Control de velocidad

Control de Velocidad
REIVAX AUTOMAÇAÕ E CONTROLE Página 1 de 37
Índice
1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................ 2
2. MODELADO DEL SISTEMA CONTROLADO....................................................... 2
2.1. MODELO CLÁSICO .........................................................................................3
2.2. TURBINA NO-IDEAL........................................................................................5
2.3. MODELO NO-LINEAL.......................................................................................8
3. REPRESENTACIÓN DE LA INERCIA .............................................................. 13
3.1. CÁLCULO DE H ........................................................................................... 15
4. SISTEMA ACEITE-DINÁMICO....................................................................... 17
5. CONTROL DE VELOCIDAD (REGULACIÓN PRIMARIA).................................. 18
5.1. REGULADOR SINCRÓNICO .............................................................................. 20
5.2. REGULADORES CON ESTATISMO PERMANENTE ....................................................... 21
5.3. REGULADOR CON ESTATISMO TRANSITORIO.......................................................... 26
5.4. REGULADORES PID...................................................................................... 29
6. AJUSTES - FÓRMULA SIMPLE DE AJUSTE..................................................... 30
6.1. ESTATISMO PERMANENTE DE POTENCIA............................................................... 31
6.2. CANAL INDEPENDIENTE DE LAS GANANCIAS PID PARA COMANDOS DE VARIACIÓN DE CARGA. 32

1. Introducción
Esta apostilla trata de aspectos relacionados con reguladores de velocidad de
turbina hidráulicas.
Inicialmente es abordada la cuestión del modelado del sistema controlado
(turbina y conducto forzado). Después son discutidas algunas estructuras de
reguladores de velocidad, como reguladores sincrónicos, con estatismo
permanente y transitorio, con canal independiente para tomada de carga, etc., y
las razones del uso de estas estructuras.
Al final es presentada la bibliografía de la cual se extrajo grande parte de los
tópicos aquí presentados, y que sugerimos para aquellos que quieran conocer el
asunto un poco mas.
2. Modelado del Sistema Controlado
Inicialmente, la representación de la turbina y su columna de agua asociada,
será hecha con las siguientes consideraciones:
- El conducto forzado es inelástico.
- El agua es incompresible.
- La velocidad del agua varia proporcionalmente con la abertura del distribuidor y
con la raíz cuadrada de la caída de agua.
- La potencia mecánica desarrollada por la turbina es proporcional al producto de
la caída por el volumen del flujo del agua.
Figura 1

2.1. Modelo Clásico
La velocidad del agua en el conducto es dada por:
U K G Hu= (1)
donde
U = velocidad del agua
G = posición del distribuidor
H = caída hidráulica en el distribuidor
Ku = constante de proporcionalidad
Para pequeños desplazamientos en torno a un punto de operación tenemos:
(2)
∆ ∆ ∆U
U
H
H
U
G
G= +
∂
∂
∂
∂
desde las derivadas parciales de (1) y dividiendo todo por U -=KuG..#H..-,
logramos :
∆ ∆ ∆U
U
H
2H
G
G0 0 0
= + (3)
o
∆ ∆ ∆U
2
H + G=
1
(4)
donde el subíndice 0 indica valores de régimen permanente, y la barra "-"
sobrescrita indica valores normalizados basados en valores operativos de
régimen permanente.
La potencia mecánica desarrollada por la turbina es proporcional al producto de
la presión y del flujo, así:
P K HUm p= (5)
considerando pequeños desplazamientos en torno a un punto de operación,
linealizando y dividiendo ambos lados de (5) por P K H Um0 p0 0 0= , logramos:
∆ ∆ ∆P H + Um = (6)
substituyendo ∆U en la ecuación arriba por su valor dado por (4) :

∆ ∆ ∆P 1.5 H + Gm = (7)
De modo semejante, substituyendo ∆H en (6)
∆ ∆ ∆P U -2 Gm = 3 (8)
La aceleración de la columna de agua debido a que una variación de caída en la
turbina de acuerdo con la segunda ley de Newton, puede ser expresada como:
( ) ( )ρ ρLA
d U
dt
A a Hg
∆
∆= − (9)
donde :
ρ = densidad del agua
L = largura del conducto
A = área del conducto
ag = aceleración de gravedad
ρLA = masa del agua
rag DH = variación incremental de presión en el distribuidor
t = tiempo (s)
Dividiendo ambos los lados de (9) por Aire Aρ ag H0 U0, la ecuación de la
aceleración es normalizada, lográndose :
LU
a H
d
dt
U
U
H
H
0
g 0 0 0
∆ ∆




