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- 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE EXTENSIÓN BARCELONA – PUERTO LA CRUZ ESCUELA DE SEGURIDAD INDUSTRIAL (77) Profesora: Bachilleres: Ranielina Rondó Mejías Merlyn Vargas C.I:16.717.554 Puerto la Cruz, Junio 2014
- 2. INTRODUCCIÓN Los vectores es uno de los conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En la distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman magnitudes escalares aquellas en que sólo influye su tamaño. Por el contrario, se consideran magnitudes vectoriales aquellas en las que, de alguna manera, influyen la dirección y el sentido en que se aplican. Un sistema de coordenadas tridimensional puede ser de orientación derecha o de orientación izquierda. Un sistema derecho tiene la propiedad de que cuando los dedos de la mano derecha se doblen de modo que apunten del semieje positivo X al semieje positivo Y, entonces el pulgar apunta en la dirección del eje Z positivo. Z Z La palabra “vectores” se refiere a los elementos de cualquier Rn. En R1 = R el vector es un punto, que llamamos escalar. En R2 el vector es de la forma (x1, x2) y en R3 el vector es de la forma (x1, x2, x3).
- 3. VECTOR Es un término que deriva de un vocablo latino y que significa “que conduce”. Un vector es un agente que transporte algo de un lugar a otro. Su significado, de todas formas, varía de acuerdo al contexto. VECTOR EN MATEMÁTICA Es un elemento de una estructura algebraica llamada espacio vectorial, que esencialmente es un conjunto de elementos con un conjunto de axiomas que debe satisfacer cada uno de ellos. El espacio vectorial más pequeño es el {0} y no hay ninguno que los contenga a todos, ya que cualquier espacio vectorial puede constar de infinitos elementos; por ejemplo, el conjunto de los números reales. Matemáticamente un vector puede ser también un conjunto de elementos ordenados entre sí pero a diferencia de un conjunto normal como el de los números naturales, éste está ordenado. VECTOR EN R2 Un vector a de dos dimensiones es un par ordenado de números reales a1, a2, y la representación a a1, a2. La magnitud a de a está dada por 12La dirección de a es la dirección del origen al punto a1, a2 a lo largo de la recta que une estos puntos. Esta dirección está determinada por el menor ángulo positivo cuyo lado inicial es la parte positiva del eje x y cuyo lado terminal es el segmento que une al origen con a1, a2. VECTORES EN R3 Es una terna ordenada de números reales. Denotada de la siguiente manera, Geométricamente a un vector de R3 se representa en el espacio como un segmento de recta dirigido. Suponga que se tienen los puntos. Si trazamos un segmento de recta dirigido desde hacia tenemos una representación del vector.
- 4. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA Y LA RESTA DE VECTORES Para vectores posición la suma es el vector representado por la diagonal principal del paralelogramo cuyos lados están conformados por los vectores y. La resta o es el vector representado por la otra diagonal al hacer el punto final del vector es y el inicial, por eso la flecha, si fuera el punto final sería el de y el vector tendría la dirección opuesta
- 5. ENFOQUE GEOMÉTRICO Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes enel espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida
- 6. REPRESENTACION GRAFICA EN R3 Próximamente se estudiarán relaciones entre tres variables, está relación puede venir dada a través de una ecuación o una función. Para visualizar mejor las relaciones siempre es Convenientehacer una representación gráfica por lo que se estudiará el e spacio tridimensional R3 y la representación de ecuaciones de este espacio. SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL Y ELPRODUCTO CARTESIANO R3 Recordemos que para situar un punto en el plano se necesitaban dos números reales. Si usamos un sistema de coordenadas rectangular o cartesiano estos números vienen dados por una pareja ordenada),(ba donde a es la coordenada (x y ) b la coordenada . La pareja, ban son las coordenadas cartesianas del punto P del plano. Para localizar un punto en el espacio se necesitan tres números reales. Estos números están dados a partir de un sistema de referencia.
- 7. COMENTARIO Puede haber otra selección de ejes pero normalmente todas siguen la regla de la mano derecha, la cual consiste en extender los dedos de la mano derecha, salvo del pulgar, en la dirección deleje de las x en el sentido positivo y cerrando los dedos en la dirección de los y positivos, el pulgar marca la dirección positiva del eje z .Estos ejes determinan tres planos, el plano x y, el cual contiene el eje x y el eje y. Similarmente el plano x z y el plano y z como ilustra la figura. Estos planos dividen el espacio en ocho regiones llamadas octantes. El primer octante corresponde a la dirección positiva de los tres ejes.
