El documento describe diferentes conceptos y transformaciones de la geometría proyectiva y euclidiana, con el objetivo de ampliar el conocimiento de dichas geometrías. Se explican conceptos como razón simple, razón doble, cuaterna armónica y diferentes transformaciones como homología, afinidad e inversión. También se detalla cómo realizar construcciones geométricas relacionadas con estas transformaciones.

2. objetivos:
 Contactar con la geometría proyectiva como ampliación de
la conocida g. euclediana.
 Realizar transformaciones en el plano, tales como la
homología y sus casos particulares, afinidades e inversiones.
 Ampliar dichas transformaciones a otros tipos de
problemas.
 Conocer las relaciones de las transformaciones con la
geometría descriptiva que se estudiará mas adelante.

3. En el ámbito de Segmentos proporcionales.
•Teorema de Thales
•Razón simple
•Razón doble
•Cuaterna armónica
En el ámbito de Operaciones en el plano.
•Transformaciones proyectivas:
•Homografías
•Homotecia
•Homología afín - Simetría axial
•Homología especial - Traslación
•Transformaciones no proyectivas:
• inversión
•Equivalencia.
TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

4. La GEOMETRÍA PROYECTIVA
observa las propiedades que se
conservan en una proyección.
EJEMPLO: Si desde un punto trazamos
rectas que unan puntos rectas o planos
y cortamos a éstas con otro plano, éste
tipo de Geometría estudiará las
propiedades de los puntos de corte.
No se interesa por medidas de
segmentos o ángulos, sino por las
posiciones relativas d los elementos en
el espacio o en el plano.
Aunque representa conceptos
tridimensionales es posible su empleo
sobre un plano.
También aparece el concepto de
infinito en las resoluciones

5. ELEMENTOS DE GEOMETRÍAELEMENTOS DE GEOMETRÍA
PROYECTIVAPROYECTIVA

6. RECTA ORIENTADA:
Se designa así a la recta
en la cual ha sido fijado un
sentido como positivo
P A B
+
Elementos geométricos fundamentales. Son el
punto, la recta y el plano.
Formas geométricas. Son las formadas con los
elementos geométricos.

7. Razón simple de tres puntosRazón simple de tres puntos
Dados dos puntos fijos A y B) en una recta r orientada
(que tiene sentido positivo y negativo), la razón simple
es el cociente o razón de distancias entre el primero a
los otros dos fijos. Se llama razón simple de tres
puntos P, A Y B a la relación:
h = (PAB) =
PA
PB
P A B
+
SI SE VARÍA EL ORDEN DE NOTACIÓN, SE VARIÁ EL VALOR DE LA RAZÓN.
Puntos fijos

8. +aclaraciones+aclaraciones
10
1530
p
A B
K=PAB=PA
PB;
aritméticamente: 20
30 ,de donde
podemos afirmar, m
n =10
15=20
30
20
Valor de la razón simple, imagínate un valor
Se refiere a los puntos que están en razón simple
m
n
K, es un valor. En
una recta donde
hay tres puntos
alineados, si
consideramos a
uno de ellos, el P
por ejemplo el
origen de esa
recta, el
segmento
formado desde
este punto P al
siguiente punto A
dividido por la
distancia de P al
ultimo punto nos
va a dar un valor
=k. En geometría
ese valor viene
expresado como
PA/PB. Es decir,
se interesa mas
por la relación
entre el primer
segmento/segund
o segmento.
Ese valor se expresa mediante la fracción

9. CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE UNA RAZÓN SIMPLECONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE UNA RAZÓN SIMPLE
•Sean A Y B los puntos fijados sobre una recta.
•Para construir el punto P cuya razón h es conocida,
se trazan por A y B dos rectas paralelas
cualesquiera, tomando sobre ellas dos segmentos
que están en la relación m/n = , al mismo o a distinto
lado, según que el valor de h sea positivo o
negativo.
•El segmento que une los extremos obtenidos
determina sobre la recta el punto buscado (P1
para
+ y P2
para -)
El ejercicio consistirá en hallar la ubicación de P en la recta para que la razón simple
de estos tres puntos estuvieran en la misma relación que m/n.
n
m
+datos

