Este documento describe conceptos básicos de geometría en el espacio, incluyendo sistemas de coordenadas, distancias, ángulos, vectores, planos y rectas. Explica que la geometría en el espacio estudia las propiedades y medidas de figuras tridimensionales. También describe cómo representar puntos, vectores, planos y rectas usando sistemas de coordenadas y ecuaciones.

1. República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación.
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Planos y rectas en el espacio
Profesor: REALIZADO POR:
DOMINGO MENDEZ JESUS FERRER C.I:24.720.518
ING.ELECTRICA
SECCION:

2. Geometría en el Espacio
Es la rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras
geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas
sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el
prisma.
Base de la Geometría en el Espacio
Esta amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base
fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la
geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en
matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales
Sistema de Coordenadas rectangulares en el espacio
El sistema de coordenadas rectangulares (o plano cartesiano) es un objeto
matemático formado por dos rectas perpendiculares trazadas sobre un plano
llamadas "ejes", la recta horizontal es el eje X, la recta vertical es el eje Y. El plano
queda dividido en cuatro partes llamados cuadrantes.
Primer cuadrante "I": Región superior derecha
Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda
Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda
Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha

3. Distancias entre dos puntos
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje (x) o en una recta paralela
a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la
diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje (y) o en una recta paralela
a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la
diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas,
la distancia queda determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) en
el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB
y emplear el teorema de Pitágoras.
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1)
d = 5 unidades
 Distancia entre una recta y un punto: Dada una rectar: Ax+By+C=0 y P= (p1,
p2) un punto no contenido en ella. La
distancia entre el punto y la recta viene dada por:

4. Distancia entre dos rectas: Si dos rectas en el plano no son paralelas, se
cortan en un punto y por tanto la distancia entre ambas será 0. Sólo tiene
sentido estudiar la distancia entre dos rectas si éstas son paralelas.
Sean r:Ax+By+C=0 y s:A'x+B'y+C'=0 dos rectas paralelas. Para hallar la
distancia entre ambas se toma un punto de una de ellas, por ejemplo de r, y se
calcula la distancia de ese punto a s.
 Distancia de un punto a un plano
Si desde un punto se traza una perpendicular y varias oblicuas a un plano, la
perpendicular es menor que las oblicuas. Llamaremos distancia de un punto a
un plano a la longitud del segmento de perpendicular comprendido entre el
punto y el plano.
Ángulos directores
Se llaman ÁNGULOS DIRECTORES de un vector, a los ángulos que el vector forma
con las direcciones positivas de los ejes coordenados. Estos ángulos deberán ser
tomados entre 0 y 𝜋 (0° 𝑦 180° ).
Si el vector V está en R3 y sus componentes son: (v1, v2, v3) tiene tres ángulos
directores: α (ángulo formado con la dirección positiva del eje x); β (ángulo
formado con la dirección positiva del eje y) γ (ángulo formado con la dirección
positiva del eje z).
Cosenos directores
Se le llaman cosenos directores, respecto de un sistema o de coordenadas
ortogonales con origen O y ejes x, y, z, a los cosenos de los ángulos a que el
mismo forma con el sentido positivo de los ejes coordenados.
• Sus fórmulas son:
𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜷 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜸 = 𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝜷 =
𝑨𝜸
∕𝑨∕
𝐜𝐨𝐬 𝜸 =
𝑨𝒁
∕𝑨∕
𝐜𝐨𝐬 ∝ =
𝑨𝑿
∕𝑨∕
• Para encontrar el módulo del vector “A” se utiliza la siguiente fórmula:

5. • Se sustituye el modulo del vector y se despeja α, β, γ en la formula
correspondiente a su eje.
• Posteriormente se sustituye en la fórmula de suma de cosenos.
• Ejemplo: Mediante los cosenos directores determinar los ángulos de α, β, γ del
vector (4, 5, 3)
Plano
Un plano está determinado por:
•Tres puntos no alineados.
•Dos rectas que se cortan determinan un plano y solo uno.
•Dos rectas paralelas.
•Una recta y un punto exterior a esta.

