ensayo, aplicado a a la geometría euclidiana.

1. LA GEOMETRÍA LIBRE DE TODO DEFECTO
Ernesto Araujo Chavarro
Código: 1410070104
Ronald Pérez Perea
Código: 1410069927
Estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas y Física
Semestre II
Así como el misterio de la biología es la vida, el de la geometría es el espacio. El estudio de la
diversidad de vida en la Tierra ha llevado a entender nuestra evolución a través del tiempo, sin
embargo, el cómo se creó la vida sigue siendo motivo de discusión. Del mismo modo, el estudio
de las formas del espacio ha permitido comprender el lugar que ocupamos; no obstante, definir
qué es el espacio es motivo de discusión.
No es nuestro objetivo tratar de responder preguntas trascendentales, menos aún, es un intento de
comenzar a comprender el vasto conocimiento geométrico. En este sentido, como producto de las
reflexiones del espacio académico al que se ha llamado Geometrías, hemos querido ensayar a
partir de preguntarnos por qué hablar de geometría y no de geometrías. Declaramos, sin ningún
temor, que nuestros conocimientos son mínimos al respecto, pero nos hemos propuesto este reto
como pretexto para profundizar en el tema.
La base de nuestra hipótesis son las nociones comunes y postulados de Euclides, en especial, la
discusión histórica que se generó a partir del quinto postulado. Nuestra intención es analizar la
génesis de la geometría euclidiana y las no euclidianas. Sin duda, este camino nos llevará a
discutir sobre el concepto de verdad absoluta y relativa, para, finalmente, reafirmar nuestra
hipótesis: es posible definir una geometría. Como podrá notar el lector, nuestra defensa es el
carácter singular de la geometría, similar a lo que hizo Gerolamo Saccheri en su libro Euclides
libre de todo defecto y en donde se vislumbra el nacimiento de las geometrías no euclidianas.
De la geometría a lasgeometrías
Es sabido que antes de Euclides existía un variado conocimiento sobre geometría, pero fue éste
quien realizó un sistema geométrico consistente que ha perdurado por más de dos milenios. En su
libro Los Elementos logró fundamentar lo que hoy se conoce como geometría plana. Fue el
primer libro que habló de axiomas, proposiciones que se caracterizan por no necesitar
demostración, son evidentes; puntualmente, cuenta con definiciones, nociones comunes y
postulados. Pero el quinto postulado no parecía ser tan evidente. El malestar que generó este
postulado en diferentes épocas y matemáticos desencadenó en el surgimiento de otras dos
geometrías: la que publicaron Bolyai, Lobatchevski y la de Riemann. (Senior Martínez, 2001)

2. Dos geometrías más que son consistentes. ¿Cómo se da su surgimiento? Las dos niegan el quinto
postulado y, una de ellas, también el segundo. Es a partir de lo anterior que hoy se habla de la
geometría plana, hiperbólica y esférica. Veamos en detalle este surgimiento:
Euclides planteó los cinco postulados siguientes (además de las definiciones y nociones
comunes):
I. Dados dos puntos distintos se puede trazar una recta por ellos.
II. Una (fragmento de) línea recta se puede extender indefinidamente.
III. Dados dos puntos, se puede trazar una circunferencia con centro en uno y que contenga al
otro.
IV. Todos los ángulos rectos son iguales.
V. Si una recta corta a otras dos formando ángulos correspondientes internos que sumen
menos de dos ángulos rectos, estas dos rectas (extendidas indefinidamente) se cortan en
un punto que está del mismo lado donde los ángulos correspondientes suman menos de
dos rectos. (Aguilera, 2010, pág. 2)
El hecho de que el quinto postulado no fuera tan evidente hizo que ciertos matemáticos intentaran
eliminarlo, redefinirlo o demostrarlo a partir de los cuatro postulados restantes. La idea fue
reducir al absurdo cualquier alternativa que altera el postulado. No fue posible. De hecho,
actualmente conocemos el quinto postulado como: por un punto exterior a una recta solo puede
trazarse una paralela. ¿Qué pasó con las otras dos rectas y los ángulos interiores que suman
menos de dos rectos? Esperamos tener una respuesta elegante para cuando nuestros estudiantes
nos hagan la pregunta.
