Definición de vectores en el plano y en el espacio. Presentación gráfica y analítica sobre la gráfica de un vector y su vector de posición

1. Vectores
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Álgebra Lineal
Secciones NA y NB
Prof. Ing. José Luis Morillo

2. Vector o Magnitud vectorial:
Es un segmento de recta orientado. Tiene tres características básicas:
Módulo, dirección y sentido, que lo diferencian de las magnitudes escalares.
Módulo de un vector: Representa la longitud del mismo
𝐴
Dirección de un vector: Se refiere al ángulo de inclinación respecto a un eje de
Referencia. Por defecto se toma el lado positivo del eje x (en el plano), o los lados
positivos de los ejes coordenados x, y, z si es en el espacio.
𝜃
Sentido de un vector: Es hacia dónde apunta la flecha del mismo
Definición:

3. Representación gráfica de un vector
Todo vector tiene asociado un punto, en el plano o en el espacio, cuyas coordenadas se
convierten en las componentes del vector. Por medio de estas coordenadas es posible
representar gráficamente un vector en un sistema de coordenadas
En el plano (R2) y
x-x
-y
En el espacio (R3)
z
x
y
.P(x,y)
𝑃
.P(x,y,z)𝑃
𝑃 = vector de posición asociado al punto P. Se traza desde el origen de coordenadas
hasta el punto P. La flecha se coloca apuntando hacia el punto P
P = Punto cualquiera en un sistema de coordenadas rectangular

4. Vector de posición:
Todo vector tiene un punto origen y un punto extremo. En el caso de un vector de
posición, el origen siempre es el origen de coordenadas del sistema de referencia.
Supóngase que se quiere graficar el vector 𝑃 = (2,3)
En ese caso se grafica el punto con las componentes
(2,3) del vector dado.
Luego se grafica el vector trazando una línea desde el
origen de coordenadas hasta el punto P
O
1 2 3 4
1
2
3
x
y
.P(x,y)
𝑃
Se procede de igual manera si se trata de un punto
en el espacio R3

5. Vector de posición:
Cuando el origen de un vector es un punto cualquiera de coordenadas (h,k) diferentes al
origen de coordenadas del sistema de referencia es necesario calcular el vector de posición
asociado a los puntos dados.
Se tienen dos puntos A(xa, ya) y B(xb, yb) y se pide calcular el vector 𝐴𝐵
.
.
A(xa, ya)
B(xb, yb)𝐴𝐵
Se procede de la siguiente manera
Se descompone el vector 𝐴𝐵 como la diferencia entre su punto extremo B y su punto
origen A
𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴
NOTA: SIEMPRE será de esta manera: extremo - origen

6. Ahora, sustituyendo las coordenadas de los puntos A y B
Vector de posición:
𝐴𝐵 = (xb, yb) - (xa, ya)
Restando por componentes, x con x y y con y, resulta:
𝐴𝐵 = (xb- xa , yb - ya)
Y así se obtienen las componentes del vector de posición asociado al vector 𝐴𝐵
Por ejemplo, si A(2,-3) y B(-3,2) el vector de posición de 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴
Recuérdese: siempre es el extremo menos el origen
Entonces, 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = (-3,2) – (2,-3) = (-3–2 , 2 – (-3)) = (-5 , 2 + 3) = (-5 , 5)
𝐴𝐵 = (−5,5)
Veamos el procedimiento graficando los puntos y el vector de posición en la siguiente pantalla

7. se grafican los puntos A(2,-3)
y B(-3,2))
A
B
El vector 𝐴𝐵 se traza desde el
punto A al punto B
Ahora se traza el vector de
posición asociado al vector
𝐴𝐵, que dió como resultado
(-5,5)
Se traza el punto (-5,5)
Y se traza el vector de
posición con una línea que va
desde el origen de
coordenadas hasta el punto
(-5,5)
𝑨𝑩
𝑨𝑩
Este es el
vector
“real”
Este es el vector de
posición asociado al
vector “real”
Observe que el vector de
posición tiene igual módulo,
dirección y sentido que el
vector “real”

8. De manera similar, en R3:
Sean los puntos K(1,2,2) y L(3,-2,4), se
calcula el vector de posición asociado al
vector 𝐾𝐿
𝐾𝐿 = 𝐿 − 𝐾 = (3,-2,4) – (1,2,2)
= (3 – 1 , – 2 – 2 , 4 – 2 ) = (2,-4,2)
𝐾𝐿 = (2,-4,2)
Gráficamente, se procede igual que en R2:
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
5
x
y
z
-x
-y
-z
5
5
Se grafican los puntos
K
L
𝑲𝑳
-1
-2
-3
-4
K(1,1,2) ; L(3,-2-4)
Y el vector 𝐾𝐿 como una línea que va
desde el punto k al punto L
Ahora el vector de posición asociado:
Se traza el extremo del vector de
posición, que dio (2,-4,2)
Y luego el vector de posición como una
línea que va desde el origen de
coordenadas hasta el punto extremo
𝑲𝑳
Este es el vector de
posición asociado al
vector “real”
Este es el
vector
“real”
NOTA: -RECUERDE QUE ESTE ES UN GRÁFICO EN 3D

9. PRESENTACIÓN REALIZADA ÚNICA Y EXCLUSIVAMENTE CON FINES DIDÁCTICOS
Todos los derechos reservados para el autor
Ing. José Luis Morillo
Valencia - Venezuela