizada, y que los mínimos son coincidentes:
  • 18. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 18 De todas las configuraciones admisibles de la elástica de deformación de un sistema conservativo, aquellas que satisfacen las ecuaciones de equilibrio convierten a la energía potencial del sistema en estacionaria con respecto a pequeñas variaciones de los corrimientos. c) Energía Potencial en Sistemas con Múltiples Grados de Libertad: Se dice que un sistema tiene “n” grados de libertad, si se requieren “n” magnitudes independientes para definir su configuración. En este caso, la energía potencial del sistema será función de la magnitud de los diferentes grados de libertad. )D...,,D,D,D(F n321P =π Si se aplica la condición estacionaria de la energía potencial se tiene: 0 Di P = ∂ π∂ )n...,,3,2,1i( = El resultado es un sistema de “n” ecuaciones simultáneas con “n” incógnitas. Como ejemplo, se pueden tomar tres resortes en serie, de rigideces axiales “k1”, “k2” y “k3”, en cuyos extremos se aplican fuerzas “P1”, “P2”y “P3”, respectivamente, y se permiten desplazamientos absolutos “D1”, “D2”y “D3” en los sitios de aplicación de las fuerzas. La energía potencial del sistema, después de las deformaciones es: 332211 2 233 2 122 2 11P DPDPDP)DD(k 2 1 )DD(k 2 1 Dk 2 1 ⋅−⋅−⋅−−⋅+−⋅+⋅=π Derivando con respecto a cada corrimiento, e igualando a “0”, para minimizar la energía potencial del sistema, se tiene:
  • 19. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 19 0P)DD(kDk D 112211 1 P =−−⋅−⋅= ∂ π∂ 0P)DD(k)DD(k D 2233122 2 P =−−⋅−−⋅= ∂ π∂ 0P)DD(k D 3233 3 P =−−⋅= ∂ π∂ Organizando matricialmente el sistema de ecuaciones se tiene:           =           ⋅           − −+− −+ 3 2 1 3 2 1 33 3322 221 P P P D D D kk0 kkkk 0kkk La expresión matricial simplificada es: [ ] { } { }PDK =⋅ El sistema de ecuaciones es exactamente igual al que se obtendría planteando ecuaciones de equilibrio en los puntos de aplicación de las fuerzas. Una manera alternativa de plantear la ecuación de energía potencial, en términos matriciales, es: { } [ ] { } { } { }P.DDKD 2 1 TT P −⋅⋅=π En el caso del ejemplo previo, la expresión desarrollada de la ecuación de energía potencial es: [ ] [ ]           −           ⋅           − −+− −+ ⋅=π 3 2 1 321 3 2 1 33 3322 221 321P P P P .DDD D D D kk0 kkkk 0kkk DDD 2 1 d) Expresiones para la Energía Potencial: Se puede tomar como referencia el caso general de esfuerzos tridimensionales {s} y deformaciones tridimensionales {e}: { } [ ]T zxyzxyzyx τττσσσ=σ { } [ ]T zxyzxyzyx γγγεεε=ε La relación esfuerzo unitario - deformación unitaria en coordenadas rectangulares es: { } [ ] { }ε⋅=σ E Si se define como “Uo” a la energía potencial de deformación por unidad de volumen, tal magnitud representa el trabajo realizado por las fuerzas internas. En un cubo de dimensiones unitarias, el esfuerzo unitario es igual a la fuerza y la deformación unitaria es igual al desplazamiento sobre el que actúa el esfuerzo unitario. Con estas consideraciones, incluyendo todos los esfuerzos unitarios, las deformaciones unitarias infinitesimales producen un cambio en la energía de deformación interna de acuerdo a la siguiente expresión. { } { }T o ddU ε⋅σ=
  • 20. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 20 zxzxyzyzxyxyzzyyxxo dddddddU γ⋅τ+γ⋅τ+γ⋅τ+ε⋅σ+ε⋅σ+ε⋅σ= Derivando parcialmente con relación a cada deformación unitaria se tienen las siguientes expresiones. x x odU σ= ε∂ y y odU σ= ε∂ z z odU σ= ε∂ xy xy odU τ= γ∂ yz yz odU τ= γ∂ zx zx odU τ= γ∂ Generalizando las expresiones anteriores, con ecuaciones matriciales: { } [ ] { }ε⋅=σ=       ε∂ E dUo Integrando con respecto a las deformaciones unitarias se tiene: { } [ ] { }ε⋅⋅ε= E 2 1 U T o Se definen a los desplazamientos de un punto arbitrario de coordenadas “x”, “y”, “z” con la siguiente expresión: { } [ ]T wvuf = Donde “u”, “v”, “w” son función de las coordenadas “x”, “y”, “z”. Las fuerzas por unidad de volumen pierden potencial cuando ocurren los desplazamientos en la misma dirección de las fuerzas. En un volumen unitario el cambio de energía potencial es: wFvFuFPotencialdeCambio zyx ⋅−⋅−⋅−= Un cuerpo de volumen “V” tiene una energía potencial total: { } { } { } { }PDdVFfdV.U T V T V oP ⋅−⋅⋅−=π ∫∫ La primera expresión es la energía de deformación interna, la segunda es el cambio de potencial en las fuerzas volumétricas, y la tercera es el cambio de potencial en las fuerzas que actúan sobre los nudos. Previamente se estableció que, para el caso de sistemas estructurales sin fuerzas volumétricas, la energía potencial podía calcularse con la siguiente expresión:
  • 21. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 21 { } [ ] { } { } { }P.DDKD 2 1 TT P −⋅⋅=π Comparando las dos ecuaciones se deduce que: { } [ ] { } ∫ ⋅=⋅⋅ V o T dVUDKD 2 1 Reemplazando “Uo” en la expresión anterior: { } [ ] { } { } [ ] { }∫ ⋅ε⋅⋅ε=⋅⋅ V TT dVE 2 1 DKD 2 1 Simplificando: { } [ ] { } { } [ ] { }∫ ⋅ε⋅⋅ε=⋅⋅ V TT dVEDKD Esta relación permite la determinación de la matriz de rigideces de un elemento finito, en función de sus deformaciones unitarias internas. e) El Método Rayleigh - Ritz: Las estructuras con miembros discretos, como los pórticos y celosías, tienen un número finito de grados de libertad, pero los sistemas continuos pueden tener grados de libertad en cada uno de sus puntos, y su comportamiento se describe mediante ecuaciones diferenciales parciales simultáneas. Se puede evitar resolver dichas ecuaciones (en la gran mayoría de los casos no tienen solución cerrada), empleando el Método Rayleigh - Ritz, que utiliza expresiones matemáticas de interpolación para expresar los corrimientos de cada punto, en función de un número finito de grados de libertad. El Método Rayleigh - Ritz se vuelve más exacto mientras mayor sea el número de grados de libertad que se utilice. 5. EL ELEMENTO FINITO CUADRILÁTERO PLANO PARA MODELAR DEFORMACIONES FLEXIONANTES EN PLACAS DELGADAS: A continuación se presenta una metodología genérica para formular la matriz de rigideces de un elemento finito cuadrilátero plano, empleado en el análisis estructural de placas delgadas. Procedimientos muy similares se emplean en la deducción de matrices de rigideces de otros tipos de elementos finitos, utilizados en otros tipos de problemas estructurales.
  • 22. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 22 a) El Cuadrilátero Plano en Coordenadas Globales: El elemento finito cuadrilátero plano puede tener una geometría real arbitraria. b) El Cuadrilatero Plano en Coordenadas Naturales: Para efectos de simplificar las operaciones se utiliza como referencia al elemento finito cuadrilátero plano en coordenadas normalizadas (coordenadas naturales).
  • 23. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 23 A cada punto del cuadrilátero plano real le corresponde un punto del cuadrilátero normalizado con coordenadas naturales. Las ecuaciones de transformación entre los sistemas de coordenadas se discuten posteriormente. c) Grados de Libertad del Cuadrilátero Plano: Los grados de libertad (corrimientos) del cuadrilátero plano utilizado en el modelamiento de placas, tanto en coordenadas globales como en coordenadas naturales, son un desplazamiento “w” transversal al plano principal y dos rotaciones (“θx=∂w/∂y”, “θy=-∂w/∂x”) por cada nudo, lo que significa un total de 12 corrimientos referenciales para el elemento finito. d) Funciones de Forma de los Desplazamientos Nodales en el Cuadrilátero Plano en Coordenadas Naturales: Se definen las siguientes Funciones de Forma de los Corrimientos Nodales, cuya característica es la de ser funciones de dos variables (“r”, “s”) simples y manejables, que tienen valor unitario para uno de los grados de libertad de los nudos del elemento finito y valor nulo para los restantes once grados de libertad. Por facilidad de formulación se utiliza como base al elemento finito en coordenadas naturales, y posteriormente se realiza una transformación consistente de coordenadas para modelar los corromientos en el elemento finito en coordenadas reales. Los desplazamientos transversales en el elemento finito se describen mediante la variable “w”, la rotación de nudo alrededor del eje “x” es “θx=∂w/∂y”, y la rotación de nudo alrededor del eje “y” es “θy=-∂w/∂x”. Desplazamiento Unitario Perpendicular al Nudo “1” (w1=1): )2s3s)(2r3r( 16 1 w 33 +−+−=