Volvamos a la idea de reducir al absurdo el quinto postulado. Hay dos alternativas, primero que
por un puntos exterior a una recta no pasa una paralela; segundo, por un punto exterior a una
recta pasan infinidad de paralelas. El resultado con la primera alternativa fue la geometría
esférica publicada por Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) y el resultado con la
segunda alternativa fue la geometría hiperbólica que publicaron Nicolai Lobatchevski (1792-
1856) y János Bolyai (1802-1860).
El problema: ¿los axiomas sonproducto de la razóno de la experiencia?
La idea de que los axiomas son verdades evidentes y no necesitan demostración creo la
representación social de verdad absoluta de los postulados. Immanuel Kant defendió esta postura
en su libro Crítica de la razón pura y actualmente es considerada como una falla de su teoría
(Guerrero Pino, 2005; Alvarez, 2004). El hecho de considerar que son verdades absolutas quiere
decir que no cambian, serán las mismas en el pasado, presente y futuro. Ahora supongamos que
los cinco postulados son las columnas que sostienen un edificio y el quinto es la columna más
importante. Luego alguien dice que esa quinta columna se puede quitar. A nuestro juicio,
consideramos que este fue el mal entendido al interpretar el quinto postulado. El quinto postulado
nunca se quitó, por el contrario, se fortaleció al negarlo y esto permitió comprender mejor el

3. edifico, ¿cuál edificio? En donde está la Tierra, el sistema solar, las galaxias; nos referimos al
cosmos.
¿Cuál de las geometrías es la verdadera? Las tres son consistentes y verdaderas. Lo son como
producto de la razón y la experiencia. Saber cuál es primera o si una es superior a la otra no es tan
importante, lo realmente interesante es lo que producen: conocimiento. Por ejemplo, vemos lo
que sucede cuando se aplican los conceptos geométricos en un análisis topográfico.
La geometría aplicada a la topografía
La palabra topografía se divide en dos términos que son topo (tierra) y (grafía), etimológicamente
viene a significar algo así como el gráfico de la tierra. Pero, puntualmente, se encargada de
identificar y delimitar las superficies terrestres. Es decir, establecer un orden territorial
satisfaciendo las necesidades que se presenten en determinada situación. La topografía se divide
en plana, geodésica, fotogramétrica. En esta ocasión nos enfocaremos en los levantamientos de
análisis topográficos planos.
La relación que existe entre la geometría y el análisis de determinada área terrestre es explícita.
Por ejemplo en las delimitaciones y linderos de los diferentes esquemas superficiales que se
necesitan analizar. Un punto clave que se debe tener claro es que la topografía está determinada
por la cartografía, ésta es la medular de la topografía ya que en ella está inmersa la geometría. Es
decir ahí es donde se muestra y queda plasmado la forma y el diseño del análisis topográfico.
Esto quiere decir que el trabajo realizado en campo abierto y en alguna área determinada, es
plasmado por medio de la cartografía.
Existen diferencias para analizar los levantamientos topográficos según la necesidad que puedan
presentar. Entre las diferencias está la manera como se toma la superficie terrestre. Para aplicar
conceptos geométricos euclídeos hay que tomar la superficie terrestre de manera plana; es decir,
que sea en extensiones terrestres muy pequeñas. En pocas palabras, todo levantamiento que se
efectué con los parámetros de la topografía plana se tomara la superficie terrestre plana. Por el
contrario, la topografía geodésica es la encargada de tomar y determinar extensiones de tierra
bastante grande y sus referencias de posicionamiento es de altitud y latitud, es decir, esta
topografía maneja y determina los levantamientos topográficos de manera esférica.
