Este documento presenta conceptos básicos sobre derivadas de funciones. En 3 oraciones o menos: 1) Define la derivada de una función como el límite de la razón de cambio de la función cuando el cambio en la variable independiente tiende a cero. 2) Presenta las derivadas de funciones elementales como polinomios, exponenciales y logaritmos. 3) Explica las reglas para calcular derivadas de sumas, diferencias, productos y cuocientes de funciones.

1. UNIVERSIDAD ANDRES BELLO
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
APUNTE: CONCEPTOS BASICOS DE DERIVADA
1.- Derivada de una función
Sea y = f (x) una función que depende de x.
Se define la derivada de dicha función como otra función:
lim f ( x + h) − f ( x)
f ' ( x) =
h→0 h
∂y
La simbología de la derivada es f ' ( x) = y' =
∂x
Analíticamente la derivada es un límite, que existirá si el límite existe.
2.- Derivada de las funciones elementales.
( a )′ = 0 ∀ a cte
( x )′
n
= n x n −1
( x )′ =
2
1
x
′
 1  −1
  =
 x  x2
′
( ex ) = ex
′
( a x ) = a x
ln a
(log a x )′ =
1
x ln a
( x )′
x
= x x (ln x + 1 )
( ln x )′ =
1
x

2. 3.- Algebra de derivadas.
3.1. Derivada de una suma y diferencia:
Sean f y g 2 funciones definidas en , derivables ∀ x ε ]a,b[, entonces f ± g es
derivable en x ε ]a,b[ y se cumple que:
(f + g ) (x ) =
'
f ' (x ) + g ' (x )
(f − g ) (x ) =
'
f ' (x ) − g ' (x )
Ejemplos:
f ( x ) = 3 x − x , entonces f ' (x ) = 6 x −
1
1. Sea
2 x
2. Sea f ( x ) = 3 x − ln (2 ) , entonces f ' ( x ) = 3 x ln(3)
3. Sea f ( x ) = 5 x 2 − 5 x + log5 ( x ) , entonces
f ' ( x ) = 10 x −
1 1
+
55 x 4 x ln (5)
3.2. Derivada del producto de una constante por una función:
Si ƒ: ]a,b[ → , es derivable ∀ x ε ]a,b[ y C ε , entonces C ⋅ f ( x ) es también derivable en ]a,b[.
(C ⋅ f ( x ))
'
= C ⋅ f ' (x )
Ejemplos:
1. f ( x) = 4 x 3 ; entonces f ' ( x ) = 12 x 2
2 5
2. f ( x) = 2 x − 5 ln( x ) ; entonces f ' ( x ) = −
2 x x
1 5
∴ f ' ( x) = −
x x
3.3. Derivada de un producto de funciones:
Si f ,g : ]a, b[ → ℜ son funciones derivables ∀x ∈ ]a, b[ entonces f • g es derivable
en ]a, b[ y se tiene:
(f • g )(x)
'
= f '( x) • g ( x) + f ( x) • g '( x)

3. Ejemplos:
1. Sea f ( x) = (5 x + 2) • x
(5 x + 2 )' (5 x + 2 ) • ( )
'
f '(x) = x + x
∴ f ' ( x) = 5 x + (5 x + 2) • 1
2 x
2. Sea f ( x) = 2 xe x
f ' ( x) = (2 x )' e x + 2x ex ( ) '
f ' ( x ) = 2e x + 2 xe x
3. Sea f ( x) = 3
x ln( x)
f ' ( x) = ( x ) ln( x)
3 '
+ 3
x (ln( x) )
3
1 x
∴ f ' ( x) = ln( x) +
33 x 2 x
3.4. Derivada de un cuociente de funciones:
Si f ,g : ]a, b[ → ℜ son funciones derivables ∀x ∈ ]a, b[ ,con g ( x ) ≠ 0 , entonces
y es derivable en ]a, b[ y se tiene:
f
existe
g
′
 f ( x)  f ′ ( x) ⋅ g ( x) − g ′ ( x) ⋅ f ( x )
 g ( x)  =
  g2 ( x)
 
Ejemplos:
x2 3
1. Sea f ( x) = tal que, x ≠ − entonces:
2x + 3 2
f ' ( x) =
(x ) (2 x + 3)
2 '
( )
+ x 2 (2 x + 3)
'
(2 x + 3)2
2 x(2 x + 3) − x 2 2
f ' ( x) =
(2 x + 3)2
2 x2 + 6 x
∴ f ' ( x) =
(2 x + 3)2
1
2. Sea f ( x) = , con x ≠ 1 entonces:
1− x
f ' ( x) =
(1)' (1 − x ) − (1)(1 − x )'
(1 − x )2

