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- 1. La Ecuación de Bernoulli. (Cimbala) La ecuación de Bernoulli es una relación aproximada entre la presión, velocidad y elevación y es valida en condiciones de estado estacionario, flujo incompresible, donde la fuerza friccional neta es despreciable. Ver figura. Considere el movimiento de una partícula de fluido en un campo de flujo en estado estacionario. Aplicando la segunda ley del movimiento de Newton (ecuación de momentum lineal) en la dirección s, sobre una partícula moviendo a lo largo de una línea de corriente. ss maF =∑ En regiones de flujo donde las fuerzas friccionales netas son despreciables, no hay bomba o turbina, y no hay transferencia de calor a lo largo de la línea de corriente, las fuerzas significativas actuando sobre la dirección s son la presión (actuando sobre ambos lados) y el componente del peso de la partícula en la dirección s. Por eso, ( ) ds dv mvWsendAdPPPdA =−+− θ gdAdsmgWdAdsVm ρρρ ==== , W es el peso de la partícula de fluido y ds dz sen =θ Sustituyendo. ds dV VdAds ds dz gdAdsdPdA ρρ =−− Cancelando dA de cada termino y simplificando. ds dV Vds ds dz gdsdP ρρ =−− vdvgdzdP ρρ =−− Note que ( )2 2 1 vdvdv = y dividiendo cada termino por la densidad, 0 2 1 2 1 22 =++ =−− dvgdz dP dvgdzdP ρ ρρ Las ultimas dos expresiones son diferenciales exactas.
- 2. En el caso de flujo incompresible, el primer termino también llega a ser una diferencial exacta e integrando. teconsgdz vP tan 2 2 =++ ρ , a lo largo de una línea de corriente. Esta es la ecuación de Bernoulli para flujo incompresible en estado estacionario a lo largo de una línea de corriente en regiones de flujo no viscosas. La ecuación de Bernoulli también puede ser escrita entre dos puntos de la misma línea de corriente como: 2 12 1 2 11 22 gz vP gz vP ++=++ ρρ Ejemplo. Cimbala, 5-4 El agua esta fluyendo es de una manguera de jardín, ver figura. Figura. Un ni;o coloca su dedo gordo sobre la salida de la manguera y cubre la mayoría del área, originando un chorro delgado de agua. La presión en la manguera justo aguas arriba del dedo es 400 kPa. Si la manguera es mantenida hacia arriba, cual es la altura máxima que puede alcanzar el chorro 3 1000 m kg agua =ρ La velocidad dentro de la manguera es v1 es relativamente lenta, 22 1 jvv〈〈 , entonces 01 ≅v , y tomamos la elevación justo debajo de la salida de la manguera como el nivel de referencia, z1 = 0. En el tope de la trayectoria del agua, v2 = 0 y la presión es la atmosférica. Entonces la ecuación de Bernoulli se simplifica a: 2 1 z g P g P atm += ρρ Dado que 0 22 1 2 2 2 1 === z g v g v
- 3. == − = g P g PP z relativaatm ρρ ,11 2 m N seg kgm kPa m N seg m m kg kPa 8.40 1 1 1 1000 81.91000 400 22 23 = En el limite superior. Ejemplo Cimbala 5-5 Un gran tanque abierto a la atmosfera es llenado con agua hasta la altura de 5 m desde la salida del tanque. Ver figura. En el tope se encuentra abierto, determine la máxima velocidad del agua a la salida. ---- Solución Tomamos el punto 1 para estar en la superficie libre del agua tal que atmosfera) 2 2 2 1 vv〈〈 Y así v1 = 0, el tanque es muy grande relativo a la salida y z1 = 5m y z2 = 0, tomando la referencia en el centro de la salida). También, p2 , agua en la descarga en la atmosfera, entonces la ecuación de Bernoulli se simplifica a. g v z 2 2 2 1 = Debido a que 0 2 2 2 11 === z g v g P ρ , de acuerdo a lo discutido en el enunciado. ( ) seg m m seg m gzv 9.9581.922 212 = == Esta es la ecuación de Torricelli.
