Trabajo con todo el tema extendido sobre las rectas y los planos en el espacio.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
I.U.P ¨Santiago Mariño¨
Rectas y planos en el espacio
Realizado por:
Andrea Ramírez

2. C.I:26.344.379
Ing. Eléctrica
Sistema de referencia en el espacio.
DEF 1: Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z,
perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene
determinado por tres coordenadas P(x, y, z).
Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos
planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el
primer octante las tres coordenadas son positivas.
DEF 2: Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que
permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio
euclídeo.
Un sistema de referencia en el espacio consiste en el conjunto.

3. R꞊{0,(
𝑖,
→
𝑗,
→
𝑘
→ )}formado:
• Un punto fijo, 0, llamado ORIGEN.
• Una base(
𝑖,
→
𝑗,
→
𝑘
→ )para los vectores.
• Y a cada punto se le asocia el vector → OP de coordenadas del espacio ( 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧 𝑎)
Coordenadas del punto medio de un segmento
Sean A (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) y B (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) los extremos de un segmento, el punto medio del
segmento viene dado por:
Ejemplo Dados los puntos A (3, −2, 5) y B (3, 1, 7), hallar las coordenadas del punto
medio del segmento que determinan.
𝑀(3+3
2
), (−2+1
2
), (5+7
2
) 𝑀(3,−1,6
2
)
Simétrico de un de un punto respecto de otro.
El simétrico de P respecto de Q es P' si Q es el punto medio del segmento PP'. Por
tanto, si P = (𝑥1 𝑦1 𝑧1) y Q = (𝑥2 𝑦2 𝑧2) Las coordenadas de P'= (α, β, γ ) se obtienen
a partir de las siguientes igualdades:
𝑋1+𝑎
2
꞊𝑥2
𝑦1 +𝐵
2
꞊𝑦2
𝑧1+𝑦
2
꞊𝑧2
Coordenadas del baricentro de un triángulo.
Es aquel punto donde se concentra la masa de un cuerpo, es decir si un cuerpo se
apoya sobre su baricentro permanecerá en equilibrio por lo que también se le
conoce como centro de gravedad y se representa mediante la letra G.
El baricentro de un triángulo se encuentra en la intersección de las medianas,
donde la mediana es la línea que une a un vértice con el punto medio del lado
opuesto.

4. Sean A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2) y C (x3, y3, z3) los vértices de un triángulo, las
coordenadas del baricentro son:
(
𝒙𝟏+𝒙𝟐+𝒙𝟑,
𝟑
𝒚𝟏+𝒚𝟐+𝒚𝟑,
𝟑
𝒛𝟏+𝒛𝟐+𝒛𝟑
𝟑
)
Ejemplo Sean A = (2, 1, 0), B = (1, 1, 1) y C = (4, 1, −2) los vértices de un triángulo.
Determinar las coordenadas del baricentro.
(
𝟏+𝟑−𝟏,
𝟑
−𝟏+𝟐+𝟒,
𝟑
𝟑−𝟐+𝟏
𝟑
) (1,
5
3
,
2
3
)
Puntos alineados
Tres o más puntos están alineados si están en una misma recta, y por tanto el rango
de los vectores determinados por ellos es 1.
Ejemplo:
Comprobar si los puntos A (2, 3,1), B (5, 4,3) y C (2, 1, 2) están alineados.
AB⃗⃗⃗⃗⃗ ꞊ (5-2,4-3,3-1) ꞊ (3, 1,2)
AC⃗⃗⃗⃗⃗ ꞊ (2-2,1-3,2-1) ꞊ (0,-2,1)
( 𝟑 𝟏 𝟐
𝟎 −𝟐 𝟏
) |
𝟑 𝟏
𝟎 −𝟐
| ≠ 𝟎
Rang (AB, AC) ꞊2 Los puntos no están alineados.
Puntos coplanarios
Dos o más vectores son coplanarios si son linealmente dependientes, y por tanto
sus componentes son proporcionales y su rango es 2. Dos o más puntos son
coplanarios, si los vectores determinados por ellos también son coplanarios. Los
puntos coplanarios están en un mismo plano.
Ejemplo
Comprobar si los puntos A (1,2,3), B (4,7,8), C (3,5,5), D (−1,−2,−3) y E (2, 2,2) son
coplanarios.
Los puntos A, B, C, D y E son coplanarios si:
Rang (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ) ꞊ 2
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ꞊ (4-1,7-2,8-3) ꞊ (3, 5, 5)
3 5 5
2 3 2
−2 −4 6
≠0