 = − (10)
definiendo el valor TW como :
TW = (11)
y sustituyendo en (10), tenemos:
T
d U
dt
Hw
∆
∆= − (12)
TW es conocido como el tiempo de partida del agua. Representa el tiempo
requerido para acelerar el agua en el conducto desde el reposo hasta la velocidad
U0, bajo la caída U0. Se debe observar que TW varia con la carga, cuanto mayor
la carga, mayor es el valor de TW. Valores típicos de TW la plena carga están
entre 0,5 y 4 segundos.
De la ecuación (12) podemos observar una importante característica de la
turbina hidráulica.
LU0
agH0

Si cerramos el distribuidor, una contra presión es aplicada al final del conductor,
y el agua es des-acelerada. Entonces si hay una variación positiva de presión,
habrá una variación negativa de aceleración del agua.
De las ecuaciones (4) y (12) podemos lograr la relación entre variación de
velocidad y variación en la posición del distribuidor:
( )T
d U
dt
G Uw
∆
∆ ∆= −2 (13)
substituyendo d/dt por el operador "s" de Laplace, y re arreglando, logramos:
∆ ∆U =
1
1+
1
2
T s
G
w
(14)
substituyendo por su valor exprimido en la ecuación (8) se llega a:
∆
∆
P
G
=
1- T s
1+ T s
m w
w
2
(15)
Esta ecuación representa la función de transferencia clásica de una turbina
hidráulica. Muestra como la potencia de la turbina varia en función de una
variación en la abertura del distribuidor.
2.2. Turbina No-ideal
Las expresiones para una turbina no ideal pueden ser establecidas considerando
las variaciones de velocidad o flujo de agua y de potencia mecánica como siendo:
∆ ∆ ∆ ∆U = a H a a G11 12 13+ +ω (16)
∆ ∆ ∆ ∆P = a H a a Gm 21 22 23+ +ω (17)
donde ω es la variación de rotación en p.u. Esta variación de rotación es
pequeña, especialmente si la unidad está sincronizada a un sistema de potencia
grande. En este caso aquellos relacionados con ∆ω pueden ser despreciados, y
consecuentemente tenemos:
∆ ∆ ∆U = a H a G11 13+ (18)
∆ ∆ ∆P = a H a Gm 21 23+ (19)
Los coeficientes a11 y a13 son derivados parciales del flujo de agua con relación

a la caída y a la abertura del distribuidor. Los coeficientes a21 e a23 son
derivadas parciales de la potencia mecánica suministrada por la turbina con
relación a la caída y a la abertura del distribuidor. Estos coeficientes "a"
dependen de la carga de la máquina y pueden ser determinadas de las
características de la turbina en el punto de operación.
a
Q
H
11 =
∂
∂
a
Q
G
13 =
∂
∂
(20)
a
P
H21
m
=
∂
∂
a
P
G23
m
=
∂
∂
Usando las ecuaciones (18) y (19) en el lugar de las ecuaciones (4) y (7), se
llega a la siguiente relación entre ∆Pm y ∆G :
( )
sTa+1
sTa/aaa1
a=
G
P
w11
w23211311
23
m −+
∆
∆
(21)
Los coeficientes "a" varían conforme el tipo de turbina. Para una turbina Francis
ideal tenemos que :
a11 = 0.5 a12 = 1
a21 = 1.5 a22 = 1
La función de transferencia establecida en la ecuación (15) o en la (21) es del
tipo de fase no mínima (cero en el semi-plano derecho), lo que confiere una
característica especial a este sistema. Así, para una variación en escalón en la
posición del distribuidor, en una turbina ideal, el teorema del valor inicial nos
suministra el valor inicial de la variación de la potencia mecánica:
∆P (o) = lim s
s
1- T s
1+
T
2
s
m
s o
w
w→
= −
1
2 (22)
y el teorema del valor final resulta:
∆P ( ) = lim s
s
1- T s
1+
T
2
s
m
s o
w
w
∞ =
→
1
1 (23)
La respuesta completa resulta :
[ ]∆ ∆P (t) = 1 - e Gm
-(2/Tw )t
(24)