4. 0(1 − x ) − (1)(− 1)
f ' ( x) =
(1 − x )2
1
∴ f ' ( x) =
(1 − x )2
3.5. Regla de la cadena.
Sean f : ]a, b[ → ℜ y g : ]c, d [ → ℜ , derivables en ]a, b[ y ]c, d [ respectivamente,
entonces se tiene ( fog ) : ]a, b[ → ℜ por lo que es derivable en ]a, b[ .
Se define la derivada por:
( fog )' ( x ) = g '[ f ( x ) ]• f ' ( x )
Ejemplos:
1. Sea h( x) = (3 x − 2 )2 luego h(x) es una composición de funciones,
h( x ) = ( gof )( x ) = g ( f ( x)) . Luego se tiene que f ( x) = 3x − 2 y g ( x ) = x 2 .
∴ h' ( x) = 2(3 x − 2 ) • 3 entonces h' ( x) = 6(3 x − 2 )
2. Sea h( x ) = 1 + x 2 , entonces:
1
g ( x) = x y f ( x) = 1 + x 2 ∴ h' ( x ) = • 2x
2 1 + x2
3. Sea h(x) = (x 3
+ 3 sen( x ) )5
, entonces:
g ( x) = x5 y f ( x) = x3 + 3 sen( x)
( ) (
∴ h' ( x) = 5 x 3 + 3 sen( x) 4 • 3 x 2 + 3 cos( x) )
4. Sea h( x) = ln 2 (sen( x)) , entonces:
g ( x) = x2 ; f ( x) = ln( x) ; k ( x) = sen( x)
1
∴ h' ( x) = 2 ln(sen( x)) • • cos( x)
sen( x)
5. Sea h( x ) = 1 + x 2e x , entonces:
g ( x) = x y f ( x) = 1 + x 2e x (PRODUCTO)
h' ( x ) =
1
(1 + x e )
x '
2 1+ x e 2 x

5. h' ( x ) =
1
(2 xe x
+ x 2e x )
2 1+ x e 2 x
 3 
6. Sea h( x ) = ln 3  , entonces:
 2x + 1 
3
g ( x) = ln( x) ; f ( x) =
2x + 1
3
h' ( x ) =
1 ( )
 (3)' 2 x3 + 1 − 3 2 x 3 + 1 ' 
•  ( )
3 
 2x + 1
3
(2 
 )
2 x3 + 1
h' ( x ) =
(2 x 3
+1 ) •  0 − 3 ⋅ 6x

2


3  (2 x + 1)
3 2 
 
6x2
∴ h' ( x ) =
2 x3 + 1
4.- Derivadas de Orden Superior
La derivada de una función es también una función, por lo tanto puede a su vez derivarse,
obteniéndose así la llamada segunda derivada, está al derivarse generará la tercera y así
sucesivamente.
(A partir de la segunda derivada se le llama derivada de orden superior).
Sea f función original ⇒ f′ primera derivada
⇒ f ′′ segunda derivada
⇒ f ′′′ tercera derivada.
Ejemplos:
1. Sea f ( x) = x3 − 4 x2 + 7 x − 2 determine la tercera derivada
⇒ f ′ ( x ) = 3 x 2 − 8 x + 7 primera derivada
⇒ f ′′( x ) = 6 x − 8 segunda derivada
⇒ f ′′′ ( x ) = 6 tercera derivada.
2. Si y = xe 2x
demuestre que: y' ' − 4y' + 4y = 0
y ′ = e 2x + 2 x e 2x = e 2x ( 1 + 2 x )
y ′′ = e 2x ⋅ 2 ( 1 + 2 x ) + 2 ⋅ e 2x = e 2x ⋅ (4 + 4 x )

