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Lugares geométricos. Cónicas




 Actividad realizada por ADIL ZIANI
 (Matemáticas I, 1º Bach CCNN-Tecnol)
Una superficie cónica se obtiene al girar una
recta g ( generatriz) alrededor de otra recta e
(eje), a la que corta en un punto V (vértice)
Se denomina sección cónica a la curva
intersección de un cono con un plano que
no pasa por su vértice. Las superficies
cónicas pueden ser de distinto tipo
dependiendo de la inclinación del plano
“que corta a la superficie cónica”, por
ejemplo: circunferencia, elipse, parábola o
hipérbola.
1. Elipse

 Elipse, una de las cónicas. Se trata de una curva cerrada que se obtiene al cortar
 una superficie cónica de eje e y ángulo α mediante un plano, que no pasa por el
 vértice y que corta a “e” bajo un ángulo β mayor que α, pero menor de 90º
 (α < β < 90º).
                                            En la elipse se cumple que la suma de
                                            las distancias de cualquier punto
                                            perteneciente a la elipse a unos
                                            puntos fijos (focos), es constante.




                                                    d(P,F)+d(P,F’)=k
                                                    d1 + d2 = k.
Demostración gráfica de que d(P,F)+d(P,F’)=k
Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:

• Eje focal: recta que contiene a los focos
• A,A’,B y B’ son los vértices de la elipse
• El segmento AA’ es el eje mayor
• El segmento BB’ es el eje menor
• El punto O es el centro.
                          .d(F,F’)=2c
                          .d(A,A’)=2a
                          .d(B,B’)=2b

  Propiedades de la elipse:
  Prop 1: Si cogemos el vértice A como un punto perteneciente a la elipse, entones se
  cumple que:     d(A,F)+d(A,F’)=k  d(A,F)+d(A,F’)= d(A,A’)=2a
  Entonces obtenemos que
                               k=2a
  Prop 2: También podemos hacer lo mismo con el vértice B, entonces:
            d(B,F)+d(B,F’)=k  d(B,F)+d(B,F’)=2a
  Como d(B,F)=d(B,F’); obtenemos que: d(B,F)=a , d(B,F’)=a
  Así obtenemos una propiedad fundamental de la elipse y es:
                                                                        a2 = b2 + c2
ECUACIÓN DE LA ELIPSE (Centro (0,0) :
                                       d ( P, F ) d ( P, F ' ) k
             d ( P, F )   PF
P ( x, y )
F (c,0)      d ( P, F ' ) PF '              ( x c) 2     y2        ( x c) 2    y2   2a
F ' ( c,0)   k 2a ( prop 1)
             a2    b 2 c 2 ( prop 2)
                                 desarrollando la ecuación......

                                                        b2 x2      a2 y2   a 2b 2
                                                       dividiendo por a 2b 2 :


                                                              x2      y2
                                                                              1
                                                              a2      b2

                                               Ecuación de la elipse
Desarrollo de la ecuación
Excentricidad de la elipse:
  e = c/a ; si fijamos los vértices A y A’, es decir, fijamos la coordenada “a”, cuando la
excentricidad se acerca a 1, eso quiere decir, que su gráfica es más cerrada porque los
focos están más separados, y si el valor de la excentricidad se acerca al 0, eso quiere
decir, que la gráfica de la elipse irá tomando forma de una circunferencia dado que los
focos están menos separados.
2. Hipérbola
    Se trata de una curva abierta, formada por dos ramas, que se obtiene al
    cortar una superficie cónica de eje e y ángulo α mediante un plano que
    no pasa por el vértice y que corta a e con un ángulo β menor que α.
                                 La hipérbola se define como un lugar geométrico de
                                 los puntos del plano cuya diferencia de distancias a
                                 dos puntos fijos llamados focos es constante.
                                  |d(P,F)-d(P,F’)|=k


                                    Elementos de la hipérbola:
                                    Vértices: A y A’ A(a,0); A’(-a,0)
                                    Covértices: B y B’ B(0,b); B’(0,-b)
                                     Eje transversal: recta que contiene los focos
                                    Eje conjugado: recta que contiene a los
                                    covértices
                                    Centro: intersección de los ejes transversal y
                                    conjugado
                                    Asíntotas: recta a las que la curva se acerca
                                    cada vez más en los extremos sin tener
                                    intersección.
Propiedades de la hipérbola:
Si cogemos el vértice A como un punto perteneciente a la hipérbola, entonces se
cumple que: |d(A,F)-d(A,F’)|=k
d(A,F’)-d(A,F)=k  d(A,F’)-d(A,F)=d(A,A’)
d(A,F’)-d(A,F)=2a, Entonces llegamos a la
conclusión de que k=2a
Otra propiedad de la hipérbola es la
siguiente: si trazamos una circunferencia
de centro “a” y radio “c”, obtenemos los
covértices B y B’, y obtenemos que:
 b2 = c2 – a2
ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA (Centro(0,0)):

                                      d ( P, F ) d ( P, F ' )     k

P ( x, y )
              d ( P, F )   PF
F (c,0)
F ' ( c,0)    d ( P, F ' ) PF '                ( x c) 2    y2         ( x c) 2   y2   2a
              k 2a ( prop 1)
              b2    a 2 c 2 ( prop 2)
                                  desarrollando la ecuación......