La figura adelante muestra la respuesta a una apertura unitaria del distribuidor
de una turbina ideal con Tw = 4 s.
T
2
W
Figura 2 - Variación de la potencia mecánica de una turbina (Tw =4) para
una abertura instantánea del distribuidor del 100%
Inmediatamente después la abertura unitaria del distribuidor (en el tiempo t=1s)
la potencia mecánica reduce de 2 p.u., para después crecer exponencialmente
hasta 1 p.u. (valor de régimen), con una constante de tiempo de Tw/2 segundos
(en el caso 2 segundos).
La característica especial según se observa es que la potencia mecánica
inicialmente varia en oposición a la dirección de la variación del distribuidor
(distribuidor abre y la potencia baja).
La razón es que al ocurrir la apertura rápida del distribuidor, el flujo no varia
inmediatamente debido a la inercia del agua. Mientras, la presión en la turbina es
reducida, causando reducción en la potencia.
Con la respuesta determinada por Tw, el agua acelera hasta el flujo alcanzar un
nuevo valor de régimen permanente y consecuentemente tener un nuevo valor
de régimen para la potencia mecánica.
La próxima figura muestra la evolución de la potencia mecánica y de la velocidad
del agua de una turbina hidráulica con Tw = 1s después una reducción de 10%
en forma de escalón en la abertura del distribuidor del 10%.

Figura 3 - Respuesta a un escalón de -0.1 pu en la abertura del
distribuidor de una turbina hidráulica con Tw = 1s.
La próxima figura muestra las mismas variables, ahora para una reducción en
rampa de la abertura del distribuidor (0.1 p.u. en 1s).
Figura 4 - Respuesta a una rampa de -0.1 pu en la abertura del
distribuidor de una turbina hidráulica con Tw = 1 S.
2.3. Modelo No-lineal
El modelo descrito por la ecuación (21) representa la dinámica de la turbina para
pequeñas variaciones en torno a un punto de operación. Él permite una visión
inmediata de las características básicas del sistema hidráulico. Este modelo ha
sido usado hace bastante tiempo en diversos estudios ( y en muchos de ellos es
suficiente).
Para estudios que requieren grandes variaciones de potencia y frecuencia, este
modelo no es lo más apropiado.

Será determinado a continuación un modelo no lineal para la turbina y su
conducto asociado, sin embargo aún considerando la columna de agua inelástica,
y que sea más adecuado a estas grandes variaciones.
Las ecuaciones hidrodinámicas básicas son :
U = K G Hu (25)
P = K H Up (26)
( )dU
dt
-
a
L
H - H
g
o= (27)
Q = A U (28)
donde :
U = velocidad del agua
G = abertura del distribuidor ideal
H = caída hidráulica en el distribuidor
H0 = valor de régimen inicial de H
P = potencia de turbina
P = flujo de agua
A = área del conducto
L = largura del conducto
ag = aceleración de la gravedad
t = tiempo en segundos
desde que se esté interesado en grandes variaciones, las ecuaciones (25) la (28)
serán normalizadas con base en valores nominales, resultando en :
U
U
G
G
H
Hr r r
=






1
2
(29)
P
P
U
U
H
Hr r r
= (30)
donde r indica valores nominales. En p.u. las ecuaciones arriba pueden ser
escritas como:
U G H=
1
2 (31)
P U H= (32)

De la ecuación (31) :
H
U
G
=






2
(33)
De modo semejante, la ecuación (27) en p.u. queda :
d
dt
U
U
-
a
L
H
U
H
H
-
H
Hr
g r
r r
o
r





 =





 (34)
o
( )dU
dt
-
1
T
H - H
w
o= (35)
o aún, usando la anotación de Laplace:
U
H - H
-
1
T so w
= (36)
donde Tw es el tiempo de partida del agua en carga nominal. Tw tiene un valor
definido para un determinado conjunto turbina-conducto y es dado por :
T
LU
a H
-
LQ
a AHw
g r
r
g r
= = (37)
De las ecuaciones (11) y (37), el tiempo de partida del agua Tw en cualquier
carga está relacionado con su valor Tw en carga nominal por :
T
U
U
H
H
Tw
o
r
r
o
W= (38)
La potencia mecánica suministrada Pm es :
P P Pm L= − (39)
donde PL representa la pérdida fija de potencia de la turbina dada por:
P U HL NL= − (40)
donde UNL representa la velocidad del agua con operación en vacío. Bajo la

forma normalizada se tiene :
P
P
P
P
P
P
U
U
U
U
H
H
m
r r
L
r r
NL
r r
= − = −





 (41)
o
( )P U U Hm NL= − (42)
La ecuación (42) expresa la potencia de salida de la turbina en p.u., en la base
de MW nominal de la turbina. En ciertos estudios se hace necesaria la obtención
del torque mecánico en la base del MVA del generador u otra base. Así, se
puede escribir :
( )T P
P
MVA base
= U U H Pm
o
m
r
NL r=











 −
ω
ω ω
1
(43)
donde:
ω = velocidad en p.u. .
MVA base = MVA base en el cual el torque de la turbina es para ser 1 p.u.
Pr = potencia nominal de la turbina en p.u. =
MW turbina
MVA base
En las ecuaciones anteriores la abertura del distribuidor G es la "abertura ideal",
considerando una variación de vacío a la plena carga ser de 1 p.u.
La abertura real, la cual denominamos "g", es basada en una variación del
distribuidor, desde totalmente cerrado hasta totalmente abierto, siendo igual a 1
p.u. La figura adelante muestra la relación entre la abertura real e ideal del
distribuidor.