Una de las maneras en la cual se encuentra inmersa la geometría plana en la topografía es a la
hora de analizar planos en determinadas superficies. Estos levantamientos necesitan de los
deferentes objetos geométricos como son: rectas, puntos, ángulos; con estos elementos lo que se
hace es determinar poligonales según la delimitación del terreno que se esté midiendo, se
determina un punto de referencia para poder dividir el terreno en las líneas poligonales
necesarias. Esto ayuda a facilitar la medición del área o perímetro de los diferentes
levantamientos que se realicen.

4. La topografía plana mide de manera horizontal, es decir, todos aquellos levantamientos que de
alguna manera se realizan en determinadas áreas, siempre su referencia va ser de manera plana,
unos de los más particulares es al realizar edificaciones, hacer linderos de las fincas, etc. Se
puede apreciar que la topografía plana está de manera muy clara y demostrativa, que sin
necesidad de tener muchos conceptos geométricos podemos notarlo rápidamente.
Por ejemplo, un particular caso es a la hora de delimitar una parcela, la cual por reconocimiento
del terreno sacamos como conclusión que es paralelogramo. Entonces en este particular caso lo
que necesitamos es saber el área de ese respectivo terreno, para saber su cantidad de tierra y
linderos en particular. Lo que se hace principalmente es la triangulación, se hace a partir de
diagonales trazadas de sus vértices respectivos, formando polígonos triangulares. Esto se puede
calcular aritméticamente con la ley de seno y coseno, teorema de Pitágoras, que el momento no
los vamos a calcular, el objetivo es que se pueda apreciar la triangulación que se presenta en
determinada área o campo terrestre. Es de esta manera se puede aplicar la geometría en
determinada área según la topografía plana.
De manera que poligometrizar es una de los elementos claves a la hora de efectuar los
levantamientos y análisis topográficos planos. La topografía no se puede aplicar a los diferentes
análisis si no se utilizara la geometría. De alguna manera tiene que verse involucrada, pero si
esta no se hace así es posible encontrarnos con dificulta a la hora de realizar un análisis
topográfico. Por consiguiente, la geometría euclidiana juega un papel muy importante, por
ejemplo, en procesos de urbanización.
“La poligonometria es el método de densificación más empleado en la topografía”. (Batista –
Legra & Belete – Fuentes, 2013, pág. 58). De esta manera se puede apreciar que la poligometría
es el medio por el cual la topografía puede basarse y tener un manejo de sus actividades de
análisis topográfico, además ayuda a la manera de poder mirar de una forma muy sencilla y así
poder apreciar y garantizar que los trabajos a base de los polígonos se realicen. En este caso lo
que le ayuda es a la pluralidad y la variedad de levantamiento y análisis en diferentes situaciones
en donde se emplean y se establecen las diferentes estrategias y utilización de los polígonos,
mediante la métrica de medición y estableciendo que los levantamientos sean de campo abierto.
Una de las características que tiene la topografía ante cualquier levantamiento realizado a partir
de poligonales es en donde se establecen una serie de elementos geométricos, es decir, como
puntos de referencias en donde se pueden establecer unas series de poligonales. Por consiguiente,
estos objetos matemáticos nos sirven no solo para determinar áreas, sino que además sintetizar

5. de una manera muy clara respecto al levantamiento realizado a la respectiva medición poligonal.
Hay que tener en cuenta que estos levantamientos son de manera general, dicho de otra manera,
solo son de tipos de levantamientos de topografía plana.
“La particularidad de la topografía es que asociada los pensamientos geométricos y
trigonométricos a una técnica que le sirve de objeto para garantizar la realidad inmediata
mediante diferentes prácticas, como son levantamientos topográficos, nivelaciones,
observaciones astronómicas etc”. (Camacho Rios, Sanchez Lujan, Blanco Vega, & Cuevas
Acostado, 2011, pág. 124). Los términos que se manejan en la topografía, pueden ser muy
importante a la hora de la aplicación de los modelos geométricos que se pueden manejar. Esto
quiere decir que para cada levantamiento se debe modelar según los análisis respectivos, para
determinar con precisión los que se quiere demostrar. En este caso se diría que la topografía juega
a dos papeles muy importantes. En primer lugar la identificación según los conceptos adquiridos
de la topografía, y segundo la trascripción de lo que se hace en el análisis, y plasmarlo de manera
geométrica en un papel.
