Este documento resume los conceptos fundamentales sobre integrales definidas, incluyendo las propiedades, interpretación geométrica como área bajo una curva, teoremas como el valor medio y el fundamental del cálculo. También explica métodos como el cambio de variable y cómo calcular el área de una región delimitada por funciones.

1. Integrales definidas. Teoremas
ORLANDO RODRIGUEZ

2. Esquema

3. Área bajo una curva
Suponiendo f(x) acotada y positiva, la región limitada por la gráfica de f y el eje OX
en el intervalo [a, b] se denota por R(f; [a, b]).

4. Sumas de Riemann
Como la función es contínua en cada
intervalo existen un mínimo y un máximo
(Tª de Weiersstra)
Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
Las sumas inferiores(suma de los rectángulos)
s(f; Pn) = m1 . x1 + m2 . x2 + ... + mn . xn
Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
Las sumas superiores (suma de los rectángulos
superiores) se expresan así
S(f; Pn) = M1 . x1 + M2 . x2 + ... + Mn . xn
Cualquiera de los valores s(f; Pn) o S(f; Pn) es una aproximación al área R(f; [a, b] )

5. Cálculo de áreas
• En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso
calcular el área encerrada por varias curvas.
• Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y
las abscisas entre los valores x = a, x = b. Inicialmente calcularemos el área mediante
aproximaciones
Área (Trapecio rectilíneo) = Área (Trapecio curvilíneo)
f(a) + f(b) . f(a) + f(b) .
Error que se comete al
= (b – a) (b – a) tomar una por otra

6. Integral definida
Cuando se aplica el proceso anterior a cualquier función (no necesariamente positiva)
en el intervalo [a, b] obtenemos las sumas superiores e inferiores de Riemann sobre la
partición Pn.
Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
s(f; Pn) = m1 . x1 + m2 . x2 + ... + mn . xn
Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
S(f; Pn) = M1 . x1 + M2 . x2 + ... + Mn . xn
Si la función f es continua al considerar las particiones con mayor número de
intervalos de manera que la longitud de estos tienda a decrecer, las sumas de
Riemann se acercan a un número que se llama integral definida de la función f en
b f(x) dx
[a, b] y se escribe a
.

7. Integral definida y área bajo una curva I
f(x) 0 x [a, b] f(x)
f(x)
b
R A(R) = f(x) dx
a
f(x) 0 x [a, b] b
A(R) = – f(x) dx =
a
b
– f(x) dx =
a
= | b
a
f(x) dx |

8. Integral definida y área bajo una curva II
Si f(x) toma valores
positivos y negativos
en el intervalo [a, b],
se calculan cada una
por separado y se
suman los resultados
teniendo en cuenta
los signos.
c d e b
A(R) = f(x) dx – f(x) dx + f(x) dx – f(x) dx
a c d e

9. Propiedades de la integral definida
a b
1. f ( x)dx f ( x)dx.
b a
a
2. f ( x) dx 0.
a
b
3. kdx k (b a) siendo k un número real.
a
b b b
4. f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx.
a a a
b b
5. kf ( x)dx k f ( x)dx siendo k un número real.
a a

10. Propiedades de la integral definida
b c b
6. f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx para cualquier c [a, b].
a a c
b
7. Si f ( x) 0 para todo x [a, b], f ( x)dx 0.
a
8. Si f ( x) g ( x) para todo x [a, b],
b b
f ( x)dx g ( x)dx.
a a
9. Si n f ( x) m para todo x [a, b],
b
n(b a) f ( x)dx m(b a).
a
b b
10. a
f ( x)dx a
f ( x)dx .