10. Razón doble de cuatro puntosRazón doble de cuatro puntos
Dados dos puntos fijos A y B en una recta r orientada se
llama razón doble de cuatro puntos M, N, A y B al
cociente de las razones simples de los dos primeros
respecto a los otros dos:
k = (MNAB) =
(MAB)
(NAB)
MA/MB
NA/NB
=

11. Cuaterna armónicaCuaterna armónica
-NA
NB
MA
MB
=
Si la razón doble de cuatro puntos vale -1, entonces se dice que
los cuatro puntos forman una cuaterna armónica:
k = (NMAB) =
(NAB)
(MAB)
NA/NB
MA/MB
= =-1
MN están separados armónicamente por AB

12. Para construir el cuarto conjugado
armónico de un punto M respecto
a un par dado AB se trazan por A y
B dos líneas paralelas cualesquiera
y por M una recta secante
arbitraria que determina sobre las
paralelas los segmentos f y r , cuya
razón es precisamente, la razón
(MAB). Trácese sobre la
prolongación de la paralela trazada
por A un segmento igual a f y su
unión con el extremo de r
determina el cuarto armónico N.
Construcción geométrica de una cuaternaConstrucción geométrica de una cuaterna
armónicaarmónica
Se trataba de ubicar un punto tal que la razón doble NMAB RESULTARA (–1), es
decir, que los cuatro puntos formen o estén en una relación de cuaterna armónica
NMAB=
(NAB)
(MAB)
=
- F/R
F/R
=-1

13. Invariante proyectivo.Invariante proyectivo.
La razón simple de tres
puntos no varía al
proyectar sus puntos
paralelamente sobre
otra recta, puesto que
los segmentos son
proporcionales y su
razón no varía. De aquí
que la razón doble de
cuatro puntos no varía
al proyectar sus puntos
sobre una recta,
puesto que se trata del
cociente de dos
razones fijas.
Esta proyección puede ser paralela o
desde un punto exterior.

14. Transformaciones geométricas.Transformaciones geométricas.
Una transformación geométrica es una correspondencia (o aplicación) entre elementos de dos formas
geométricas.El concepto de transformación en geometría es equivalente al concepto de función en álgebra.
•Transformaciones proyectivas. Es una transformación tal que cuatro puntos en línea recta se transforman
en cuatro puntos en línea recta, siendo la razón doble de los cuatro primeros igual a la razón doble de los
cuatro segundos.
Existen también transformaciones entre haces de rectas, haces de planos, etc.
En geometría se dice que dos formas son proyectivas si una puede obtenerse de la otra mediante
proyecciones y secciones.
•Homografía. Se denomina así a la correspondencia entre dos formas geométricas tal que a un elemento
de una forma le corresponde un elemento de la misma especie de la otra forma (a un punto le corresponde
un punto, a una recta le corresponde una recta, etc.), según una determinada ley. Son transformaciones
homográficas: la homología, la afinidad, la homotecia, la traslación, la simetría y el
giro.
•Correlación. Es la correspondencia entre elementos de distinta especie (a un punto le corresponde una
recta, a una recta le corresponde un plano, etc.).

15. HOMOGRAFÍASHOMOGRAFÍASLas transformaciones que
pasamos a tratar a
continuación están
incluidas en la
homografía, que
podemos definir como la
relación espacial
existente entre figuras
planas. Éstas se
relacionan con sus
homólogas, punto a
punto y recta a recta,
mediante la proyección
desde un elemento
vértice, de modo que las
figuras pertenecen a las
secciones planas de los
haces proyectivos.
Dos secciones planas de
la misma radiación se
llaman perspectivas y son
homográficas;

16. Aplicaciones de la homologíaAplicaciones de la homología

17. Transformaciones geométricas
Homología Definición
Es una transformación geométrica que
cumple las siguientes leyes:
- Dos puntos homólogos están alineados
con un punto fijo (centro de homología)
-Dos rectas homólogas siempre se cortan
en una recta fija (eje de homología)
-El eje, por tanto, es el lugar geométrico
de los puntos que son homólogos de sí
mismos (puntos dobles).

