Trabajo de aplicación sobre un modelo de estocástico desarrollado por Dante enriquez

1. Aplicación de un modelo estocástico en
un proceso de manufactura
TRABAJO DE APLICACIÓN 2013-I
INTEGRANTES:
CURSO:
MA147-XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
PROFESOR:
SECCIÓN:
S33A
2013

2. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
febrero de
2013
INDICE
1. GENERALIDADES DEL MODELADO
1.1 Distribuciones de probabilidad
1.1.1 Distribuciones continuas
1.1.2 Distribuciones discretas
2. LINEAS DE ESPERA
2.1 Objetivo
2.2 Estructura
2.3 Nomenclatura
2.4Clasificación Kendall y Lee
2.5Ecuaciones generales
2.6Procesos markovianos
3. MODELAMIENTO DE UN PROCESO DE MANUFACTURA
4. CONCLUSIONES
5. BIBLIOGRAFIA
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3. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
febrero de
2013
APLICACIÓN DE UN MÉTODO ESTOCASTICO EN UN PROCESO
DE MANUFACTURA
ANÁLISIS MODELOS ESTOCÁSTICOS
1. GENERALIDADES DEL MODELADO
1.1 Distribuciones de probabilidad
Al modelar un sistema se debe diferenciar entre dos tipos de datos: los primeros
permanecen sin cambio a través del tiempo y se conocen como” parámetros”: los
segundos presentan cambios a través del tiempo y se conocen como “variables”. Por
ejemplo, el modelado de un sistema mediante simulación es útil cuando la información
del sistema tiene carácter dinámico y probabilístico, debido principalmente a que la
interacción de esa información de, por lo general, difícil de analizar.
La variabilidad que presenta el segundo tipo de datos debe modelarse de acuerdo con
ciertas ecuaciones matemáticas que sean capaces de reproducirla: en la mayoría de
los casos de dicha variabilidad puede clasificarse dentro de alguna distribución de
probabilidad. Así pues, uno de los pasosmás importantes de todo el proceso de
modelado estocástico es la búsqueda de información y su análisis estadístico posterior
basado principalmente en la clasificación de cada serie de datos dentro de alguna
distribución de probabilidad. Algunas de las distribuciones más comunes se analizan a
continuación.
1.1.1 Distribuciones continuas
Este tipo de distribución se utiliza para modelar la aleatoriedad en aquellas actividades
o eventos en los cuales los valores de las variables pueden estar dentro de un rango
de valores de las variables pueden estar dentro de un rango de valores reales. A
continuación se describen algunas de las funciones continuas mas utilizadas.
1.1.1.1 Distribución Uniforme
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4. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
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Gráfica de la función de la densidad uniforme
1.1.1.2 Distribución Exponencial
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5. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
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Gráfica de la función de la densidad exponencial
1.1.1.3 Distribución Normal
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6. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
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Gráfica de la función de la densidad normal
1.1.2 Distribuciones discretas
Este tipo de distribución sirven para modelar la aleatoriedad de una variable que solo
puede tomar valores enteros. Las siguientes distribuciones son algunos de las mas
utilizadas en el modelado de sistemas estocásticos.
1.1.2.1 Distribución Bernoulli
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7. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
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Gráfica de la función de probabilidad Bernoulli
1.1.2.2 Distribución uniforme discreta
Gráfica de la función de probabilidad uniforme discreta
1.1.2.3 Distribución binomial
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8. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
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Gráfica de la función de probabilidad binomial
1.1.2.3 Distribución Poisson
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9. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
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Gráfica de la función de probabilidad Poisson
2. LINEAS DE ESPERA
Una línea de espera es el efecto resultante en un sistema cuando la demanda de un
servicio supera la capacidad de proporcionar dicho servicio. Este sistema está
formado por un conjunto de entidades en paralelo que proporcionan un servicio a las
transacciones que aleatoriamente entran al sistema. Dependiendo del sistema que se
trate, las entidades pueden ser cajeras, maquinas, semáforos, grúas, etc. Mientras
que las transacciones pueden ser: clientes, piezas, autos, barcos, etc. Tanto el tiempo
de servicio como las entradas al sistema son fenómenos que generalmente tiene
asociadas fuentes de variación que se encuentran fuera del control del tomador de
decisiones, de tal forma que se hace necesaria la utilización de modelos estocásticos
que permitan es estudio de este tipo de sistemas.
Una línea de espera puede modelarse como un proceso estocástico en el cual la
variable aleatoria se define como el número de transacciones en el sistema en un
momento dado; el conjunto de valores que puede tomar dicha variable es (0, 1, 2,
3…N) y cada uno de ellos tiene la probabilidad de ocurrencia (P1,P2,P3,…,PN)
2.1 Objetivo
En las líneas de espera, existen dos costos perfectamente identificados: el costo de
las transacciones, que representa la cuantificación monetaria de la pérdida de tiempo
al esperar recibir un servicio o la pérdida de clientes por abandono del sistema, y el
costo de proporcionar el servicio, que representa la cantidad de dinero que hay que
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10. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
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pagar por cuestión de sueldos y salarios, energía, mantenimiento y depreciación del
personal o equipo.
