1. GUÍA: INTEGRALES
Área de EET
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2. Derechos Reservados
Titular del Derecho: INACAP
N° de inscripción en el Registro de Propiedad Intelectual # ___ . ____ de fecha ___-___-___.
© INACAP 2002.
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3. 1. INTEGRALES
1.1 La Integral Indefinida.
1.1.1 Conceptos Básicos
dy ,
Sea y = f(x) derivable respecto a x en D. Tenemos entonces que = f (x) o
dx
,
dy = f (x) dx , es decir, hemos encontrado la derivada y la diferencial de la función y =
f(x) respecto a: x. También, a cada función y = f(x) le corresponde una única función
, ,
derivada: f (x) o una única diferencial dy = f (x) dx . Considerando el proceso inverso:
, ,
dada f (x) o dy = f (x) dx si queremos encontrar y = f(x) obtendremos infinitas funciones
, ,
cuya derivada es f (x) o cuya diferencial es f (x) dx .
,
Ejemplo 1: A y = f(x) = 3x + 5 le corresponde una única función derivada f (x) = 6x
o una única diferencial dy = 6x dx respecto a x en , pero esta
derivada o diferencial lo es de infinitas funciones, como ser: 3x2 + 5,
1
3x2 + 6, 3x2 – 5, 3x2 + ,........., 3x2 , funciones que difieren entre sí
2
solo en la constante aditiva. Notemos que 3x2 es la más simple de ellas
y que si C es una constante 3x2 + C representa a todas las funciones
anteriores para los distintos valores que asignemos a C.
,
Las consideraciones anteriores conducen a los siguientes hechos. Dada f (x) o
, , ,
dy = f (x) dx , el hecho de encontrar y = f(x) se llama Integrar f (x) o Integrar f (x) dx , lo
que se anota:
,
∫ ∫
dy = f (x) dx
,
∫
es decir: y = f (x) dx
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4. ,
Tenemos entonces que “ la notación ∫ f (x) dx representa a todas las funciones que al ser
, ,
derivadas respecto a x dan f (x) , o a todas las funciones cuya diferencial es f (x) dx”.
,
En ∫ f (x) dx , ∫ es el símbolo de la integral, dx: Que es la diferencial de la variable
independiente, indica la variable respecto de la cual se ha derivado la función para
, , ,
obtener f (x) o f (x) dx, y respecto de la cual hay que integrar. La función f (x) ubicada
entre los dos símbolos anteriores se llama La función Integrando.
,
La función que se obtiene al integrar ∫ f (x) dx se llama la Integral Indefinida, La
,
Antiderivada o la función Primitiva de f (x) en D, y corresponde a un conjunto de infinitas
funciones (cada una de ellas es una integral indefinida o una antiderivada o una función
primitiva) que difieren entre sí únicamente en una constante aditiva llamada La Constante
de Integración .
,
“Si f(x) es una integral indefinida de f (x) en D entonces f(x) + C denota a todas las
,
integrales indefinidas de f (x) en D:
,
∫ f (x) dx = f(x) + C
, ,
Observación : dy = f (x) dx entonces ∫ dy = ∫ f (x) dx
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5. 1.1.2 Tablas de Integrales Básicas
Basados en los teoremas sobre derivación, podemos establecer:
1) ∫ dx = ∫ 1 dx = x + C
2) ∫ k dx = kx + C k :cons tan te
3) ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx k :cons tan te
4) ∫ ( f(x) + g(x) − h(x) ) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx − ∫ h(x) dx
x r +1
5) ∫ xr dx =
r +1
+C , r∈ , r ≠ −1
1
6) ∫ x dx = ln x + C
ax
∫
+
7) a x dx = + C a∈
ln a
∫e
x
8) dx = e x + C
9) ∫ sen x dx = − cos x + C
10) ∫ cos x dx = sen x + C
11) ∫ tan x dx = ln sec x + C
12) ∫ cot x dx = ln sen x + C
13) ∫ sec x dx = ln(sec x + tan x ) + C
14) ∫ co sec x dx = ln(co sec x − cot x ) + C
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6. ∫ sec
2
15) x dx = tan x + C
∫ − co sec x dx = cot x + C
2
16)
∫ co sec x dx = − cot x + C
2
17) ∫ sec x ⋅ tan dx = sec x + C
18) ∫ − co sec x ⋅ cot x dx = co sec x + C
∫ − co sec x ⋅ cot x dx = − co sec x + C
1
19) ∫ 1− x 2
dx = arc s en x + C
1
20) ∫− 1− x 2
dx = arc cos x + C
1
∫ 1− x 2
dx = − arc cos x + C
1
21) ∫ 1 + x2 dx = arc tan x + C
1
22) ∫ − 1 + x2 dx = arc co t x + C
1
23) ∫x 2
x −1
dx = arc sec x + C
1
24) ∫−x x2 − 1
dx = arc co sec x + C
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7. 1.1.3 Integración Inmediata
Son aquellas integraciones que se hacen aplicando directamente las fórmulas anteriores.