5. 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ꞊ (3-1,5-2,5-3) ꞊ (2, 3, 2)
𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ꞊ (-1-1,-2-2,-3-3) ꞊ (1, 0,-1) Rang (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ) ꞊ 3
Los puntos A, B, C, D y E no son coplanarios.
Ecuación de la recta.
Ecuación vectorial de la recta
Sea P (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0,) es un punto de la recta r y → 𝑑 su vector director, el vector → 𝑃⃗ x
tiene igual dirección que → 𝑑, luego es igual a → 𝑑 multiplicado por un escalar:
𝑝𝑥⃗⃗⃗⃗ ꞊𝜆𝑑⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ ꞊𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝑋⃗⃗⃗⃗⃗
(x, y, z)꞊ (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)+λ (𝑑1 𝑑3 𝑑3)
Ecuaciones paramétricas de la recta.
Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:
(X, Y, Z)꞊ (𝑋0 +𝜆𝑑1, 𝑦0 +𝜆𝑑2,𝑧0 +𝜆𝑑3)
Esta igualdad se verifica si:
{
𝒙꞊ 𝒙 𝟎 +𝝀𝒅 𝟏
𝒚꞊ 𝒚 𝟎 +𝝀𝒅 𝟐
𝒛꞊ 𝒛 𝟎 +𝝀𝒅 𝟑
Ecuaciones continúas de la recta.
Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:
𝑥−𝑥0
𝑑1
꞊
𝑦−𝑦0
𝑑2
꞊
𝑧꞊𝑧0
𝑑3
Ecuaciones implícitas o general de la recta.

6. Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.
Al resolver las siguientes igualdades obtenemos:
𝑥−𝑥0
𝑑1
꞊
𝑦−𝑦0
𝑑2
𝑥−𝑥0
𝑑1
꞊
𝑧꞊𝑧0
𝑑3
{
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 ꞊ 0
𝐴´𝑥 + 𝐵´𝑦 + 𝐶´𝑧 + 𝐷´ ꞊ 0
Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos
todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas.
Rectas.
La recta o la línea recta se extiende en una misma dirección por tanto tiene una sola
dimensión y contiene infinitos puntos; se puede considerar que está compuesta de
infinitos segmentos. Dicha recta también se puede describir como una sucesión
continua e indefinida de puntos extendidos en una sola dimensión, es decir, no
posee principio ni fin.
Ejemplos.
Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que
pasa por el punto A = (1, 2, 1) y cuyo vector director es 𝑑= (4, 5, −1).

7. {
𝑥 ꞊ 1 +4𝜆
𝑦 ꞊ 2 −5𝜆
𝑧 ꞊ 1 −𝜆
λ꞊
𝑥−1
4
𝑥−1
4
꞊
𝑦−2
5
꞊
𝑧−1
−1
𝑥−1
4
꞊
𝑦−5
5
𝑥−1
4
−
𝑧−1
−1
{
5𝑥 − 4𝑦 + 13꞊ 0
4𝑥 − 4𝑧 + 3꞊ 0
λ꞊
𝑦−2
5
λ꞊
𝑧−1
−1
Posiciones relativas de dos rectas.
En el plano, dos rectas pueden adoptar dos posiciones relativas: cortarse en un
punto o ser paralelas. En el espacio dos rectas pueden adoptar tres posiciones: las
dos anteriores y además cruzarse. Visualizaremos en la siguiente escena esas tres
situaciones; en ella aparecen dos rectas: una de color negro y otra de color rosa,
cada una de ellas determinada por un punto y un vector. Modificaremos estas rectas
para que vayan adoptando las tres posiciones fundamentales.
Nos dan dos rectas, r y s, determinadas cada una de ellas por un vector posición y
un vector dirección.
r꞊{
𝑝⃗⃗⃗ (𝑝1, 𝑝2, 𝑝3)
𝑑(𝑑1, 𝑑2, 𝑑3)
s꞊ {
𝑝 (𝑝´1, 𝑝´2, 𝑝´3)
𝑑 (𝑑´1, 𝑑´2, 𝑑´3)