De tal forma que en un estudio de líneas de espera el objetivo es determinar qué nivel
de servicio, ya sea por cantidad de entidades o por la velocidad de ellas, proporcionar
para minimizar el costo total del sistema. Este costo está formado tanto por costo de
servicio como por el que causa la espera. Matemáticamente podemos representarlo
de la siguiente forma:
S.a.
Donde:
S: Número de entidades que proporcionan servicio.
E (t): Tiempo promedio de servicio.
Lq: Número de transacciones en espera.
Ce: Costo de servicio por entidad-tiempo.
Cq: Costo de espera por transacción-tiempo
Ct: Costo total por unidad de tiempo.
Estos conceptos se pueden representar gráficamente de acuerdo con el esquema
mostrado en la figura:
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11. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
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Esquema de optimización de una línea de espera.
2.2 Estructura
Un sistema de espera se representa mediante la llegada de transacciones a un
sistema con el fin de recibir un servicio por cualquiera de una o más entidades
dispuestas para ello, conocidos como servidores. En caso de que todas las entidades
se encuentren ocupadas, la transacción permanece en espera en la fila hasta que
decide abandonar la fila sin ser atendido o bien, es seleccionado de acuerdo con
cierta regla para recibir atención. Una vez que el servicio ha sido completamente
proporcionado, la transacción sale del sistema y se convierte de nuevo en una
transacción potencial.
2.2.1 Servidores
Representan al mecanismo por el cual las transacciones reciben de una manera
completa el servicio deseado. Estas entidades se encuentran dispuestas en forma
paralela a la fila, de tal manera que las transaccionespueden seleccionar a cualquiera
de ellas para el suministro de dicho servicio. Las dos características principales de los
servidores son: la cantidad asignada por cada fila existente en el sistema y la
distribución de probabilidad del tiempo de atención a las transacciones o de la
velocidad de servicio; dentro de las distribuciones más comunes están la exponencial,
la erlang, la hiperexponencial, la degenerada.
2.2.2Transacciones potenciales
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12. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
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Representan el número total de clientes que podrían requerir el servicio proporcionado
por el sistema y es necesario definir dos características para este conjunto de
elementos: la primera tiene que ver con el tamaño del conjunto potencial de clientes,
dando, en consecuencia, conjuntos limitados o finitos y en otros casos conjuntos
ilimitados o infinitos. La segunda característica se refiere a la distribución de
probabilidad del tiempo entre llegadas o bien a la tasa de entrada promedio. Es común
encontrarse la suposición de tasas de llegada que siguen un proceso poisson, el cual
ocurre cuando las llegadas a un sistema se llevan a cabo de forma aleatoria; es
importante hacer notar que una de las propiedades de esta distribución es su relación
con el tiempo entre llegadas consecutivas, que se representa en forma paralela, de
acuerdo con un proceso de tipo exponencial. Existen algunos sistemas donde la tasa
de llegadas se ve afectada por la decisión de una transacción de rehusar su entrada al
sistema por razones diversas, por ejemplo del tamaño de la fila.
2.2.3 Fila
Es el conjunto de transacciones que espera ser atendida por alguno de los servidores
del sistema. Una fila tiene tres características principales, la primera se refiere a la
capacidad, o sea, al número máximo de transacciones que pueden permanecer en
ella en un mismo instante y de acuerdo con este número se clasifican como finitas o
infinitas. Hay que hacer notar que en el caso de los modelos con tamaño finito, la
solución es mucho más fácil de encontrar a partir de las ecuaciones generales ya que
la solución del modelo se reduce a un sistema de ecuaciones simultaneas y a la
evaluación de las medidas de desempeño mediante promedios ponderados, mientras
que, en el caso de modelos de tipo ilimitado o infinito, es necesario recurrir a la
solución del sistema de ecuaciones así como a la evaluación de las medidas de
desempeño y a algunas series geométricas que dificultan en cierto grado el manejo
algebraico de la solución. La segunda característica es el orden en las transacciones
son extraídas de la fila para su atención, en ese caso podemos encontrar: primeras
llegadas, primeros servicios, por prioridad, aleatorio, etc. Y, por último, la forma de
salir de la fila, que puede darse mediante el proceso de servicio o bien, mediante el
abandono por factores como desesperación, hastío, etc.
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13. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
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Estructura general de un sistema de líneas de espera.