∫x
7
Ejemplo 1: Calcular dx
Resolución : La fórmula 5) da :
x7 + 1 x8
∫ x7 dx =
7+1
+ C=
8
+ C
dx
Ejemplo 2: Calcular ∫4
x3
Resolución : La fórmula 5) da :
3
3 − +1
dx − x 4 4
∫4 x 3
dx = x ∫ 4 dx =
3
+ C= 4 x + C
− +1
4
 
 7 x − 5 cos x + 3  dx
Ejemplo 3: Calcular ∫  2 
1− x 

Resolución : La fórmula 4) da :
3
∫7 ∫ ∫
x
dx − 5 cos x dx + dx =
1− x 2
7x 1
ln7 ∫
− 5 cos x dx + 3 ∫ 1− x 2
dx =
7x
− 5 sen x + 3 arc sen x + C
ln7
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8. 7
Ejemplo 4: Calcular ∫ x
dx
7 1
Resolución : La fórmula 6) da : ∫ x
dx = 7 ∫ x dx = 7 ln x + C1
o = 7 ln x + ln C
o = ln C x7
1.1.4 Uso de una función auxiliar para las integrales inmediatas.
La derivación de funciones compuestas (Regla de la Cadena) da origen a muchas
funciones que para ser integradas con seguridad requieren el uso de una función auxiliar.
Para ello, en las fórmulas anteriores se reemplazan: la expresión que contiene a la
variable x (o parte de ella) por una adecuada función u = u(x), y dx por la correspondiente
∫ x dx
r
du. Se integra y luego se vuelve a la variable original x. Así por ejemplo, la fórmula
∫ u du
r
se puede considerar también como donde aparece ur una función elevada a un
exponente, multiplicada por la diferencial de la base : ur du.
1 du
Del mismo modo ∫ x dx queda ∫ u
: la diferencial du dividida por la función u.
Las restantes fórmulas se interpretan análogamente. Los ejemplos a continuación aclaran
la técnica.
Ejemplo 1: Calcular ∫ sen 2x dx
Resolución : No podemos usar la fórmula 9) directamente. Usamos una función
du
auxiliar: u = 2x luego du = 2 dx, luego dx = . Reemplazando:
2
du 1 1
∫ sen 2x dx = ∫ senu ⋅ 2
=
2 ∫
senu du = ⋅ ( − cos u ) + C
2
1 1
=− cos u + C = − cos 2x + C
2 2
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9. 5
Ejemplo 2: Calcular ∫ 3 − x dx
5 1
Resolución : ∫ 3 − x dx = 5 ∫ 3 − x dx , la fórmula 6) sugiere u = 3 – x luego du = -
dx ∴ dx = -du.
Reemplazando:
1 1 1
5 ∫ 3 − x dx = 5 ∫ u ⋅ (− du) = − 5 ∫ u du = − 5 lnu + C1
C
= − 5 ln ( 3 − X ) + C1 = − ln (3 − x )5 + ln C = ln
( 3 − x )5
∫ (x )
4
3
Ejemplo 3: Calcular −5 ⋅ 3 x 2 dx
Resolución : Es una potencia multiplicada por la diferencial de la base, la fórmula 5):
∫u
r
du sugiere, la fórmula 6) sugiere u = x3 - 5 ∴ du = 3 x2 dx.
Reemplazando:
( x3 − 5 )
5
5
∫ (x )
4 u
∫u
3
−5 ⋅ 3 x 2 dx = 4
du = +C= +C
5 5
−x
Ejemplo 4: Calcular ∫e dx
Resolución : u = - x, du = - dx ∴ dx = - du.
Reemplazando:
−x
∫e dx = ∫e
u
( −du) = − eu du = − eu + C = − e− x + C
∫
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10. cos ec x
Ejemplo 5: Calcular ∫ 3 x
dx
1
Resolución : Usamos ∫ cos ec u du, con u = x ∴ du =
2 x
dx ∴ dx = 2 x du .