                                                  b2 x2 a 2 y 2       a 2b 2
                                                dividiendo por a 2b 2 :

                                                    x2          y2
                                                                        1
                                                    a2          b2

                                        Ecuación de la hipérbola
Desarrollo de la ecuación
Excentricidad de la hipérbola:
e = c/a ; en la excentricidad de una hipérbola, “c” es siempre mayor que “a” y por tanto
  e > 1.
  Cuando el valor de “e” se acerca al 1 eso quiere decir que su gráfica es muy cerrada y
  cuando el valor de “e” se aleja del 1, su gráfica se hace más abierta
3. Circunferencia
Circunferencia, en geometría, curva plana cerrada en la que cada uno de sus
puntos equidista de un punto fijo, llamado centro.
                                 d(P,C)=r
donde P, es un punto cualesquiera perteneciente a la circunferencia
C, es el centro de la circunferencia
r, es el radio de la circunferencia.       Elementos de la circunferencia
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA ( C(a , b)) :

                                           d ( P, C ) r
P ( x, y )
                            d ( P, C )   ( x a ) 2 ( y b) 2   r
C ( a, b)
                              desarrollando la ecuación......

                                 x 2 a 2 2ax y 2 b 2 2by          r2
                       llamando: A       2a, B     2b, C      a 2 b2 r 2


                                 x2 y 2 Ax By C 0

                                   Ecuación general de la
                                       circunferencia
Desarrollo de la ecuación
4. Parábola:
Una de las cónicas. Se trata de una curva plana, abierta, que se obtiene al cortar una
superficie cónica de eje e y ángulo α mediante un plano P que no pasa por el vértice y que
corta a e bajo el mismo ángulo α.
                                      La parábola es el lugar geométrico de los puntos
                                      del plano que equidistan de un punto fijo
                                      llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
                                                         d(P,F)=d(P,s)




                                           Elementos de la parábola
                                           La directriz que es la recta s.
                                           El vértice V.
                                           El foco F.
                                           Se llama eje de la parábola a la recta
                                           perpendicular al eje que pasa por el foco.
                                           La distancia entre el foco y la directriz es el
                                           parámetro p
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA (Vértice (0,0)):

                                                         d ( P, F ) d ( P, s)

P ( x, y )
                        d ( P, F )   PF       ( x c) 2     y2
       p                                                                                  p
F 0,                                      p                           ( x c) 2   y2   y
       2                d ( P, s )   y                                                    2
                                          2
                                          desarrollando la ecuación......