Figura 5 - Relación entre abertura ideal y real del distribuidor
La apertura ideal está relacionada con la real por:
G A gt= (44)
donde At es la ganancia de la turbina dada por:
A
g gt
FL NL
=
−
1
(45)
Las ecuaciones (33) la (37) y (43) la (45) definen las características de la turbina
y de la columna de agua, y están representadas en el diagrama de bloques a
continuación:
A
g g
t
FL NL
=
−
1
P
MW nominal da turbina
base MVA
r =
T
LU
a Hw
r
g r
= ( )U A g HNL t NL o=
1
2

Figura 6 - Diagrama de bloques de la turbina hidráulica considerando
columna de agua inelástica
Las expresiones matemáticas que describen el modelo de la turbina y del
conducto pueden ser re arregladas en 2 ecuaciones, una para representar la
turbina y la otra para el conducto.
Ecuaciones para la columna de agua :
( )dU
dt
-
1
T
H - H -
1
T
U
A g
H
w
o
w t
o= =





 −








2
(46)
Ecuación para la turbina:
T
U U U
A g
Pm
NL
t
r=
− 





ω
2
(47)
De la ecuación (46), en la condición de operación a vacío, se tiene:
( )U A g HNL t NL o=
1
2 (48)
Siendo que en general Ho = 1.
3. Representación de la Inercia
Una máquina síncronica operando en régimen permanente tiene el torque
mecánico igual al torque eléctrico. Ocurriendo un desequilibrio entre los
torques actuantes en el rotor, el torque resultante que causa una aceleración o
des aceleración es :
T T Ta m e= − (49)
donde:
Ta = torque acelerante (N.m)
Tm = torque mecánico (N.m)
Te = torque eléctrico (N.m)
La inercia del grupo (generador + turbina) es acelerada por la diferencia entre
los torques aplicados. La ecuación del movimiento es dada por:
J
d
dt
= Tm
a
ω
(50)
donde:

J = momento de inercia acordado del generador y de la turbina en Kg.m2
.
ωm = velocidad angular del rotor en rad/s.
t = tiempo.
La ecuación anterior puede ser normalizada en función de la constante de inercia
H en p.u.
H puede ser definido como la energía cinética en Watt. segundo en la velocidad
nominal dividido por los VA base. Representando la velocidad angular nominal
en rádianos por segundo como ωom, podemos expresar la constante de inercia
por:
H =
JW
2 VA
2
om
base
(51)
El momento de inercia J en función de H queda:
J =
2H
VA2
om
base
ω
(52)
Sustituyendo esta ecuación en (50) tenemos :
T - T =
2H
VA
d m
dtm e 2
om
base
ω
ω
(53)
Re arreglando:
2H
d
dt
=
T - T
VA /
m
om
m e
base om
ω
ω ω





 (54)
Como Tbase = VAbase / ωom, la ecuación del movimiento en p.u. queda :
2H
d
dt
T - T
r
m e
ω
= (55)
o
d
dt
1
2H
T
r
a
ω
= (56)
Integrando con relación al tiempo se logra :
ωr a
o
t1
2H
T dt= ∫ (57)
Sea TM el tiempo requerido para el torque nominal acelerar el rotor de cero
hasta la velocidad nominal. De la ecuación (57) con ωr = 1, Ta = 1, y con el

valor inicial de ωr 0= , se tiene que:
1
1
2H
1 dt =
T
2Ho
Tm m
= ∫ (58)
Luego :
T = 2Hm segundos (59)
TM es llamado de tiempo de partida mecánica o tiempo de aceleración de la
unidad. La nomenclatura Ta también es usada para este tiempo.
3.1. Cálculo de H
Conforme ya definido:
H
energia armazenada na velocidade nominal em MW.s
MVA nominal
= (60)
Como la energía almacenada es igual a la energía cinética, la cual es :
Energía cinética =
1
2
J W.som
2
ω (61)
=
1
2
J x 10 MW.som
2 -6
ω
donde :
J = momento de inercia en Kg.m2
ωom = velocidad nominal en rad/s
ω πom
RPM
60
= 2
Entonces :
H
J x 10
MVA
om
2 -6
nominal
=
1
2
ω
(62)
( )
H x 10
J RPM
MVA
-9
2
nominal
= 548. (63)
Algunas veces el valor del momento de inercia del rotor es dado en función de
WR2
, que es igual al peso de las partes girantes multiplicado por el cuadrado de
los radianos de giro el lb.ft2
. El momento de inercia en slug . ft2
= WR2
/ 32.2.