Reemplazando:
cos ec x cos ec u 2
∫ 3 x
dx = ∫ 3 x
⋅ 2 x du =
3 ∫ cos ec u du
=
2
3
2
ln( cos ec u − cot u ) + C = ln cos ec x − cot x
3
( ) +C
dx
Ejemplo 6: Calcular ∫ 1− 3 x 2
1 du
Resolución : Usamos ∫ 1− u2
du , con u = x 3 ; du = 3 dx ∴ dx =
3
.
Reemplazando:
1 1 du 1 1
∫ 1− 3 x 2
dx = ∫ 1 − u2
⋅
3
=
3
⋅ ∫ 1− u2
⋅ du =
1 1
arc senu + C = = arc sen x 3 + C
3 3
dx
Ejemplo 7: Calcular ∫ x2 + 14 x + 52
1
Resolución : Usando ∫ 1 + u2 du : x 2 + 14x + 52 = (x + 7 )2 + a .
52 = 49 + a ∴ a = 3
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11. dx dx dx
∴ ∫ x2 + 14 x + 52 = ∫ 3 + ( x + 7 )2 = ∫   x + 7 2 
3 1+   
  3  
 
x+7 1
∴ u= ∴ du = dx ∴ dx = 3 du
3 3
Reemplazando:
dx 3 du 3 du 3
∫ x2 + 14 x + 52 = ∫ 3 1+ u2  =
3 ∫ 1 + u2 =
3
arc tanu + C
 
3  x+7
arc tan  + C
3  3 
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12. GUIA DE EJERCICIOS N° 4
x4
∫
1 − . x3 dx =
4
+C
3x3 x
∫
3
2 −. x dx = +C
4
dx 1
3 −. ∫ x2 =−
x
+C
dz
4 −. ∫ 3 z2 = 33 z + C
2x3 5x 2
∫(
5 − . 2x 2 − 5x + 3 dx ) =
3
−
2
+ 3x + C
2t t 2t 2 t
6 − . (1 − t ) t dt
∫ = − +C
3 5
7 − . ( 3s + 4 ) ds
2
∫ = 3s3 + 12s2 + 16s + C
x3 + 5x 2 − 4 x2 4
8 −. ∫ x2
dx =
2
+ 5x + + C
x
dz
9 −. ∫ z
= ln z + C o ln Cz
dx
10 − . ∫x+2 = ln(x + 2) + C
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13. ds 1
∫ 2s + 3
11 − . = ln(2s + 3) + C
2
t dt
12 − . ∫ t2 − 1 = ln C t 2 − 1
x 2 dx  C 
13 − . ∫ 1 − 2x3 = ln 
6
 1 − 2x
3



x+2
14 − . ∫ x + 1 dx = x + ln(x + 1) + C
∫
15 − . e− x dx = −e− x + C
e3x
∫
16 − . e3x dx =
3
+C
a2x
∫
17 − . a2x dx =
2ln a
+C
1
1
ex
18 − . ∫ x2 dx = −e x +C
(e )
4
x
+1
∫( )
3
x x
19 − . e + 1 e dx = +C
4
dx
20 − . ∫ ex + 1 = x − ln(1 + e x ) + C
(x )
3
3
+2
∫ (x )
2
3
21 − . + 2 3x 2 dx = +C
3
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14. 1 3
∫( ) ( )
9 3
22 − . x3 + 2 2 x 2 dx = x +2 2 +C
2
8x 2 dx 4
23 − . ∫ =− +C
(x ) ( )
3 2
3 3
+2 3 x +2
(x )
3
3
x 2 4 4 +2
24 − . ∫ 4 x3 + 2 dx =
9
+C
x x
∫
25 − . sen( ) dx
2
= −2 cos( ) + C
2
1
∫
26 − . cos 3x dx =
3
sen 3x + C
2
∫
27 − . 2 tg3x dx =
3
ln sec 3x + C
 5x  8 5x 5x
∫
28 − . 4 cos ec   dx
 2 
=
5
ln cos ec
2
− cot
2
+C
sen3 x
∫
29 − . sen2 x cos x dx =
3
+C
1
∫
30 − . tg2x dx = ln sec 2x + C
2
1
∫
31 − . x cot x 2 dx =
2
ln sen x 2 + C
32 − . (1 + tg x ) dx
2
∫ = tg x + 2ln sec x + C
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15. 1
∫
33 − . sec 2 2ax dx =
2a
tg2ax + C
sen x + cos x
34 − . ∫ cos x
dx = ln sec x + x + C
sen y
35 − . ∫ cos2 y dy = sec y + C
∫
36 − . e x cos e x dx = sen e x + C
e3cos 2x
∫
37 − . e3cos 2x sen 2x dx =−
6
+C
dz
38 − . ∫ 1 + cos z = − cot z + cos ec z + C
sec x
39 − . ∫ x
dx = 2ln sec x + tg x + C
2
40 − . ( tg2x + sec 2x ) dx