18. HOMOLOGÍAHOMOLOGÍA
Coeficiente de homología
Es la razón doble que forman dos puntos homólogos A y A', el
centro O y el punto P de intersección de la recta AA' con el eje e.
k = (OPAA´) =
(OAA')
(PAA')
=
OA/OA´
PA/lPA'
El valor de K nos lo pueden dar como un nº, ejemplo 0,5, o
una fracción, ejemplo: 1/2

19. EjercicioEjercicio
Hallar el homólogo B' de B , conociendo el centro O, el eje e y un par de puntos
homólogos A y A'.
1 Se unen los puntos A y B
mediante la recta r que
corta al eje en el punto C-C'.
2 El punto C-C' se une con
el punto A' mediante la
recta r', homóloga de la recta
r.
3 Se une el centro O con el
punto a hasta cortar a la
recta r' en el punto B'
solución.

20. RECTAS LÍMITERECTAS LÍMITE
Es el lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos están en el infinito.
Son dos: I y I´, paralelas al eje.
r´
r
e
O
r´
r
e
K
O
J´
Ejercicio
Dadas dos rectas homólogas r y r', el
centro O y el eje e, hallar las rectas
límites:
1 Por el centro de homología O se
traza la paralela a la recta r hasta
cortar a la otra recta (en el punto K´.
2 Por K´ se traza la recta límite I´
paralela al eje.
3 Por el centro de homología O se
traza la paralela a la recta r hasta
cortar a la otra recta r' en el punto J.
4 Por J se traza la recta límite l
paralela al eje.
Al punto K se le denomina punto límite

21. Transformaciones geométricas
Rectas límite
Definición
Es el lugar geométrico de los puntos
cuyos homólogos están en el infinito
- Recta límite l’: Por O se traza la paralela
a r hasta cortar a r’
- Recta límite l: Por O se traza la paralela
a r’ hasta cortar a r
Si no se ve bien en la anterior diapositiva, aquí te
muestro el mismo trazado de manera más clara

22. a) Propiedades de las rectas límitesa) Propiedades de las rectas límites
e
O
P
i
e
O
r s
P
i
Todas las rectas
que se cortan en
un mismo punto P
de la recta límite)
tienen sus
homólogas .
paralelas a OPP.

23. b) Propiedades de las rectas límitesb) Propiedades de las rectas límites
1. La distancia de una de
las rectas límite al
centro de homología
es la misma que hay
desde la otra recta
límite al eje de
homología.
2. Las rectas límite están
siempre entre el
centro O y el eje e , o
bien fuera de ellos.

24. Determinación de una homologíaDeterminación de una homología
Una homología queda determinada conociendo los siguientes
datos:
A´
e
O
A
r
r´
O
s´
s
A´
A
d-d´
B'
B
e
O IO I
B'
B
O
I´
I
•a) El eje, el centro y un par de
puntos homólogos.
•b) El centro y dos pares de rectas
homólogas.
•c) Un punto doble y dos pares de
puntos homólogos.
• d) El centro, el eje y una recta
límite.
•e) El centro, una recta límite y dos
puntos homólogos.
•f) El centro, el eje y el coeficiente
de homología.(X)
•g) El centro y las dos rectas
límite.
•h) Dos figuras homólogas.

25. EJERCÍCIOSEJERCÍCIOS

26. Hallar el homólogoHallar el homólogo AA'' de un puntode un punto AA conociendo el centro deconociendo el centro de
homologíahomología OO,, el ejeel eje ee y la recta límitey la recta límite ll
•1 Se traza una recta r
cualquiera que pase
por A;
•dicha recta corta al
eje en P ya la recta
límite en K.
•2 Se une el centro O
con K y por el punto P
se traza la paralela r'
(homóloga de r) a OK.
•3 Donde la recta OA
corta a r' se obtiene el
punto A'.