6. Reemplazando se tiene:
y' ' − 4y' + 4y =
e 2x ⋅ (4 + 4 x ) − 4 ⋅ e 2x ⋅ (1 + 2 x ) + 4 e 2x ⋅ x =
e 2x ⋅(4 + 4 x − 4 − 8 x + 4 x )=
e 2x ⋅(0 )= 0
Por lo tanto queda demostrado.
5.- Razón de Cambio o Tasa de Cambio
La razón de Cambio Instantáneo de f ( x ) en x 0 se define como la derivada: f ′( x 0 ) si esta
existe.
De la definición de Derivada en x 0 ; de la función f ( x ) .
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
f ′( x 0 ) = lim ; Si h = ∆ x = x − x0
h→0 h
f ( x ) − f ( x0 ) ∆f
= lim = lim
h→0 x − x0 ∆x → 0 ∆x
El cuociente entre el cambio de variable ∆ f respecto del cambio ∆ x es la razón de cambio :
∆f
.
∆x
∆f
Por lo tanto la razón de cambio instantánea es: lim = f′.
∆x → 0 ∆x
Ejemplo:
Un móvil se desplaza de acuerdo a la Función s (t ) = 3 t 2 +15 ; hallar las velocidades medias e
instantánea en t = 5; desde su inicio en t = 0. (t en segundos; y s en metros ).
s (t ) = 3 t 2 + 15
si t = 0 ⇒ S ( 0) = 15 
 ⇒ Velocidad media
si t = 5 ⇒ S ( 5 ) = 90 
V(t ) − V( t0 ) 90 − 15
Vm = = = 15
t − t0 5 − 00
Velocidad Ins tan tánea : V i = S ′ ( t ) = 6 t en t = 5
V i ( 5 ) = S ′ ( 5 ) = 6 ⋅ 5 = 30 .

7. 6.- Optimización de modelos matemáticos.
6.1. Puntos Críticos
Si x0 está en el dominio de f (x) ; si cumple f ′ ( x0 ) = 0 ; o si f ′ ( x0 ) no existe; entonces se
tiene que hay un punto crítico en (x0 , f ( x0 ) ).
Si f ′′ ( x0 ) < 0 entonces (x0 , f ( x0 )) es un máximo relativo.
Si f ′′ ( x0 ) > 0 entonces (x0 , f ( x0 )) es un mínimo relativo.
Ejemplo:
Sea f ( x) = x 3 − 3 x ⇒ f ′ ( x ) = 3 x2 − 3 primera derivada
3 x −3 = 0
2
3 ( x − 1) ( x + 1 ) = 0
x =1 o x = − 1
(1, − 2) y (−1, 2 )
Determinando la segunda derivada: f ′′ ( x ) = 6x
Si evaluamos en la segunda derivada tenemos:
f ′′( 1 ) = 6 ∴ (1, 6 ) es un mínimo relativo
f ′′ ( − 1 ) = − 6 ∴ ( − 1,− 6 ) es un máximo relativo
6.2. Funciones Crecientes
Si se trata de encontrar el intervalo de crecimiento se debe cumplir :
{ x ∈ ℜ / f ′ ( x) > 0 }
y para el intervalo donde la función es decreciente está dado por:
{ x ∈ ℜ / f ′ ( x) 0 }
Ejemplo:
Sea f ( x) = x − 3 x
3
⇒ f ′ ( x ) = 3 x − 3 primera derivada
2
Los puntos críticos ya calculados son: -1, 1.
Luego si evaluamos cualquier valor menor que –1 en la primera derivada nos da como resultado:
f ′ ( − 2 ) = 3 (−2) 2 − 3 = 12 − 3 = 9 > 0 , por lo tanto ]− ∞, − 1 [ es creciente.
Para cualquier valor entre –1 y 1, se tiene:
f ′ ( 0 ) = 3 ( 0 ) 2 − 3 = − 3 < 0 , por lo tanto ]− 1,1 [ es decreciente.
Y por último, par cualquier valor mayor que 1:
f ′ ( 2 ) = 3 ( 2 ) 2 − 3 = 12 − 3 = 9 > 0 , por lo tanto ]1, + ∞ [ es creciente.

8. 6.3. Concavidad y Convexidad
El teorema relacionado con las concavidades dice:
“ Si: f ′′ < 0 es un Intervalo, entonces la curva es convexa”
“ Si: f ′′ > 0 es un Intervalo, entonces la curva es cóncava”
El punto al cuál la gráfica pasa de cóncava a convexa es llamado punto de inflexión.
Ejemplo:
1. Bosqueje la gráfica de la siguiente función f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 3
i. Derivadas
f ′ ( x ) = 3 x 2 −12 x + 9 primera derivada
f ′′ ( x ) = 6 x − 12 segunda derivada
ii. Puntos Críticos:
3 x 2 −12 x + 9 = 0
3 ( x − 1) ( x − 3 ) = 0 ⇒ x =1 y x = 3
∴ (1, f (1) ) y ( 3 , f ( 3 ) ) puntos críti cos
(1, 7 ) y ( 3, 3 )
iii. Clasificación de puntos Críticos:
f ′′ (1) = − 6 < 0 ∴ Máximo
f ′′ ( 3 ) = 6 > 0 ∴ Mínimo
iv. Puntos de Inflexión
6 x − 12 = 0
6 x = 12 x = 2 ∴ ( 2 , 5 ) punto de inf lexión
v. Intervalos de :
crecimiento : ] − ∞,1 [ ∪ ] 3 , + ∞ [
decrecimiento : ] 1, 3 [
Convexidad : ] − ∞, 2 [
Concavidad : ] 2 , + ∞ [
vi. Gráfico:
y = f (x)
7
5
3
1 2 3 x