∫ = tg 2x + sec 2x − x + C
sec x tg x 1
∫ a + b sec xdx
41 − . =
b
ln a + b sec x + C
dx 1 x
42 − . ∫ 9 + x2 =
3
arc tg   + C
3
dx 1  2x 
43 − . ∫x 4x 2 − 9
=
3
arc sec   + C
 3 
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16. x3 1
44 − . ∫ 1 − x8
dx =
4
arc sen x 4 + C
dx
45 − . ∫ e x + e− x = arc tge x + C
3x − 5 3 5 x
46 − . ∫ x2 + 4 dx =
2
ln(x 2 + 4) − arctg   + C
2 2
dx 2 x −3
47 − . ∫ x2 − 6x + 11 =
2
arc tg 
 2 
+C
x−5 1  x + 1
48 − . ∫ x2 + 2x + 4dx =
2
ln x 2 + 2x + 4 − 2 3 arc tg 
 3 
+C
dx  x + 2
49 − . ∫ 20 − 4x − x 2
= arc sen 
 24 
+C
3
∫
50 − . x 2 1 − xdx =
−2
105
( )
(1 − x ) 2 15x 2 + 12x + 8 + C
x 2 −1
∫
51 − .
2x − 1
dx =
1
15
( )
2x − 1 3x 2 + 2x − 13 + C
x 2 + 2x 1
52 − . ∫ (x + 1)2 dx =x +
x +1
+C
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17. 1.2 Métodos de Integración
1.2.1 Integración por partes.
d dv du
Sean u = u (x), v = v ( x). Entonces (u ⋅ v ) = u + v en donde
dx dx dx
d (uv) = u dv + v du integrando obtenemos:
∫ d(u v ) = ∫ u dv + ∫ v du
∫
u v = u dv + ∫ v du ∴
∫ u dv = uv − ∫ v du
Fórmula de la Integración por Partes
Para aplicar ésta fórmula, la función que se desea integrar debe ser un producto de
funciones. En la integral, éste producto se separa en dos factores uno de los cuales debe
continuar a dx. Uno de ellos se iguala a dx, y el que contiene a dx se iguala a dv. No hay
normas para la separar los factores, pero ∫ v du debe ser una integral inmediata o más
simple que ∫ u dv .
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18. Ejemplo 1: Calcular ∫ x cos x dx
Resolución : De acuerdo a la fórmula de la integración por partes: x cos x dx = u dv
¿ Cuáles son u y dv ?
Hay varias posibilidades:
u dv
x cos x dx
cosx x dx
x cos x dx
1 x cos x dx
Ensayando el primer caso: u=x dv = cos x dx
∴ du = dx ∴ v = sen x
Aplicando textualmente la fórmula:
∫ x cos x dx = x sen x − ∫ sen x dx
= x sen x − ( − cos x ) + C
= x sen x + cos x + C
....... resultó de inmediato !
Si hubiéramos ensayado el segundo caso:
u = cos x dv = x dx
x2
∴ du = − sen x dx ∴v =
2
la fórmula habría dado:
x x2 x x2
∫ x cos x dx =
2
cos x − ∫ 2
( − sen x) dx = cos x +
2 ∫ 2
sen x dx
de donde ∫ v du es mas complicada que ∫ u dv de ..... la separación falla
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19. ∫x e
2x
Ejemplo 2: Calcular dx
Resolución : Sean: u=x dv = e 2 x dx
1 2x
∴ du = dx ∴v = e
2
1 2x 1 2x
∫xe ∫
2x
dx = x ⋅ e − e dx
2 2
1 1 1
= x ⋅ e2x − ⋅ e2x + C
2 2 2
1 1 2x
= x e2x − e +C
2 4
Observación : Frecuentemente al aplicar la integración por partes la integral ∫ v du
Resulta ser más simple que ∫ u dv , sin ser una integral inmediata. En
estos casos se calcula aparte.