27. Construir la figura homóloga del polígonoConstruir la figura homóloga del polígono ABCDEABCDE conociendo el centroconociendo el centro
OO, el eje, el eje ee y un puntoy un punto AA'.'.
•1 Aplicando el
procedimiento general,
se une el punto A con
cualquier otro, el B por
ejemplo, hasta cortar al
eje en el punto M.
•2 El punto M se une con
A' mediante una recta
que corta al rayo OB en
el punto B'.
•3 Se une el punto C con
el punto B, o con
cualquier otro del que ya
se conozca su
homólogo, y se siguen
las mismas operaciones
anteriores hasta
determinar los
homólogos de todos los
vértices.

28. Hallar el homólogoHallar el homólogo B'B' de un puntode un punto BB conociendo el centroconociendo el centro OO,, el ejeel eje ee yy un par de puntosun par de puntos
homólogoshomólogos AA yy A'A' alineados conalineados con BB..
•1 Se elige un punto C, arbitrario, y se une con A mediante la recta r que corta al eje en R.
•2 Se une R con A' mediante la recta r' (homóloga de r).
•3 Se traza la recta que une el centro O con el punto C hasta cortar a r' en C´.
•4 Se une C con
B hasta cortar al
eje en S.
•5 Se traza la
recta s'
(homóloga de s)
uniendo S y C'.
•6 Donde la recta
s' corta a la recta
OB se obtiene el
punto B' buscado

29. Cónicas homológicas de una circunferenciaCónicas homológicas de una circunferencia
•La recta límite es
secante: la figura
es una hipérbola.
•La figura homológica de una circunferencia es una cónica que depende de la posición relativa de la
circunferencia y su recta límite:
•La recta límite es
exterior: la figura
es una elipse.
La recta límite es
tangente: la figura
es una parábola.

30. Propiedades
•- La tangente común
a una cónica y a su
homóloga pasa por el
vértice de homología.
•- Si dos cónicas
homológicas se
cortan, la recta que
une los puntos de
intersección es el eje
de homología y si son
tangentes, la
tangente común es el
eje.
•- El centro de una
cónica se transforma
en el polo de la recta
límite respecto de la
figura homológica.
Cónicas homológicas de una circunferenciaCónicas homológicas de una circunferencia

31. ELIPSE HOMOLÓGICA DE LA CIRCUNFERENCIAELIPSE HOMOLÓGICA DE LA CIRCUNFERENCIA
Sea la circunferencia de centro O, un eje e, la recta límite I y el vértice V :
V
I
O
e
V
I
O
M
C
D
e
V
I
O
M
A
B
C
D
N
e
V
I
O
M
A
B
C
D
N
e
V
I
O
M
A
B
C
D
P
N
e
V
I
O
M
A
B
C
D
P
N
e
V
I
O
M
A
B
C
D
P
P´
N
e
V
I
O
M
A
B
C
D
P
P´
N
e
V
I
O
M
A
B
C
D
P
P´
C´
A´
D´
N
e
V
I
O
M
A
B
C
D
P
P´
H
r
C´
A´
D´
N
e
V
I
O
M
A
B
C
D
P
P´
H
G
r
C´
A´
D´
N
e
V
I
O
M
A
B
C
D
P
P´
H
G
r
r´
C´
A´
D´
N
e
V
I
O
M
A
B
C
D
P
P´
H
G
r
r´
H´
C´
A´
G´
D´
N
e
V
I
O
M
A
B
C
D
P
P´
H
G
r
r´
H´
C´
A´
G´
D´
N
E-E`
e
•2 Se unen los puntos C y
D hasta cortar a la recta
límite en N y desde este
punto se trazan dos
tangentes cuyos puntos de
tangencia son A y B.
•3 Se unen los puntos A y
B. La intersección P de las
rectas AB y CD es el polo
P
+ DETALLE
Determinación del polo
1 Se elige un punto arbitrario M de la
recta límite I y se trazan las
tangentes a la circunferencia, cuyos
puntos de tangencia son C y D.

