1. ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL
INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMATICAS (ICM)
MATERIA: CALCULO INTEGRAL
ESTUDIANTE: SOLIS MOROCHO DIEGO
Profesor: ING. ANTONIO CHONG ESCOBAR
EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRAL DEFINIDA
1. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones y justifique sus respuestas.
b
a) Si f es continua y f ( x) ≥ 0 para toda x en [a, b] entonces ∫ f ( x )dx ≥ 0.
a
b
b) Si ∫ f ( x )dx ≥ 0 entonces f ( x) ≥ 0 para toda x en [a, b].
a
b
c) Si ∫ f ( x )dx = 0 entonces f(x)=0 para toda x en [a, b].
a
b
d) Si f ( x) ≥ 0 y ∫ f ( x )dx = 0 entonces f(x)=0 para toda x en [a, b].
a
b b b
e) Si ∫ f ( x )dx > ∫ g ( x )dx entonces ∫ [ f ( x ) − g( x )]dx > 0
a a a
b b
f) Si f y g son continuas y f(x)>g(x) para toda x [a, b] entonces ∫ f ( x )dx > ∫ g( x )dx
a a
b b
g) Sea f continua en [a, b] y por lo tanto integrable en [a, b]. Demuestre que ∫ f ( x )dx ≤ ∫ f ( x ) dx
a a
Sugerencia: utilice la propiedad: − f(x) ≤ f(x)≤ f(x)
1
x x
h) La función f ( x ) = 1 1
∫ t2 +1 dt + ∫ dt es constante para x>0.
2
0 0t +1
 2 n  2i  1
i) Si f es una función integrable en el intervalo [0,2], entonces lim  ∑ f   = ∫ f ( x )dx
n → ∞  n i =1  n 
  0
j) Si f no es continua en el intervalo [a,b], entonces f no es integrable en [a,b].

2. ∫ (ax + bx + cx )dx = 2 ∫ (ax + cx )dx
27 27
4 3 2 4 2
k)
− 27 0
b −a
l) ∫ f ( − x ) dx = ∫ f ( x ) dx
a −b
b −2 a
1
m) ∫ f ( −2 x )dx =
2 ∫ f ( x )dx
a − 2b
n) Si F (x ) es una antiderivada cualquiera de la función f (x ) en [ a, b ] , entonces F (2 x − 1) es una
antiderivada de la función f (2 x − 1) en [ a, b ] .
b b
o) Si f (x ) es una función continua en el intervalo [ a, b ] y ∫ f ( x) dx = k , entonces ∫f
2
( x )dx = k 2 .
a a
3
p) ∫
x sgn( x − 1)dx = 3
−1
b b
q) Si f (x ) es una función tal que ∫
a
f ( x )dx = −5 , entonces ∫ f ( x) dx = 5 .
a
2
 sen x3 ( ) 
∫
x
r)  +e dx = 2e2 − 2
 x2 + 1 
−2  
 x2 
d   1    1 
s)
dx 
0
∫
sen 3
 t +1 
dt  = 2 x cos 
 1+ x 6 
 
π
∫( ( )
x 2 sen x 5 + e dx = 2e π )
x
t)
−π
6π
u) e ∫(
sen ( x )
)
cos( x) dx = 12(e − 1)
0
3. En los siguientes problemas encuentre G’(x).
x 1 x x  t2  sen( x )
G( x ) = ∫ 2tdt G( x ) = ∫ 2tdt G( x ) = ∫ cos 3 ( 2t ) tan( t )dt G( x ) = ∫ 2 ( 1 + t 2 ) dt G( x ) = ∫t
5
dt
1 x 1 −x   
 cos( x )
4. Calcular:
x x 2
9 t 4 + t 6 dt  x x2 
lim
10 x
b) ∫ ln(t + 1)dt c) lim 0
∫  ∫ e dx 
 
d) lim  0 
x
a) x→0 2 lim 0
x →0+ 3
∫ 4 cos( t )dt x→0− x2 x2 x →∞x
∫e
2 x2
0 dx
0

3. 5. Calcule las siguientes integrales definidas.
π 2 5 4
∫ x .[ x ]dx ∫ sgn( µ ( x))dx ∫ sgn( x)e
µ ( x)
3
 x sen( x ) − 3 x 4 tan( x ) + 2 x 3 cos 2 ( x ) dx
dx
∫ 


 −1 −3 −2
π
−
3
 ; si 0 ≤x <
1 1 4 π 3
∫ ( x − [ x ])dx
4

∫ f ( x )dx; si f ( x ) = ; si1 ≤x <2
x ∫ f ( x )dx ; si ∫ ( 3x + 5 cos( t )) dx
 −x ; si 2 ≤x ≤4 1 −π −3
0 4
f ( x) = 3 + x − 3
1 1
6. Sea f una función impar, g una función par y suponga que ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x )dx = 3 , calcular las
0 0
siguientes integrales.
1 1 1 1 1 1
∫ [ − g( x )]dx
3
∫ f ( x )dx ∫ g( x )dx ∫ f ( x ) dx
∫ xg( x )dx ∫f ( x )g( x )dx
−1 −1 −1 −1 −1 −1
7. Halle el área entre la función f ( x ) = x 2 + 1 y el eje x en el intervalo [0,1], a partir de rectángulos
inscritos y circunscritos y luego halle el límite de ambos métodos para demostrar que se obtiene igual
resultado.
n __
8. Calcule la suma de Riemann ∑ f ( xi )∆xi para los datos que se dan:
i =1
__ __ __ __ __
a) f ( x ) = x − 1 ; P : 3 < 3.75 < 4.25 < 5.5 < 6 < 7; x = 3; x = 4; x = 4.75; x = 6; x = 6.5
1 2 3 4 5
b) f ( x ) = 4 x + x 2 en el intervalo [1,9], donde: x0 = 1; x1 = 2; x 2 = 4; x3 = 7; x8 = 9 y con puntos
de
__ __ __ __
muestra: x = 2; x = 3; x = 6; x = 8
0 1 2 3
9. Hallar la suma de Reimann para f ( x ) = x 2 + 4 x en el intervalo [ 0,9] , donde x0 = 0 , x1 = 1 , x 2 = 3 ,
x3 = 7 , y x 4 = 9 , y donde los puntos de muestra son: c1 = 1 , c 2 = 2 , c3 = 5 , c 4 = 7.
10. Hallar la suma de Reimann asociada a f ( x ) = cos(x) en el intervalo [ 0,2π ] , donde x0 = 0 , x1 = π / 4 ,
x 2 = π / 3 , x3 = π , y x 4 = 2π , y donde los puntos de muestra son: c1 = π / 6 , c 2 = π / 3 ,
c3 = 2π / 3, y c 4 = 3π / 2.
11. Utilice los valores que se dan y exprese el límite dado como una integral definida:
n __ n __
lim
P →0
∑ ( xi ) 3
∆xi ; a = 1,b = 3 lim
n→∞
∑ ( sen xi )2 ∆xi ; a = 0,b = π
i =1 i =1