De manera que la identificación de extensiones terrestres representadas mediante de análisis
geométricos se puede hacer de una manera muy natural, ya que, dentro del ámbito cotidiano, se
considera que la topografía está inmersa en nuestras vidas y que, de alguna manera, hemos sido
precursores de nuestro autoconocimiento. Estaríamos hablando de empirismo en donde a base de
nuestras propias necesidades y experimentaciones nos establecemos nuestro propio
conocimiento. Pero en el caso de la topografía nos lleva a que la geometrización es una
herramienta muy específica en la aplicación delos conceptos que se manejan en ella. Esto
tomando en cuenta que la topografía plana es una de las que se utiliza de formas común en
nuestra cotidianidad. La topografía plana tiene una serie de conceptos que están involucrados
directamente con las matemáticas y en específico con la geometría ¨rama de matemáticas¨. Es
decir, la topografía se complementa de una forma y de otra, en este caso está involucrada con la
geometría plana y la trigonometría. En donde se encontraría que la geometría plana estaría
implementada por la geometría euclidiana y la trigonometría estaríamos hablando de conceptos
como la ley de seno y coseno y en términos de Pitágoras como el teorema de Pitágoras.
“La geometría euclidiana, la trigonometría y el cálculo son las herramientas que generalmente se
usan para modelar los fenómenos naturales. Los modelos son descritos en términos de puntos,
líneas rectas, círculos, parábolas y otras curvas simples. Así, los puntos de dimensión cero, las
líneas y curvas unidimensionales, las figuras planas bidimensionales como el cuadrado y el
círculo, y los cuerpos tridimensionales como los cubos y las esferas nos hacen ver al mundo
como hasta ahora lo entendemos”. (Ricardo David Valdez Cepeda, 1998, pág. 277). Uno de los
apuntes importantes y de gran importancia es la geometría y la trigonometría, esta es una
herramienta muy clara y específica a la hora de hacer análisis topográficos. De tal forma que la
geometría que se aplica en la topografía plana, es la euclidiana. Esta le da un peso enorme a esta
topografía, ya que como anteriormente la topografía plana relaciona las extensiones terrestres de
manera plana. Esta es la manera de poder entender e identificar los diferentes levantamientos que

6. se realizan a partir de la geometría plana bidimensional. Adicionalmente, se estaría hablando de
la trigonometría que es un complemento importante en la topografía, originando así la
especificación y como la forma de poder demostrar de que la geometría plana se puede
implementar en los diferentes análisis que respectivamente se hagan.
“Una línea recta tiene dimensión uno, mientras que una curva fractal tendrá una dimensión cuyo
valor es de entre uno (1) y dos (2), dependiendo del espacio que ésta ocupe en el plano y de su
comportamiento en sí” (Ricardo David Valdez Cepeda, 1998, pág. 278). Una de las plasmaciones
en donde se establecen un levantamiento está establecida mediante la geometría fractal (podemos
decir que la geometría fractal con la teoría de caos constituye los pilares de la posmodernidad
científica). De esta manera la geometría usada puede ser muy útil a la topografía ya que es medio
de escalar diferentes objetos relacionados con el medio pero de manera que sea menor del espacio
real. Es decir se reduce mas no se amplia, esto lo que hace es que haya una mejor comprensión de
cualquier objeto que vallamos analizando.
Podemos denotar como muestra la diferencia que hay entre la geometría euclidiana, la geometría
fractal pero que a la vez pueden ser un complemento implícito, ya que la geometría euclidiana
está entrelazada de conceptos como en la trigonometría. Por otra parte entonces la geometría
fractal establece un factor de conversión, respecto el objeto a fractal. Viéndolo de la manera de
aplicabilidad en la topografía sería en la cartografía, que es uno de los términos de la topografía
en donde se puede establecer la geometría fractal ya que los planos necesitan mirar de una
manera detallada una serie de aspectos en donde se puede encontrar inmersa la identificación de
rectas, puntos en donde cada una puede ser un objeto de representación y modelación de los
diferentes objetos a analizar.