32. DETALLEDETALLE
VOLVER

33. Transformaciones geométricas
Elipse homológica de una circunferencia
1. Desde un punto M de la recta límite
hallamos los puntos de tangencia C y D
que unidos cortan a l en el punto N
2. Desde N se trazan tangentes,
obteniendo A y B. El punto donde se
cortan AB y CD es el polo P de la recta
límite
3. Se hallan los homólogos de dichos
segmentos, que son los diámetros
conjugados de la elipse homóloga
Datos: Circunferencia, eje e, recta
límite L y vértice V
A'
b'
H'
a'
F-F'E-E'
B'
r'
D'
C'G'
P'
a
b
r
H
G
B
A
P
M
D
C
e
V
lN
Repetimos el ejercicio con
menos texto y mejor imagen

34. Transformación homológica de un cuadrilátero cualquiera en un cuadradoTransformación homológica de un cuadrilátero cualquiera en un cuadrado
A
D
B
C
A
D
B
C da RL
A
D
B
C da RL
A
D
B
C da RL
A
D
B
C db a
c
RL
A
D
B
C db a
c
RL
A
D
B
C db a
c
O
RL
A
D
B
C db a
c
O
E
RL
A
D
B
C db a
c
O
E
RL
A
D
B
C db a
c
O
E
Sea cuadrilátero
ABCD.
Hemos de
determinar la
posición del centro
de homología y de
la recta límite del
polígono dado,
situados de modo
que en la
transformación nos
resulte un cuadrado.
Recordemos q los
lados opuestos un
cuadrado son
paralelos, luego se
cortan en un punto
impropio.;. de aquí
que los lados opuesto
del polígono dado han
de cortarse en la recta
límite.. Para obtener
la recta límite basta,
por tanto, obtener las
intersecciones de A D
con B C y de A B con
DC, las cuales
determinan loS puntos
a y d, que definen a
RL
EL centro de homología ha
de ser un punto desde el
cual se vean los lados y las
diagonales-formando
respectivamente ángulos
rectos, puesto que en el
cuadrado así se verifica,
luego tomando como
diámetro el segmento ad
tracemos una
semicircunferencia, lugar
geométrico del ángulo de
90º, y con los puntos b y c,
donde es cortada RL por las
diagonales, procedamos de
igual modo, tomando el
segmento BC como diámetro
también. EL punto O, común
a ambas, es el punto
buscado, centro de la
homología. Los segmentos
Oa y Od nos marcan las
direcciones de los lados del
cuadrado y los segmentos O
c y O b de las diagonales.
Tracemos en
cualquier posición
paralelamente a R L
el eje de homología
y obtengamos los
vértices A', B', C' y
D', homólogos de A,
B, C y D según los
procedimientos
conocidos. La
posición del eje
interviene
solamente en la
magnitud del
cuadrado obtenido,
mayor cuanto más
alejado se tome del
centro de homología

35. AFINIDADAFINIDAD
La afinidad es una
homología de centro
impropio, es decir, que
está en el infinito.
DIFERENCIA
TRIDIMENSIONAL
ENTRE LA
HOMOLOGÍA Y LA
AFINIDAD

36. Transformaciones geométricas
Afinidad
Definición
Es una transformación geométrica que
cumple las siguientes leyes:
- Dos puntos afines están en una paralela
a la dirección de afinidad
- Dos rectas afines siempre se cortan en
una recta fija (eje de afinidad)
En la afinidad no existen rectas límite.
Si el coeficiente de afinidad es positivo, los dos puntos A y A'
están al mismo lado del eje, y si es negativo están a distinto
lado.