  • 24. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 24 Rotación Unitaria Alrededor del Eje “x” en el Nudo “1” (θx1=∂w1/∂s=1): )1sss)(2r3r( 16 1 w 233 +−−+−= Rotación Unitaria Alrededor del Eje “y” en el Nudo “1” (θy1=-∂w1/∂r=1): )2s3s)(1rrr( 16 1 w 323 +−−++−=
  • 25. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 25 Desplazamiento Unitario Perpendicular al Nudo “2” (w2=1): )2s3s)(2r3r( 16 1 w 33 +−++−= Rotación Unitaria Alrededor del Eje “x” en el Nudo “2” (θx2=∂w2/∂s=1): )1sss)(2r3r( 16 1 w 233 +−−++−=
  • 26. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 26 Rotación Unitaria Alrededor del Eje “y” en el Nudo “2” (θy2=-∂w2/∂r=1): )2s3s)(1rrr( 16 1 w 323 +−++−−= Desplazamiento Unitario Perpendicular en el Nudo “3” (w3=1): )2s3s)(2r3r( 16 1 w 33 ++−++−=
  • 27. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 27 Rotación Unitaria Alrededor del Eje “x” en el Nudo “3” (θx3=∂w3/∂s=1): )1sss)(2r3r( 16 1 w 233 −−+++−= Rotación Unitaria Alrededor del Eje “y” en el Nudo “3” (θy3=-∂w3/∂r=1): )2s3s)(1rrr( 16 1 w 323 ++−++−−=
  • 28. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 28 Desplazamiento Unitario Perpendicular al Nudo “4” (w4=1): )2s3s)(2r3r( 16 1 w 33 ++−+−= Rotación Unitaria Alrededor del Eje “x” en el Nudo “4” (θx4=∂w4/∂s=1): )1sss)(2r3r( 16 1 w 233 −−++−=
  • 29. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 29 Rotación Unitaria Alrededor del Eje “y” en el Nudo “4” (θy4=-∂w4/∂r=1): )2s3s)(1rrr( 16 1 w 323 ++−−++−= f) Funciones de Transformación de Coordenadas: Para transformar coordenadas entre el elemento finito en coordenadas naturales y el elemento finito en coordenadas globales se utilizan las siguientes funciones paramétricas cuyo valor es unitario para las coordenadas de uno de los nudos y nulo para los tres restantes: )2s3s)(2r3r( 16 1 N 33 I +−+−= )2s3s)(2r3r( 16 1 N 33 II +−++−= )2s3s)(2r3r( 16 1 N 33 III ++−++−= )2s3s)(2r3r( 16 1 N 33 IV ++−+−= Las cuatro funciones paramétricas detalladas son coincidentes con las funciones que describen los cuatro desplazamientos transversales de nudo. Las expresiones de transformación entre los dos sistemas de coordenadas, que utilizan las funciones paramétricas detalladas anteriormente son: 4IV3III2II1I xNxNxNxNx ⋅+⋅+⋅+⋅= 4IV3III2II1I yNyNyNyNy ⋅+⋅+⋅+⋅= Reemplazando se tiene:
  • 30. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 30         ++−+−+++−++−+ +−++−++−+− = 4 33 3 33 2 33 1 33 x)2s3s)(2r3r(x)2s3s)(2r3r( x)2s3s)(2r3r(x)2s3s)(2r3r( 16 1 x         ++−+−+++−++−+ +−++−++−+− = 4 33 3 33 2 33 1 33 y)2s3s)(2r3r(y)2s3s)(2r3r( y)2s3s)(2r3r(y)2s3s)(2r3r( 16 1 y g) Campo de Desplazamientos: En el literal “d” se detallan doce funciones de forma para describir los campos de desplazamientos transversales del elemento finito, basadas en los desplazamientos transversales y rotaciones de nudo. )2s3s)(2r3r( 16 1 N 33 1 +−+−= )1sss)(2r3r( 16 1 N 233 2 +−−+−= )2s3s)(1rrr( 16 1 N 323 3 +−−++−= )2s3s)(2r3r( 16 1 N 33 4 +−++−= )1sss)(2r3r( 16 1 N 233 5 +−−++−= )2s3s)(1rrr( 16 1 N 323 6 +−++−−= )2s3s)(2r3r( 16 1 N 33 7 ++−++−= )1sss)(2r3r( 16 1 N 233 8 −−+++−= )2s3s)(1rrr( 16 1 N 323 9 ++−++−−= )2s3s)(2r3r( 16 1 N 33 10 ++−+−= )1sss)(2r3r( 16 1 N 233 11 −−++−= )2s3s)(1rrr( 16 1 N 323 12 ++−−++−= El campo de desplazamientos transversales en el elemento finito normalizado es una función de los corrimientos nodales. La contribución de cada corrimiento nodal está definida por la respectiva función de forma. 412411410393837 262524131211 yNxNwNyNxNwN yNxNwNyNxNwNw θ⋅+θ⋅+⋅+θ⋅+θ⋅+⋅+ θ⋅+θ⋅+⋅+θ⋅+θ⋅+⋅= Se podrían utilizar formulaciones más sencillas (menos elaboradas) que incluyan como únicos grados de libertad los desplazamientos transversales de nudo, en dicho caso existirán solamente cuatro
  • 31. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 31 funciones de forma que describan los desplazamientos, ylas mismas ecuaciones deben emplearse para las transformaciones de coordenadas. )s1)(r1( 4 1 NI −−= )s1)(r1( 4 1 NII −+= )s1)(r1( 4 1 NIII ++= )s1)(r1( 4 1 NIV +−= Basado en las últimas funciones de forma, la relación entre coordenadas sería: { }4321 x)s1)(r1(x)s1)(r1(x)s1)(r1(x)s1)(r1( 4 1 x +−++++−++−−= { }4321 y)s1)(r1(y)s1)(r1(y)s1)(r1(y)s1)(r1( 4 1 y +−++++−++−−= h) Relaciones Deformaciones Unitarias - Desplazamientos: Por el principio de Kirchoff, que es una extensión de una hipótesis básica de flexión en vigas, cualquier línea recta perpendicular al plano principal de una placa, antes de la aplicación de solicitaciones, mantiene su condición de recta después de la deformación provocada por las solicitaciones, lo que determina las siguientes equivalencias: yzu θ⋅= xzv θ⋅−= De las seis componentes de deformación unitaria en problemas tridimensionales (ex, ey, ez, γxy, γyz, γzx). En el presente caso ez se considera despreciable y se asume nula. 0 z w z = ∂ ∂ =ε Las restantes deformaciones unitarias se describen con las siguientes igualdades: x u x ∂ ∂ =ε y v y ∂ ∂ =ε x v y u xy ∂ ∂ + ∂ ∂ =γ y w z v yz ∂ ∂ + ∂ ∂ =γ x w z u xz ∂ ∂ + ∂ ∂ =γ Se requiere transformar las derivadas parciales respecto a las coordenadas x, y, z del elemento finito en coordenadas reales, tomando como base las derivadas respecto a r, s, t del elemento finito en coordenadas normalizadas, para lo que se utilizan las expresiones de la derivación en cadena para
  • 32. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 32 funciones de funciones. r z z u r y y u r x x u r u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ s z z u s y y u s x x u s u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ t z z u t y y u t x x u t u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ Para el caso de placas la coordenada perpendicular al plano es independiente de las coordenadas coplanares, y es conveniente que sean coincidentes tanto en coordenadas reales como en coordenadas normalizadas. tz = De donde: 0 r z = ∂ ∂ 0 s z = ∂ ∂ 1 t z = ∂ ∂ 0 t x = ∂ ∂ 0 t y = ∂ ∂ Reemplazando en las derivaciones en cadena, y simplificando, se tiene: r y y u r x x u r u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ s y y u s x x u s u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ 1 t u = ∂ ∂ Se puede emplear un procedimiento similar para relacionar las derivadas parciales de v, w, respecto a r, s, t. Si se agrupan matricialmente las expresiones, se obtiene:                   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅                 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =                   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z u y u x u 100 0 s y s x 0 r y r x x u y u s u Expresiones similares pueden obtenerse para las derivadas parciales de v, w respecto a r, s, t.
  • 33. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 33 La matriz de transformación obtenida recibe el nombre de matriz Jacobiana. [ ]                 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 100 0 s y s x 0 r y r x J La inversa de la matriz Jacobiana puede representarse: [ ] [ ]           Γ ΓΓ ==Γ − 100 0 0 J 2221 1211 1 Las relaciones inversas agrupadas se pueden expresar:                               ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⋅                                         ′′ ′′           ′′ ′′           ′′ ′′ =                               ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ − − − t s r t s r t s r 1 ss rr 1 ss rr 1 ss rr z y x z y x z y x w w w v v v u u u 100 0xx 0yx 100 0xx 0yx 100 0xx 0yx w w w v v v u u u Las derivadas de u, v, w respecto a r, s, t (u’y es la derivada parcial de “u” respecto a “y” o “∂u/∂y”)se calculan con las funciones de forma de w y las expresiones que relacionan las rotaciones de nudo con los corrimientos u, v.           θ θ⋅                             − ′⋅− ′⋅− − ′⋅− ′⋅− − ′⋅− ′⋅− =                               ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∑ = yi xi wi 00Ni 00iNz 00iNz Ni00 iNz00 iNz00 0Ni0 0iNz0 0iNz0 w w w v v v u u u n 1i s r s r s r t s r t s r t s r Donde n es el número de funciones de forma (12 para la solución más exacta y 4 para la solución simplificada). Se debe recordar que:
