1. La integral
 Determina la antiderivada
más general.
 Interpreta la integral y su
relación con la derivada.
 Define la integral definida.
 Calcula áreas de regiones
limitadas en el plano.
ANGEL RIBAS
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
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2. Antiderivadas
Definición: Una función F se llama
antiderivada de una función f en un
intervalo I si la derivada de F es f,
esto es F´(x) = f(x) para todo x en I.
Observación:
De la definición se ve que F no es única.
Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser
continua.
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3. Teorema:
Si F es una antiderivada de f en un
intervalo I, la antiderivada más general de
f en I es F(x)+c, donde c es una constante
arbitraria.
Teorema:
Si dos funciones P y Q son antiderivadas
de una función f en un intervalo I ,
entonces P(x) = Q(x) + C, ( C constante)
para todo x en I.
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4. INTERPRETACION GEOMETRICA
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5. INTERPRETACION GEOMETRICA
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6. INTERPRETACION GEOMETRICA
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7. INTERPRETACION GEOMETRICA
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8. Ejemplo 1
Encuentre la antiderivada más general de cada
una de las siguientes funciones.
x
a) f ( x) e
1
b) f(x)
x
c) f ( x) x n
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9. Antiderivada
Función particular
c f ( x) cF ( x )
f ( x) g ( x) F ( x) G ( x)
x n (n 1) xn 1 n 1
1 ln x
x
ex
ex
cos x sen x
sen x cos x
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10. INTEGRAL DEFINIDA Y
CALCULO DE ÁREAS
¿Área?
A3 A2
A4 A1
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11. x
f (x) e 1
x
Definición : El área de la región S que se
encuentra debajo de la gráfica de la función
continua f es el límite de la suma de las áreas
de los rectángulos de aproximación:
n
* * *
A lim Ai lim f x
1 x f x2 x ... f xn x
n n
i 1 11

12. b n
f ( x )dx lim f ( x *i ) x i
n
a i 1
b No tiene significado,
Limite indica respecto a que
superior f ( x )dx variable se integra.
a
Integrando
Limite Inferior
El procedimiento para calcular integrales se
llama por si mismo integración.
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13. 2° Teorema Fundamental del Cálculo
Si f es una función continua en [a, b]
y F una antiderivada de f en [a, b], entonces:
b b
f ( x) dx F ( x) F (b) F (a)
a a
Esta regla convierte al cálculo de integrales
definidas en un problema de búsqueda de
antiderivadas y evaluación.
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14. PROPIEDADES DE LA
INTEGRAL DEFINIDA
1. Si f y g son funciones integrables
en [a, b] y y son constantes, se
tiene:
b b b
( f (x ) g ( x )) dx f (x ) dx g (x ) dx
a a a
Propiedad de linealidad
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15. 2. Si existen las integrales de la
izquierda, también existe la integral
de la derecha: c a, b
c b b
f (x ) dx f (x ) dx f (x ) dx
a c a
Propiedad aditiva respecto
al intervalo de integración
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16. La propiedad anterior es aplicada cuando la
función está definida por partes y cuando es
seccionalmente continua.
Ejemplo:
Si x2 0 x 1
f ( x)
x -1 1 x 3
y se quiere hallar: 3
f x dx
0
3 1 3
2
f (x)dx x dx (x 1) dx
0 0 1
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17. 3. b
h dx h(b a )
a
Y representa el área de un rectángulo de altura
h y longitud de base (b – a).
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18. DEFINICIONES:
Sea f una función integrable en
[a, b], entonces:
a
1. f (x ) dx 0
a
b a
2. f (x ) dx f (x ) dx
a b
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19. Definición:
Sea f una función contínua tal que:
• f(x) 0 en [a, b] y
• S={(x, y)/ a x b, 0 y f(x)}
Se denota por A(S) y se llama área de
la región definida por S al número
dado por:
b
A(S) f ( x ) dx
a
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20. y
f(x)
y = f(x)
dx
dA = f(x)dx
b
0 a dx x b x A f(x)dx
a
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21. Ejemplo 1:
Calcular el área de la región:
S={(x, y)/ 0 x 2, 0 y x2 +
1}
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22. y
d g(y)
dy
x = g(y)
dy
dA = g(y)dy
c
d
0 x A g(y)dy
c
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23. Ejemplo 2:
Hallar el área de la región limitada
por y = 2x, y = (x-2)2 + 1, x = 3 y el
eje X, tal como lo muestra la figura.
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24. f(x)
y - g(x)
y = f(x)
dx
0 a dx b x dA =[f(x) - g(x)]dx
b
y = g(x) A f(x) - g(x) dx
a
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25. 3. Encontrar el área entre las curvas y = x - x3 ;
y x 1 x2
y
1
x
-1 1
-1
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26. 4. Encontrar el área entre las curvas y - x = 3;
y2 1 x
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