37. Transformaciones geométricas
Ejercicio Hallar B’
1. Se une A y B mediante la recta r
2. Se une C-C’ con A’ mediante r’
3. Por B se traza la paralela a d
Hallar el afín B' de un punto B , conociendo la dirección de afinidad d, el eje e
y un par de puntos afines A y A‘:

38. CONSTRUCCiÓN DE FIGURAS AFINESCONSTRUCCiÓN DE FIGURAS AFINES
Una afinidad queda determinada conociendo los
siguientes datos:
a) El eje y dos puntos afines.
b) La dirección de afinidad y el
coeficiente.
c) Dos figuras afines.
No es necesario dibujarlo de momento

39. Transformaciones geométricas
Figuras afines
Ejercicio Hallar B’
1. Se traza una recta r por el punto A
2. Se une R con A’ mediante r’
3. Por un punto C se traza la paralela a d
Ejercicio Hallar A’B’C’D’E’
1. Se une A y B hasta cortar al eje
2. Se une M con A’
3. Por B se traza la paralela a d
4. Se repite la operación con el resto de
puntos
4. Se une B con C hasta cortar al eje
5. Se une S con C’ mediante s’
Construir la figura afín del polígono ABCDE
conociendo la dirección d de afinidad, el eje e y un
punto afín A'.
Hallar el afín B' de un punto B , conociendo la
dirección de afinidad d, el eje e y un par de puntos
afines A y A' alineados con B.

40. Circunferencia y elipse de diámetro común.Circunferencia y elipse de diámetro común.
Dada la circunferencia de diámetroDada la circunferencia de diámetro AB-A'B'AB-A'B' y un par de puntos afinesy un par de puntos afines C-C´C-C´ ::
C
C´
A-A´
B-B´
C
C´
A-A´
B-B´
C
C´
A-A´
B-B´M
C
C´
A-A´
B-B´M
N
E´
E
C
C´
A-A´
B-B´M
N
E´
E
C
C´
A-A´
B-B´M
N
E´
E
1 Eje de afinidad. Es el diámetro común AB-A'B' de ambas cónicas.
2 Dirección de afinidad. Es la recta C-C´.

41. Transformaciones geométricas
Homotecia
Definición
Es una transformación geométrica que
cumple las siguientes leyes:
- Dos puntos homotéticos están
alineados con un punto fijo (centro de
homotecia)
- Dos rectas homotéticas son paralelas

42. Transformaciones geométricas
Simetría central
Definición
Es una transformación geométrica que
cumple las siguientes leyes:
- Dos puntos simétricos están alineados
con un punto fijo (centro de simetría)
Ejercicio Hallar A’B’C’D’E’
1. Se une A con O y se lleva OA’ = OA
2. Se repite la operación con el resto de
puntos
- Los puntos simétricos están a distinto
lado del centro y a la misma distancia

43. Transformaciones geométricas
Simetría axial
Definición
Es una transformación geométrica que
cumple las siguientes leyes:
- La recta que une dos puntos simétricos
es perpendicular a una recta fija (eje de
simetría)
Ejercicio Hallar A’B’C’D’E’
1. Por A se traza la perpendicular al eje y
se lleva AA0 = A0A’
2. Se repite la operación con el resto de
puntos
- Los puntos simétricos están a distinto
lado del eje y a la misma distancia

44. Transformaciones geométricas
Traslación
Definición
Leyes de la transformación geométrica
Traslación :
- La recta que une dos puntos homólogos
es paralela a una dirección
- Dos rectas homólogas son paralelas
Ejercicio
Trazar el triángulo ABC situando un
vértice en cada una de las rectas dadas
1. Desde un punto cualquiera A se traza
un arco de radio AB que corta a s en el
punto B
2. Hallar C en la intersección de dos arcos.
Uno de centro A y radio AC y el otro de
centro B y radio BC
B
A C
A A'
C
B'
C'
r
s
t
A B
B C
3. Trasladar el triángulo ABC en dirección
r-s hasta que C coincida en la recta t

45. Transformaciones geométricas
Giro
Definición
Es una transformación geométrica que
cumple las siguientes leyes:
- La distancia de dos puntos homólogos a
un punto fijo es constante
- El ángulo que forman las rectas que
unen dos puntos homólogos con el centro
es constante
Ejercicio
Girar la recta r un ángulo f respecto a O
1. Trazar una perpendicular a r por el
punto O obteniendo A como intersección
2. Con centro O giramos el punto A un
ángulo f hasta A’O
B'
A
A'
r'
r B
3. Se traza por A’ la recta girada r’ que es
perpendicular a OA. Comprobamos con B