11. Función área o función integral
Dada una función f(x) continua y positiva en [a, b], se define la función integral
F(x) como la función que mide el área sombreada bajo f. Se representa por:
x
f (t ) dt F ( x)
a

12. Teorema del valor medio: interpretación geométrica
b
Enunciado: Si f es continua existe c [a,b] en el que f (x)dx (b a )·f (c)
a
Interpretación geométrica (para funciones positivas) Entre los rectángulos abB'A (rojo) y
abBA‘(azul) existe un rectángulo intermedio (verde) que tiene la misma área que el área
del recinto R(f; [a, b]). La altura de este rectángulo es precisamente f(c).
Por tanto R1 = R2

13. Teorema del valor medio para integrales
Enunciado:
Si f es continua en el intervalo [a, b], existe c [a, b] en el que b f(x) dx = (b – a) f(c).
a
M Demostración: área pequeña < A.curva < área grande
b
m (b – a) f(x) dx M (b – a)
a
1 b
m b–a a f(x) dx M
1 b
f(x) dx
b–a a Puesto que f es continua en [a, b] toma todos los
valores entre m y M. Por tanto existe un c [a, b]
tal que:
1 b
b – a a f(x) dx = f(c)
m
Si multiplicamos por (b – a) se obtiene la función
a integral
c b
¡¡Atención!! Puede haber varios puntos, en los
que la función alcanza el valor medio.

14. Teorema fundamental del cálculo. Interpretación geométrica
Sea f una función continua, positiva y creciente en el intervalo (a,b).
Sea F la función que mide el área sombreada hasta x. En el límite
cuando h tiende a cero, F’(x) coincide con f(x)
Sea x (a, b) y h 0.
Y
F ( x h) F ( x)
f ( x h)
área pequeña < A.curva < área grande
f ( x)
h f ( x ) F ( x h) F ( x ) h f ( x h )
F ( x h) F ( x )
f ( x) f ( x h)
h
x x+h X

15. Teorema fundamental del cálculo
Enunciado: Sea f una función continua, positiva y creciente en el
intervalo (a,b). La función F que mide el área sombreada hasta x, es la
primitiva de f, es decir F’(x) = f(x).
Dem.: x h x x h a
f ( t )dt f ( t )dt f ( t )dt f ( t )dt
F( x h ) F( x )
F' ( x ) lim lim a a
lim a x
h 0
h h 0
h h 0
h
x h
f ( t )dt f (c)·(x h x )
lim x
y por el teorema del valor medio lim
h 0
h h 0
h
f ( c) h
lim lim f (c) f ( x )
h 0
h h 0
a c b
Si h tiende a 0 c tiende a x por lo que f(x)=F’(x)

16. Regla de Barrow
Si f(x) es una función continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f(x)
b f(x) dx = G(b) – G(a).
en [a, b], entonces
a
Demostración:
• Como F(x) (función de áreas) es también una primitiva de f(x) en [a, b], F(x) y G(x)
se diferencian en una constante: por tanto F(x) = G(x) + C.
• Como F(a) = 0 C = – G(a). Por tanto F(x) = G(x) – G(a).
• Para x = b, F(b) = G(b) – G(a).
b
Por tanto F(b) = a
f ( x ) dx = G(b) - G(a)
b
Que también se puede poner así: a f ( x ) dx = G(b) – G(a) = F(x) b
a

17. El método de «cambio de variable» para integrales definidas
Sea g una función derivable en el intervalo [a, b] y f una función continua en el
recorrido de g. Se tiene entonces:
b f(g(x))g'(x) dx = g(b) f(u) du
a g(a)
Esto significa que si F es una primitiva de f.
b f(g(x))g'(x) dx = F(g(b)) – F(g(a))
a
8
x dx 1
69
du dx –1 69
–1 1 13
Ejemplo: 22 = 2 = 2u = + =
(5 + x) 2 u 30 138 60 1380
–5 30
Cambio u = 5 + x2 = g(x) du = 2xdx
g(–5) = 30; g(8) = 69

18. Área del recinto limitada por una función
Y R f(x)
+ +
c d e b
a
– – X
c d e b
Área (R) = f(x) dx - f(x) dx + f(x) dx - f(x) dx
a c d e

19. Área del recinto limitado por dos funciones
c b
Área (R) = [g(x) – f(x)] dx + [f(x) – g(x)] dx
a c

20. Área del recinto limitado por dos curvas: ejemplo
Calcula el área de la región limitada por las curvas y = x3 – 6x2 + 9x e y = x.
2
y = x3 – 6x2 + 9x y=x Área (R) = x3 6 x 2 9 x x dx
0
4
x x3 6 x 2 9 x dx
2
R
4 2 4
x 3 2 x4
2x 4x 2 x3 4 x 2
4 0 4 2
4 4 8u 2
0 2 4