Este documento presenta la definición intuitiva de límites en cálculo diferencial e integral. Explica que un límite describe el comportamiento de una función cuando la variable independiente se acerca a un valor particular. Proporciona ejemplos de cómo calcular límites mediante tabulación de valores y simplificación de expresiones racionales en formas indeterminadas como 0/0. También cubre métodos para determinar límites a partir de gráficas de funciones.

1. Calculo Diferencial e
Integral I
Límites
Ciclo escolar 2015-2016

2. Definición intuitiva de límites
• Uno de los conceptos básicos del calculo es el de
límite de una función. La definición formal de
límite esta fuera del alcance de los objetivos para
un estudiante de bachillerato. Por esta razón es
mejor estudiar una definición de tipo intuitiva, y
ya en un curso mas avanzado estudiar de manera
formal los límites.
• Básicamente la definición intuitiva de límites
implica responder a la pregunta:
– Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) ¿Qué le pasa a 𝑦 cuando 𝑥 se acerca a 𝑥0?

3. Definición intuitiva de límites
• Ejemplo: Si 𝑦 =
𝑥2+3𝑥−4
𝑥2−𝑥
¿Qué le pasa a 𝑦 si 𝑥 se acerca a 1?
a) Para resolver este problema lo primero que hacemos es hacer
nuestra clásica tabulación de valores de 𝑥 y 𝑦, para cuando 𝑥
toma valores cercanos a 1, a saber si 𝑥 = 0.1, 0.9, 0.99, 0.999
b) Una vez que encontremos los valores de 𝑦, tendremos una
idea de lo que pasa. Pero esto solo nos dará la respuesta
cuando x toma valores menores que 1, y por esa razón
también necesitamos tomar valores para 𝑥 mayores que 1, es
decir 𝑥 = 2, 1.1, 1.01, 1.001 y juzgar si esto nos arroja el
mismo resultado
𝑥
0.1
0.9
0.99
0.999
𝑥
2
1.1
1.01
1.001
𝑦 𝑦

4. Definición intuitiva de límites
• Ejemplo: Si 𝑦 =
𝑥2+3𝑥−4
𝑥2−𝑥
¿Qué le pasa a 𝑦 si 𝑥 se acerca a 1?
c) Observemos que el valor de 𝑦 de acerca a 5 por ambos lados,
por lo que la respuesta seria la siguiente
Respuesta: El valor de 𝑦 se acerca a 5
𝑥
0.1
0.9
0.99
0.999
𝑥
2
1.1
1.01
1.001
𝑦
41
5.44444
5.040404
5.004004
𝑦
3
4.636363
4.960396
4.996004

5. Definición intuitiva de límites
• Ciertamente esta definición esta lejos de
parecerse a la definición formal, pero al
menos da una idea de lo que uno debería de
entender cuando nos piden calcular un límite.
A continuación damos una notación que es la
mas utilizada en cuanto a resolver límites se
trata.

6. Definición intuitiva de límites
• Notación: A la expresión “Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) ¿Qué le
pasa a 𝑦 cuando 𝑥 se acerca a 𝑥0?” se le asigna la
siguiente notación.
lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥
Y se lee “El límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑥_0”
• Ejemplo:
lim
𝑥→1
𝑥2
+ 3𝑥 − 4
𝑥2 − 𝑥
= 5

7. Cálculo de límites en funciones
algebraicas
• Para calcular límites en funciones algebraicas se aplican
diversos métodos, pero en muchos casos podríamos
ahorrarnos muchos procesos innecesarios si intentamos
resolverlas en el orden siguiente
a) Si al sustituir el valor al cual tiende x obtengo una cantidad real,
entonces esa cantidad es el límite buscado.
b) Si al sustituir obtengo formas indeterminadas del tipo 0/0,
buscamos simplificar lo mas posible la expresión mediante
diferentes técnicas, y luego procedemos como en a). Las técnicas
mas comunes para este caso son
 Factorización
 Radicalización
 Uso de identidades diversas
 Otras
c) Si al sustituir obtenemos otras formas indeterminadas la
simplificación puede costar mas trabajo, y en algunos casos
podríamos llegar a la conclusión de que el límite pueda o no
existir. Dejaremos este tipo de límites para mas adelante