2.3 Nomenclatura
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14. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
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2.4 Clasificación de Kendall y Lee
En 1953 Kendall y Lee propusieron un sistema de clasificación de los sistemas de
líneas de espera, ampliamente utilizado en la actualidad. Esta clasificación considera
seis de las características mencionadas en la estructura de los modelos de líneas de
espera, expresándolas en el formato(a/b/c) (d/e/f) donde:
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15. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
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Respetando la clasificación anterior, es posible agrupar los diferentes modelos de la
forma mostrada en la figura, donde se separan principalmente los modelos
markovianos de los no markovianos. Los markovianos se dividen en modelos con
capacidad finita y modelos con capacidad infinita, los no makovianos a su vez, se
clasifican en modelos con tiempos entre llegadas exponenciales y tiempos de servicio
con cualquier función de probabilidad, y en modelos con tiempos entre llegadas de
servicio con cualquier tipo de distribución. Esta agrupación se realiza en función del
procedimiento matemático utilizado en la solución del modelo.
Agrupación de los modelos de acuerdo con el procedimiento matemático de solución.
2.5 Ecuaciones generales
Las medidas de desempeño con que trabajan en teoría de colas son principalmente
las siguientes:
2.5.1 Utilización del servicio
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16. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
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2.5.2 Tasa de entrada promedio
2.5.3 Numero promedio de clientes en el sistema
2.5.4 Numero promedio de clientes en la fila
2.5.5 Tiempo promedio de espera en el sistema
2.5.6 Tiempo promedio de espera en la fila
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17. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
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2.6 Procesos Markovianos
El proceso estocástico utilizado en la modelación de una línea de espera tiene la
propiedad markoviana, ya que la probabilidad condicional de llegar a un estado futuro
depende exclusivamente del estado actual en el que se encuentre el sistema, sin
importar el estado inicial de dicho sistema. Este conjunto de probabilidades
condicionales se conoce como probabilidades de transición de un paso y hay que
considerar que son estacionarios, o sea que no cambien con el tiempo. Estas
probabilidades se expresan como pij. Hay que recordar que en este caso, el estado se
define como número de transacciones dentro del sistema en un momento dado. La
tabla muestra la representación matricial del comportamiento de una línea de espera,
donde los índices de la primera columna representan el estado actual del sistema y los
del primer renglón los estados futuros, relacionados entre ellos por la probabilidad
condicional de que el sistema cambie del estado actual al estado futuro.
Las probabilidades condicionales de la matriz deben cumplir con:
Las probabilidadesde estado estacionario Pj representan el comportamiento
probabilístico de cada estado del sistema a largo plazo y se calculan a partir de
probabilidades de transición de un paso de acuerdo con ecuaciones siguientes:
Donde
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18. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
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Matriz de probabilidades de un paso
3. MODELAMIENTO DE UN PROCESO DE MANUFACTURA
Planteamiento del problema
A la siguiente red de manufactura de tipo taller de producción intermitente entran 2
piezas/h con distribución de Poisson. Después de la primera operación, las piezas se
distribuyen a las demás operaciones de acuerdo con las proporciones mostradas en el
diagrama.
Si el númerode operarios y la distribución de los tiempos de proceso son:
Determine:
a) El inventario promedio y la utilización de cada una de las estaciones.
b) La estación cuello de botella.
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19. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
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Nota: La distribución de probabilidad de las llegadas a taladrado y a escariado se
conserva como poisson, aunque con media más baja en cada una ya que el flujo
de 2 piezas/h se divide.
Desarrollo
Modelo de la estación fresado
Velocidad de entrada
Velocidad de salida
Diagrama
Modelo: (M/M/1):(FIFO/∞/∞)
El porcentaje de utilización
Inventario promedio en la fila
Modelo de la estación taladrado
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20. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
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Velocidad de entrada
Velocidad de salida
Diagrama
Modelo: (M/M/1):(FIFO/∞/∞)
El porcentaje de utilización
Inventario promedio en la fila
Modelo de la estación taladrado
Velocidad de entrada
Velocidad de salida
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21. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
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Diagrama
Modelo: (M/M/1):(FIFO/∞/∞)
El porcentaje de utilización
Inventario promedio en la fila
Del análisis de los modelos se puede ver que las estaciones donde se presenta cuellos
de botella son: Fresado y taladrado, por lo que habría que hacer un análisis económico
para ver es conveniente aumentar más operarios en estas estaciones.
4. CONCLUSIONES
Se ha desarrollado un modelo estocástico de líneas de espera o teoría de colas para
modelar un sistema de manufactura, y de esta manera determinar los cuellos de
botella de los procesos. También se ha entendido la importancia de los modelos de
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22. 18 de EEAPLICACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO EN UN PROCESO DE MANUFACTURA
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líneas de espera para análisis de los costos donde se observan los fenómenos donde
hay mayor demanda que la oferta de los servicios.
5. BIBLIOGRAFIA
-Eppen G. D, Gould. F.J, Schmidt C. P. Investigación de Operaciones.5°Edicion. Prentice
Hall. México 2000
-Hohammad R. Azarang, Eduardo Garcia Dunna. Modelos Estocásticos. 1°Edición. Mc
Graw Hill. México 1998
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