Este documento presenta una introducción al concepto de dimensión topológica. Explica que la dimensión se refiere a las propiedades espaciales de una forma y su capacidad de desarrollo espacial. También introduce la noción de topología como el estudio de las propiedades invariantes de una forma bajo deformaciones como dobleces o estiramientos. Finalmente, discute que cada universo dimensional tiene sus propias restricciones topológicas en cómo pueden transformarse las formas.

1. Capítulo 1
LA DIMENSIÓN
TOPOLÓGICA
Javier Echeverri
Profesor Titular Universidad del Valle, Cali, Colombia
(v1 - 20111107)
El término dimensión es de uso corriente en el lenguaje de las artes, el diseño y la
arquitectura. En las primeras es corriente referirnos a una escultura como tridimen-
sional, esto es, de 3 dimensiones. Los productos del diseño gráfico generalmente
los asociamos a las 2 dimensiones, como las páginas de este libro. Un edificio u
obra de arquitectura, para el común de la gente es también tridimensional; sin
embargo, para los estudiosos del espacio arquitectónico, este representa una
dimensión diferente, algunos lo definen como de 4 dimensiones o tetradimensional,
incluídos nosotros, en lo que será una de las definiciones objeto de este libro. Pare-
ciera que la idea de dimensión forma parte del lenguaje ordinario, como algo dado
por válido, en el sentido de que existe una aproximación perceptiva que permite
definir la dimensionalidad de una forma, por ejemplo 2 dimensiones para la hoja del
libro, y 3 para la escultura o el edificio. Se constituye ésta entonces en una idea de la
dimensión, que tiene que ver con alguna particularidad de la forma, y que establece
una diferencia entre 2 y 3 dimensiones, y se constituye en argumento del juicio
FIGURA 1.1
visual al ponderar la estética de una forma.
Otra acepción del término dimensión se refiere a la medida. Cuando deci-
mos que las dimensiones de las hojas de este libro son 7.5” x 9.0”, nos referimos a
sus medidas, las cuales nos permiten definir el tamaño de las mismas. Entonces
aquí la dimensión aparece como un aspecto del tamaño, lo cual en su sentido más
amplio es cierto. Sin embargo el reconocer que la medida de las hojas de este libro
son 7.5” x 9.0”, significa que ante nuestros ojos esa es la visualidad evidente, aque-
lla a la que adjudicamos dicha medida, mas exactamente 2 medidas, 7.5 y 9.0, lo
que las hace bidimensionales, porque consideramos que no existe otra medida, y si
LA DIMENSIÓN TOPOLÓGICA 31

2. esta existiera, el objeto sería mas bien tridimensional, como en efecto lo es el libro
que conforman las hojas a que hacemos referencia. Vemos entonces como existe
una relación entre tamaño y dimensión, siendo esta...
La dimensión es el concepto matemático que se refiere a las propiedades
topológicas de una forma en tanto su capacidad de desarrollo espacial. Por ejem-
plo, un rectángulo es una forma que se desarrolla en el espacio en forma de plano,
mientras que un cubo es un volumen. Los términos plano y volumen corresponden
a una idea de la forma, esto es, la estructura visual que le es propia a la visualidad
del rectángulo o el cubo, y a la cual denominamos simplemente como dimensiona-
lidad, significado visual estrictamente ligado a la complejidad espacial de cada
forma, y que en términos numéricos se expresa en la dimensión, siendo todos los
planos de dimensión 2, y todos los volúmenes de dimensión 3 (Figura 1.1_p31).
Dicho de otro modo, la dimensión valora la complejidad representativa de una
forma, a partir del número de medidas que son necesarias en su representación, 2
para el plano (largo y ancho) y 3 para el volumen (largo, ancho y profundidad). En
términos mas específicos de la geometría, la dimensión es la magnitud mensurable
de una forma en una dirección específica, esto es, en sentido lineal y recto, por lo
que una medida en un sentido es la medida de una dimensión. De este modo se
tiene que un punto no tiene dimensión; una línea tiene una dimensión: su longitud;
un plano tiene dos dimensiones: largo y ancho; un volumen tiene tres dimensiones:
longitud, ancho y profundidad. El punto es entonces una forma de dimensión 0, la
línea de dimensión 1, el plano de dimensión 2, el volumen de dimensión 3, valores
que en el lenguaje escrito se representan como 0D, 1D, 2D y 3D respectivamente.
