Longitud de arco

2. DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DE LA LONGITUD DE
ARCO:
𝐿 =
𝑎
𝑏
1 + 𝑓´(𝑥 2 𝑑𝑥

3. ∆𝐿2 = ∆𝑥2 + ∆𝑦2
∆𝐿2
∆𝑥2
= 1 +
∆𝑦2
∆𝑥2
∆𝐿
∆𝑥
= 1 + (∆𝑦/∆𝑥 2
lim
∆𝑥→0
∆𝐿
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
1 + (∆𝑦/∆𝑥 2
𝑑𝐿
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
1 + lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
2

4. En función de x
En función de y
𝑑𝐿
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
1 + lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
2
𝑑𝐿
𝑑𝑥
= 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
𝑑𝐿 = 1 + 𝑓´ 𝑥 2 𝑑𝑥
L= 𝑎
𝑏
𝑑𝑙
L= 𝑎
𝑏
1 + 𝑓´ 𝑥 2 𝑑𝑥
L= 𝑐
𝑑
1 + 𝑓´ 𝑦 2 𝑑𝑦

5. EJERCICIO 1.-
DETERMINE LA LONGITUD DE LA
𝒚 =
𝟒 𝟐
𝟑
𝒙
𝟑
𝟐 − 𝟏 , 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏

6. FÓRMULA APLICAR:
𝐿 = 𝑎
𝑏
1 + 𝑓´(𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑎
𝑏
1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥

7. Solución: utilizamos la ecuación con a =0, b =1
𝑦 =
4 2
3
𝑥
3
2 − 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
4 2
3
.
3
2
𝑥
1
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2 2𝑥
1
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (2 2𝑥
1
2 2 = 8𝑥
𝐿 =
𝑎
𝑏
1 + 𝑓´(𝑥 2 𝑑𝑥

8. La longitud de la curva a lo largo de x=o hasta x=1 es
𝐿 =
0
1
1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
𝐿 =
0
1
1 + 8𝑥 𝑑𝑥
𝐿 =
2
3
.
1
8
(1 + 8𝑥
3
2]0
1
𝐿 =
13
6
≈ 2.17

9. EJERCICIO 2.-
HALLAR LA LONGITUD DEL ARCO DE LA CURVA Y=𝟑𝒙 𝟑/𝟐
DESDE
X=0 HASTA X=4
y=3𝑥3/2 ; (0,4)
L= 𝑎
𝑏
1 + 𝑓´ 𝑥 2 𝑑𝑥
f(x)= 3𝑥3/2
= 𝑓´ 𝑥 = 3(3/2) 𝑥
3
2
−1
𝑓´ 𝑥 = 9/2𝑥
1
24

10. L= 0
4
1 + (9/2𝑥
1
2 2 𝑑𝑥
L= 0
4
1 + 81/4𝑥𝑑𝑥
L= 0
4 4+81𝑥
4
𝑑𝑥
L=
1
2 0
4
4 + 81𝑥𝑑𝑥
1
2 0
4
4 + 81𝑥 1/2 𝑑𝑥

11. u= 4 + 81𝑥 ; du= 81dx; dx=
𝑑𝑢
81
L=
1
2 𝑎
𝑏
u1/2 𝑑𝑢
81
1
162
u3/2
3/2
] 𝑎
𝑏
2
3 ∗ 162
u3/2] 𝑎
𝑏
1
243
((4 + 81x 3/2]0
4
1
243
((4 + 81 ∗ 4
3
2 -
1
243
((4 + 81 ∗ 0
3
2
L= 24.44 - 0.03
L= 24.41

12. Ejercicio 3.-
UNA ELIPSE ESTÁ CARACTERIZADA POR SU SEMIEJE
MAYOR A Y SU SEMIEJE MENOR B.

13. La ecuación de una elipse es
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
La longitud de un pequeño arco de una curva es,
𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 = 1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2 𝑑𝑥
La longitud del perímetro de la elipse es cuatro veces la
longitud de la parte de la elipse comprendida en un
cuadrante.
𝐿 = 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥 = 4
0
𝑎
1 +
𝑏2 𝑥2
𝑎2 𝑎2 − 𝑥2
𝑑𝑥
=
4
𝑎 0
𝑎
𝑎4 − 𝑎2 𝑥2 + 𝑏2 𝑥2
𝑎2 − 𝑥2
𝑑𝑥

14. Haciendo el cambio de variable x=asenθ, dx=acosθ·dθ
𝐿 =
4
𝑎 0
𝑎
𝑎4 − 𝑎2 𝑎2 𝑠𝑖𝑛2∅ + 𝑏2 𝑎2 𝑠𝑖𝑛2∅
𝑎2 − 𝑎2 𝑠𝑖𝑛2∅
𝑎𝑐𝑜𝑠∅𝑑∅
𝐿 =
4
𝑎 0
𝑎
𝑎2 𝑎2 − 𝑠𝑖𝑛2∅ 𝑎2 − 𝑏2
𝑎2 𝑐𝑜𝑠2∅
𝑎𝑐𝑜𝑠∅𝑑∅
𝐿 =
4
𝑎 0
𝜋
2
𝑎4 − 𝑎2(𝑎2 − 𝑏2 𝑠𝑖𝑛2∅𝑑∅
= 4𝑎
0
𝜋
2
1 − 𝑒2 𝑠𝑖𝑛2∅𝑑∅

15. Donde e se denomina excentricidad de la elipse. A esta integral se la denomina integral
elíptica completa de segunda especie.
𝑒 =
𝑎2 − 𝑏2
𝑎
=
𝑐
𝑎
c es la semidistancia focal
Una fórmula aproximada de la longitud de la elipse es
𝐿 ≈ 𝜋 (3(𝑎 + 𝑏 − (3𝑎 + 𝑏 (𝑎 + 3𝑏