“El área de un paralelogramo permite encontrar ciertas relaciones de áreas relacionadas de área
relativamente fácil. Pueden encontrarse otras relaciones interesantes utilizando los vectores en la
geometría euclidiana”. (Gonzales Pineda & Milena Garcia, 2012, pág. 203). De acuerdo con lo
establecido, el paralelogramo es uno de los objetos geométricos que más se pueden encontrar al
momento de hacer un análisis topográfico. Esto lo que hace es establecer una serie de utilidades
muy específicas, es tanto que se pueden establecer la relaciones con otras geometrías, como es la
vectorial y la analítica. Si nos ponemos a analizar detalladamente, su hace referencia a la
topografía plana o geodésica. En este caso, se podría decir que en algunos análisis topográficos
más que plasmarlo en determinado formato. Tiene una serie de complementos como son las
direcciones, en sentido de a aquella área específica, o nivelación de cualquier terreno en donde se
pude ver involucrada la geometría vectorial. Esta puede determinar todos esos parámetros
anteriores, de tal manera que el análisis puede tomar una mejor expresión visual al momento de
analizarlo.
“La geografía euclidiana y su manera de expresión privilegiada, el mapa topográfica, en el mejor
de los casos ayudan a una comprensión del inicio y la finalización de los procesos, pero poco
aporta para comprender los distintos momentos intermedios y de las situaciones que de los

7. mismos emergen en el contexto de una realidad donde todo está relacionado con todo a distintos
niveles de intensidad, magnitud y frecuencia” (Alisio, 2000, pág. 59). Los procesos de
representación de los análisis de topográficos son muy amplios a la hora de plasmarlos. Ya que la
topografía plana es la más utilizada, siendo esta trabajada por la geometría plana; es este casos
los procesos realizados con esta geometría son muy claros, pero existen lineamientos en donde
surge procesos intermedios. A raíz de esto comienza a seguir, trayendo perspectivas de los
levantamientos tridimensionales. Esto dio pie a que la geometría que se aplicaba a la topografía
fue de manera descendente y cada vez se presentaran más difícil poder hacer entendibles los
planos, porque se pasaba de líneas, puntos y diferentes objetos geométricos, a reducirse a puntos,
es decir todas estas aplicaciones hechas en diferentes situaciones. Esto lo que hizo fue comenzar
a dar cabida a la topografía geodésica, la cual esta tiene como objeto medir extensiones de tierras
muchos más amplias que las que media la topografía plana. Por consiguiente estuvo un progreso
de actitudes de cibernismo, modernismo, en el cual este trajo y comenzaron a manejarse de la
manera tridimensional en cualquier espacio real.
La geometría
Después de realizar este recorrido de la aplicación de conceptos geométricos a la topografía,
volvemos a nuestra hipótesis: es posible hablar de una geometría. Tenemos como fundamento los
cinco postulados de Euclides en donde la negación de ciertos postulados enriquece su campo de
acción. Es decir, la geometría es esférica, plana e hiperbólica. Por tanto, la negación de los
postulados no implica que la geometría pierda consistencia, por el contrario, permite que sea más
robusta. Por tanto, nos adherimos al concepto de verdad por correspondencia o, en otros
términos, verdad relativa al que alude Isaac Asimov en su libro El electrón es zurdo y otros
ensayos científicos (El quinto de Euclides, La verdad plana, 1977).
Estamos de acuerdo con los pensadores que dicen que la geometría es una convención humana en
donde juega un papel importante la razón y la experiencia como artífices del conocimiento.