∫x
2
Ejemplo 3: Calcular sen x dx
2
Resolución : Sean: u=x dv = sen x dx
∴ du = 2x dx ∴ v = − cos x
∫x ∫
2
sen x dx = x 2 ( − cos x) − ( − cos x ) 2x dx
∫
= − x 2 cos x + 2 x cos x dx (∗)
∫
∴ v du que es ∫ x cos x dx es más simple que ∫ u dv que es
∫x
2
sen x dx, sin ser una int egral inmediata
Calculándola aparte con el mismo tipo de separación:
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20. Para ∫ x cos x dx : u=x dv = cos x dx
∴ du = dx ∴ v = sen x
∴ ∫ x cos x dx ∫
= x sen x − sen x dx = x sen x + cos x
que sustituida en ( ∗ ) :
∫x
2
sen x dx = − x 2 cos x + 2(x sen x + cos x ) + C
Observación : También la integración por partes se utiliza para el cálculo de integrales
más simples, pero no inmediatas.
Ejemplo 4: Calcular ∫ ln x dx
Resolución : Sean: u = lnx dv = dx
1
∴ du = dx ∴v = x
x
1
∫ ∫
∴ ln x dx = (ln x) ⋅ x − x ⋅ dx = x ln x − x + C
x
Ejemplo 5: Calcular ∫ arc cos x dx
Resolución : Sean: u = arc cos x dv = dx
1
∴ du = − dx ∴v = x
2
1− x
 
1
∫
∴ arc cos x dx = (arc cos x ) ⋅ x − ∫ x ⋅ −  dx
 2 
 1− x 
= x arc cos x − 1− x 2 + C
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21. EJERCICIOS PROPUESTO
∫
1 − . ln x dx = x (ln x − 1) + C
2
 ln x 
∫
2 −. 
 x 
 dx = −
x
(
1 2
ln x + 2ln x + 2 + C )
3
2 2  2 4 8
3 −. ∫ x ln2 x dx =
3
x ln x − 3 ln x + 9  + C
 
x x x
4 −. ∫ x e 2 dx = 2x e 2 − 4 e2 +C
−3x
1  2 2x 2 
5 − . x 2 e−3x dx =
∫ − e x + 3 + 9 + C
3  
∫
6 − . x sen x dx = − x cos x + sen x + C
cosnx x sennx
∫
7 − . x cosnx dx =
n 2
+
n
+C
1
∫
8 − . arc cos 2x dx = x arc cos 2x −
2
1 − 4x 2 + C
∫
9 − . x 2 cos x dx = x 2 sen x + 2x cos x − 2 sen x + C
x3 x3
∫
10 − . x 2 ln 2x dx =
3
ln 2x −
9
+C
3 5
2x ( 3x − 5 ) 2 4 ( 3x − 5 ) 2
∫
11 − . x 3x − 5 dx =
9
−
135
+C
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22. x ex ex
∫ (1 + x )2
12 − . dx =
1+ x
+C
ln(x + 1)
13 − . ∫ dx = 2 x + 1 ( ln [ x + 1] − 2 ) + C
x +1
1+ x 1 − x2 1+ x
∫
14 − . x ln
1− x
dx = x−
2
ln
1− x
+C
arc sen x arc sen x 1 + 1 − x2
15 − . ∫ x2
dx = −
x
− ln
x
+C
16 − . ln  x + 1 + x 2  dx =
∫  x ln  x + 1 + x 2  − 1 + x 2 + C
 
   
∫
17 − . arctg x dx = − x + (1 + x)arctg x + C
x
∫
18 − . sen x ln(tg x)dx = ln tg
2
− cos x ln tg x + C
x2 x cos 2x
∫
19 − . x sen2 x dx = − − sen 2x −
4 4 8
+C
∫
20 − . e x dx = 2( x − 1) e x + C
∫
21 − . x sen x dx = 2(6 − x) x cos x − 6(2 − x) sen x + C
x earctg x (1 − x) earctg x
22 − . ∫ 3
dx = −
2 1 + x2
+C
(1 + )
x 2 2
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23. 1.2.3 Integrales Trigonométricas Corrientes.