  • 34. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 34 xx u′=ε yy v′=ε 0zz w =′=ε xyxy vu ′+′=γ yzyz wv ′+′=γ xzxz wu ′+′=γ Condensando las últimas expresiones para obtener matrices de cinco filas se tiene:           θ θ                                 −− − − +                 − − Σ=                 γ γ γ ε ε = yi xi i ii i i ii ii n 1i xz yz xy y x w 000 000 a.zb.z0 b.z00 0a.z0 0Na N0b 000 000 000 O en su forma simplificada: { } [ ] { }dB ⋅=ε Donde: s12r11i iNiNa ′⋅Γ+′⋅Γ= s22r21i iNiNb ′⋅Γ+′⋅Γ= i) Derivadas Parciales de las Funciones de Forma: A continuación se presenta un resumen de las derivadas parciales que se requieren para determinar la matriz de rigideces de los elementos finitos cuadriláteros en placas. Las derivadas parciales que aparecen en la Matriz Jacobiana, y que son utilizadas con las 4 funciones de forma nodales, son:         ++−−+ +++−+−++−+−++−− = ∂ ∂ 4 32 3 32 2 32 1 32 x)2s3s)(3r3( x)2s3s)(3r3(x)2s3s)(3r3(x)2s3s)(3r3( 16 1 r x         ++−−+ +++−+−++−+−++−− = ∂ ∂ 4 32 3 32 2 32 1 32 y)2s3s)(3r3( y)2s3s)(3r3(y)2s3s)(3r3(y)2s3s)(3r3( 16 1 r y         +−+−+ ++−++−+−++−+−+− = ∂ ∂ 4 23 3 23 2 23 1 23 x)3s3)(2r3r( x)3s3)(2r3r(x)3s3)(2r3r(x)3s3)(2r3r( 16 1 s x         +−+−+ ++−++−+−++−+−+− = ∂ ∂ 4 23 3 23 2 23 1 23 y)3s3)(2r3r( y)3s3)(2r3r(y)3s3)(2r3r(y)3s3)(2r3r( 16 1 s y Las derivadas parciales de las funciones de forma respecto a r son: )2s3s)(3r3( 16 1 N 32 r1 +−−=′ )1sss)(3r3( 16 1 N 232 r2 +−−−=′
  • 35. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 35 )2s3s)(1r2r3( 16 1 N 32 r3 +−++−=′ )2s3s)(3r3( 16 1 N 32 r4 +−+−=′ )1sss)(3r3( 16 1 N 232 r5 +−−+−=′ )2s3s)(1r2r3( 16 1 N 32 r6 +−+−−=′ )2s3s)(3r3( 16 1 N 32 r7 ++−+−=′ )1sss)(3r3( 16 1 N 232 r8 −−++−=′ )2s3s)(1r2r3( 16 1 N 32 r9 ++−+−−=′ )2s3s)(3r3( 16 1 N 32 r10 ++−−=′ )1sss)(3r3( 16 1 N 232 r11 −−+−=′ )2s3s)(1r2r3( 16 1 N 32 r12 ++−++−=′ Las derivadas parciales de las funciones de forma respecto a s son: )3s3)(2r3r( 16 1 N 23 s1 −+−=′ )1s2s3)(2r3r( 16 1 N 23 s2 −−+−=′ )3s3)(1rrr( 16 1 N 223 s3 −−++−=′ )3s3)(2r3r( 16 1 N 23 s4 −++−=′ )1s2s3)(2r3r( 16 1 N 23 s5 −−++−=′ )3s3)(1rrr( 16 1 N 223 s6 −++−−=′ )3s3)(2r3r( 16 1 N 23 s7 +−++−=′ )1s2s3)(2r3r( 16 1 N 23 s8 −+++−=′ )3s3)(1rrr( 16 1 N 223 s9 +−++−−=′ )3s3)(2r3r( 16 1 N 23 s10 +−+−=′
  • 36. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 36 )1s2s3)(2r3r( 16 1 N 23 s11 −++−=′ )3s3)(1rrr( 16 1 N 223 s12 +−−++−=′ A partir de estas expresiones y de la inversa de la Matriz Jacobiana se obtienen las derivadas de las 4 funciones de forma nodales (N1, N4, N7, N10) respecto a las variables (x, y), quedando establecida la matriz [B]. Para las 8 funciones complementarias de flexión (N2, N3, N5, N6, N8, N9, N11, N12) se calcula la inversa de la Matriz Jacobiana, evaluando solamente las derivadas de las funciones antes detalladas para valores de (r=0; s=0). j) Relaciones Esfuerzos Unitarios - Deformaciones Unitarias: La matriz de elasticidad que incluye las deformaciones por corte es: [ ]                 ′′′ ′′′ = xz yz y x G0000 0G000 00G00 000EE 000EE E Donde: 2yx 1 E EE µ− =′=′ )1(2 E E 2 µ+ ⋅µ =′′ )1(2 E G µ+ = De la teoría de Elasticidad se conoce la siguiente relación para el caso de placas planas: {s } = [E].{e} {s } = [E].[B].{d} k) Matriz de Rigideces del Elemento Finito: La siguiente expresión relaciona la matriz de rigideces de un elemento finito genérico con sus deformaciones unitarias internas: { } [ ] { } { } [ ] { }∫ ε⋅⋅ε=⋅⋅ V TT dV.EdKd Donde: { } [ ] { }dB ⋅=ε { } { } [ ]TTT Bd ⋅=ε Reemplazando {e} y {e}T se tiene:
  • 37. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 37 { } [ ] { } { } [ ] [ ] [ ] { }∫ ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅ V TTT dVdBEBddKd Simplificando: [ ] [ ] [ ] [ ]∫ ⋅⋅⋅= V T dVBEBK Efectuando la integración en coordenadas normalizadas (se utiliza el determinante de la matriz jacobiana), la matriz de rigideces del elemento finito cuadrilátero plano queda definida como: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∫ ∫− − ⋅⋅⋅⋅= 1 1 1 1 T dVJDetBEBK Donde: dVn : diferencial volumétrico en el elemento finito normalizado dVn = espesor.dAn [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∫ ∫− − ⋅⋅⋅⋅⋅= 1 1 1 1 T dAnespesorJDetBEBK Para integrar numéricamente la expresión se pueden utilizar 4 puntos de integración (un punto de Gauss-Legendre por cada cuadrante), cuyas coordenadas son: (0.57735,0.57735), (- 0.57735,0.57735), (-0.57735,-0.57735) y (0.57735,-0.57735), o ( 3/3 , 3/3 )... [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]∑ = ⋅⋅⋅⋅⋅= 4 1i T AiespesorJDetBiEiBiK El área de influencia de cada punto de integración (Ai) es unitaria, por lo tanto: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]∑ = ⋅⋅⋅⋅= 4 1i T espesorJDetBiEiBiK La matriz de rigideces obtenida es de 12x12 Para obtener una mayor precisión en la integración numérica se podría emplear un mayor número de puntos de integración, con coordenadas y áreas de influencia descritas por los coeficientes de Gauss para los polinomios de Legendre (Gauss-Legendre). Las coordenadas de los puntos de Gauss y sus respectivos pesos de integración (áreas de influencia), para diferentes números de puntos de integración son:
  • 38. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 38 Número de Puntos de Integración Coordenadas Área de Influencia de cada punto (Ai) (-0.57735027,-0.57735027) 1.0000000000x1.0000000000=1.0000000000 (+0.57735027,-0.57735027) 1.0000000000x1.0000000000=1.0000000000 (+0.57735027,+0.57735027) 1.0000000000x1.0000000000=1.0000000000 4 (-0.57735027,+0.57735027) 1.0000000000x1.0000000000=1.0000000000 (-0.77459667,-0.77459667) 0.5555555556x0.5555555556=0.3086419753 (-0.77459667,0.00000000) 0.5555555556x0.8888888889=0.4938271605 (-0.77459667,+0.77459667) 0.5555555556x0.5555555556=0.3086419753 (0.00000000,-0.77459667) 0.8888888889x0.5555555556=0.4938271605 (0.00000000,0.00000000) 0.8888888889x0.8888888889=0.7901234568 (0.00000000,+0.77459667) 0.8888888889x0.5555555556=0.4938271605 (+0.77459667,-0.77459667) 0.5555555556x0.5555555556=0.3086419753 (+0.77459667,0.00000000) 0.5555555556x0.8888888889=0.4938271605 9 (+0.77459667,+0.77459667) 0.5555555556x0.5555555556=0.3086419753 (-0.86113631,-0.866113631) 0.3478548451x0.3478548451=0.1210029933 (-0.86113631,-0.33998104) 0.3478548451x0.6521451549=0.2268518518 (-0.86113631,+0.33998104) 0.3478548451x0.6521451549=0.2268518518 (-0.86113631,+0.866113631) 0.3478548451x0.3478548451=0.1210029933 (-0.33998104,-0.866113631) 0.6521451549x0.3478548451=0.2268518518 (-0.33998104,-0.33998104) 0.6521451549x0.6521451549=0.4252933031 (-0.33998104,+0.33998104) 0.6521451549x0.6521451549=0.4252933031 (-0.33998104,+0.866113631) 0.6521451549x0.3478548451=0.2268518518 (+0.33998104,-0.866113631) 0.6521451549x0.3478548451=0.2268518518 (+0.33998104,-0.33998104) 0.6521451549x0.6521451549=0.4252933031 (+0.33998104,+0.33998104) 0.6521451549x0.6521451549=0.4252933031 (+0.33998104,+0.866113631) 0.6521451549x0.3478548451=0.2268518518 (+0.86113631,-0.866113631) 0.3478548451x0.3478548451=0.1210029933 (+0.86113631,-0.33998104) 0.3478548451x0.6521451549=0.2268518518 (+0.86113631,+0.33998104) 0.3478548451x0.6521451549=0.2268518518 16 (+0.86113631,+0.866113631) 0.3478548451x0.3478548451=0.1210029933 l) Los Términos de Carga de las Ecuaciones de Equilibrio: Los términos independientes de las ecuaciones de equilibrio, al igual que en el Análisis Matricial de Estructuras Aporticadas y en Celosía, son las solicitaciones nodales que actúan sobre la estructura, más las solicitaciones sobre las caras transformadas a solicitaciones nodales equivalentes. Para determinar las solicitaciones nodales equivalentes se puede igualar el trabajo virtual de las solicitaciones sobre las caras, al trabajo virtual de las solicitaciones nodales equivalentes, tomando como deformación virtual en ambos casos a la elástica de deformación genérica de la cara del elemento. 6. PROGRAMA DE COMPUTACIÓN Y EJEMPLOS: 6.1 Programa de Análisis de Placas Planas con Elementos Finitos Cuadriláteros Planos: A continuación se presenta un programa ilustrativo del uso de elementos finitos en el análisis de