6. Plano Euclidiano
Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se
cortan en el origen, cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos
números: (x, y), que son las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada,
respectivamente, que son las distancias ortogonales de dicho punto respecto a los
ejes cartesianos.
Sistema de coordenadas cartesianas.
La ecuación del eje x es, y = 0 la del eje y es x = 0, rectas que se cortan en el
origen O, cuyas coordenadas son (0,0) .
Se denomina también eje, de las abscisas al eje (x), y eje de las ordenadas al eje
(y). Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes I, II, III y IV, en los que los
signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo (por ejemplo, las dos
coordenadas del punto A serán positivas, mientras que las del punto B serán
ambas negativas).
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del
segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.
Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos
paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la
posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector
OA.
𝑂𝐴 = 𝑋𝐴 𝑖 + 𝑦 𝐴 𝑗
La posición del punto A será:
𝐴 = (𝑋𝐴 , 𝑌𝐴)

7. Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto
como las componentes de un vector en notación matricial.
La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:
𝑑 𝐴𝐵 = √(𝑋 𝐵 − 𝑋𝐴 )2 + (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴)2
Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.
Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del
punto de origen de las del punto de destino:
𝐴𝐵 = ( 𝑋 𝐵 − 𝑋𝐴) 𝑖 + (𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐴 ) j
Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos A
y B antes calculada.
El Plano R3
En un espacio euclidiano tridimensional ℝ3, podemos hallar los siguientes hechos,
(los cuales no son necesariamente válidos para dimensiones mayores).
 Dos planos o son paralelos o se intersecan en una línea.
 Una línea es paralela a un plano o interseca al mismo en un punto o es
contenida por el plano mismo.
 Dos líneas perpendiculares a un mismo plano son necesariamente paralelas
entre sí.
 Dos planos perpendiculares a una misma línea son necesariamente paralelos
entre sí.
 Entre un plano Π cualquiera y una línea no perpendicular al mismo, existe solo
un plano tal que contiene a la línea y es perpendicular al plano Π.
 Entre un plano Π cualquiera y una línea perpendicular al mismo, existe un
número infinito de planos tal que contienen a la línea y son perpendiculares al
plano Π.

8. Ecuación del plano
Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos
vectores:
Punto P = (x1, y1, z1)
Vector u = (ux, uy, uz)
Vector v = (a2, b2, c2)
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥1,𝑦1 , 𝑧1 )+ 𝑚 ( 𝑢 𝑥 , 𝑢 𝑦, 𝑢 𝑧 ) + 𝑛 ( 𝑎2, 𝑏2 , 𝑐2 )
Esta es la forma vectorial del plano, sin embargo la forma más utilizada es la
reducida, resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos vectores
y el punto genérico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del
plano es:
|
( 𝒙 − 𝒑)
𝒖
𝒗
| = 0 => |
𝑥 − 𝑝𝑥 𝑦 − 𝑝 𝑦 𝑧 − 𝑝𝑧
𝑢 𝑥 𝑢 𝑦 𝑢 𝑧
𝑣 𝑥 𝑣 𝑦 𝑣𝑧
| = 0 => 𝐴𝑋 + 𝐵𝑌 + 𝐶𝑍 + 𝐷 = 0
Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincide con el producto
vectorial de los vectores u y v. La fórmula para hallar la ecuación cuando no está
en el origen es:
𝑎 ( 𝑥 − ℎ ) + 𝑏 ( 𝑦 − 𝑘 )+ 𝑐 ( 𝑧 − 𝑗 ) = 0
Posición relativa entre dos planos
Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos
un plano 2 con un punto B y un vector normal 2. Sus posiciones relativas pueden
ser:
 Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A
pertenece al plano 2.
 Planos paralelos: si tienen la misma dirección los vectores normales y el punto
A no pertenece al plano 2.
 Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección.

9. Características de los subconjuntos llamados planos
•Por tres puntos del espacio, no situados en línea recta, pasa un plano y solo uno.
•Si dos planos tienen un punto en común, entonces tienen una recta común que
contiene a ese punto (recta de intersección).
•Si una recta tiene dos puntos en un plano, entonces están contenida en dicho
plano.
Ángulo formado por dos rectas
Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se
pueden obtener a partir de:
• Sus vectores:
• Sus pendientes:
• Ejemplo: Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus
vectores directores son:= (-2, 1) y = (2, -3).