Recordemos las principales relaciones entre las funciones trigonométricas
sen2 x + cos2 x = 1 1 + tg2 x = sec 2 x
1 + cot 2 x = co sec 2 x sen 2x = 2 sen x cos x
2 2
cos 2x = 2cos x − 1 cos 2x = 1 − 2 sen2 x
1 1 1 1
cos2 x = + cos 2x sen2 x = − cos 2x
2 2 2 2
∫ sen
2
Ejemplo 1: Calcular x dx
1 1  1 1
∫ sen ∫ ∫ ∫
2
Resolución : x dx =  − cos 2x  dx = dx − cos 2x dx
2 2  2 2
1 1 1 1 1
= x − ⋅ sen 2x + C = x − sen 2x + C
2 2 2 2 4
∫ cos
2
Ejemplo 2: Calcular dx
1 1  1 1
∫ cos ∫ ∫ 2 dx ∫
2
Resolución : dx =  + cos 2x  dx = + cos 2x dx
2 2  2
x 1
= + sen 2x + C
2 4
∫ cos
2
Ejemplo 3: Calcular 2x dx
1 1  x 1 1
∫ cos ∫
2
Resolución : 2x dx =  + cos 4x  dx = + ⋅ sen 4x + C
2 2  2 2 4
x 1
= + sen 4x + C
2 8
Ejemplo 4: Calcular ∫ tan x dx
sen x
Resolución : ∫ tg x dx = ∫ cos x dx =
u = cos x du = - sen x dx
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24. du
=− ∫ u
= − lnu + C = − lnu + C = − ln cos + C
1
= ln + C = ln sec x + C
cos x
∫ sec
3
Ejemplo 5: Calcular x dx
Resolución : Usando integración por partes:
u = sec x dv = sec2 dx
∴ du = sec x tg x dx ∴ v = tg x
∫ ∫
∴ sec 3 x dx = sec x ⋅ tgx − tg x ⋅ sec x ⋅ tg x dx
= sec x ⋅ tgx − ∫ sec x ⋅ tg 2 x dx
= sec x ⋅ tgx − ∫ sec x ⋅ ( sec 2 x − 1) dx
∫ sec x dx = sec x ⋅ tgx − ∫ sec x dx + ∫ sec x dx
3 3
2∫ sec 3 x dx = sec x ⋅ tgx + ∫ sec x dx
= sec x ⋅ tgx + ln( sec x + tg x) + C
1 1
∫
∴ sec 3 x dx =
2
sec x ⋅ tgx + ln( sec x + tg x) + C
2
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25. 1.2.3 Integración usando Sustituciones Trigonométricas.
La integración por sustitución consiste en sustituir la variable de integración con una
nueva variable.
Existen muchos tipos de sustituciones. Las sustituciones trigonométricas que usaremos,
las aplicaremos cuando en él integrando aparezca una sola raíz de la forma:
a
a2 + b2 u2 , con u = u(x), la sustitucion sera : u = tg z
b
a
a2 − b2 u2 , con u = u(x), la sustitucion sera : u = sen z
b
a
b2 u2 − a2 , con u = u(x), la sustitucion sera : u = sec z
b
+
Al aplicar la sustitución se suponen: a, b ∈ . En el resultado final se vuelve a la
variable x .
dx
Ejemplo 1: Calcular ∫ x2 9 + x2
3
Resolución : Primer caso: a = 3, b = 1, u = x, ∴ x = tg z, dx = 3 sec 2 z dz
1
dx 3 sec 2 z dz 1
∫ x2 9 + x2
= ∫ 9 tg2 ⋅ 9 + 9 tg2 z
=
9∫cos ec z cot z dz
1
=− ( − cos ec z ) + C
9
x
volviendo a la variable x, dx x = 3 tg z obtenemos tg z =
3
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26. 9 + x2
x
9 + x2
∴ z ∴ cos ec z =
x
3
dx 1 9 + x2
∫ x2 9 + x2
=− ⋅
9 x
Ejemplo 2: Calcular ∫ 7 − x 2 dx
Resolución : Segundo caso: a = 7 , b = 1, u = x,
7
∴ x= sen z, x = 7 sen z ∴ dx = 7 cos z dz
1
( )
2
∫ 7 − x2 = ∫ 7− 7 sen z ⋅ 7 cos z dz =
∫ 7 ⋅ 7 ⋅ 1 − sen2 z cos z dz = 7 cos2 z dz = ∫
1 1  7 7
∫
7  + cos 2z  dz =
2 2  2 ∫ dz +
2 ∫ cos 2z dz =
7 7 1 7 7
z + ⋅ sen 2z + C = z + sen 2z + C =
2 2 2 2 4
7 7
z + 2 sen z cos z + C
2 4
x
volviendo a la variable x, dx x = 7 sen z obtenemos sen z =
7
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27. 7
x
∴ z
7 − x2
x  x  7 − x2
De sen z = obtenemos z = arc sen   , y del triangulo : cos z = .
7  7 7
 
Sustituyendo estos valores en (∗) obtenemos:
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