8. Para ver cuál es la posición relativa de dos rectas, empezaremos por comprobar si
𝑑//𝑑´⃗⃗⃗ . Para ello, basta con observar si:
(𝑑1, 𝑑2 , 𝑑3) Es igual a K (𝑑´1, 𝑑´2 , 𝑑´3 ) para algún valor de k
Estudio de las posiciones relativas de dos rectas mediante rangos
La posición relativa de dos rectas también puede ser determinada desde un punto
de vista más geométrico y no tan algebraico a partir de sus respectivos vectores
directores.
Vectores directores linealmente independientes: Las rectas se cortan o se cruzan.
Para ver cuál es el caso, crearemos un tercer vector a partir de un punto de una
recta y otro punto de la otra. Si dicho vector es linealmente dependiente con los
vectores directores de las rectas, entonces las rectas se cortan. Si no, se cruzan.
Vectores directores linealmente dependientes: Las rectas son paralelas o
coincidentes.
Para ver en qué caso estamos buscaremos un punto de una de las rectas y
sustituiremos en la otra. Si pertenece a ella, las rectas son coincidentes. Si no
pertenece a ambas rectas, entonces son paralelas.
Rectas paralelas, coincidentes y perpendiculares.

9. Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de
posición distintos, o sea
L1: y = m1x + n1
L2: y = m2x + n2,
Entonces L1 // L2 sí y sólo si m1 = m2
Ejemplo: Las rectas y = 4x + 5; y = 4x - 2 son paralelas.
Dos rectas son coincidentes cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes
de posición iguales, o sea
L1: y = m1x + n1
L2: y = m2x + n2,
Entonces L1 coincidente con L2 sí y sólo si m1 = m2 y n1 = n2
Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1, o sea
L1: y = m1x + n1
L2: y = m2x + n2,
Entonces L1 L2 sí y sólo si m1· m2 = -1
Ejemplo:
L1: y = -2x + 3
L2: y = 0,5x - 4
Entonces L1 L2 ya que -2 · 0,5 = -1
Ecuaciones del plano.

10. Un plano del espacio queda determinado cuando conocemos un punto P del mismo
y dos vectores u y v, no nulos y linealmente independientes contenidos en el plano,
llamados vectores directores del mismo.
 Que expresada en coordenadas:
(x,y,z)=(x0,y0,z0)+t·(u1,u2,u3)+s·(v1,v2,v3)
 A partir de aquí podemos escribir: x=x0+t·u1+s·v1
y=y0+t·u2+s·v2
z=z0+t·u3+s·v3
 Los vectores PP0, u y v son dependientes:
x-x0=t·u1+s·v1
y-y0=t·u2+s·v2 desarrollando: Ax+By+Cz=D
z-z0=t·u3+s·v3
 Si n=(A,B,C) es un vector normal al plano yP0(x0,y0,z0) un punto del
mismo: A·(x-x0)+B·(y-y0)+C·(z-z0)=0
Ecuación vectorial
Para determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario que
conozcamos un punto de la recta y un vector de posición o dos puntos de la
recta. Vamos a hallar la ecuación a partir de un punto y un vector de
posición, si tuviésemos dos puntos A, R entonces el vector 𝐴𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ es un vector
de posición.
Dados un punto A de la recta y un vector de dirección 𝑏⃗ , un punto genérico
R de la recta tendrá como vector de posición 𝑂𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ .
Por suma de vectores se tiene que 𝑂𝑅꞊⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ , como el vector 𝐴𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑏⃗
están en la misma dirección existe un número tal que 𝐴𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ ꞊ t . 𝑏⃗ , por tanto
𝑂𝑅꞊⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + t . 𝑏⃗ . Reemplazando 𝑂𝑅꞊⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟 y 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ꞊ 𝑎 se tiene: 𝑟꞊ 𝑎+ t . 𝑏⃗
Que se conoce como ecuación vectorial de la recta.
Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuando está escrita en
ecuación paramétrica:

11. Se igualan las coordenadas
Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente
Se eliminan los parámetros para encontrar una única ecuación lineal en
variables x, y, z
Función paramétrica del plano: función cuyo dominio es el plano cartesiano
y recorrido el espacio, tiene como imagen un plano en el espacio f(λ,μ)= (x
+ λp +μq , y +λp +μq , z +λp +μq )
Ecuación vectorial: (x,y,z)=(x , y , z )+λ(p , p , p )
Ecuación paramétrica: L: (x,y,z), donde:
x= x + λp
y= y + λp
z= z + λp
Si dos rectas son paralelas, no se intersecan, pero existe un único plano
que las contiene.
Si son secantes, existe un único punto de intersección y un plano que las
contiene
Si son alabeadas, no hay un punto en común y tampoco hay un plano que
las contiene a ambas.
*donde p, son vectores directores
Por cada par de valores λ y μ que reemplacemos en la ecuación
obtendremos un punto en el espacio y el conjunto de todos esos puntos
obtenidos corresponde a un plano en el espacio
Ecuación paramétrica: función que asocia un punto de la recta a cada valor
del paramétro en la recta numérica. x= x + λp + μq y= y + λp + μq z= z + λp
+ μq
Donde, el vector posición P =(x ,y ,z ) y los vectores directores son p=(p +p
+p ) y q=(q +q +q )
A partir de la ecuación vectorial del plano II, escribimos las ecuaciones

12. como un sistema de inecuaciones, y se resuelve de modo que se eliminen
los parámetros λ y μ, y así obtener la ecuación cartesiana de un plano cuya
forma general es: Ax+By+Cz+D=0
Cuando no son paralelas, la intersección es un punto que pertenece a los
tres planos, la recta resultante de los dos primeros es paralela al tercer
plano y entonces la intersección de los tres planos es vacía
Considera la ecuación: (x,y,z)=(2,1,-2)+λ(1,3,1)+ μ(4,0,1). Para los
siguientes. Valores de λ y μ determina los puntos. en el espacio que
corresponden en el plano
a) λ=1, μ=2
b)λ=2, μ=1
Considera la ecuación: (x,y,z)=(2,1,-2)+λ(1,3,1)+ μ(4,0,1). Para los
siguientes. Valores de λ y μ determina los puntos. En el espacio que
corresponden en el plano
c) λ=0, μ=0
d) λ=0, μ=1
Considera la ecuación: (x,y,z)=(2,1,-2)+λ(1,3,1)+ μ(4,0,1). Para los
siguientes. Valores de λ y μ determina los puntos. En el espacio que
corresponden en el plano
e) λ=2, μ=2
Ecuación general o implícita del plano.
Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ·
Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna
de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

13. Posiciones relativas de planos y rectas.
Sea la rec ta:
Y el plano
Para estudiar la posición relativa de la recta y el plano discuti mos
el sistema:
Si:
r = rango de la matriz de los coeficientes.
r'= rango de la matriz ampliada.
Las posiciones relativas de la recta y el plano vienen dada por
la siguiente tabla:
Posición r r'
Recta contenida en el
plano
2 2
Recta y plano paralelos 2 3

14. Recta y plano secantes 3 3
Sea una recta definida por el punto A y el vector . Y un plano
cuyo rector normal es . Las posiciones relativas de la recta y el
plano son: Sea una recta definida por el punto A y el vector . Y
un plano cuyo rector normal es . Las posiciones relativas de la
recta y el plano son:
Posición A
Recta contenida en el
plano
= 0 π
Recta y plano paralelos = 0 π
Recta y plano secantes ≠ 0
Recta contenida en el plano

15. Recta y plano paralelos
Recta y plano secantes