8. Formas indeterminadas del tipo 0/0:
Factorización.
• lim
𝑥→2
𝑥2−3𝑥+2
3𝑥−6
Como al sustituir obtenemos
una forma indeterminada del
tipo 0/0, usamos factorización
para simplificar la expresión y
luego sustituir nuevamente
lim
𝑥→2
𝑥2
− 3𝑥 + 2
3𝑥 − 6
= lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
3(𝑥 − 2)
= lim
𝑥→2
𝑥 + 1
3
=
2 + 1
3
=
3
3
= 1
• lim
𝑥→1
𝑥3−1
𝑥2−1
= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
= lim
𝑥→1
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑥 + 1
=
12 + 1 + 1
1 + 1
=
3
2

9. Formas indeterminadas del tipo 0/0:
Radicalización.
• lim
𝑥→3
22−2𝑥−4
𝑥−3
– Nuevamente primero
intentamos sustituir, pero
observamos que tenemos una
forma indeterminada del tipo
0/0, por lo que simplificamos la
expresión, esta vez usando
radicalización o también
llamado racionalización. Para
ello ocupamos la propiedad de
los productos de binomios
conjugados.
𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎2
− 𝑏2
lim
𝑥→3
22 − 2𝑥 − 4
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
22 − 2𝑥 − 4
𝑥 − 3
22 − 2𝑥 + 4
22 − 2𝑥 + 4
= lim
𝑥→3
22 − 2𝑥
2
− 4 2
(𝑥 − 3)( 22 − 2𝑥 + 4)
= lim
𝑥→3
22 − 2𝑥 − 16
(𝑥 − 3)( 22 − 2𝑥 + 4)
= lim
𝑥→3
6 − 2𝑥
(𝑥 − 3)( 22 − 2𝑥 + 4)
= lim
𝑥→3
−2(𝑥 − 3)
(𝑥 − 3)( 22 − 2𝑥 + 4)
= lim
𝑥→3
−2
22 − 2𝑥 + 4
=
−2
22 − 2 3 + 4
= −
2
8
= −
1
4

10. Otras formas indeterminadas en
funciones racionales
• La variedad de formas indeterminadas resulta
muy extensa, y los ejercicios asociados a estas
formas indeterminadas también. Trataremos
de reducir esta lista con el fin de no hacer muy
complicados los temas.
• Ejemplo: Realice la grafica, y use la definición
intuitiva de límite para calcular:
lim
𝑥→0
1
𝑥2 lim
𝑥→0
1
𝑥

11. Otras formas indeterminadas en
funciones racionales
•
𝑐
0
𝑐 ≠ 0
– El límite puede ser +∞, −∞, o puede no existir
• lim
𝑥→+∞
𝑥 𝑛
con 𝑛 un entero positivo
– el límite es +∞
• lim
𝑥→−∞
𝑥 𝑛
con 𝑛 un entero positivo
– Si n es par, el límite es +∞
– Si n es impar, el límite es −∞
•
𝑐
+∞
,
𝑐
−∞
𝑐 ≠ 0
– El límite es 0

12. Otras formas indeterminadas en
funciones racionales
• lim
𝑥→+∞
𝑝 𝑥 , lim
𝑥→−∞
𝑝 𝑥
con 𝑝 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
un polinomio no constante
– Calculamos el límite con respecto al termino principal
• lim
𝑥→+∞
𝑝 𝑥
𝑞 𝑥
, lim
𝑥→−∞
𝑝 𝑥
𝑞 𝑥
con 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) polinomio y 𝑞 𝑥 ≠ 0
– Se reduce la expresión, sustituyendo los términos principales de
cada uno de los polinomios y finalmente se calculan los límites.

13. Determinación de límites de una
función dada su grafica

14. a) b) c)
A partir de las graficas calcula los
límites que te piden
 
 
 
 
 xf
xf
xf
xf
xf
x
x
x
x
x
5
1
1
lim
lim
lim
lim
lim







 
 
 
 
 xf
xf
xf
xf
xf
x
x
x
x
x
0
2
2
lim
lim
lim
lim
lim







 
 
 
 
 xf
xf
xf
xf
xf
x
x
x
x
x
0
3
3
lim
lim
lim
lim
lim








15. Continuidad
• Definición: Una función es continua en 𝑥0 si se
cumplen las tres condiciones siguientes
– 𝑓 𝑥0 existe
– lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 existe
– lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0
• Una función es llamada continua en el
intervalo 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, si es continua para cada
valor 𝑥_0 en el mismo intervalo.

16. Continuidad
• Determina las discontinuidades de la funcion
cuya grafica es la siguiente.

17. Actividad
• Determina las discontinuidades de las
funciones cuyas graficas son las siguientes