La dimensionalidad es un valor palpable por los sentidos de manera objetiva, el filo
de un borde, la tersura de una superficie, la masividad de un objeto. Sin embargo
en matemáticas el concepto resulta mas abstracto ya que si hablamos de formas
de 2 o 3 dimensiones, siendo 2 y 3 números naturales1 que indican el número de
dimensiones presentes en una forma, al menos conceptualmente es válido enten-
der una forma de cualquier número de dimensiones, por ejemplo de 4, 5 o mas
dimensiones, hasta llegar al infinito, aunque tales formas solo son aprehensibles por
nuestro intelecto desde una óptica matemática, pero imposibles de percibir por los
sentidos. Incluso nos es dado enunciar sistemas dimensionales cuyo número no es
entero sino fraccionario, o negativo en vez de positivo. Cada una de estas situacio-
nes genera exóticos universos dimensionales en donde conviven extrañas formas
imaginarias, cuya complejidad depende de la medida en que se aleje de la dimen-
sión 3, diferenciando si dicho distanciamiento es hacia arriba o hacia abajo en la
escala de los números naturales. Desde que la dimensión de una forma no es una
realidad ciertamente física, ya que todas las realidades físicas tienen 3 dimensiones
(no se puede decir que una hoja de papel por mas fina que sea tiene 2 dimensio-
nes, porque de todos modos tiene un espesor), el concepto de dimensión no es
mas que una entelequia útil en la descripción topológica del ser humano y su
1. El conjunto de números enteros positivos.
32 Capítulo 1

3. entorno. Por lo tanto realidades físicas diferentes a la dimensión 3 serán siempre
abstracciones, y solo tienen como objeto explicar la realidad tanto en sus aspectos
positivos como en sus connotaciones metafísicas.
Ahora bien, cuando se dice que el espacio en que habitamos tiene 3
dimensiones, es porque podemos desplazarnos dentro de él en 3 sentidos básicos:
hacia adelante o atrás; hacia la izquierda o la derecha; y hacia arriba o hacia abajo.
Es esta noción de espacio, ligada con el movimiento (o la permisividad de este),
una descripción topológica del espacio euclidiano. La geometría euclidiana es un
conjunto de abstracciones sobre entidades formales imaginarias que cumplen unas
determinadas reglas o comportamientos que se expresan en los axiomas o postu-
lados, entre ellos, los conceptos de punto, línea, plano, ángulo, etc. Es así como a
partir de estos se interpreta el espacio como el lugar donde geométricamente pue-
den sucederse ciertos "eventos" formales, el punto que se desplaza y produce una
línea, la línea que se transforma en plano, etc., siendo el espacio de la transforma-
ción punto a línea un espacio unidimensional, el de la transformación de la línea en
plano uno bidimensional, y así sucesivamente. Por lo que el espacio resulta en algo
así como el límite geométrico de un estado de cosas geométrico, un concepto total-
mente abstracto, ya que para el ser común el espacio será uno solo, desde el punto
de vista físico, uno de 3 dimensiones, y los espacios de cualquier otro número de
dimensiones no son mas que abstracciones. Por lo tanto, y antes de ahondar en el
concepto de dimensión, enfatizaremos que el espacio estético que nos interesa
abordar en este estudio no es el simple espacio topológico de 3 dimensiones de la
geometría euclidiana, sino otro definitivamente existencial, que entendido como el
continuo entre existencia y lugar, y descrito topológicamente a partir de la inclusión
de la dimensión temporal, se constituye en el denominado espacio-tiempo de las
geometrías no euclidianas.
La dimensión temporal o simplemente el tiempo se explica como la posibi-
lidad matemática de describir linealmente el tiempo, esto es, existe un antes, un
ahora y un después, o sea el tiempo puede representarse también como una línea,
siendo la cuantificación de la medida de esta el argumento que justifica la dimen-
sión. De hecho en otros campos de la ciencia, el concepto de dimensión se
extiende a cualquier evento mensurable, como sucede en la mecánica cuando se
alude a las propiedades de un evento físico en términos de tiempo, masa y volu-
men, consideradas estas como dimensiones con sus propias unidades. Incluso
cualquier objeto de conocimiento, puede ser medido a partir de un sistema de valo-
res que tenga alguna lógica por lo que el termino dimensión es recurrente en
muchos campos del conocimiento (Figura 1.2_p34). Por ejemplo se dice de las
dimensiones del color: matiz, saturación, brillo. De las dimensiones del gusto:
amargo, agrio, dulce, salado. En nuestro caso quedará claro que nuestra idea de la
dimensión será eminentemente topológica, por lo que resulta pertinente en esta
parte profundizar sobre la noción de topología.
LA DIMENSIÓN TOPOLÓGICA 33

4. TOPOLOGIA
Fuente: 43. Izquierda: Adaptado de Hesselgren Sven, "El lenguaje de la arquitectura", Eudeba Editorial
Universitaria de Buenos Aires, Buenos Aires, 1973, Tomo 2, pág. 214. Derecha: Jencks Charles, "El len-
guaje de la arquitectura posmoderna", Editorial Gustavo Gili, S.A., Barcelona, 1981, pág. 73.
FIGURA 1.2 / Otras dimensiones: a la izquierda una representación gráfica tridimensional de las
dimensiones emotivas, según Wundt, y citado por Hesselgren en “El lenguaje de la arquitectura”; a la
derecha un “espacio semántico” para definir y mostrar las relaciones entre los tres órdenes clásicos, según
Jencks en “El lenguaje de la arquitectura posmoderna”.
1.1 TOPOLOGIA
La topología es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de una
forma al ser sometida a deformaciones producidas por doblamiento, estiramiento,
o estrujamiento, verificando la capacidad elástica de su geometría para retener sus
propiedades mas generales, las cuales solo se pierden por rompimiento o desga-
rramiento. Por ejemplo, un círculo y un triángulo, son topológicamente figuras igua-
les, ya que cualquiera de ellas deviene en la otra por estiramiento y/o estrujamiento
FIGURA 1.3 Del triángulo al
círculo. de su contorno (Figura 1.3_p34). Correspondientemente y ascendiendo en la escala
dimensional, un cubo es posible de transformarse en una esfera: si "soplamos" el
cubo desde su interior hacia afuera, podremos producir una esfera; e igualmente si
"aplanamos" una esfera en los sitios apropiados podremos producir un cubo. Sin
embargo en ningún caso es posible conseguir a partir del cubo o la esfera, un toro
anular; en este caso se precisaría de una deformación con rompimiento, mediante
la aplicación de un "punzamiento" que atravesara su superficie "de lado a lado". La
topología entonces nos permite entender ciertas diferencias y similitudes de las for-
mas, y calificarlas como topológicamente iguales o diferentes, por lo que de los
ejemplos anteriores colegimos que el cubo y la esfera son formas topológicamente
FIGURA 1.4 Toro anular
iguales, y diferentes del toro anular (Figura 1.4_p34).
34 Capítulo 1

5. TOPOLOGIA
Mas exactamente la topología se explica como la consistencia en la posi-
ción relativa entre el conjunto de puntos de una forma que se transforma en otra, y
no las posiciones absolutas. Si un punto p que pertenece a una forma A, y se
encuentra en una posición relativa específica con relación a los puntos q, r y s, de tal
modo que pq=qr=rs y también pq=pr=ps; y dicha forma A se transforma en otra B,
en la cual p', q', r' y s' son los nuevos puntos cuyas posiciones absolutas son diferen-
tes (por ejemplo la distancia entre p’ y q’ no es la misma que había entre p y q, pero
sus posiciones relativas son las mismas, así: p’q’=q’r’=r’s’ y p’q’=p’r’=p’s’), enton-
ces diremos que A es topológicamente equivalente de B, y que la transformación
de A a B es un homeomorfismo, por lo que la topología puede definirse también
como el estudio de las propiedades invariantes en las transformaciones homeo-
mórficas (Ver Figura 1.5_p35).
p r
q
r’
p’
s
q’
A
s’
B
FIGURA 1.5 / Transformación homeomórfica de un cubo en una esfera
Ahora bien, cada universo dimensional posee sus propios límites topológi-
cos que son impuestos a las formas que en el habitan, de tal modo que transforma-
ciones producto de desdoblamientos, alargamientos o contracciones están
restringidas a la topología del universo respectivo. Esto quiere decir que ciertas
transformaciones no son permitidas, a no ser que se recurra al rompimiento. Tome-
mos como ejemplo un círculo tangente e interior a otro círculo. Si se desea que este
conjunto se transforme en otro en donde ambos círculos sigan siendo tangentes
LA DIMENSIÓN TOPOLÓGICA 35

6. TOPOLOGIA
pero exteriores, será imprescindible, o bien romper el círculo mayor para dar paso
al menor, o desdoblar por la tercera dimensión el círculo menor para regresarlo a la
segunda dimensión, sito en la posición deseada (Ver Figura 1.6_p36).
FIGURA 1.6
Con el anterior ejemplo nos interesa resaltar que aplican restricciones
topológicas a las propiedades derivadas de la variable dimensión en la forma; a
cada universo dimensional corresponde algo así como una norma o ética proyec-
tiva, siendo recursos como el desdoblamiento dimensional ilustrado en el ejemplo
anterior, trucos improcedentes en el ejercicio del diseño. Por lo que convendrá
entender muy bien cuales son los alcances y límites de cada universo dimensional,
en lo que aquí denominaremos función de los soportes dimensionales de la forma,
tema que será abordado al final de este capítulo. Hecha esta salvedad, podemos
pasar a definir el término dimensión en función de la topología.
36 Capítulo 1

7. DIMENSION TOPOLOGICA
1.2 DIMENSION TOPOLOGICA
Según Poincaré2 la dimensión topológica se explica de manera inductiva así: dado
un ente cuyos bordes son todos puntos de un valor dimensional igual a n-1, se tiene
que la dimensión del espacio del ente es igual a n. Por ejemplo, en un plano cual-
quiera (entendido este como un conjunto de puntos coplanares), los puntos que
conforman su borde serán siempre líneas (no importa si rectas o curvas), por lo que
si para el borde se cumple que D=n-1, siendo su dimensión D=1, entonces la
dimensión del plano será n=D+1=1+1=2. Dicho de otra forma, un espacio cual-
quiera es n-dimensional y será el soporte o marco físico de entes o formas de
dimensión cuyo valor será siempre D  n , y su borde estará compuesto siempre
por formas de valor dimensional D=n-1. En resumen se tiene que el plano es una
forma cuya dimensión topológica vale 2, puede contener otras formas de 2, 1 o 0
dimensiones, como otros planos, líneas o puntos, y la dimensión de su borde será
siempre 1, esto es, en forma de línea. La Tabla 1.1_p37 ilustra las definiciones en
las cuatro dimensiones básicas del espacio euclidiano.
Espacio de Que puede Y cuyo borde tiene
dimensión contener formas de una dimensión Que corresponde a
topológica (n): (n) dimensiones: Tales como: (n-1): la forma:
0 0 Puntos -1 Vacío
1 0, 1 Puntos y líneas 0 Punto
2 0, 1,2 Puntos, líneas y pla- 1 Línea
nos
3 0, 1,2,3 Puntos, líneas, pla- 2 Plano
nos y volúmenes
TABLA 1.1 / Relaciones entre forma, borde y dimensión: La lectura de la tabla evidencia ciertas propiedades generales de la forma en razón de su
estratificación por universos dimensionales. Que el borde de un volumen sea un plano, y el de este una línea, desde el punto de vista perceptivo no reviste
un interés especial, ya que estas propiedades son evidentes para los sentidos. Sin embargo los bordes de la línea y el punto nos plantean mas de un
interrogante. Si como veremos mas adelante, el punto no es mas que una abstracción, un percepto, sin materialidad significante, no cabe preguntarnos:
¿Qué visualidad tiene el borde de una línea, esto es, sus extremos? Si estos extremos son invisibles, y dejan al descubierto otros nuevos puntos, que son
invisibles también, y así hasta consumirse visualmente la línea como una pavesa, ¿puede entonces objetivamente ser percibida una línea por la vista o el
tacto? Ahora bien, ¿no resulta aún más enigmático el concepto de borde en el punto? ¿Puede ser el vacío (borde del punto) una forma?
2. Henry Poincaré (1854-1912) fue un célebre físico y matemático francés, de grandes aportes
principalmente en el campo de las ecuaciones diferenciales, la topología, la probabilidad y la
teoría de las funciones.
LA DIMENSIÓN TOPOLÓGICA 37

8. ESPACIO TOPOLOGICO Y ESPACIO-TIEMPO
FIGURA 1.7 / El borde de un cubo
1.3 ESPACIO TOPOLOGICO Y ESPACIO-
TIEMPO
En su sentido mas general, el espacio es la cualidad de desarrollo extensivo de una
forma, y la medida de dicho desarrollo es la dimensión. Por lo tanto existen tantas
clases de espacios como posibilidades dimensionales, por ejemplo: espacio de 1
dimensión como la línea, espacio de 2 dimensiones como el plano, etc. Esta gene-
ralización del concepto de espacio —o espacio topológico— la utilizaremos en este
38 Capítulo 1

9. DIMENSION POR MOVIMIENTO
texto solo cuando lo obligue la precisión del término y en consideración de su
aspecto matemático. Pero en términos generales el espacio será —a no ser que se
indique lo contrario— el existencial de 4 dimensiones, 3 físicas y 1 temporal, en con-
sideración del aspecto estético (y no matemático) que nos interesa, diferenciación
que se conoce con el nombre de espacio-tiempo, cuya definición ya introdujimos
en el capítulo anterior cuando citábamos a Hawking para decir que el concepto del
«tiempo no está completamente separado e independiente del espacio, sino que
por el contrario se combina con él para formar un objeto llamado espacio-tiempo»3.
Y así como arriba veíamos que un espacio de 3 dimensiones contiene puntos,
líneas, planos y volúmenes, el espacio-tiempo contiene también sus propias for-
mas, a las que genéricamente llamaremos espacios, ya no en su connotación
topológica dimensional, sino como objeto habitante del universo tetradimensional
de 3 dimensiones físicas y 1 temporal, mas precisamente, un suceso, entendido
este como «algo que ocurre en un punto particular del espacio y en un instante
específico de tiempo.»4. Estas definiciones son el objeto central de este capítulo y
sobre ellas volveremos mas adelante.
1.4 DIMENSION POR MOVIMIENTO
Otra forma de entender la topología de los entornos dimensionales es a partir del
análisis de las posibilidades de movimiento dentro de un espacio en una dirección
específica. El número de estas direcciones que sean absolutamente contrarias,
determina el valor dimensional del espacio en cuestión. En esta caracterización hay
que tener en cuenta que direcciones contrarias no significa “hacia delante y hacia
atrás”, ya que ambas opciones son aspectos diferentes de un mismo evento, como
quiera que el movimiento es en esencia una línea, en la cual los valores adelante o
atrás no interesan, sino tan solo la posibilidad de desplazarse. Se entiende entonces
por direcciones contrarias la yuxtaposición del sentido del movimiento que equivale
a un ángulo de 90°, esto es, lo contrario de adelante o atrás, es a la derecha o a la
izquierda. Con base en esta idea y como lo explica K. Devlin (1988): «En una curva
solo podemos movernos en una dirección, adelante o hacia atrás. En una superficie
podemos ir adelante, atrás, a derecha, a izquierda. En un volumen podemos
movernos, además, hacia arriba, hacia abajo. La curva tiene una dimensión, la
superficie tiene dos dimensiones y el volumen tiene tres dimensiones.»5 La anterior
definición que introduce la noción de movimiento explica la racionalización del con-
cepto de dimensión en el sistema de ejes cartesianos propios de la geometría ana-
3. De Stephen Hawking, en “Historia del tiempo, del bing bang a los agujeros negros”, Editorial
Crítica, Barcelona, 1988, pág. 44
4. Ibídem anterior, pág. 44
5. Citar el texto
LA DIMENSIÓN TOPOLÓGICA 39

10. DIMENSION DE AUTOSEMEJANZA
lítica, ya que estos son la expresión gráfica del movimiento, que implica un origen o
lugar de partida, y una dirección o sentido en el espacio, siendo el conjunto de ejes
cartesianos, el número posible de direcciones contrarias en el sentido que arriba
explicamos.
1.5 DIMENSION DE AUTOSEMEJANZA
Una característica de la dimensión topológica es la expresión de su valor
numérico siempre dado en enteros, tales como 0, 1, 2, 3, lo cual es obligado por-
que las posibilidades de movimiento en sentidos contrarios siempre será una serie
de números enteros. No cabe imaginar un sistema de ejes cartesianos en donde el
número de estos no sea un entero positivo, incluso para situaciones por fuera de la
experiencia sensorial del mundo físico, como sucede en los universos de alta
dimensión, como el espacio de 4 dimensiones que implica un conjunto de 4 ejes
cartesianos en sentidos contrarios. Así como este último caso es completamente
válido desde su aspecto matemático, aunque totalmente improbable como expe-
riencia física, cabe imaginar otras situaciones espaciales donde el valor numérico
de la dimensión no corresponde a números enteros. Este es el caso de suponer
espacios de dimensión comprendida entre los números enteros, esto es, decima-
les, como por ejemplo un espacio de dimensión 0.32 o 1.288. Espacios de esta
clase no resultan válidos para la experiencia física y el mundo de los sentidos.
¿Cómo imaginar un desplazamiento en 1.288 direcciones contrarias? Imposible
claro está, si la idea de número de direcciones implica obligatoriamente un número
entero. Entonces el 0.288, ¿que significado puede tener desde en términos estricta-
mente topológicos?. Pues quizás suponer que 1.288 alude a algo así como un
espacio que nos permite el desplazamiento completo y seguro en un sentido (el 1),
y deja la posibilidad de un desplazamiento irregular, o incompleto, en otro sentido (el
0.288), cerca del entero 1 y alejado del entero 2, acciones (o posibilidades) que
combinadas producen como resultado un movimiento incierto, vago e inseguro,
que viene del 1 (la línea) y va hacia el 2 (el plano), no siendo ni lo uno ni lo otro, sino
el simple deseo de una línea de convertirse en un plano (una cuasi línea), sin poder
conseguirlo nunca, ya que siempre el evento estará atrapado en la imposibilidad de
superar la fraccionalidad del valor dimensional, y condenado a quedarse en una
especie de limbo dimensional, en el cual y como un perro que no desfallece en el
intento de morderse la cola, se repetirá incansablemente hasta el infinito, dando
lugar así por aproximación, sino mejor por saturación, a la producción de un ente
angustiado que en su visualidad denota el vano esfuerzo de conseguir la dimensión
que no puede. Este registro gráfico de su atormentado sino, o historia visual del
esfuerzo inconcluso de saltar de un nivel dimensional a otro, produce paradójica-
mente, un evento visual de extraordinaria belleza, que resulta perceptible puesto
40 Capítulo 1

11. DIMENSIONES TOPOLOGICAS DE NIVEL SUPERIOR
sobre un soporte dimensional del nivel superior siguiente (2 en nuestro ejemplo).
Concretamente será la huella del recorrido errático de una línea en un espacio bidi-
mensional, y la estructura visual de dicha traza el patrón origen del valor decimal.
Hemos descrito de este modo las cuasi formas que los matemáticos denominan
fractales, en alusión al valor fraccionario de su dimensión, y que en matemáticas se
conoce como la dimensión por semejanza.
La dimensión por semejanza (o de autosemejanza), fue sugerida por el
matemático Félix Hausdorff en 1919, y complementada posteriormente por Besico-
vitch, por lo que hoy se conoce con el nombre de dimensión de Hausdorff-Besico-
vitch. La dimensión por semejanza no es topológica, porque como ya explicamos el
valor de la dimensión topológica solo es posible a partir de números enteros. Los
fractales no deberían verse como formas de una dimensión desconocida, a la que
se refieren algunos autores. Su valor esta básicamente en ser un instrumento para
la medición de la complejidad de la forma, motivo por el cual los retomaremos en el
Capítulo 2, en donde serán estudiados los valores de regularidad y complejidad de
las geometrías.
1.6 DIMENSIONES TOPOLOGICAS DE
NIVEL SUPERIOR
En matemáticas se le llama dimensiones de nivel inferior aquellas de valor 0, 1, 2 y
3, todas correspondientes al espacio euclidiano. Son dimensiones de nivel superior
aquellas también topológicas de complejidad mayor a partir del número 4. Así
como para la dimensión 0 existe el punto, para la dimensión 1 la línea, para la
dimensión 2 el plano, para la dimensión 3 el volumen, es matemáticamente válido
pensar en formas de 4 y mas dimensiones. A estas formas se les denomina utili-
zando el nombre de la contraparte dimensional de menor nivel y agregándole el
prefijo hiper, por ejemplo, un hipercubo que es el correspondiente tetradimensional
(de 4 dimensiones físicas) del cubo. Ilustremos esto con un ejemplo: Si a, b, c y d
son los cuatro vértices de un tetrahedro, esto es, 4 puntos no coplanares que for-
man un sólido, es dado pensar que puede existir un quinto punto llamado e, que no
pertenece al espacio tridimensional del tetrahedro, al que llamaremos como S3. El
conjunto de los puntos a, b, c, d y e serían los vértices de un hipertetrahedro, en el
cual la unión de 2 vértices son sus aristas, la unión de 3 vértices sus caras, y la
unión de 4 vértices serían los sólidos constituyentes del hipersólido, que pertenece
al hiperespacio S4. La Tabla 1.2_p42 muestra el número de elementos posibles en
cada caso (S3 y S4). Iguales definiciones podrían darse para S1 y S2, así como
también para S5, S6, S7,..., Sn. Y como un espacio S2 está definido mínimo por 3
puntos, uno S3 por 4 puntos, uno S4 por 5 puntos, finalmente un espacio cualquiera
Sn estará definido por (n+1) puntos.
LA DIMENSIÓN TOPOLÓGICA 41

12. DIMENSIONES TOPOLOGICAS DE NIVEL SUPERIOR
S3 (tetrahedro) S4 (hipertetrahedro)
Vértices: 4 a, b, c, d 5 a, b, c, d, e
Aristas: 6 ab, ac, ad, bc, bd, cd 10 ab, ac, ad, ae, bc, bd,
be, cd, ce, de
Caras: 4 abc, bcd, cda, dab 10 abc, bcd, cde, dea,
eab, acd, bde, cea,
dab, ebc
Sólidos: 1 abcd 5 abcd, bcde, cdea,
deab, eabc
Hipersólidos: 0 1 abcde
TABLA 1.2 / Tetrahedro vs. hipertetrahedro
El problema de toda esta realidad matemática, es que desde un punto de
vista estrictamente sensorial, la visualidad de los hiperespacios no es mas que una
especulación, ya que resulta imposible representarlos, aunque podemos aproxi-
marnos a ellos, no representando el hiperobjeto, sino su proyección en el espacio
dimensional inmediatamente anterior. La geometría proyectiva nos enseña que un
punto es la proyección ortogonal de una recta, esta lo es del plano, y este del volu-
men. Por lo tanto un volumen —como por ejemplo un cubo— puede ser entendido
como la proyección de un hipercubo, aunque vemos que de aquí en adelante cual-
quier aproximación gráfica resulta imposible, por lo que hiperformas de nivel supe-
rior solo podrán representarse algebraicamente. En la Figura 1.8_p42 se simula lo
que podría ser la proyección en 3D de nuestro hipertetrahedro, en donde vemos
que a cada vértice concurren 4 aristas, como debe ser en el hiperespacio de 4D, en
donde también y a diferencia de nuestra ilustración, todas las aristas deben ser de
FIGURA 1.8 / Proyección en el igual longitud, y los ángulos entre caras deben ser iguales.
espacio 3D de un hipertetrahedro
42 Capítulo 1