- 8. EJERCICIOS EN R2 EJERCICIO 1. Determinar si los vectores AB = (35, -21) y CD = (-10, 6) tienen la misma dirección. Calcular el módulo de ambos vectores. Para determinar si dos vectores tienen la misma dirección basta comprobar si sus componentes son proporcionales. El cociente de las primeras componentes es 35/-10 (7/-2) y el de las segundas -21/6 (-7/2), por lo tanto los vectores tienen la misma dirección. EL MÓDULO DE LOS VECTORES ES: |AB| = (1225 + 441)^1/2 = (1666)^1/2 |CD| = (100 + 36)^1/2 = (136)^1/2 EJERCICIO 2. Dado el vector libre a = (5, 3) y el punto A = (4, -1), hallar las coordenadas del punto B para que el vector fijo A B represente al vector a.
- 9. Llamando (x, y) a las coordenadas de B, las componentes del vector AB son (x - 4, y + 1). Para que el vector AB represente al vector libre a se ha de verificar (x - 4, y + 1) = (5, 3), de donde, x - 4 = 5 e y + 1 = 3, obteniéndose x = 9 e y = 2. Así las coordenadas de B son (9, 2). EJERCICIO 3. Un vector que va de A(3, 5) a B(x, y) representa al mismo vector que va de B(x, y) a C(8, 1). Hallar B(x, y). Sean: V = AB = B - A = (x, y) - (3, 5) = (x-3, y-5) W = BC = C - B = (8, 1) - (x, y) = (8-x, 1-y) Si V=W => (x-3, y-5) = (8-x, 1-y) <=> x-3 = 8-x => x=11/2 y-5 = 1-y => y=3 Por tanto, el punto buscado es B (11/2, 3) EJERCICIO 4. Qué pares de los siguientes vectores forman una base:
- 10. EJERCICIO 5. Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2), calcula k para que los vectores y sean: 1 Perpendiculares. 2 Paralelos. 3 Formen un ángulo de 60°.
- 11. EJERCICIO 6. Calcula la proyección del vector sobre el vector . EJERCICIO 7. Hallar un vector unitario de la misma dirección del vector .
- 12. EJERCICIO 8. Calcula la proyección del vector sobre él , siendo A(6,0), B(3,5), C(-1,-1). EJERCICIO 9. Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.
- 14. EJERCICIO 10. Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).
- 15. EJERCICIOS EN R3 1. Hallar dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a (2, −2, 3) y (3, −3, 2).
- 16. 2. Hallar un vector perpendicular a y , y que sea unitario. 3. Dados los vectores y , hallar el producto y comprobar que este vector es ortogonal a y a . Hallar el vector y compararlo con .
- 17. 4. Considerar la siguiente figura: Se pide: 1 Coordenadas de D para que ABCD sea un paralelogramo. 2 Área de este paralelogramo. Por ser la figura un paralelogramo, los vectores y son equipolentes.
- 18. 5. Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide: 1 Hallar para qué valores del parámetro a están alineados. 2 Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos. 1 Hallar para qué valores del parámetro a están alineados. Si A, B y C están alineados los vectores y tienen la misma dirección, por lo que son linealmente dependientes y tienen sus componentes proporcionales. 2 Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos. El módulo del producto vectorial de los vectores y es igual al área del paralelogramoconstruido sobre y .
- 19. 6. Sean A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1) los tres vértices de un triángulo. Se pide: 1 Calcular el coseno de cada uno de los tres ángulos del triángulo. 2 Calcular el área del triángulo. 1 Calcular el coseno de cada uno de los tres ángulos del triángulo. 2 Calcular el área del triángulo.
- 20. CONCLUSIÓN Un vector es un agente que transporte algo de un lugar a otro. Su significado, de todas formas, varía de acuerdo al contexto. Matemáticamente un vector puede ser también un conjunto de elementos ordenados entre sí pero a diferencia de un conjunto normal como el de los números naturales, éste está ordenado. La resta o es el vector representado por la otra diagonal al hacer el punto final del vector es y el inicial, por eso la flecha, si fuera el punto final sería el de y el vector tendría la dirección opuesta Un vector a de dos dimensiones es un par ordenado de números reales a1, a2, y la representación a a1, a2. La magnitud a de a está dada por 12La dirección de a es la dirección del origen al punto a1, a2 a lo largo de la recta que une estos puntos. Geométricamente a un vector de R3 se representa en el espacio como un segmento de recta dirigido.