  • 39. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 39 placas, escrito en lenguaje GWBASIC, cuyos algoritmos pueden ser fácilmente adaptados a cualquier lenguaje científico. 10 REM PROGRAMA DE ANALISIS DE PLACAS PLANAS CON ELEMENTOS FINITOS CUADRANGULARES 20 REM DESARROLLADO POR MARCELO ROMO EN NOVIEMBRE DE 1993 30 A1$=" ### ######.### ######.### ## ## ##" 40 A2$=" ### ### ### #######.### ######.### ########.###" 50 A3$=" ### #.######^^^^ #.######^^^^ #.######^^^^" 60 A4$=" ### #.######^^^^ #.######^^^^ #.######^^^^" 70 A5$=" ### #.###^^^^ #.###^^^^ #.###^^^^ #.###^^^^ #.###^^^^ #.###^^^^" 80 A6$=" ### ######.### ######.### ######.###" 90 A7$=" ### #####.#### #####.####" 100 A8$=" ### ### ### ### ### #######.## ##.### ####.###" 110 REM LEE NOMBRE DEL ARCHIVO DE ENTRADA DE DATOS 120 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "DEME NOMBRE DEL ARCHIVO DE ENTRADA DE DATOS"; 130 INPUT ARCHIVO$ 140 REM ABRE ARCHIVOS DE ENTRADA DE DATOS Y SALIDA DE RESULTADOS 150 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "ABRE ARCHIVOS DE ENTRADA DE DATOS Y SALIDA DE RESULTADOS" 160 OPEN ARCHIVO$ FOR INPUT AS#1 LEN=128 170 A$=ARCHIVO$+".RES" 180 OPEN A$ FOR OUTPUT AS#2 LEN=128 190 REM LEE E IMPRIME TITULO DEL PROBLEMA 200 INPUT#1,A$ 210 INPUT#1,TITULO$ 220 PRINT#2,TITULO$ 230 PRINT#2," " 240 PRINT#2," DATOS DE LA ESTRUCTURA:" 250 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "LEE DATOS DE LA ESTRUCTURA" 260 INPUT#1,A$,A$,A$ 270 REM LEE CARACTERISTICAS BASICAS DE LA ESTRUCTURA Y DIMENSIONA LOS ARREGLOS: 280 REM LEE NUMERO DE NUDOS, NUMERO DE ELEMENTOS FINITOS, NUMERO DE ESTADOS DE CARGA 290 INPUT#1,NNUDOS,NFINITOS,NCARGAS 300 DIM X(NNUDOS),Y(NNUDOS),ORDEN(NNUDOS,3),P1#(NNUDOS,3),CORRIM#(NNUDOS,3) ,P#(3*NNUDOS),PUN(3*NNUDOS) 310 DIM NUDO1F(NFINITOS),NUDO2F(NFINITOS),NUDO3F(NFINITOS),NUDO4F(NFINITOS) ,EF#(NFINITOS),POISSON#(NFINITOS),ESPESOR#(NFINITOS) 320 DIM KM#(12,12),IT(12),F#(12),REACCION#(12),CORR#(12),F1#(12),RE#(12) 330 DIM ESFUERZOS#(3),JCB#(3,3),JI#(3,3),B#(5,12),ELAS#(5,5),PROD#(12,5),R( 16),S(16),P(16),EPSILON#(3),NUDO(4) 340 PRINT#2,"NUMERO DE NUDOS =";NNUDOS 350 PRINT#2,"NUMERO DE ELEMENTOS FINITOS =";NFINITOS 360 PRINT#2,"NUMERO DE ESTADOS DE CARGA =";NCARGAS 370 PRINT#2," " 380 PRINT#2," CARACTERISTICAS DE NUDO:" 390 PRINT#2," NUDO COORDENADAS RESTRICCIONES" 400 PRINT#2," X Y DES.Z ROT.X
  • 40. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 40 ROT.Y" 410 REM LEE COORDENADAS Y RESTRICCIONES DE NUDO 420 REM # NUDO, COORDENADA X, COORDENADA Y, RESTRICCION DESPL. Z, RESTRICCION ROTAC. X, RESTRICCION ROTAC. Y 430 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "LEE COORDENADAS Y RESTRICCIONES DE NUDO" 440 INPUT#1,A$,A$,A$,A$,A$,A$,A$ 450 FOR I=1 TO NNUDOS 460 INPUT#1,J,X(J),Y(J),ORDEN(J,1),ORDEN(J,2),ORDEN(J,3) 470 PRINT#2,USING A1$;J,X(J),Y(J),ORDEN(J,1),ORDEN(J,2),ORDEN(J,3) 480 NEXT I 490 PRINT #2," " 500 PRINT#2," PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS FINITOS:" 510 PRINT#2," ELEMENTO NUDO 1 NUDO 2 NUDO 3 NUDO 4 MODULO MODULO ESPESOR" 520 PRINT#2," ELASTICO POISSON" 530 INPUT#1,A$,A$,A$,A$,A$,A$,A$,A$,A$ 540 REM LEE PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS FINITOS 550 REM # ELEMENTO, NUDO 1, NUDO 2, NUDO 3, NUDO 4, MODULO ELASTICO, MODULO DE POISSON, ESPESOR 560 FOR I=1 TO NFINITOS 570 INPUT#1,J,NUDO1F(J),NUDO2F(J),NUDO3F(J),NUDO4F(J),EF#(J),POISSON#(J ),ESPESOR#(J) 580 PRINT#2,USING A8$;J,NUDO1F(J),NUDO2F(J),NUDO3F(J),NUDO4F(J),EF#(J),POISSON#(J),ES PESOR#(J) 590 NEXT I 600 REM CALCULA EL NUMERO DE GRADOS DE LIBERTAD Y ORDENA LAS ECUACIONES 610 NGRADOS=0 620 FOR I=1 TO NNUDOS 630 FOR J=1 TO 3 640 IF ORDEN(I,J)=0 GOTO 670 650 ORDEN(I,J)=0 660 GOTO 690 670 NGRADOS=NGRADOS+1 680 ORDEN(I,J)=NGRADOS 690 NEXT J 700 NEXT I 710 PRINT#2,"NUMERO DE GRADOS DE LIBERTAD =";NGRADOS 720 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "NUMERO DE GRADOS DE LIBERTAD =";NGRADOS 730 REM CALCULA EL NUMERO DE ELEMENTOS POR COLUMNA MATRICIAL Y DETERMINA PUNTEROS DEL VECTOR SKYLINE 740 FOR I=1 TO NGRADOS 750 PUN(I)=1 760 NEXT I 770 REM DETERMINA VECTOR DE PUNTEROS EN FUNCION DE LOS ELEMENTOS FINITOS 780 FOR I=1 TO NFINITOS 790 FOR J=1 TO 3 800 IT(J)=ORDEN(NUDO1F(I),J) 810 IT(J+3)=ORDEN(NUDO2F(I),J) 820 IT(J+6)=ORDEN(NUDO3F(I),J) 830 IT(J+9)=ORDEN(NUDO4F(I),J) 840 NEXT J 850 REM ORDENA DE MENOR A MAYOR LOS GRADOS DE LIBERTAD DEL ELEMENTO FINITO 860 FOR J=2 TO 12
  • 41. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 41 870 FOR K=1 TO J-1 880 IF IT(J)>IT(K) GOTO 920 890 TEMP=IT(J) 900 IT(J)=IT(K) 910 IT(K)=TEMP 920 NEXT K 930 NEXT J 940 REM CALCULA LONGITUDES DE COLUMNAS MATRICIALES DEL ELEMENTO FINITO 950 FOR J=2 TO 12 960 IF IT(J)=0 GOTO 1020 970 FOR K=1 TO J-1 980 IF IT(K)=0 GOTO 1010 990 IF IT(J)-IT(K)+1<=PUN(IT(J)) GOTO 1010 1000 PUN(IT(J))=IT(J)-IT(K)+1 1010 NEXT K 1020 NEXT J 1030 NEXT I 1040 FOR I=2 TO NGRADOS 1050 PUN(I)=PUN(I)+PUN(I-1) 1060 NEXT I 1070 PRINT#2,"LONGITUD DEL VECTOR SKYLINE =";PUN(NGRADOS) 1080 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "LONGITUD DEL VECTOR SKYLINE =";PUN(NGRADOS) 1090 REM INICIALIZA EL VECTOR SKYLINE DE RIGIDECES Y LO ALMACENA EN DISCO DURO 1100 OPEN "SKYLINE" AS # 3 LEN = 8 1110 FIELD #3, 8 AS C$ 1120 C#=0 1130 LSET C$=MKD$(C#) 1140 FOR I=1 TO PUN(NGRADOS) 1150 PUT #3,I 1160 NEXT I 1170 REM FORMA LA MATRIZ DE RIGIDECES DENTRO DEL VECTOR SKYLINE 1180 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "FORMA LA MATRIZ DE RIGIDECES DE LA ESTRUCTURA" 1190 FOR ELEMENTO=1 TO NFINITOS 1200 LOCATE 11,1:PRINT "ELEMENTO FINITO ";ELEMENTO;" DE ";NFINITOS 1210 REM CALCULA MATRIZ DE RIGIDECES DE 12X12 DEL ELEMENTO FINITO 1220 GOSUB 4480 1230 REM COLOCA LA MATRIZ DE RIGIDECES DEL ELEMENTO FINITO EN LA MATRIZ DE RIGIDECES DE LA ESTRUCTURA 1240 FOR J=1 TO 12 1250 FOR K=1 TO 12 1260 IF IT(J)>IT(K) OR IT(J)=0 OR IT(K)=0 GOTO 1330 1270 TEMP=PUN(IT(K))+IT(J)-IT(K) 1280 GET #3,TEMP 1290 C1#=CVD(C$) 1300 C1#=C1#+KM#(J,K) 1310 LSET C$=MKD$(C1#) 1320 PUT #3,TEMP 1330 NEXT K 1340 NEXT J 1350 NEXT ELEMENTO 1360 REM OPERA LA MATRIZ DE COEFICIENTES CON LA TECNICA DEL SKYLINE 1370 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "OPERA LA MATRIZ DE COEFICIENTES" 1380 EPSILON#=1E-10 1390 GET #3,1 1400 C1#=CVD(C$)
  • 42. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 42 1410 IF ABS(C1#)<EPSILON# GOTO 1750 1420 LOCATE 11,1:PRINT "ECUACION ";1;" DE ";NGRADOS;" " 1430 FOR J=2 TO NGRADOS 1440 LOCATE 11,1:PRINT "ECUACION ";J;" DE ";NGRADOS;" " 1450 IF PUN(J)-PUN(J-1)<=1 GOTO 1860 1460 I1=J-PUN(J)+PUN(J-1)+1 1470 I2=I1+1 1480 GET #3,PUN(J-1)+1 1490 C1#=CVD(C$) 1500 GET #3,PUN(I1) 1510 C2#=CVD(C$) 1520 C1#=C1#/C2# 1530 LSET C$=MKD$(C1#) 1540 PUT #3,PUN(J-1)+1 1550 FOR I=I2 TO J 1560 K1=PUN(J)+I-J 1570 I3=I-1 1580 FOR K=I1 TO I3 1590 IF K<I-PUN(I)+PUN(I-1)+1 GOTO 1710 1600 GET #3,K1 1610 C1#=CVD(C$) 1620 GET #3,PUN(I)+K-I 1630 C2#=CVD(C$) 1640 GET #3,PUN(K) 1650 C3#=CVD(C$) 1660 GET #3,PUN(J)+K-J 1670 C4#=CVD(C$) 1680 C1#=C1#-C2#*C3#*C4# 1690 LSET C$=MKD$(C1#) 1700 PUT #3,K1 1710 NEXT K 1720 GET #3,PUN(J) 1730 C1#=CVD(C$) 1740 IF ABS(C1#)>=EPSILON# GOTO 1770 1750 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "LA ESTRUCTURA PRESENTA MAL CONDICIONAMIENTO" 1760 END 1770 IF I=J GOTO 1850 1780 GET #3,K1 1790 C1#=CVD(C$) 1800 GET #3,PUN(I) 1810 C2#=CVD(C$) 1820 C1#=C1#/C2# 1830 LSET C$=MKD$(C1#) 1840 PUT #3,K1 1850 NEXT I 1860 NEXT J 1870 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "OPERA TERMINOS INDEPENDIENTES" 1880 INPUT#1,A$ 1890 FOR C=1 TO NCARGAS 1900 INPUT#1,A$ 1910 PRINT#2," " 1920 PRINT#2,"ESTADO DE CARGA";C 1930 INPUT#1,TITULO$ 1940 PRINT#2," " 1950 PRINT#2,TITULO$ 1960 LOCATE 11,1:PRINT "ESTADO DE CARGA ";C;" DE ";NCARGAS:PRINT"