J
WR
32.2
x 1.356
2
= (64)
( ) ( )
H
x 10 WR RPM
MVA
MW.s / MVA
-9 2 2
nominal
=
548.
(65)
La representación de la inercia de las partes girantes puede ser hecha a través
del diagrama de bloques abajo.
Figura 7 - Representación de la inercia
T M o Ta puede ser logrado de ensayo de rechazo de carga, a través de la
derivada de la velocidad de la unidad en el instante inicial del rechazo.
T
P P
d
dt
a
e n
t=0
=
ω
|
(66)
donde :
Pe = potencia rechazada
d
dt t=0
|
ω
= tasa de variación de velocidad después de la abertura del disyuntor
(p.u./s).
Figura 8

4. Sistema Aceite-Dinámico
El sistema aceite-dinámico comprende básicamente el actuador eletro-hidráulico
y el servomotor del distribuidor (y de las palas en el caso de turbinas Kaplan).
El esquema del actuador varia conforme el fabricante, aunque todos tengan una
válvula transductora electro-hidráulica (o válvula proporcional) y una válvula
distribuidora.
Un esquema que hemos utilizado está mostrado bajo la forma de diagrama de
bloques en la próxima figura.
Figura 9
Detallando el diagrama anterior, considerando la función de transferencia,
tenemos el siguiente:
Figura 10 - Diagrama de Bloques del Sistema Aceite Dinámico
En el diagrama arriba, "ripple" (o dither) es una tensión CA aplicada a la válvula
proporcional para minimizar el efecto de zona muerta y evitar problemas de
trabamiento de las partes mecánicas.
En el diagrama arriba no fueron consideradas algunas no linealidades como
histéresis en el servomotor principal y la reducción de velocidad en el
movimiento final de cierre ( cushioning). Para contemplar esta reducción de
velocidad tendríamos que alterar el bloque de límite de velocidad del servomotor
en función de la posición del mismo.

Figura 11 - Diagrama de Bloques para Servomotor Principal
5. Control de Velocidad (Regulación Primaria)
Sea una unidad generadora alimentando una carga separada, según muestra la
figura abajo:
Figura 12 - Generador Alimentando una Carga Aislada
Conforme ya visto, una variación de carga causa un desequilibrio entre los
torques mecánico y eléctrico, y consecuente variación de velocidad.
Figura 13

en función de variación de potencia:
Figura 14
La carga de un sistema eléctrico de potencia es compuesta de dispositivos como
motores, bombas, etc. En el caso de cargas resistivas la potencia eléctrica es
independiente de la frecuencia. Ya para motores, la potencia eléctrica varia con
la frecuencia en función de la variación de la velocidad de estos motores. La
característica de dependencia con la frecuencia de una carga compuesta por
diverso dispositivos puede ser escrita como:
∆ ∆ ∆ωP P De L r= + (67)
donde
∆PL = variación de carga no dependiente de la frecuencia.
D r∆ω = variación de la carga dependiente de la frecuencia.
D = factor de amortiguamiento de la carga.
D es definido como el porcentaje de variación de la carga para un porciento de
variación en la frecuencia. Por ejemplo, siendo D= 2 y ocurriendo una
variación del 1% en la frecuencia, la carga varia 2%.
El diagrama de bloques incluyendo el efecto de la amortiguación de la carga está
mostrado abajo.
Figura 15

o
Figura 16
5.1. Regulador Sincrónico
La palabra sincrónico significa velocidad constante. La figura adelante muestra
un esquema simplificado de un regulador de velocidad sincrónico.
Figura 17 - Diagrama de un Regulador Isócrono
Y = posición de abertura del distribuidor
ωr = velocidad del rotor
Pm = potencia mecánica
Pe = potencia eléctrica
Debido a la presencia del integrador, el sistema solo alcanzará el régimen
permanente cuando el error de velocidad ∆ωr sea cero.
La respuesta a un incremento de carga de un sistema con un regulador
sincrónico está mostrado en la figura adelante.

Figura 18 - Respuesta a una Variación de Carga para un Regulador
sincrónico
El aumento de la carga Pe hace la frecuencia bajar con una tasa definida por la
inercia de la máquina. Al bajar la frecuencia, por acción del regulador hay un
aumento de la potencia mecánica. Esto causa una disminución en la tasa de
reducción de la frecuencia y su posterior aumento hasta el re establecimiento de
su valor anterior. La potencia mecánica alcanzará el régimen permanente
aumentada del valor equivalente al aumento de la carga.
Los reguladores sincrónicos serían satisfactorios si el generador operase solo en
un sistema aislado. Para permitir la división de carga con otros generadores en
un sistema multi-máquinas, los reguladores de velocidad deben tener una
característica de "caída de velocidad" o estatismo permanente (speed droop).
5.2. Reguladores con Estatismo Permanente
Para una división de carga estable entre unidades generadoras operando en
paralelo, los reguladores de velocidad deben tener una característica de caída de
velocidad con el aumento de la carga. Esta característica la denominamos
estatismo permanente.
La próxima figura muestra este tipo de regulador.

Figura 19 - Regulador de Velocidad con Estatismo Permanente
Representando los bloques por su función de transferencia tenemos el diagrama
abajo.
Figura 20 - Regulador de Velocidad con Estatismo Permanente
Representando solamente los bloques del regulador y re arreglando:
Figura 21
Este regulador es proporcional con ganancia de 1/R.
El valor de R define la característica velocidad x carga en régimen permanente.
La relación desvío en velocidad ( ∆ωr ) o frecuencia ( ∆f ) por variación en la
abertura del distribuidor ( ∆Y ) o de potencia ( ∆P ) es igual a la R, conforme la
figura abajo.
%R
% velocidade
% potencia
x 100= (68)
%R
W W
W
x 100
NL FL
o
=
−




 (69)

donde :
ωNL = Velocidad en régimen permanente en vacío.
ωFL = Velocidad en régimen permanente a plena carga.
ωo = Velocidad nominal.
Figura 22 - Característica de Caída de Velocidad de un Regulador de
Velocidad
Un valor bastante usual de R es 5%. Esto significa que ocurriendo una variación
del 100% de carga, habrá una variación de 5 % de frecuencia.
Estando dos o más generadores, con reguladores de velocidad con estatismo
permanente, conectados a un sistema eléctrico de potencia, ellos tendrán la
misma frecuencia. Ocurriendo una variación de carga, ésta será compartida entre
ellos.
Sean dos grupos generadores con características de caída de velocidad X
potencia indicada en la figura adelante.
Figura 23

Inicialmente los dos grupos están operando con la frecuencia f0 y suministrando
las potencias P1 (grupo 1) y P2 (grupo 2). Ocurriendo entonces un aumento de
carga ∆PL , habrá una disminución en la frecuencia. Los reguladores de velocidad
actuarán para que los grupos suministren esta carga adicional, y la frecuencia se
estabilizará en un valor f '. La cantidad de carga que cada grupo va a suministrar
depende de su característica de caída de velocidad X potencia (de su valor de
estatismo).
∆
∆
P P P
f
R1
'
1
1
= − =1
(70)
∆
∆
P P P
f
R2
'
2
2
= − =2 (71)
De estas ecuaciones se logra :
∆
∆
P
P
R
R
1
2
2
1
= (72)
Como los valores están en p.u. o %, y, si el estatismo es igual, habrá una
distribución de potencia entre las 2 máquinas de igual valor en % de sus
potencias nominales. No es el caso de la figura anterior, en que el grupo 2 por
tener estatismo menor pasará a suministrar más potencia, considerando valores
en %.
La evolución de la frecuencia y de la potencia al largo del tiempo para una
unidad generadora con regulador de velocidad con estatismo permanente,
después un aumento de carga, está mostrado en la próxima figura. Debido al
estatismo permanente, en régimen permanente hay una desviación de velocidad
∆ωSS con relación a la velocidad inicial.

Figura 24 - Respuesta a una variación de la carga - regulador con
estatismo permanente
La característica de caída de velocidad x potencia puede ser ajustada a través de
una entrada denominada "referencia de carga", según muestra la figura a
continuación.
El efecto de la variación de esta referencia de carga es hacer la unidad operar

bajo una nueva característica de caída de velocidad x potencia paralela a la
anterior. Se tiene entonces una familia de característica de caída de velocidad x
potencia en función del valor de la referencia de carga.
Figura 25
En 60 Hz la característica A resulta a 0 de potencia, la B a 50% y a C a 100%.
Así, la potencia de una unidad generadora, a una frecuencia, puede ser ajustada
para cualquier valor, mediante el ajuste de la referencia de potencia.
Cuando el generador está alimentando una carga aislada, el ajuste de la
referencia de velocidad varia la velocidad de la máquina. Si el generador está
conectado a un sistema de potencia, una variación en la referencia de velocidad (
o carga) altera la carga de la máquina, y tiene un efecto menor en la frecuencia
del sistema, siendo que este efecto depende del tamaño relativo de la máquina
con el restante de generación del sistema.
5.3. Regulador con Estatismo Transitorio
Ni siempre un regulador simple, con apenas una re alimentación permanente
(conforme figura abajo) es satisfactorio bajo el punto de vista del desempeño
dinámico. De hecho, dependiendo de los parámetros de la máquina y de la
característica de la carga, podemos tener un sistema inestable para
determinados valores del estatismo permanente.

Figura 26 - Regulador Simplificado con Realimentación Permanente
Así, por ejemplo, sea un sistema con los siguientes parámetros:
TW = 2s TM = 10s D = 1 Ty = 0.3
Un análisis matemática podrá mostrar que un estatismo de 5 % (o ganancia de
20) resulta el sistema inestable. La figura a continuación muestra la respuesta
en el tiempo para un escalón en la referencia del regulador, para diferentes
valores de bP, donde se observa la cuestión de la inestabilidad con bP abajo de
determinado valor.
Figura 27 - Respuesta a un escalón en la referencia del regulador
apenas con realimentación permanente.
Para garantizar una operación estable, una característica de caída grande y
transitoria, con un largo tiempo de reset debe ser incorporado. Esto puede ser
hecho introduciéndose una re alimentación según muestra la figura a
continuación. Esta re alimentación promueve una reducción transitoria de la
ganancia ( aumento del estatismo) del regulador. Esto hace con que el
regulador presente una ganancia baja durante transitorios rápidos de la
velocidad y una ganancia alta en régimen permanente. Esta re alimentación
transitoria es comúnmente denominada de estatismo temporal.

Figura 28 - Diagrama de Bloques del Regulador con Re alimentación
Permanente y Transitoria.
Para el mismo sistema visto anteriormente, apenas con re alimentación
permanente, en el cual un estatismo del 5% (ganancia= 20) causaba
inestabilidad, la introducción de la re alimentación transitoria proporciona un
desempeño estable, según puede ser visto en la próxima figura.
Figura 29 - Respuesta a un escalón en la referencia del regulador con re
alimentación permanente apenas y transitoria.

5.4. Reguladores PID
Muchos reguladores de velocidad son de acción PID (proporcional, integral,
derivativo) como muestra la figura a continuación. Permiten que se tenga una
respuesta rápida y también reducción de ganancia transitoria y aumento de la
ganancia en régimen permanente. La acción derivativa (aumento de ganancia
transitoria) en general no es usada (KD = 0) pues muchas veces causa oscilación
excesiva en la señal de control y en los primeros componentes del actuador. En
el caso de operación aislada (o con máquina a vacío), el uso de la acción
derivada resulta un mejor desempeño, principalmente en operación aislada.
Figura 30 - Regulador PID
Con la ganancia derivativa igual a cero, el regulador es un controlador PI.
Existen otras formas de realizar un regulador PID o PI, además de la presentada
en la figura anterior. Una de las comúnmente utilizadas es la de la figura a
continuación.
Figura 31 - Regulador de Velocidad PID Realizado con Estatismo
Temporal y Bloque Acelerométrico

Expresando los bloques del diagrama de la figura anterior como función de
transferencia, tenemos el siguiente diagrama.
Figura 32 - Diagrama de Bloques de Regulador de Velocidad de Acción
PID Realizada con Estatismo Transitorio y Acción Acelerométrica
Podemos relacionar las ganancias PID de la forma clásica con las del diagrama
arriba a través de las siguientes relaciones:
K
T T
T bp
d n
d t
=
+
⋅
1
(73)
K
b TI
t d
=
1
(74)
K
T
bD
n
t
= (75)
6. Ajustes - Fórmula Simple de Ajuste
La elección de las ganancias PID depende de la instalación, de los parámetros TW
y TM. Una forma simple de elección de estas ganancias, como valores iniciales
para ensayos de campo, es aplicar las fórmulas de Ziegler y Nichols, basados en
una área mínima de error de control, que resultan en:
K
T
Tp
m
w
= 0 8, (76)

K
T
T
I
m
w
= 0 27 2
, (77)
K TD m= 0 6, (78)
Para los reguladores con estructura con estatismo transitorio y acción
acelerométrica tenemos:
m
w
t
T
T
31,1b = (79)
wD T54,2T = (80)
wn T46,0T = (81)
Sin la acción acelerométrica, los valores de bt y Td tienen que ser mas altos,
en la condición de operación aislada, como sigue :
m
w
t
T
T
5,2b =
wD T6T =
La optimización de los ajustes en vacío es para garantizar una rápida
sincronización del generador. Estos ajustes dependen principalmente de las
condiciones de huelgas y ciclos límites de las partes mecánicas y hidráulicas.
6.1. Estatismo Permanente de Potencia
En los esquemas hasta aquí presentados la re alimentación o estatismo
permanente era derivado de la posición de un servo-piloto o de un servomotor
del sistema mecánico-hidráulico. Reguladores modernos usan el llamado
estatismo o re alimentación permanente de potencia. El uso del estatismo de
potencia (ep) tiene la ventaja de :
- Durante la sincronización no hay señal proveniente de la re alimentación, luego
el regulador por suya acción integral es sincrónico.
- Variaciones de caída de agua u obstrucciones en las rejas de la toma de agua
serán automáticamente corregidas por el posicionamiento del servomotor
suministrando siempre la potencia deseada.
- Para centrales con Control Automático de Generación (CAG) es fundamental el
control de la potencia generada. Como la relación potencia x posición del
servomotor es no lineal, el uso de estatismo de posición resultaría en acciones
correctivas sin precisión por parte del CAG. Con el uso de estatismo de

potencia esta no linealidad es eliminada del lazo de control del CAG.
- La re alimentación permanente de potencia puede ayudar en el
amortiguamiento de las oscilaciones de la máquina contra el sistema.
Figura 33 - Diagrama de Bloques del Regulador de Velocidad con
Estatismo Permanente de Potencia
6.2. Canal Independiente de las Ganancias PID para Comandos de
Variación de Carga
La función de transferencia de un regulador de velocidad conectado a un grande
sistema puede ser aproximado por :
P
P
1+ sT
1+ sT
e
r
d
g
= (82)
donde :
Pe = potencia eléctrica
Pr = referencia de potencia
T
b
e a
Tg
t
p 23
d= +1
.
a
P
G
23
m
=
∂
∂
(ver modelado de la turbina y conducto)

Figura 34 - Obtención del Parámetro a23 de la Relación Potencia
Eléctrica x Posición del Distribuidor
Figura 35 - Modelo Simplificado del Regulador con Estatismo de Potencia
(ep) en Máquina Conectada a un Grande Sistema
Para un escalón en la referencia de potencia de amplitud “A”, la correspondiente
variación de potencia está mostrada en la figura abajo.

Figura 36 - Respuesta a un escalón en la Referencia de Potencia
Generalmente el valor de Tg es relativamente grande (del orden de 1 minuto),
resultando en tomas de carga lentas.
Para hacer el control de potencia más rápido, se hace necesario la introducción
de una modificación en la estructura del regulador. Esto puede ser hecho de
una forma bien simple, según muestra el diagrama de bloques mostrado a
continuación.
Figura 37 - Regulador de Velocidad con "Canal Independiente" para
Comando de Carga.
La figura a continuación muestra la respuesta a un escalón en la referencia de
potencia para un regulador con y sin esta modificación.

Como puede ser visto hay una significativa reducción en el desplazamiento
inicial del servomotor, aunque aún sea visible en la respuesta la constante de
tiempo Tg y más otra constante pequeña Ty / (bp + bt).
Una respuesta tan rápida no es necesaria y ni recomendable. Por eso, la
referencia de potencia es aplicada a un bloque constante de tiempo ( 1/(1 +
sTg*) ), con la constante Tg* ajustable e independiente de bt , Td o cualquiera
otro parámetro.
En algunos casos la referencia de carga puede ser variada en la forma de
rampa, con tasa ajustable, siendo este esquema modificado denominado de
"rampeador".

Figura 38 - Respuesta a un escalón en la referencia de carga con y sin
Canal Independiente para Comando de Carga

Bibliografía
- Soares, João Marcos - Identificación Experimental, Simulación y Ajuste de
Reguladores de Velocidad de Centrales Hidroeléctricas con Verificación en Tests
de Campo, Disertación de Maestrado. UFSM - 1982.
- KUNDUR, Prabha - Power Stability and Control, McGraw Hill - 1994.
- De Mello, F. P. - Dinámica y Control de la Generación, serie PTI, UFSM - 1979.

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