10. • Las rectas r y s se cortan en un punto A, que es vértice de un triángulo
obtusángulo en A. Determina el ángulo A de ese triángulo
𝒓 ≡
𝒙 −𝟏
𝟐
=
𝜸
𝟑
𝒔 ≡
𝒙
𝟏
=
𝜸 − 𝟐
− 𝟐
𝑽𝒓⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 𝟐, 𝟑) 𝑽𝒔⃗⃗⃗⃗ = ( 𝟏,−𝟐)
𝐜𝐨𝐬 𝜶 =
| 𝟐 . 𝟏 − 𝟑 . (−𝟐) |
√ 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟐 . √ 𝟏 𝟐 + (−𝟐) 𝟐
= 𝟎, 𝟒𝟗𝟔𝟏𝟒
𝜶 = 𝟔𝟎° 𝟏𝟓´ A= 𝟏𝟖𝟎° 𝟏𝟓´ = 𝟏𝟏𝟗° 𝟒𝟓´
Rectas y planos
•Una recta y un plano son paralelas si no se intersecan.
•Una recta es paralela a un plano si es paralela a una recta contenida en dicho
plano (Criterio de paralelismo de recta y plano).
•La recta es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por su punto de
intersección.
•La recta es perpendicular, al menos, a una de las rectas que pasan por su punto
de intersección
Rectas en el espacio
Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del
plano, alineados con un punto P y con una dirección dada .
Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector tiene igual
dirección que , luego es igual a multiplicado por un escalar:

11. Rectas en R3
Sea P0(x0, y0, z 0) un punto que pertenece a la recta L, convector
director d diferente del vector cero dado por (a,b,c).Se define a L
como el conjunto de puntos P(x ,y ,z ) tales que la dirección del
vector P0P es paralela a d.
Ecuaciones paramétricas de la recta
Si operamos en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la
igualdad:
Para que se verifique esta igualdad, se deben cumplir:
Ecuaciones continúas de la recta
Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:

12. Ecuaciones implícitas de la recta
Una recta puede venir determinada por la intersección de los
planos.
Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores
y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también
las ecuaciones implícitas.
 Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la
misma pendiente.
𝑈⃗⃗ = 𝑉⃗
𝑈1
𝑈2
=
𝑉1
𝑉2
𝐴1
𝐵1
=
𝐴2
𝐵2
𝒎 𝒓 = 𝒎 𝒔
𝒓 = 𝑨𝑿 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
𝒓 ∥ 𝒔 𝑽 𝒓
⃗⃗⃗⃗ = 𝑽𝒔
⃗⃗⃗⃗ =
( −𝑩 , 𝑨 )
𝑺 = 𝑨𝑿 + 𝑩𝒚 + 𝑲 = 𝟎 K ∈ ℝ
 Rectas perpendiculares
Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y
cambiadas de signo.

13. 𝒎 𝒔 = −
𝟏
𝒎 𝒓
Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son
perpendiculares.
𝑽 𝒓
⃗⃗⃗⃗ . 𝑽𝒔
⃗⃗⃗⃗ = 𝟎
𝒓 = 𝑨𝑿 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 𝑽 𝒓
⃗⃗⃗⃗ = ( −𝑩 , 𝑨)
𝒓 ⊥ 𝒔
𝑺 ≡ −𝑩𝑿 + 𝑨𝒚 + 𝑲 = 𝟎 𝑲 ∈ ℝ 𝑽 𝒔
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑨 , 𝑩)
Ejemplos:
1 Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r ≡ x + 2 y +
3 = 0, que pasen por el punto A (3,5).
𝒎 𝒓 ∥ 𝒎 𝒔
𝒎 𝒓 ∥ 𝒎 𝒔
= −
𝟏
𝟐
𝒚 − 𝟓 = −
𝟏
𝟐
( 𝒙 − 𝟑) 𝟐𝒚 − 𝟏𝟎 = −𝒙 + 𝟑
𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟎
𝒎 𝒓 ⊥ 𝒎 𝒔

14. 𝒎 𝒓 = −
𝟏
𝟐
𝒎 𝒔 =𝟐
𝒚 − 𝟓 = 𝟐 .(𝒙 − 𝟑)
2x – y – 1 = 0
2 Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky +
4 = 0, sean paralelas y perpendiculares .
Características de los subconjuntos llamados rectas
•Dos puntos determinan una recta y solo una.
•Por un punto pasan infinitas rectas.
•El conjunto de puntos de una recta se puede poner en correspondencia
biunívoca con el conjunto de los números reales, de manera que se conserva el
orden.
•Si dos rectas tienen dos puntos en común son coincidentes.
.