- 4. Por eso, el agua abandona el tanque con una velocidad máxima inicial de 9.9 m/seg. Esta es la misma velocidad que se manifestaría si un sólido fuera lanzado una distancia de 5 m en la ausencia de arrastre por fricción con el aire. Balances de Energía. Cimbala, pag 130, ejemplo 5-3 El agua en un gran lago será usada para generar electricidad por la instalación de un generador – turbina hidráulico. Ver figura. Si el generador de potencia eléctrica es medido como 1862 kW y la eficiencia del generador es 95 % determinar: a) La eficiencia global de la turbina-generador. b) La eficiencia mecánica de la turbina. c) La potencia de eje proporcionada por la turbina al generador. Solución. Efectuaremos nuestro análisis desde la entrada 1 en la superficie libre del lago hasta la salida 2, en la superficie libre aguas abajo en el sitio de descarga. En ambas superficies libres, la presión es atmosférica y la velocidad es despreciable, o sea muy pequeña. El cambio en la energía mecánica del agua por unidad de masa es entonces. ( ) =−+ − + − =− salidaentrada salidaentradasalidaentrada salidamecanicaentradamecanica zzg vvPP ee 2 22 ,, ρ ( ) kg kJ seg m kg kJ m seg m gh 491.0 1000 1 5081.9 2 22 = == Entonces, la velocidad a la cual la energía mecánica es proporcionada a la turbina por el fluido y la eficiencia global es: ( ) W kg kJ seg kg eemE salidamecanicaentradamecanicafluidomecanica 2455491.05000,,, = =−=∆ 76.0 2455 1862 , , == ∆ == − kW kWW fluidomecanico salidaelectrico generadorturbinaglobal ηη
- 5. Conociendo las eficiencias global y del generador, la eficiencia mecánica de la turbina es determinada por. generadortuebinageneradorturbina −=ηηη 8.0 95.0 76.0 === − generador generadorturbina turbina η η η La potencia de eje es determinada de la definición de la eficiencia de energía mecánica. ( ) kWkWEW fluidomecanicaturbinasalidaeje 196424558.0,, ==∆=η Discusión.- Note que el lago proporciona 2455 kW de energía mecánica a la turbina, la cual convierte 1964 kW ella a trabajo de eje que mueve al generador, el cual produce 1862 kW de potencia eléctrica. Existen perdidas irreversibles a través de cada componente. Ejemplo. En una planta de potencia hidroeléctrica, 100 m3Éseg fluyen desde una elevación de 120 m hasta una turbina, donde potencia eléctrica es generada. Ver figura. Figura, Las cargas de perdida irreversibles totales en el sistema de tubos desde el punto 1 hasta el punto 2, excluyendo la turbina, son 35 m. Si la eficiencia global del generador – turbina es 80 %, estime la producción de potencia eléctrica. El flujo masico del agua a través de la turbina es: seg kg x seg m m kg Qm 5 3 3 1011001000 = == ρ Elegimos al punto 2 como el nivel de referencia, entonces z2 = 0. Los puntos 1 y 2 están abiertos a la atmosfera. (P1 =P2 = Patm) y las velocidades de flujo son despreciables en ambos puntos, v1 = v2 = 0. Entonces, la ecuación de la energía para flujo estacionario, incompresible, se reduce a: Leturbina hhz += ,1 Dado que 0 2 ,2 2 22 2 1121 === − = − ubombahz g vv g PP αα ρ , según lo explicado en el enunciado. mhzh Leturbina 85351201, =−=−=
- 6. ( ) kW seg m kg kJ m seg m seg kg xmghW eturbinaeturbina 83400 1000 1 8581.9101 2 22 5 ,, = == Aparte. ( ) 2 2 2 1111 seg m kgm seg m kgNtmJoule === , Entonces. 2 2 2 2 1000 1 , 1 seg m kg kJoule seg m kg Joule == PMunson or eso, un generador turbina perfecto generaría 83400 kW de electricidad de esta fuente. La potencia eléctrica generada por la unidad real es ( ) ( )( ) MWMWWW eturbinagenerturbelectrico 7.664.838.0, === −η Ejemplo Una cascada de agua de 500 m incluye flujo en estado estacionario desde un gran cuerpo de agua hasta otro cuerpo de agua. Determine el cambio de temperatura asociado con este flujo. Solución. Para resolver este problema consideramos un volumen de control consistiendo de un peque;o tubo de corriente sección transversal de la superficie del cuerpo de agua en la parte superior a la superficie del cuerpo de agua inferior, ambos sin movimiento, ver figura . Figura. Necesitamos determinar (T2 – T1), este cambio de temperatura esta relacionado al cambio de energía interna del agua, por la relación. ( ) c uu TT 12 12 − =− Donde c es el calor especifico del agua. Rlbm BTU c 1= La aplicación de la ecuación de energía conduce a. W
- 7. ( ) ( ) entradanetQzzg vvPP uum ,12 2 1 2 2 12 12 2 = −+ − + − +− ρρ Suponemos que el flujo es adiabático. Así, Qneto de entrada = 0, También, 21 = ρρ PP Debido a que el flujo es incompresible y la presión atmosférica prevalece en las secciones 1 y 2. Más aun, V1=v2 = 0. Porque la superficie de cada gran cuerpo de agua es considerada sin movimiento. Asi, combinando ecuaciones: ( ) ( ) c zzg TT 21 12 − =− Tal que, Rlbm lbmpie BTU pie Rlbm BTU c 7787781 = = ( ) ( ) R seglb pielbm Rlbm lbpie pie seg pie TT 643.0 2.32778 5002.32 2 2 12 = =− Note que toma un cambio considerable de energía potencial producir un pequeño incremento de temperatura. Bibliografia. 1.- Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer. James R. Welty, Charles E. Wicks, Robert E. Wilson and Gregory Rorrer. Cuarta Edición. John Wiley and Sons, Inc., 2008.
- 8. 2.- Transport Phenomena. R. Byron Bird, Warren E. Stewart, Edwin N. Ligthfoot. Second edition. John Wiley and Sons, Inc., 2002. 3.- Stanley Middleman. An Introduction to Mass and Heat Transfer. Principles of Analysis and Design. John Wiley and Sons, Inc. 1998. 4.- John M. Cimbala, Yunus A. Cengel. Essentials of Fluid Mechanics, Fundamentals and Applications. Mc. Graw Hill, 2008. 5.- Ghristie J. Geankoplis. Transport Processes and Unit Operations. Third Edition, Prentice Hall PTR, 1993. 6.- Stanley Middleman. An Introduction to Fluid Mechanics: Principles of Analysis and Design John Wiley and Sons, Inc. 1998. 7.- Merle C. Potter, David C. Wiggert. Mechanis of Fluids. Third Edition. Brooks / Coole, Thompson Learning, 2002. 8.- Bruce R. Munson, Donald F. Young and Theodore Okiisi. Fundamentals of Fluid Mechanics.
- 9. John Wiley and Sons, Inc., 2006. ISBN 0-471-67582-2 6.- Munson…….
- 10. John Wiley and Sons, Inc., 2006. ISBN 0-471-67582-2 6.- Munson…….