  • 43. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 43 ":PRINT" " 1970 REM INICIALIZA CARGAS CONCENTRADAS SOBRE LOS NUDOS 1980 FOR I=1 TO NNUDOS 1990 FOR J=1 TO 3 2000 P1#(I,J)=0 2010 NEXT J 2020 NEXT I 2030 REM LEE DATOS DE CARGA: NUDOS CARGADOS 2040 INPUT#1,A$ 2050 INPUT#1,NUDOSCARGADOS 2060 INPUT#1,A$,A$,A$,A$,A$ 2070 PRINT#2," " 2080 REM LEE CARGAS CONCENTRADAS EN LOS NUDOS 2090 PRINT#2," NUDOS CARGADOS:" 2100 PRINT#2," NUDO FZ MX MY" 2110 FOR I=1 TO NUDOSCARGADOS 2120 INPUT#1,J,P1#(J,1),P1#(J,2),P1#(J,3) 2130 PRINT#2,USING A6$;J,P1#(J,1),P1#(J,2),P1#(J,3) 2140 NEXT I 2150 REM INICIALIZA TERMINOS INDEPENDIENTES 2160 FOR I=1 TO NGRADOS 2170 P#(I)=0 2180 NEXT I 2190 REM TRANSFORMA CARGAS CONCENTRADAS EN TERMINOS INDEPENDIENTES 2200 FOR I=1 TO NNUDOS 2210 FOR J=1 TO 3 2220 IF ORDEN(I,J)=0 GOTO 2240 2230 P#(ORDEN(I,J))=P#(ORDEN(I,J))+P1#(I,J) 2240 NEXT J 2250 NEXT I 2260 REM OPERA TERMINOS INDEPENDIENTES CON LA TECNICA DEL SKYLINE 2270 REM EJECUTA ETAPA DE IDA CON LOS TERMINOS INDEPENDIENTES 2280 LOCATE 12,1:PRINT "ECUACION ";1;" DE ";NGRADOS;" " 2290 GET #3,1 2300 C1#=CVD(C$) 2310 P#(1)=P#(1)/C1# 2320 FOR I=2 TO NGRADOS 2330 LOCATE 12,1:PRINT "ECUACION ";I;" DE ";NGRADOS;" " 2340 I3=I-1 2350 FOR J=1 TO I3 2360 IF J<I-PUN(I)+PUN(I-1)+1 GOTO 2420 2370 GET #3,PUN(I)+J-I 2380 C1#=CVD(C$) 2390 GET #3,PUN(J) 2400 C2#=CVD(C$) 2410 P#(I)=P#(I)-C1#*C2#*P#(J) 2420 NEXT J 2430 GET #3,PUN(I) 2440 C1#=CVD(C$) 2450 P#(I)=P#(I)/C1# 2460 NEXT I 2470 REM EJECUTA ETAPA DE REGRESO CON LOS TERMINOS INDEPENDIENTES 2480 FOR I1=2 TO NGRADOS 2490 I=NGRADOS+2-I1 2500 LOCATE 12,1:PRINT "ECUACION ";I-1;" DE ";NGRADOS;" " 2510 IF PUN(I)-PUN(I-1)<=1 GOTO 2590 2520 I2=I-PUN(I)+PUN(I-1)+1 2530 I3=I-1
  • 44. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 44 2540 FOR J=I2 TO I3 2550 GET #3,PUN(I)+J-I 2560 C1#=CVD(C$) 2570 P#(J)=P#(J)-P#(I)*C1# 2580 NEXT J 2590 NEXT I1 2600 LOCATE 12,1:PRINT "CALCULA CORRIMIENTOS DE NUDO" 2610 REM CALCULA E IMPRIME CORRIMIENTOS DE NUDO 2620 PRINT#2," " 2630 PRINT#2," CORRIMIENTOS DE NUDO:" 2640 PRINT#2," NUDO DESPL. Z ROTAC. X ROTAC. Y" 2650 FOR I=1 TO NNUDOS 2660 LOCATE 13,1:PRINT "NUDO ";I;" DE ";NNUDOS 2670 FOR J=1 TO 3 2680 CORR#(J)=0 2690 IF ORDEN(I,J)=0 GOTO 2710 2700 CORR#(J)=P#(ORDEN(I,J)) 2710 NEXT J 2720 PRINT#2,USING A3$;I,CORR#(1),CORR#(2),CORR#(3) 2730 CORRIM#(I,1)=CORR#(1) 2740 CORRIM#(I,2)=CORR#(2) 2750 CORRIM#(I,3)=CORR#(3) 2760 NEXT I 2770 LOCATE 12,1:PRINT "CALCULA REACCIONES DE APOYO " 2780 PRINT#2," " 2790 REM CALCULA E IMPRIME REACCIONES DE APOYO 2800 PRINT#2," REACCIONES DE APOYO:" 2810 PRINT#2," NUDO FUERZA Z MOMENTO X MOMENTO Y" 2820 REM CALCULA REACCIONES POR CARGAS Y CORRIMIENTOS 2830 FOR I1=1 TO NNUDOS 2840 IF ORDEN(I1,1)<>0 AND ORDEN(I1,2)<>0 AND ORDEN(I1,3)<>0 GOTO 3130 2850 LOCATE 13,1:PRINT "NUDO ";I1 2860 REM CALCULA REACCIONES POR CARGAS CONCENTRADAS EXTERIORES 2870 FOR I=1 TO 3 2880 REACCION#(I)=-P1#(I1,I) 2890 NEXT I 2900 REM CALCULA REACCIONES POR CORRIMIENTOS DE NUDO EN LOS ELEMENTOS FINITOS 2910 FOR ELEMENTO=1 TO NFINITOS 2920 IF NUDO1F(ELEMENTO)<>I1 AND NUDO2F(ELEMENTO)<>I1 AND NUDO3F(ELEMENTO)<>I1 AND NUDO4F(ELEMENTO)<>I1 GOTO 3110 2930 GOSUB 6420 2940 IF NUDO4F(ELEMENTO)=I1 GOTO 3090 2950 IF NUDO3F(ELEMENTO)=I1 GOTO 3050 2960 IF NUDO2F(ELEMENTO)=I1 GOTO 3010 2970 REACCION#(1)=REACCION#(1)+F1#(1) 2980 REACCION#(2)=REACCION#(2)+F1#(2) 2990 REACCION#(3)=REACCION#(3)+F1#(3) 3000 GOTO 3110 3010 REACCION#(1)=REACCION#(1)+F1#(4) 3020 REACCION#(2)=REACCION#(2)+F1#(5) 3030 REACCION#(3)=REACCION#(3)+F1#(6) 3040 GOTO 3110 3050 REACCION#(1)=REACCION#(1)+F1#(7) 3060 REACCION#(2)=REACCION#(2)+F1#(8) 3070 REACCION#(3)=REACCION#(3)+F1#(9) 3080 GOTO 3110
  • 45. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 45 3090 REACCION#(1)=REACCION#(1)+F1#(10) 3100 REACCION#(3)=REACCION#(3)+F1#(12) 3110 NEXT ELEMENTO 3120 PRINT#2,USING A4$;I1,REACCION#(1),REACCION#(2),REACCION#(3) 3130 NEXT I1 3140 REM SUSPENSION TEMPORAL 3150 END 3160 PRINT#2," " 3170 REM CALCULA E IMPRIME ESFUERZOS EN LOS ELEMENTOS FINITOS 3180 PRINT#2," ESFUERZOS EN LOS ELEMENTOS FINITOS:" 3190 PRINT#2," ELEMENTO NUDO MOMENTO X MOMENTO Y MOMENTO X-Y" 3200 FOR ELEMENTO=1 TO NFINITOS 3210 PRINT#2,USING " #####";ELEMENTO 3220 LOCATE 13,1:PRINT "ELEMENTO ";ELEMENTO;" DE ";NFINITOS 3230 REM CALCULA LA MATRIZ DE RIGIDECES DE 12X12 DEL ELEMENTO FINITO 3240 GOSUB 4480 3250 REM DETERMINA LA MAGNITUD DE LOS GRADOS DE LIBERTAD DEL ELEMENTO FINITO 3260 RE#(1)=CORRIM#(NUDO1F(ELEMENTO),1) 3270 RE#(12)=CORRIM#(NUDO4F(ELEMENTO),3) 3280 RE#(4)=CORRIM#(NUDO2F(ELEMENTO),1) 3290 RE#(5)=CORRIM#(NUDO2F(ELEMENTO),2) 3300 RE#(7)=CORRIM#(NUDO3F(ELEMENTO),1) 3310 RE#(8)=CORRIM#(NUDO3F(ELEMENTO),2) 3320 RE#(10)=CORRIM#(NUDO4F(ELEMENTO),1) 3330 RE#(11)=CORRIM#(NUDO4F(ELEMENTO),2) 3340 REM DETERMINA COORDENADAS LOCALES DE LOS NUDOS PARA EVALUACION DE ESFUERZOS 3350 R(1)=-1:S(1)=-1 3360 R(2)= 1:S(2)=-1 3370 R(3)= 1:S(3)= 1 3380 R(4)=-1:S(4)= 1 3390 REM DETERMINA LA NUMERACION DE NUDOS 3400 NUDO(1)=NUDO1F(ELEMENTO) 3410 NUDO(2)=NUDO2F(ELEMENTO) 3420 NUDO(3)=NUDO3F(ELEMENTO) 3430 NUDO(4)=NUDO4F(ELEMENTO) 3440 FOR I=1 TO 4 3450 REM DETERMINA LA MATRIZ JACOBIANA DE CADA NUDO DEL CUADRILATERO EN COORDENADAS LOCALES 3460 REM *********************************** 3470 JCB#(1,1)=.25*(-(1-T(I))*X1+(1-T(I))*X2+(1+T(I))*X3- (1+T(I))*X4) 3480 JCB#(1,2)=.25*(-(1-T(I))*Y1+(1-T(I))*Y2+(1+T(I))*Y3- (1+T(I))*Y4) 3490 JCB#(2,1)=.25*(-(1-S(I))*X1-(1+S(I))*X2+(1+S(I))*X3+(1- S(I))*X4) 3500 JCB#(2,2)=.25*(-(1-S(I))*Y1-(1+S(I))*Y2+(1+S(I))*Y3+(1- S(I))*Y4) 3510 REM *********************************** 3520 REM CALCULA LA INVERSA DE LA MATRIZ JACOBIANA DE CADA NUDO PARA LAS FUNCIONES DE FORMA PRINCIPALES 3530 REM *********************************** 3540 DET#=JCB#(1,1)*JCB#(2,2)-JCB#(1,2)*JCB#(2,1) 3550 JI#(1,1)=JCB#(2,2)/DET# 3560 JI#(1,2)=-JCB#(1,2)/DET# 3570 JI#(2,1)=-JCB#(2,1)/DET#
  • 46. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 46 3580 JI#(2,2)=JCB#(1,1)/DET# 3590 REM *********************************** 3600 REM CALCULA LA INVERSA DE LA MATRIZ JACOBIANA DEL ORIGEN PARA LAS FUNCIONES DE FORMA AUXILIARES 3610 REM *********************************** 3620 JIAUX#(1,1)=.25*(-Y1-Y2+Y3+Y4)/DET# 3630 JIAUX#(1,2)=.25*(Y1-Y2-Y3+Y4)/DET# 3640 JIAUX#(2,1)=.25*(X1+X2-X3-X4)/DET# 3650 JIAUX#(2,2)=.25*(-X1+X2+X3-X4)/DET# 3660 REM *********************************** 3670 REM CALCULA LA MATRIZ DE TRANSFORMACION [B] DEL NUDO 3680 REM DEFINE MATRIZ DE TRANSFORMACION [B] PARA LAS FUNCIONES DE FORMA PRINCIPALES 3690 REM *********************************** 3700 B#(1,1)=JI#(1,1)*(-1/4*(1-T(I)))+JI#(1,2)*(-1/4*(1-S(I))) 3710 B#(2,1)=0 3720 B#(3,1)=JI#(2,1)*(-1/4*(1-T(I)))+JI#(2,2)*(-1/4*(1-S(I))) 3730 B#(1,2)=0 3740 B#(2,2)=JI#(2,1)*(-1/4*(1-T(I)))+JI#(2,2)*(-1/4*(1-S(I))) 3750 B#(3,2)=JI#(1,1)*(-1/4*(1-T(I)))+JI#(1,2)*(-1/4*(1-S(I))) 3760 B#(1,3)=JI#(1,1)*(1/4*(1-T(I)))+JI#(1,2)*(-1/4*(1+S(I))) 3770 B#(2,3)=0 3780 B#(3,3)=JI#(2,1)*(1/4*(1-T(I)))+JI#(2,2)*(-1/4*(1+S(I))) 3790 B#(1,4)=0 3800 B#(2,4)=JI#(2,1)*(1/4*(1-T(I)))+JI#(2,2)*(-1/4*(1+S(I))) 3810 B#(3,4)=JI#(1,1)*(1/4*(1-T(I)))+JI#(1,2)*(-1/4*(1+S(I))) 3820 B#(1,5)=JI#(1,1)*(1/4*(1+T(I)))+JI#(1,2)*(1/4*(1+S(I))) 3830 B#(2,5)=0 3840 B#(3,5)=JI#(2,1)*(1/4*(1+T(I)))+JI#(2,2)*(1/4*(1+S(I))) 3850 B#(1,6)=0 3860 B#(2,6)=JI#(2,1)*(1/4*(1+T(I)))+JI#(2,2)*(1/4*(1+S(I))) 3870 B#(3,6)=JI#(1,1)*(1/4*(1+T(I)))+JI#(1,2)*(1/4*(1+S(I))) 3880 B#(1,7)=JI#(1,1)*(-1/4*(1+T(I)))+JI#(1,2)*(1/4*(1-S(I))) 3890 B#(2,7)=0 3900 B#(3,7)=JI#(2,1)*(-1/4*(1+T(I)))+JI#(2,2)*(1/4*(1-S(I))) 3910 B#(1,8)=0 3920 B#(2,8)=JI#(2,1)*(-1/4*(1+T(I)))+JI#(2,2)*(1/4*(1-S(I))) 3930 B#(3,8)=JI#(1,1)*(-1/4*(1+T(I)))+JI#(1,2)*(1/4*(1-S(I))) 3940 REM *********************************** 3950 REM DEFINE MATRIZ DE TRANSFORMACION [B] PARA LAS FUNCIONES DE FORMA AUXILIARES 3960 REM *********************************** 3970 B#(1,9)=JIAUX#(1,1)*(-2*S(I)) 3980 B#(2,9)=0 3990 B#(3,9)=JIAUX#(2,1)*(-2*S(I)) 4000 B#(1,10)=0 4010 B#(2,10)=JIAUX#(2,1)*(-2*S(I)) 4020 B#(3,10)=JIAUX#(1,1)*(-2*S(I)) 4030 B#(1,11)=JIAUX#(1,2)*(-2*T(I)) 4040 B#(2,11)=0 4050 B#(3,11)=JIAUX#(2,2)*(-2*T(I)) 4060 B#(1,12)=0 4070 B#(2,12)=JIAUX#(2,2)*(-2*T(I)) 4080 B#(3,12)=JIAUX#(1,2)*(-2*T(I)) 4090 REM ************************************ 4100 REM CALCULA EL VECTOR DE DEFORMACIONES UNITARIAS {áîá}=[B].{D} 4110 REM ************************************ 4120 FOR J=1 TO 3 4130 EPSILON#(J)=0