Poincaré afirma (1902):
Los axiomas geométricos no son juicios sintéticos a priori ni hechos experimentales. Son
convenciones: nuestra elección entre todas las convenciones posibles está guiada por los hechos
experimentales, pero permanece libre, y sólo está guiada por la necesidad de evitar toda
contradicción (…). En otros términos, los axiomas de la geometría no son sino definiciones
disfrazadas. (Citado por Senior Martínez, 2001, pág. 60)
Presentamos a continuación nuestro esquema representativo de la geometría:

8. A modo de conclusión
Al inicio del texto mencionados que nuestro punto de partida fueron los axiomas de Euclides, en
especial, los postulados. Hemos reafirmado nuestra hipótesis de hablar de geometría y no de
geometrías. Esta afirmación sustentada a partir de las lecturas hechas hasta el momento y según
lo que hemos comprendido de ellas.
Pues bien, las dudas no cesan. Hasta el momento hemos tratado la geometría euclidiana y las no
euclidianas. Nos asalta la duda cuando encontramos otros adjetivos como la geometría dinámica,
la geometría proyectiva, entre otras. De hecho no causa curiosidad esta última, ¿cómo será esa
geometría? Más aún, ¿qué fue lo que David Hilbert con su sistema axiomático? Sospechamos que
vamos ese camino que a ratos parece recto, curvo y circular.
También nos cabe resaltar otras dudas que surgieron de la única asesoría con el profesor Javier
Martínez, ¿pensadores como Euclides nacieron con una capacidad superiores a la de los demás
mortales?, ¿Por qué Euclides no fundamentó el aspecto esférico e hiperbólico de la geometría si
bastaba negar el quinto postulado? Nuestro interés es seguir ensayando.
TRABAJOS CITADOS
Aguilera, N. (2010). Geometría Euclídea Plana. Axiomas de la geometría plana . Recuperado el
15 de 10 de 2014, de Centro Científico Tecnológico Santa Fe (CENICET):
http://www.santafe-conicet.gov.ar/~aguilera/apuntes/geometria2010/axiomas.pdf

9. Alisio, A. D. (2000). consideraciones para una geografia post- eclidiana en la sociedad del ¨bit¨.
Redalyc, XVI(25), 57-79.
Alvarez, C. (2004). Kant, la geometría y el espacio. Revista Digital Universitaria. En linea en:
http://www.revista.unam.mx/vol.5/num11/art83/dic_art83.pdf, 5(11), 1-14.
Asimov, I. (1977). El quinto de Euclides. En I. Asimov, El electrón es zurdo y otros ensayos
científicos (F. Morán Samaniego, Trad., págs. 212-224). Madrid: Alianza Editorial.
Asimov, I. (1977). La verdad plana. En I. Asimov, El electrón es zurdo y otros ensayos
científicos (F. Morán Samaniego, Trad., págs. 225-237). Madrid: Alianza Editorial.
Batista –Legra, Y. E., & Belete – Fuentes, O. (julio - septiembre de 2013). consideraciones sobre
la exactitud de las redes de levantamiento topográfico. Redalic, 29(3), 56-64.
Camacho Rios, A., Sanchez Lujan, B. I., Blanco Vega, R., & Cuevas Acostado, J. H. (Diciembre
de 2011). Geometrización de una porcion del espacio. Redalic, 32(3), 123-145.
Gonzales Pineda, C. E., & Milena Garcia, S. (Diciembre de 2012). Área del paralelogramo y
areas relacionadas. Redalic, XVII(52), 198-203.
Guerrero Pino, G. (2005). Teoría kantiana del espacio, geometría y esperiencia. Praxis
Filosófica. Tomado de:
http://praxis.univalle.edu.co/numeros/n20/german_guerrero_pino.pdf(20), 32-68.
RicardoDavid Valdez Cepeda, E. O. (julio - septiembre de 1998). geometria fractal en la ciencia
del suelo. Redalic, 16(3), 277-288.
Senior Martínez, J. E. (2001). El surgimiento de las teorías no euclidianas y su influencia en la
filosofía de la ciencia del siglo XX. Revista Colombiana de Filosofía de la Ciencia.
Artículo disponoble en:
http://www.uelbosque.edu.co/sites/default/files/publicaciones/revistas/revista_colombiana
_filosofia_ciencia/volumen2_numero4-5-2001/surgimiento_teorias_no_euclidianas45-
63.pdf, 45-63.