9. 7. Aplicación a la Economía
Las derivadas son un excelente elemento en economía, para la toma de decisiones,
optimización de resultados.
7.1. Función oferta y demanda.
Sea F (x ) una función que depende de x (n° de unidades de un bien) e y (precio de cada unidad),
entonces:
y = F ( x) tal que x ≥ 0
Sí f ' ( x) f 0 entonces, F (x) : función oferta
Sí f ' ( x) p 0 entonces, F (x) : función demanda
Al punto de intersección de ambas funciones se llamará punto de equilibrio.
Ejemplo:
Sean F ( x) = 12 − 4 x y F ( x) = 2 x + 6 determine cuál es la oferta y demanda; además
determine su punto de equilibrio.
F ( x) = 12 − 4 ⇒ F ' ( x) = −4 p 0 función demanda.
F ( x) = 2 x + 6 ⇒ F ' ( x) = 2 f 0 función oferta.
Igualando las funciones
12 − 4 x = 2 x + 6
6 = 6x
luego x =1 ⇒ y = 8 ∴ el punto de equilibrio es (1,8)
7.2. Función costo
Sea x el número de unidades de un bien. Se definirá como costo total a C ( x) .
A partir de este concepto podemos definir:
C ( x)
Costo promedio: Cp = = y
x
dy
Costo marginal: Cm = C ' ( x) =
dx
xC ' ( x) − C ( x )
Costo promedio marginal: C pm =
x2

10. Ejemplo:
Dada la función costo C ( x) = 5 x 2 + 4 x determine los costos (promedio, marginal y promedio
marginal)
5x 2 + 4 x
Costo promedio: Cp = = 5x + 4
x
Costo marginal: Cm = (5 x 2
+ 4x )'
= 10 x + 4
Costo promedio marginal:
C pm =
(
x 5x 2 + 4 x ) '
− (5x 2
+ 4x )
2
x
10 x 2 + 4 x − 5 x 2 − 4 x
C pm =
x2
5x 2
C pm = = 5
x2
Entonces podríamos definir la variación de una cantidad con respecto a la otra, mediante los
conceptos promedio y marginal.
7.3. Función de ingreso
Definamos una función demanda por y = f (x ) ; donde y es el precio por unidad ; entonces
definiremos la función ingreso por:
R ( x) = xy = xf ( x)
a partir de ésta, podemos definir:
R ( x)
Ingreso promedio: Rp =
x
Ingreso marginal: Rm = R' ( x)
Ejemplo:
Dada la función demanda y = 20 − 10 x determine las funciones ingreso promedio y marginal.
Ingreso: R( x) = x(20 − 10 x ) = 20 x − 10 x 2
R( x)
Ingreso promedio: Rp = = 20 − 10 x
x
Ingreso marginal: Rm = (20 x − 10 x ) 2 '
= 20 − 20 x

11. 7.4. Función utilidad
La función utilidad está definida por: ingreso menos costo; es decir:
U ( x) = R ( x ) − C ( x)
U ( x)
Utilidad promedio: Up =
x
Utilidad marginal: Um = U ' ( x)
Ejemplo:
Dada la función costo de producir x artículos C ( x) = 10 x − 4 y la demanda está dada por
y = 5 x 2 + 3 determinar:
a. Utilidad de producir 3 artículos
b. Utilidad marginal
Determinar la función utilidad
U ( x) = R ( x ) − C ( x)
U ( x) = xy − C ( x)
U ( x) = (
x 5x 2 + 3 ) − (10 x − 4)
U ( x) = 5 x 3 + 3 x − 10 x + 4
∴ U ( x) = 5 x 3 − 7 x + 4
Utilidad de producir 3 artículos:
U (3) = 5 ⋅ 33 − 7 ⋅ 3 + 4
U (3) = 135 − 21 + 4
∴ U (3) = 118
Por lo tanto la utilidad de producir 3 artículos es de 118 unidades monetarias.
∴ Utilidad marginal: U ' ( x) = 15 x 2 − 7