  • 47. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 47 4140 NEXT J 4150 FOR J=1 TO 3 4160 FOR K=1 TO 12 4170 EPSILON#(J)=EPSILON#(J)+B#(J,K)*RE#(K) 4180 NEXT K 4190 NEXT J 4200 REM ************************************* 4210 REM CALCULA EL VECTOR DE ESFUERZOS {áåá}=[E].{áîá} 4220 REM ************************************* 4230 FOR J=1 TO 5 4240 ESFUERZOS#(J)=0 4250 NEXT J 4260 FOR J=1 TO 5 4270 FOR K=1 TO 5 4280 ESFUERZOS#(J)=ESFUERZOS#(J)+ELAS#(J,K)*EPSILON#(K) 4290 NEXT K 4300 NEXT J 4310 REM ************************************* 4320 REM IMPRIME EL VECTOR DE ESFUERZOS {áåá} 4330 REM ************************************* 4340 PRINT #2,USING" ######";NUDO(I); 4350 FOR J=1 TO 5 4360 PRINT #2,USING" #.######^^^^^";ESFUERZOS#(J); 4370 NEXT J 4380 REM ************************************* 4390 PRINT #2," " 4400 NEXT I 4410 NEXT ELEMENTO 4420 NEXT C 4430 CLOSE #1 4440 CLOSE #2 4450 CLOSE #3 4460 KILL"SKYLINE 4470 END 4480 REM SUBRUTINA MATRIZ DE RIGIDECES DEL ELEMENTO FINITO 4490 REM DETERMINA GRADOS DE LIBERTAD DEL ELEMENTO FINITO 4500 FOR I=1 TO 3 4510 IT(I)=ORDEN(NUDO1F(ELEMENTO),I) 4520 IT(I+3)=ORDEN(NUDO2F(ELEMENTO),I) 4530 IT(I+6)=ORDEN(NUDO3F(ELEMENTO),I) 4540 IT(I+9)=ORDEN(NUDO4F(ELEMENTO),I) 4550 NEXT I 4560 REM DETERMINA COORDENADAS LOCALES DE LOS PUNTOS DE INTEGRACION Y PESO DE INTEGRACION 4570 R(1)=-.5773502692#:S(1)=-.5773502692#:P(1)=1#*1# 4580 R(2)= .5773502692#:S(2)=-.5773502692#:P(2)=1#*1# 4590 R(3)= .5773502692#:S(3)= .5773502692#:P(3)=1#*1# 4600 R(4)=-.5773502692#:S(4)= .5773502692#:P(4)=1#*1# 4610 REM DETERMINA COORDENADAS GLOBALES DE LOS NUDOS DEL ELEMENTO FINITO 4620 X1=X(NUDO1F(ELEMENTO)) 4630 Y1=Y(NUDO1F(ELEMENTO)) 4640 X2=X(NUDO2F(ELEMENTO)) 4650 Y2=Y(NUDO2F(ELEMENTO)) 4660 X3=X(NUDO3F(ELEMENTO)) 4670 Y3=Y(NUDO3F(ELEMENTO)) 4680 X4=X(NUDO4F(ELEMENTO)) 4690 Y4=Y(NUDO4F(ELEMENTO)) 4700 REM CALCULA LA MATRIZ DE ELASTICIDAD DEL ELEMENTO FINITO PARA
  • 48. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 48 PLACAS PLANAS 4710 CONST#=EF#(ELEMENTO)*ESPESOR#(ELEMENTO)^3/(12*(1- POISSON#(ELEMENTO)^2)) 4720 ELAS#(1,1)=CONST# 4730 ELAS#(1,2)=CONST#*POISSON#(ELEMENTO) 4740 ELAS#(1,3)=0 4750 ELAS#(1,4)=0 4760 ELAS#(1,5)=0 4770 ELAS#(2,1)=CONST#*POISSON#(ELEMENTO) 4780 ELAS#(2,2)=CONST# 4790 ELAS#(2,3)=0 4800 ELAS#(2,4)=0 4810 ELAS#(2,5)=0 4820 ELAS#(3,1)=0 4830 ELAS#(3,2)=0 4840 ELAS#(3,3)=CONST#*(1-POISSON#(ELEMENTO))/2 4850 ELAS#(3,4)=0 4860 ELAS#(3,5)=0 4870 ELAS#(4,1)=0 4880 ELAS#(4,2)=0 4890 ELAS#(4,3)=0 4900 ELAS#(4,4)=EF#(ELEMENTO)/(2*(1+POISSON#(ELEMENTO)))*ESPESOR#(ELEMEN TO) 4910 ELAS#(4,5)=0 4920 ELAS#(5,1)=0 4930 ELAS#(5,2)=0 4940 ELAS#(5,3)=0 4950 ELAS#(5,4)=0 4960 ELAS#(5,5)=EF#(ELEMENTO)/(2*(1+POISSON#(ELEMENTO)))*ESPESOR#(ELEMEN TO) 4970 REM INICIALIZA CON VALORES NULOS LA MATRIZ DE RIGIDECES DEL ELEMENTO FINITO 4980 FOR I=1 TO 12 4990 FOR J=1 TO 12 5000 KM#(I,J)=0 5010 NEXT J 5020 NEXT I 5030 FOR I=1 TO 4 5040 REM DETERMINA LA MATRIZ JACOBIANA PARA CADA PUNTO DE INTEGRACION 5050 JCB#(1,1)=.25*(-(1-S(I))*X1+(1-S(I))*X2+(1+S(I))*X3- (1+S(I))*X4) 5060 JCB#(1,2)=.25*(-(1-S(I))*Y1+(1-S(I))*Y2+(1+S(I))*Y3- (1+S(I))*Y4) 5070 JCB#(1,3)=0 5080 JCB#(2,1)=.25*(-(1-R(I))*X1-(1+R(I))*X2+(1+R(I))*X3+(1- R(I))*X4) 5090 JCB#(2,2)=.25*(-(1-R(I))*Y1-(1+R(I))*Y2+(1+R(I))*Y3+(1- R(I))*Y4) 5100 JCB#(2,3)=0 5110 JCB#(3,1)=0 5120 JCB#(3,2)=0 5130 JCB#(3,3)=1 5140 REM CALCULA LA INVERSA DE LA MATRIZ JACOBIANA DEL PUNTO DE INTEGRACION PARA LAS CUATRO FUNCIONES DE FORMA PRINCIPALES 5150 DET#=JCB#(1,1)*JCB#(2,2)-JCB#(1,2)*JCB#(2,1) 5160 JI#(1,1)=JCB#(2,2)/DET#
  • 49. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 49 5170 JI#(1,2)=-JCB#(1,2)/DET# 5180 JI#(1,3)=0 5190 JI#(2,1)=-JCB#(2,1)/DET# 5200 JI#(2,2)=JCB#(1,1)/DET# 5210 JI#(2,3)=0 5220 JI#(3,1)=0 5230 JI#(3,2)=0 5240 JI#(3,3)=1 5250 REM CALCULA LA INVERSA DE LA MATRIZ JACOBIANA PARA LAS DOS FUNCIONES DE FORMA AUXILIARES 5260 JIAUX#(1,1)=.25*(-Y1-Y2+Y3+Y4)/DET# 5270 JIAUX#(1,2)=.25*(Y1-Y2-Y3+Y4)/DET# 5280 JIAUX#(2,1)=.25*(X1+X2-X3-X4)/DET# 5290 JIAUX#(2,2)=.25*(-X1+X2+X3-X4)/DET# 5300 REM DEFINE DERIVADAS PARCIALES DE LAS FUNCIONES DE FORMA RESPECTO A R Y S 5310 DN1DR#=-.25*(-S(I)+1) 5320 DN2DR#=.25*(1-S(I)) 5330 DN3DR#=.25*(1+S(I)) 5340 DN4DR#=-.25*(1+S(I)) 5350 DN5DR#=-2*R(I) 5360 DN6DR#=0 5370 DN1DS#=-.25*(-R(I)+1) 5380 DN2DS#=-.25*(R(I)+1) 5390 DN3DS#=.25*(R(I)+1) 5400 DN4DS#=.25*(-R(I)+1) 5410 DN5DS#=0 5420 DN6DS#=-2*T(I) 5430 REM DEFINE CONSTANTES PARA MATRIZ DE TRANSFORMACION [B] 5440 A1#=JI#(1,1)*DN1DR#+JI#(1,2)*DN1DS# 5450 B1#=JI#(2,1)*DN1DR#+JI#(2,2)*DN1DS# 5460 A2#=JI#(1,1)*DN2DR#+JI#(1,2)*DN2DS# 5470 B2#=JI#(2,1)*DN2DR#+JI#(2,2)*DN2DS# 5480 A3#=JI#(1,1)*DN3DR#+JI#(1,2)*DN3DS# 5490 B3#=JI#(2,1)*DN3DR#+JI#(2,2)*DN3DS# 5500 A4#=JI#(1,1)*DN4DR#+JI#(1,2)*DN4DS# 5510 B4#=JI#(2,1)*DN4DR#+JI#(2,2)*DN4DS# 5520 A5#=JI#(1,1)*DN5DR#+JI#(1,2)*DN5DS# 5530 B5#=JI#(2,1)*DN5DR#+JI#(2,2)*DN5DS# 5540 A6#=JI#(1,1)*DN6DR#+JI#(1,2)*DN6DS# 5550 B6#=JI#(2,1)*DN6DR#+JI#(2,2)*DN6DS# 5560 N1#=.25*(-R(I)+1)*(-S(I)+1) 5570 N2#=.25*(R(I)+1)*(-S(I)+1) 5580 N3#=.25*(R(I)+1)*(S(I)+1) 5590 N4#=.25*(-R(I)+1)*(S(I)+1) 5600 N5#=1-R(I)*R(I) 5610 N6#=1-S(I)*S(I) 5620 REM DEFINE MATRIZ DE TRANSFORMACION [B] PARA LAS CUATRO FUNCIONES DE FORMA PRINCIPALES 5630 B#(1,1)=0 5640 B#(2,1)=0 5650 B#(3,1)=0 5660 B#(4,1)=B1# 5670 B#(5,1)=A1# 5680 B#(1,2)=-A1# 5690 B#(2,2)=0 5700 B#(3,2)=-B1# 5710 B#(4,2)=0 5720 B#(5,2)=-N1#
  • 50. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 50 5730 B#(1,3)=0 5740 B#(2,3)=-B1# 5750 B#(3,3)=-A1# 5760 B#(4,3)=-N1# 5770 B#(5,3)=0 5780 B#(1,4)=0 5790 B#(2,4)=0 5800 B#(3,4)=0 5810 B#(4,4)=B2# 5820 B#(5,4)=A2# 5830 B#(1,5)=-A2# 5840 B#(2,5)=0 5850 B#(3,5)=-B2# 5860 B#(4,5)=0 5870 B#(5,5)=-N2# 5880 B#(1,6)=0 5890 B#(2,6)=-B2# 5900 B#(3,6)=-A2# 5910 B#(4,6)=-N2# 5920 B#(5,6)=0 5930 B#(1,7)=0 5940 B#(2,7)=0 5950 B#(3,7)=0 5960 B#(4,7)=B3# 5970 B#(5,7)=A3# 5980 B#(1,8)=-A3# 5990 B#(2,8)=0 6000 B#(3,8)=-B3# 6010 B#(4,8)=0 6020 B#(5,8)=-N3# 6030 B#(1,9)=0 6040 B#(2,9)=-B3# 6050 B#(3,9)=-A3# 6060 B#(4,9)=-N3# 6070 B#(5,9)=0 6080 B#(1,10)=0 6090 B#(2,10)=0 6100 B#(3,10)=0 6110 B#(4,10)=B4# 6120 B#(5,10)=A4# 6130 B#(1,11)=-A4# 6140 B#(2,11)=0 6150 B#(3,11)=-B4# 6160 B#(4,11)=0 6170 B#(5,11)=-N4# 6180 B#(1,12)=0 6190 B#(2,12)=-B4# 6200 B#(3,12)=-A4# 6210 B#(4,12)=-N4# 6220 B#(5,12)=0 6230 REM CALCULA PRODUCTO MATRICIAL INTERMEDIO [Bi]T.[Ei] 6240 FOR J=1 TO 12 6250 FOR K=1 TO 5 6260 PROD#(J,K)=0 6270 FOR L=1 TO 5 6280 PROD#(J,K)=PROD#(J,K)+B#(L,J)*ELAS#(L,K) 6290 NEXT L 6300 NEXT K 6310 NEXT J
  • 51. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 51 6320 REM COMPLETA EL TRIPLE PRODUCTO MATRICIAL [Bi]T.[Ei].[B] 6330 FOR J=1 TO 12 6340 FOR K=1 TO 12 6350 FOR L=1 TO 5 6360 KM#(J,K)=KM#(J,K)+DET#*ESPESOR#(ELEMENTO)*PROD#(J,L)*B#(L,K)*P(I) 6370 NEXT L 6380 NEXT K 6390 NEXT J 6400 NEXT I 6410 RETURN 6420 REM SUBRUTINA CALCULA SOLICITACIONES DEBIDAS A LOS CORRIMIENTOS EN LOS ELEMENTOS FINITOS 6430 REM CALCULA MATRIZ DE RIGIDECES DE 12X12 DEL ELEMENTO FINITO 6440 GOSUB 4480 6450 F(1)=NUDO1F(ELEMENTO) 6460 F(2)=NUDO2F(ELEMENTO) 6470 F(3)=NUDO3F(ELEMENTO) 6480 F(4)=NUDO4F(ELEMENTO) 6490 FOR J=1 TO 4 6500 CORR#(3*J-2)=CORRIM#(F(J),1) 6510 CORR#(3*J-1)=CORRIM#(F(J),2) 6520 CORR#(3*J)=CORRIM#(F(J),3) 6530 NEXT J 6540 FOR J=1 TO 12 6550 F1#(J)=0 6560 FOR K=1 TO 12 6570 F1#(J)=F1#(J)+KM#(J,K)*CORR#(K) 6580 NEXT K 6590 NEXT J 6600 RETURN 6.2 Ejemplo de Aplicación: Archivo de Datos Tipo: A continuación se presenta un programa ilustrativo del uso de elementos finitos en losas macizas, escrito en lenguaje GWBASIC, cuyos algoritmos pueden ser fácilmente adaptados a cualquier lenguaje científico. TITULO DE IDENTIFICACION DEL PROBLEMA: LOSA CUADRADA EMPOTRADA EN SU PERIMETRO NUMERO DE NUDOS, NUMERO DE ELEMENTOS FINITOS, NUMERO DE ESTADOS DE CARGA: 81 64 1 DATOS DE LOS NUDOS: NUDO, COORD. X, COORD. Y, RESTRICCION DESPLAZAMIENTO Z, RESTRICCION ROTAC. X, RESTRICCION ROTAC. Y: 1 0.00 0.00 1 1 1 2 1.00 0.00 1 1 1 3 2.00 0.00 1 1 1 4 3.00 0.00 1 1 1 5 4.00 0.00 1 1 1 6 5.00 0.00 1 1 1 7 6.00 0.00 1 1 1 8 7.00 0.00 1 1 1 9 8.00 0.00 1 1 1 10 0.00 1.00 1 1 1
