1. Dibujo Ramón
GEOMETRÍA
Geometría métrica
Ejercicio.
Figura plana 2: cuadrado.
Ramón Gallego
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2. Geometría métrica Diédrico Figuras planas
Figura plana 2: cuadrado.
Los puntos A(0;3;4) y B(-x;1,5;1) son los extremos de un segmento que mide 5 unidades. Se pide:
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a) Trazar un plano P con vér ce de trazas a la izquierda que forma 45º con el plano horizontal de proyección y
contenga a los puntos dados.
b) Siendo A el centro de un cuadrado situado en el plano P, representar las proyecciones del mismo sabiendo
que una de sus diagonales es una recta de perfil y mide 10 unidades.
Problema propuesto en Ingeniería de la Edificación
(an gua Arquitectura Técnica), Universidad Politécnica de Madrid.
Análisis del enunciado.
Primeramente conviene señalar las partes más impor-
tantes del enunciado:
"Los puntos A(0;3;4) y B(-x;1,5;1) son los extremos de
un segmento que mide 5 unidades. Se pide:
a) Trazar un plano P con vér ce de trazas a la izquierda
que forma 45º con el plano horizontal de proyección
y contenga a los puntos dados.
b) Siendo A el centro de un cuadrado situado en el
plano P, representar las proyecciones del mismo
sabiendo que una de sus diagonales es una recta de A2
perfil y mide 10 unidades."
Se han señalado con colores los detalles que pueden
O
ser más conflictivos, con los que hay que tener cuidado
porque son decisivos en el resultado final.
El primer matiz importante aparece ya en las coorde- A1
nadas del punto B. La coordenada en el eje de la línea
de tierra no la conocemos en valor, sino sólo en signo.
Sólo sabemos que B estará a la izquierda del origen y
a una altura y alejamiento concretos, sin saber en qué
coordenada del eje x.
El segundo detalle nos cuenta la orientación del plano
P que pide el problema, por lo que habrá que estar aten-
tos al momento en el que podamos elegir esa orientación.
También, en el segundo párrafo, se aporta el ángulo que
forma el plano con el PH, y ese dato nos está sugiriendo
la más que probable intervención de un cono. Figura 1
Por último, se nos pide dibujar un cuadrado conteni-
do en el plano. El dato importante es que la diagonal es
de perfil y eso nos debe llevar a pensar en cuestiones de
paralelismo con otras rectas de perfil del plano P.
A pesar de darnos coordenadas, el problema se entre-
ga en formato A4 con un planteamiento gráfico inicial
como el de la figura 1.
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3. Geometría métrica Diédrico Figuras planas
Resolución del problema.
Paso 1.
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Lo primero que hay que hay que hacer es ubicar el Del corte de α con Φ surge una circunferencia Ω, que
punto B. Es un problema de lugares geométricos. en proyección vertical se confunde con la proyección r2.
Pero se puede obtener el corte de r con Ω en la proyec-
Sabemos que B tiene un alejamiento de 1,5 y una al- ción horizontal.
tura de 1. Es decir, debemos preguntarnos: ¿cuál es el Surgen dos posibilidades. La correcta es la que sitúa
lugar geométrico de los puntos con alejamiento 1,5 y B con coordenada x negativa, tal y como nos indica el
altura 1? Ese lugar geométrico es una recta paralela a la enunciado. Ya se puede dibujar el segmento AB, con el
línea de tierra con ese alejamiento y cota, la recta r. Y es que se seguirá trabajando en el paso 2.
seguro que en un punto de esa recta estará B.
Por otra parte nos dicen que B es el extremo de un
segmento AB que mide 5 cms. Eso equivale a decir que
B está a 5 cm de A y se presenta así otro problema de
lugar geométrico: ¿cuál es el lugar geométrico de los Φ2
puntos que equidistan 5 cms del punto A? Ese lugar
geométrico es una esfera de 5 cms de radio, con centro
en A, es decir, la esfera Φ.
De la intersección de ambos lugares geométricos ob-
tendremos B. La intersección de r con Φ se ha obteni-
do haciendo contener a r en un plano horizontal α.
A2
r2 ≡ α2 ≡ Ω2 B2
O
r1 B1 B1
A1
Ω1
Φ1
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4. Geometría métrica Diédrico Figuras planas
Paso 2.
A continuación hay que dibujar el plano P que contie- Ver que hay dos posibles tangentes desde Hs1, pero
ne al segmento AB y forma 45º con el P.H. A la recta de hay que elegir la que nos deje el vértice de trazas a la
AB se la ha llamado s y como s pertenecerá al plano P, izquierda en el plano P, tal y como se nos exige en el
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las trazas de dicho plano estarán en las trazas de dicha enunciado. Por tanto, el punto de tangencia correcto es
recta, Hs1 y Vs2. T (y no T´).
Para utilizar el dato del ángulo de 45º, hay que valerse La traza α2 se obtiene fácilmente uniendo el vértice de
de un cono a 45º con el P.H. Ese cono se puede trazar trazas con Vs2.
tomando por vértice cualquier punto de la recta s. Por
ejemplo el punto W nos servirá de vértice. Se ha trazado
el cono en verde para diferenciarlo del resto del dibujo.
El método del cono nos dice que si trazamos una tan-
gente a la circunferencia de la base desde la traza hori- Φ2
zontal Hs1, esa tangente es la traza horizontal α1.
α2
A2
W2
s2
r2 ≡ α2 ≡ Ω2 B2
T´
45⁰
O
Hs1
r1 B1 B1
Vs2
s1 W1
A1
T1
Ω1
Φ1
α1
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5. Geometría métrica Diédrico Figuras planas
Paso 3.
Queda situar el cuadrado de diagonal 10 cms que per- Hay que remarcar dos cosas:
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tenece al plano P. Esa diagonal, además, es una recta de a) Una parte del cuadrado está fuera del primer cua-
perfil. drante, ya que el vértice C está en el segundo cua-
En figuras planas es muy rápido darse cuenta de que drante. Es importante remarcar los puntos G y H
hay que abatir el plano al que pertenecen y dibujar la donde las aristas pasan al segundo cuadrante y mar-
figura en el abatimiento, esto es, en verdadera magni- car visibilidad de esas aristas.
tud (v.m.). Pero en este caso, además, convendrá abatir b) Si el dibujo se ha hecho bien, lo puntos C, A y E
el plano y con él una recta cualquiera de perfil, perte- deben estar alineados en la recta de perfil a la que
neciente al mismo. Al abatir esa recta de perfil, aquí la pertenecen.
recta m dibujada en púrpura, sabremos qué dirección α2
tiene una recta de perfil en el abatimiento y eso nos per-
mitirá trazar una recta paralela a m por el punto (A), F2
centro del cuadrado.
Partiendo de la diagonal no es difícil dibujar el cua- Φ2
drado. Y una vez se tiene el cuadrado en verdadera
C2 H2
magnitud (CDEF), sólo queda desabatirlo.
A2 h2
G2
W2
E2
s2
V2
C1
r2 ≡ α2 ≡ Ω2 B2
D2
m2
T´
45⁰
G1 O H1
Hs1 B1
(V2)
r1 B1
Vs2 D1
(C) (D) s1 W1
A1
(m1)
T1
m1 F1
(P2)
Ω1
(A) Φ1
(h) E1
α1
(F) (E)
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