                                                                x2   py    py


                                                                x2     2 py

                                                Ecuación de la parábola
Desarrollo de la ecuación

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Cónicas geométricas

  • 1. Lugares geométricos. Cónicas Actividad realizada por ADIL ZIANI (Matemáticas I, 1º Bach CCNN-Tecnol)
  • 2. Una superficie cónica se obtiene al girar una recta g ( generatriz) alrededor de otra recta e (eje), a la que corta en un punto V (vértice) Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Las superficies cónicas pueden ser de distinto tipo dependiendo de la inclinación del plano “que corta a la superficie cónica”, por ejemplo: circunferencia, elipse, parábola o hipérbola.
  • 3. 1. Elipse Elipse, una de las cónicas. Se trata de una curva cerrada que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo α mediante un plano, que no pasa por el vértice y que corta a “e” bajo un ángulo β mayor que α, pero menor de 90º (α < β < 90º). En la elipse se cumple que la suma de las distancias de cualquier punto perteneciente a la elipse a unos puntos fijos (focos), es constante. d(P,F)+d(P,F’)=k d1 + d2 = k.
  • 4. Demostración gráfica de que d(P,F)+d(P,F’)=k
  • 5. Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos: • Eje focal: recta que contiene a los focos • A,A’,B y B’ son los vértices de la elipse • El segmento AA’ es el eje mayor • El segmento BB’ es el eje menor • El punto O es el centro. .d(F,F’)=2c .d(A,A’)=2a .d(B,B’)=2b Propiedades de la elipse: Prop 1: Si cogemos el vértice A como un punto perteneciente a la elipse, entones se cumple que: d(A,F)+d(A,F’)=k  d(A,F)+d(A,F’)= d(A,A’)=2a Entonces obtenemos que k=2a Prop 2: También podemos hacer lo mismo con el vértice B, entonces: d(B,F)+d(B,F’)=k  d(B,F)+d(B,F’)=2a Como d(B,F)=d(B,F’); obtenemos que: d(B,F)=a , d(B,F’)=a Así obtenemos una propiedad fundamental de la elipse y es:  a2 = b2 + c2
  • 6. ECUACIÓN DE LA ELIPSE (Centro (0,0) : d ( P, F ) d ( P, F ' ) k d ( P, F ) PF P ( x, y ) F (c,0) d ( P, F ' ) PF ' ( x c) 2 y2 ( x c) 2 y2 2a F ' ( c,0) k 2a ( prop 1) a2 b 2 c 2 ( prop 2) desarrollando la ecuación...... b2 x2 a2 y2 a 2b 2 dividiendo por a 2b 2 : x2 y2 1 a2 b2 Ecuación de la elipse
  • 7. Desarrollo de la ecuación
  • 8. Excentricidad de la elipse: e = c/a ; si fijamos los vértices A y A’, es decir, fijamos la coordenada “a”, cuando la excentricidad se acerca a 1, eso quiere decir, que su gráfica es más cerrada porque los focos están más separados, y si el valor de la excentricidad se acerca al 0, eso quiere decir, que la gráfica de la elipse irá tomando forma de una circunferencia dado que los focos están menos separados.
  • 9. 2. Hipérbola Se trata de una curva abierta, formada por dos ramas, que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo α mediante un plano que no pasa por el vértice y que corta a e con un ángulo β menor que α. La hipérbola se define como un lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. |d(P,F)-d(P,F’)|=k Elementos de la hipérbola: Vértices: A y A’ A(a,0); A’(-a,0) Covértices: B y B’ B(0,b); B’(0,-b) Eje transversal: recta que contiene los focos Eje conjugado: recta que contiene a los covértices Centro: intersección de los ejes transversal y conjugado Asíntotas: recta a las que la curva se acerca cada vez más en los extremos sin tener intersección.
  • 10. Propiedades de la hipérbola: Si cogemos el vértice A como un punto perteneciente a la hipérbola, entonces se cumple que: |d(A,F)-d(A,F’)|=k d(A,F’)-d(A,F)=k  d(A,F’)-d(A,F)=d(A,A’) d(A,F’)-d(A,F)=2a, Entonces llegamos a la conclusión de que k=2a Otra propiedad de la hipérbola es la siguiente: si trazamos una circunferencia de centro “a” y radio “c”, obtenemos los covértices B y B’, y obtenemos que: b2 = c2 – a2
  • 11. ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA (Centro(0,0)): d ( P, F ) d ( P, F ' ) k P ( x, y ) d ( P, F ) PF F (c,0) F ' ( c,0) d ( P, F ' ) PF ' ( x c) 2 y2 ( x c) 2 y2 2a k 2a ( prop 1) b2 a 2 c 2 ( prop 2) desarrollando la ecuación...... b2 x2 a 2 y 2 a 2b 2 dividiendo por a 2b 2 : x2 y2 1 a2 b2 Ecuación de la hipérbola
  • 12. Desarrollo de la ecuación
  • 13. Excentricidad de la hipérbola: e = c/a ; en la excentricidad de una hipérbola, “c” es siempre mayor que “a” y por tanto e > 1. Cuando el valor de “e” se acerca al 1 eso quiere decir que su gráfica es muy cerrada y cuando el valor de “e” se aleja del 1, su gráfica se hace más abierta
  • 14. 3. Circunferencia Circunferencia, en geometría, curva plana cerrada en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto fijo, llamado centro. d(P,C)=r donde P, es un punto cualesquiera perteneciente a la circunferencia C, es el centro de la circunferencia r, es el radio de la circunferencia. Elementos de la circunferencia
  • 15. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA ( C(a , b)) : d ( P, C ) r P ( x, y ) d ( P, C ) ( x a ) 2 ( y b) 2 r C ( a, b) desarrollando la ecuación...... x 2 a 2 2ax y 2 b 2 2by r2 llamando: A 2a, B 2b, C a 2 b2 r 2 x2 y 2 Ax By C 0 Ecuación general de la circunferencia
  • 16. Desarrollo de la ecuación
  • 17. 4. Parábola: Una de las cónicas. Se trata de una curva plana, abierta, que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo α mediante un plano P que no pasa por el vértice y que corta a e bajo el mismo ángulo α. La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. d(P,F)=d(P,s) Elementos de la parábola La directriz que es la recta s. El vértice V. El foco F. Se llama eje de la parábola a la recta perpendicular al eje que pasa por el foco. La distancia entre el foco y la directriz es el parámetro p
  • 18. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA (Vértice (0,0)): d ( P, F ) d ( P, s) P ( x, y ) d ( P, F ) PF ( x c) 2 y2 p p F 0, p ( x c) 2 y2 y 2 d ( P, s ) y 2 2 desarrollando la ecuación...... x2 py py x2 2 py Ecuación de la parábola
  • 19. Desarrollo de la ecuación