  • 52. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 52 11 1.00 1.00 0 0 0 12 2.00 1.00 0 0 0 13 3.00 1.00 0 0 0 14 4.00 1.00 0 0 0 15 5.00 1.00 0 0 0 16 6.00 1.00 0 0 0 17 7.00 1.00 0 0 0 18 8.00 1.00 1 1 1 19 0.00 2.00 1 1 1 20 1.00 2.00 0 0 0 21 2.00 2.00 0 0 0 22 3.00 2.00 0 0 0 23 4.00 2.00 0 0 0 24 5.00 2.00 0 0 0 25 6.00 2.00 0 0 0 26 7.00 2.00 0 0 0 27 8.00 2.00 1 1 1 28 0.00 3.00 1 1 1 29 1.00 3.00 0 0 0 30 2.00 3.00 0 0 0 31 3.00 3.00 0 0 0 32 4.00 3.00 0 0 0 33 5.00 3.00 0 0 0 34 6.00 3.00 0 0 0 35 7.00 3.00 0 0 0 36 8.00 3.00 1 1 1 37 0.00 4.00 1 1 1 38 1.00 4.00 0 0 0 39 2.00 4.00 0 0 0 40 3.00 4.00 0 0 0 41 4.00 4.00 0 0 0 42 5.00 4.00 0 0 0 43 6.00 4.00 0 0 0 44 7.00 4.00 0 0 0 45 8.00 4.00 1 1 1 46 0.00 5.00 1 1 1 47 1.00 5.00 0 0 0 48 2.00 5.00 0 0 0 49 3.00 5.00 0 0 0 50 4.00 5.00 0 0 0 51 5.00 5.00 0 0 0 52 6.00 5.00 0 0 0 53 7.00 5.00 0 0 0 54 8.00 5.00 1 1 1 55 0.00 6.00 1 1 1 56 1.00 6.00 0 0 0 57 2.00 6.00 0 0 0 58 3.00 6.00 0 0 0 59 4.00 6.00 0 0 0 60 5.00 6.00 0 0 0 61 6.00 6.00 0 0 0 62 7.00 6.00 0 0 0 63 8.00 6.00 1 1 1 64 0.00 7.00 1 1 1 65 1.00 7.00 0 0 0 66 2.00 7.00 0 0 0 67 3.00 7.00 0 0 0 68 4.00 7.00 0 0 0 69 5.00 7.00 0 0 0
  • 53. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 53 70 6.00 7.00 0 0 0 71 7.00 7.00 0 0 0 72 8.00 8.00 1 1 1 73 0.00 8.00 1 1 1 74 1.00 8.00 1 1 1 75 2.00 8.00 1 1 1 76 3.00 8.00 1 1 1 77 4.00 8.00 1 1 1 78 5.00 8.00 1 1 1 79 6.00 8.00 1 1 1 80 7.00 8.00 1 1 1 81 8.00 8.00 1 1 1 DATOS DE LOS ELEMENTOS FINITOS: ELEMENTO, NUDO 1, NUDO 2, NUDO 3, NUDO 4, MOD. ELASTICO, MOD. POISSON, ESPESOR: 1 1 2 11 10 2100000 0.3 0.2 2 2 3 12 11 2100000 0.3 0.2 3 3 4 13 12 2100000 0.3 0.2 4 4 5 14 13 2100000 0.3 0.2 5 5 6 15 14 2100000 0.3 0.2 6 6 7 16 15 2100000 0.3 0.2 7 7 8 17 16 2100000 0.3 0.2 8 8 9 18 17 2100000 0.3 0.2 9 10 11 20 19 2100000 0.3 0.2 10 11 12 21 20 2100000 0.3 0.2 11 12 13 22 21 2100000 0.3 0.2 12 13 14 23 22 2100000 0.3 0.2 13 14 15 24 23 2100000 0.3 0.2 14 15 16 25 24 2100000 0.3 0.2 15 16 17 26 25 2100000 0.3 0.2 16 17 18 27 26 2100000 0.3 0.2 17 19 20 29 28 2100000 0.3 0.2 18 20 21 30 29 2100000 0.3 0.2 19 21 22 31 30 2100000 0.3 0.2 20 22 23 32 31 2100000 0.3 0.2 21 23 24 33 32 2100000 0.3 0.2 22 24 25 34 33 2100000 0.3 0.2 23 25 26 35 34 2100000 0.3 0.2 24 26 27 36 35 2100000 0.3 0.2 25 28 29 38 37 2100000 0.3 0.2 26 29 30 39 38 2100000 0.3 0.2 27 30 31 40 39 2100000 0.3 0.2 28 31 32 41 40 2100000 0.3 0.2 29 32 33 42 41 2100000 0.3 0.2 30 33 34 43 42 2100000 0.3 0.2 31 34 35 44 43 2100000 0.3 0.2 32 35 36 45 44 2100000 0.3 0.2 33 37 38 47 46 2100000 0.3 0.2 34 38 39 48 47 2100000 0.3 0.2 35 39 40 49 48 2100000 0.3 0.2 36 40 41 50 49 2100000 0.3 0.2 37 41 42 51 50 2100000 0.3 0.2 38 42 43 52 51 2100000 0.3 0.2 39 43 44 53 52 2100000 0.3 0.2 40 44 45 54 53 2100000 0.3 0.2 41 46 47 56 55 2100000 0.3 0.2 42 47 48 57 56 2100000 0.3 0.2 43 48 49 58 57 2100000 0.3 0.2 44 49 50 59 58 2100000 0.3 0.2
  • 54. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 54 45 50 51 60 59 2100000 0.3 0.2 46 51 52 61 60 2100000 0.3 0.2 47 52 53 62 61 2100000 0.3 0.2 48 53 54 63 62 2100000 0.3 0.2 49 55 56 65 64 2100000 0.3 0.2 50 56 57 66 65 2100000 0.3 0.2 51 57 58 67 66 2100000 0.3 0.2 52 58 59 68 67 2100000 0.3 0.2 53 59 60 69 68 2100000 0.3 0.2 54 60 61 70 69 2100000 0.3 0.2 55 61 62 71 70 2100000 0.3 0.2 56 62 63 72 71 2100000 0.3 0.2 57 64 65 74 73 2100000 0.3 0.2 58 65 66 75 74 2100000 0.3 0.2 59 66 67 76 75 2100000 0.3 0.2 60 67 68 77 76 2100000 0.3 0.2 61 68 69 78 77 2100000 0.3 0.2 62 69 70 79 78 2100000 0.3 0.2 63 70 71 80 79 2100000 0.3 0.2 64 71 72 81 80 2100000 0.3 0.2 DATOS GENERALES DE LAS CARGAS: TITULO DE IDENTIFICACION DEL ESTADO DE CARGA # 1 : CARGA VERTICAL UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA NUMERO DE NUDOS CARGADOS: 49 DATOS DE NUDOS CARGADOS: NUDO, FUERZA EN Z, MOMENTO EN X, MOMENTO EN Y: 11 -1 0 0 12 -1 0 0 13 -1 0 0 14 -1 0 0 15 -1 0 0 16 -1 0 0 17 -1 0 0 20 -1 0 0 21 -1 0 0 22 -1 0 0 23 -1 0 0 24 -1 0 0 25 -1 0 0 26 -1 0 0 29 -1 0 0 30 -1 0 0 31 -1 0 0 32 -1 0 0 33 -1 0 0 34 -1 0 0 35 -1 0 0 38 -1 0 0 39 -1 0 0 40 -1 0 0 41 -1 0 0 42 -1 0 0 43 -1 0 0 44 -1 0 0 47 -1 0 0 48 -1 0 0 49 -1 0 0 50 -1 0 0
  • 55. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 55 51 -1 0 0 52 -1 0 0 53 -1 0 0 56 -1 0 0 57 -1 0 0 58 -1 0 0 59 -1 0 0 60 -1 0 0 61 -1 0 0 62 -1 0 0 65 -1 0 0 66 -1 0 0 67 -1 0 0 68 -1 0 0 69 -1 0 0 70 -1 0 0 71 -1 0 0 Gráfico de la Estructura Analizada y Cargas: Archivo de Resultados: LOSA CUADRADA EMPOTRADA EN SU PERIMETRO DATOS DE LA ESTRUCTURA: NUMERO DE NUDOS = 81 NUMERO DE ELEMENTOS FINITOS = 64 NUMERO DE ESTADOS DE CARGA = 1 CARACTERISTICAS DE NUDO: NUDO COORDENADAS RESTRICCIONES X Y DES.Z ROT.X ROT.Y 1 0.000 0.000 1 1 1 2 1.000 0.000 1 1 1 3 2.000 0.000 1 1 1 4 3.000 0.000 1 1 1 5 4.000 0.000 1 1 1 6 5.000 0.000 1 1 1 7 6.000 0.000 1 1 1 8 7.000 0.000 1 1 1 9 8.000 0.000 1 1 1 10 0.000 1.000 1 1 1 11 1.000 1.000 0 0 0 12 2.000 1.000 0 0 0 13 3.000 1.000 0 0 0 14 4.000 1.000 0 0 0 15 5.000 1.000 0 0 0 16 6.000 1.000 0 0 0
  • 56. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 56 17 7.000 1.000 0 0 0 18 8.000 1.000 1 1 1 19 0.000 2.000 1 1 1 20 1.000 2.000 0 0 0 21 2.000 2.000 0 0 0 22 3.000 2.000 0 0 0 23 4.000 2.000 0 0 0 24 5.000 2.000 0 0 0 25 6.000 2.000 0 0 0 26 7.000 2.000 0 0 0 27 8.000 2.000 1 1 1 28 0.000 3.000 1 1 1 29 1.000 3.000 0 0 0 30 2.000 3.000 0 0 0 31 3.000 3.000 0 0 0 32 4.000 3.000 0 0 0 33 5.000 3.000 0 0 0 34 6.000 3.000 0 0 0 35 7.000 3.000 0 0 0 36 8.000 3.000 1 1 1 37 0.000 4.000 1 1 1 38 1.000 4.000 0 0 0 39 2.000 4.000 0 0 0 40 3.000 4.000 0 0 0 41 4.000 4.000 0 0 0 42 5.000 4.000 0 0 0 43 6.000 4.000 0 0 0 44 7.000 4.000 0 0 0 45 8.000 4.000 1 1 1 46 0.000 5.000 1 1 1 47 1.000 5.000 0 0 0 48 2.000 5.000 0 0 0 49 3.000 5.000 0 0 0 50 4.000 5.000 0 0 0 51 5.000 5.000 0 0 0 52 6.000 5.000 0 0 0 53 7.000 5.000 0 0 0 54 8.000 5.000 1 1 1 55 0.000 6.000 1 1 1 56 1.000 6.000 0 0 0 57 2.000 6.000 0 0 0 58 3.000 6.000 0 0 0 59 4.000 6.000 0 0 0 60 5.000 6.000 0 0 0 61 6.000 6.000 0 0 0 62 7.000 6.000 0 0 0 63 8.000 6.000 1 1 1 64 0.000 7.000 1 1 1 65 1.000 7.000 0 0 0 66 2.000 7.000 0 0 0 67 3.000 7.000 0 0 0 68 4.000 7.000 0 0 0 69 5.000 7.000 0 0 0 70 6.000 7.000 0 0 0 71 7.000 7.000 0 0 0 72 8.000 7.000 1 1 1 73 0.000 8.000 1 1 1 74 1.000 8.000 1 1 1 75 2.000 8.000 1 1 1
  • 57. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 57 76 3.000 8.000 1 1 1 77 4.000 8.000 1 1 1 78 5.000 8.000 1 1 1 79 6.000 8.000 1 1 1 80 7.000 8.000 1 1 1 81 8.000 8.000 1 1 1 PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS FINITOS: ELEMENTO NUDO 1 NUDO 2 NUDO 3 NUDO 4 MODULO MODULO ESPESOR ELASTICO POISSON 1 1 2 11 10 2100000 0.300 0.200 2 2 3 12 11 2100000 0.300 0.200 3 3 4 13 12 2100000 0.300 0.200 4 4 5 14 13 2100000 0.300 0.200 5 5 6 15 14 2100000 0.300 0.200 6 6 7 16 15 2100000 0.300 0.200 7 7 8 17 16 2100000 0.300 0.200 8 8 9 18 17 2100000 0.300 0.200 9 10 11 20 19 2100000 0.300 0.200 10 11 12 21 20 2100000 0.300 0.200 11 12 13 22 21 2100000 0.300 0.200 12 13 14 23 22 2100000 0.300 0.200 13 14 15 24 23 2100000 0.300 0.200 14 15 16 25 24 2100000 0.300 0.200 15 16 17 26 25 2100000 0.300 0.200 16 17 18 27 26 2100000 0.300 0.200 17 19 20 29 28 2100000 0.300 0.200 18 20 21 30 29 2100000 0.300 0.200 19 21 22 31 30 2100000 0.300 0.200 20 22 23 32 31 2100000 0.300 0.200 21 23 24 33 32 2100000 0.300 0.200 22 24 25 34 33 2100000 0.300 0.200 23 25 26 35 34 2100000 0.300 0.200 24 26 27 36 35 2100000 0.300 0.200 25 28 29 38 37 2100000 0.300 0.200 26 29 30 39 38 2100000 0.300 0.200 27 30 31 40 39 2100000 0.300 0.200 28 31 32 41 40 2100000 0.300 0.200 29 32 33 42 41 2100000 0.300 0.200 30 33 34 43 42 2100000 0.300 0.200 31 34 35 44 43 2100000 0.300 0.200 32 35 36 45 44 2100000 0.300 0.200 33 37 38 47 46 2100000 0.300 0.200 34 38 39 48 47 2100000 0.300 0.200 35 39 40 49 48 2100000 0.300 0.200 36 40 41 50 49 2100000 0.300 0.200 37 41 42 51 50 2100000 0.300 0.200 38 42 43 52 51 2100000 0.300 0.200 39 43 44 53 52 2100000 0.300 0.200 40 44 45 54 53 2100000 0.300 0.200 41 46 47 56 55 2100000 0.300 0.200 42 47 48 57 56 2100000 0.300 0.200 43 48 49 58 57 2100000 0.300 0.200 44 49 50 59 58 2100000 0.300 0.200 45 50 51 60 59 2100000 0.300 0.200 46 51 52 61 60 2100000 0.300 0.200 47 52 53 62 61 2100000 0.300 0.200 48 53 54 63 62 2100000 0.300 0.200
  • 58. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 58 49 55 56 65 64 2100000 0.300 0.200 50 56 57 66 65 2100000 0.300 0.200 51 57 58 67 66 2100000 0.300 0.200 52 58 59 68 67 2100000 0.300 0.200 53 59 60 69 68 2100000 0.300 0.200 54 60 61 70 69 2100000 0.300 0.200 55 61 62 71 70 2100000 0.300 0.200 56 62 63 72 71 2100000 0.300 0.200 57 64 65 74 73 2100000 0.300 0.200 58 65 66 75 74 2100000 0.300 0.200 59 66 67 76 75 2100000 0.300 0.200 60 67 68 77 76 2100000 0.300 0.200 61 68 69 78 77 2100000 0.300 0.200 62 69 70 79 78 2100000 0.300 0.200 63 70 71 80 79 2100000 0.300 0.200 64 71 72 81 80 2100000 0.300 0.200 NUMERO DE GRADOS DE LIBERTAD = 147 LONGITUD DEL VECTOR SKYLINE = 3318 ESTADO DE CARGA 1 CARGA VERTICAL UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA NUDOS CARGADOS: NUDO FZ MX MY 11 -1.000 0.000 0.000 12 -1.000 0.000 0.000 13 -1.000 0.000 0.000 14 -1.000 0.000 0.000 15 -1.000 0.000 0.000 16 -1.000 0.000 0.000 17 -1.000 0.000 0.000 20 -1.000 0.000 0.000 21 -1.000 0.000 0.000 22 -1.000 0.000 0.000 23 -1.000 0.000 0.000 24 -1.000 0.000 0.000 25 -1.000 0.000 0.000 26 -1.000 0.000 0.000 29 -1.000 0.000 0.000 30 -1.000 0.000 0.000 31 -1.000 0.000 0.000 32 -1.000 0.000 0.000 33 -1.000 0.000 0.000 34 -1.000 0.000 0.000 35 -1.000 0.000 0.000 38 -1.000 0.000 0.000 39 -1.000 0.000 0.000 40 -1.000 0.000 0.000 41 -1.000 0.000 0.000 42 -1.000 0.000 0.000 43 -1.000 0.000 0.000 44 -1.000 0.000 0.000 47 -1.000 0.000 0.000 48 -1.000 0.000 0.000 49 -1.000 0.000 0.000 50 -1.000 0.000 0.000 51 -1.000 0.000 0.000 52 -1.000 0.000 0.000
  • 59. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 59 53 -1.000 0.000 0.000 56 -1.000 0.000 0.000 57 -1.000 0.000 0.000 58 -1.000 0.000 0.000 59 -1.000 0.000 0.000 60 -1.000 0.000 0.000 61 -1.000 0.000 0.000 62 -1.000 0.000 0.000 65 -1.000 0.000 0.000 66 -1.000 0.000 0.000 67 -1.000 0.000 0.000 68 -1.000 0.000 0.000 69 -1.000 0.000 0.000 70 -1.000 0.000 0.000 71 -1.000 0.000 0.000 CORRIMIENTOS DE NUDO: NUDO DESPL. Z ROTAC. X ROTAC. Y 1 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 2 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 3 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 4 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 5 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 6 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 7 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 8 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 9 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 10 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 11 -.109749D-03 -.173202D-03 -.173202D-03 12 -.286480D-03 -.167423D-03 -.462825D-03 13 -.419426D-03 -.955940D-04 -.689720D-03 14 -.467452D-03 0.120961D-10 -.772267D-03 15 -.419426D-03 0.955941D-04 -.689720D-03 16 -.286480D-03 0.167423D-03 -.462825D-03 17 -.109749D-03 0.173202D-03 -.173202D-03 18 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 19 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 20 -.286480D-03 -.462825D-03 -.167423D-03 21 -.787667D-03 -.481289D-03 -.481289D-03 22 -.118243D-02 -.282577D-03 -.745160D-03 23 -.132730D-02 0.252506D-10 -.844140D-03 24 -.118243D-02 0.282577D-03 -.745160D-03 25 -.787667D-03 0.481289D-03 -.481289D-03 26 -.286480D-03 0.462825D-03 -.167423D-03 27 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 28 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 29 -.419426D-03 -.689720D-03 -.955941D-04 30 -.118243D-02 -.745160D-03 -.282577D-03 31 -.180163D-02 -.447452D-03 -.447452D-03 32 -.203210D-02 0.425093D-10 -.511056D-03 33 -.180163D-02 0.447452D-03 -.447452D-03 34 -.118243D-02 0.745160D-03 -.282577D-03 35 -.419426D-03 0.689720D-03 -.955941D-04 36 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 37 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 38 -.467452D-03 -.772267D-03 -.591680D-11 39 -.132730D-02 -.844140D-03 0.133626D-10 40 -.203210D-02 -.511056D-03 -.547291D-11 41 -.229586D-02 0.514298D-10 0.568518D-10
  • 60. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 60 42 -.203210D-02 0.511056D-03 0.975981D-10 43 -.132730D-02 0.844140D-03 0.210600D-10 44 -.467452D-03 0.772267D-03 -.253054D-10 45 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 46 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 47 -.419426D-03 -.689720D-03 0.955940D-04 48 -.118243D-02 -.745160D-03 0.282577D-03 49 -.180163D-02 -.447452D-03 0.447452D-03 50 -.203210D-02 0.391199D-10 0.511056D-03 51 -.180163D-02 0.447452D-03 0.447452D-03 52 -.118243D-02 0.745160D-03 0.282577D-03 53 -.419426D-03 0.689720D-03 0.955941D-04 54 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 55 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 56 -.286480D-03 -.462824D-03 0.167423D-03 57 -.787667D-03 -.481289D-03 0.481289D-03 58 -.118243D-02 -.282577D-03 0.745160D-03 59 -.132730D-02 0.130867D-10 0.844140D-03 60 -.118243D-02 0.282577D-03 0.745160D-03 61 -.787667D-03 0.481289D-03 0.481289D-03 62 -.286480D-03 0.462825D-03 0.167423D-03 63 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 64 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 65 -.109749D-03 -.173202D-03 0.173202D-03 66 -.286480D-03 -.167423D-03 0.462825D-03 67 -.419426D-03 -.955941D-04 0.689720D-03 68 -.467452D-03 -.143886D-11 0.772267D-03 69 -.419426D-03 0.955941D-04 0.689720D-03 70 -.286480D-03 0.167423D-03 0.462825D-03 71 -.109749D-03 0.173202D-03 0.173202D-03 72 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 73 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 74 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 75 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 76 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 77 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 78 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 79 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 80 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 81 0.000000D+00 0.000000D+00 0.000000D+00 REACCIONES DE APOYO: NUDO FUERZA Z MOMENTO X MOMENTO Y 1 0.249286D+00 0.160692D+00 0.160692D+00 2 0.705008D+00 0.286918D-01 0.985823D+00 3 0.168541D+01 0.307956D-01 0.220822D+01 4 0.233392D+01 0.179446D-01 0.315624D+01 5 0.255203D+01 -.125060D-08 0.349898D+01 6 0.233392D+01 -.179446D-01 0.315624D+01 7 0.168541D+01 -.307956D-01 0.220822D+01 8 0.705008D+00 -.286918D-01 0.985824D+00 9 0.249286D+00 -.160692D+00 0.160692D+00 10 0.705008D+00 0.691753D+00 0.286918D-01 18 0.705007D+00 -.985824D+00 0.286913D-01 19 0.168541D+01 0.131445D+01 0.307956D-01 27 0.168541D+01 -.220822D+01 0.307947D-01 28 0.233392D+01 0.169815D+01 0.179445D-01 36 0.233392D+01 -.315624D+01 0.179431D-01 37 0.255203D+01 0.174949D+01 -.842057D-07
  • 61. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 61 45 0.255203D+01 -.349898D+01 -.156938D-05 46 0.233392D+01 0.145809D+01 -.179446D-01 54 0.233392D+01 -.315624D+01 -.179460D-01 55 0.168541D+01 0.893763D+00 -.307957D-01 63 0.168541D+01 -.220822D+01 -.307966D-01 64 0.705008D+00 0.294071D+00 -.286918D-01 72 0.705008D+00 -.985824D+00 -.286922D-01 73 0.249286D+00 0.000000D+00 -.160692D+00 74 0.705008D+00 -.173959D-01 -.985824D+00 75 0.168541D+01 0.224080D-01 -.220822D+01 76 0.233392D+01 0.257331D-01 -.315624D+01 77 0.255203D+01 0.186134D-01 -.349898D+01 78 0.233392D+01 0.778856D-02 -.315624D+01 79 0.168541D+01 -.838762D-02 -.220822D+01 80 0.705008D+00 -.460877D-01 -.985824D+00 81 0.249287D+00 -.160692D+00 -.160692D+00 Deformada de la Estructura Analizada: A partir del archivo de resultados se tiene la siguiente deformada de la estructura, ampliada 100 veces para facilitar su visualización: