Este documento presenta una introducción a la trigonometría. Explica conceptos básicos como la medida de ángulos, las razones trigonométricas de ángulos agudos y sus valores, las razones trigonométricas para ángulos de 30°, 45° y 60°, y las relaciones entre razones trigonométricas de ángulos complementarios. También introduce nociones previas como el teorema de Tales y el teorema de Pitágoras que son fundamentales para la trigonometría.

1. TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRÍÍAA
((PPrriimmeerraa ppaarrttee))
Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés

2. 2
IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer
cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible
medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el
teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún
ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la
altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia
sombra medía tanto como su estatura

3. • NOCIONES PREVIAS
• SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN.
• RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO
AGUDO.
• R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º.
• RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA
• R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
• CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.
3

4. NOCIONES PREVIAS
11.. aa.. PPrrooppoorrcciioonnaalliiddaadd ddee sseeggmmeennttooss yy
sseemmeejjaannzzaa
bb..TTEEOORREEMMAA DDEE TTAALLEESS
22.. TTEEOORREEMMAA DDEE PPIITTÁÁGGOORRAASS

5. 5
11..aa.. PPrrooppoorrcciioonnaalliiddaadd ddee
sseeggmmeennttooss yy sseemmeejjaannzzaa
S. árbol
pequeño (s)
Sombra del árbol grande (S)
H
h
Las sombras de los dos árboles son proporcionales a
las respectivas alturas
H
h
B
A’ O
S
s
A
B’
k (razón de proporcionalidad)
OB' = BB'
=
AA'
OA'
h
H
s =
S
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.)
en uno de sus viajes a Egipto
midió la altura de una pirámide
aprovechando el momento en
que su propia sombra medía
tanto como su estatura

6. 6
Si varias paralelas determinan
segmentos iguales sobre una
recta r, determinan también
segmentos iguales sobre
cualquier otra recta r’ a la que
corten
B’’
C’’
TEOREMA DE TALES:
Los segmentos determinados por
rectas paralelas en dos rectas
concurrentes son proporcionales.
O
A A’
B’
B
A'B'
OB'
OA = =
o tambien AB
OB
OA'
OB'
OB
11..bb.. TTEEOORREEMMAA DDEE TTAALLEESS
O
A’
A
B’
B
C’
D’
E’
C D E
D’’
E’’
r
r’

7. 7
MMeeddiiddaa ddee áánngguullooss
Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:
Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)
Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)
Radianes (En la calculadora MODE RAD)
Ángulo
completo
Ángulo
llano
Ángulo
recto
Un
grado
Un
minuto
SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60”
CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s
RADIANES 2p p p/2

8. Expresa los siguientes ángulos en los tres
8
sistemas de medida
S.sexagesimal 60 º 210º
S. centesimal 50g 60g 100g
Radianes 2π/3 5π/6
S.sexagesimal 140º 240º
S. centesimal 350g 90g 25g
Radianes 7π/8 3

9. Ángulos en los tres sistemas de medida
S.sexagesimal 60 º 45º 120º 54º 210º 90º 150º
p
2
9
S. centesimal 66g 66m
66s 50g 133g 33m
33s 60g 233g 33m
33s 100g 166g 66m
66s
Radianes
p
3
p
4
3p
10
7p
6
2p
3
5p
6
S.sexagesimal 140º 315º 157º 30’ 81º 240º 22º 30’ 171º
53’14”
S. centesimal 155g 55m
55s 350g 175g 90g 266g 66m
66s 25g 190g 98m
59s
7p
14p
7p
9p
4p
p
Radianes 3
8
18
4
20
3
8

10. B` semejantes
10
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)
Los triángulos ABC, A’B’C y A”B”C son
A” C
Cˆ
sen
AB = = A"B"
=
B"C
A'B'
B'C
BC
Cˆ
cot g
BC = B'C
= B"C
=
BC = B'C
= B"C
=
AC = = A"C
=
A"B"
A'C
A'B'
AB
Cˆ
cosec
A"B"
A'B'
AB
Cˆ
cos
AC = = A"C
=
B"C
A'C
B'C
BC
Cˆ
tg
AB = = A"B"
=
A"C
A'B'
A'C
AC
Cˆ
sec
A"C
A'C
AC
B”
B
A
A`
porque tienen los ángulos iguales.
En consecuencia los lados son proporcionales :

11. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)
DE UN ÁNGULO AGUDO
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
Se definen seis razones trigonométricas
1 Cˆ
sec =
1 Cˆ
cosec =
1 Cˆ
cot g =
11
c
a
B
a
opuesto cateto Cˆ
sen = =
hipotenusa
b
a
adyacente cateto Cˆcos = =
hipotenusa
a
c
a
b
hipotenusa Cˆ
sec = =
cateto adyacente
hipotenusa Cˆ
cosec = =
cateto opuesto
c
b
opuesto cateto Cˆ
tg = =
cateto adyacente
b
c
adyacente cateto Cˆ
cot g = =
cateto opuesto
Cˆ
cos
Cˆ
sen
Cˆ
tg
A b
C
c
Cateto adyacente o contiguo a C
Cateto opuesto de C

12. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
1 Cˆ
sec =
1 Cˆ
cosec =
1 Cˆ
cot g =
12
A C
c Cˆ
sen =
a
b Cˆ
cos =
a
Cˆ
1
sen
a
1
a
sec = a = a
=
ˆ
Cb
a Cˆ
cosec = = =
c a
a
c
Cˆ
cos
a
b
Cˆ
cos
Cˆ
sen
c
tg = c = a
=
ˆ
Cb
a
b
Cˆ
sen
Cˆ
cos
b
b Cˆ
cot g = = =
c a
a
c
B
a
b
c
Cateto adyacente o contiguo a C
Cateto opuesto de C
Cˆ
cos
Cˆ
sen
Cˆ
tg
Cˆ
cos
Cˆ
sen Cˆ
tg =
Cˆ
sen
Cˆ
cos Cˆ
cot g =

13. VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO
En todo triángulo rectángulo los catetos son
menores que la hipotenusa.
Es decir: 0 < c < a 0 < b < a
En consecuencia:
13
B
a
A C
b
C
1
c Cˆ0 £ sen = £
a
1
a Cˆ
sec = ³
0 £ cos = b £ 1
1
ˆ
Ca
a Cˆ
cosec = ³
c
b
b Cˆ
0 cot g
0 < tg = c < +¥
< = < ˆ
C+¥
b
c

14. RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE 30º,
45º y 60º
11.. RR..TT.. DDEE 3300º yy 6600º
22.. RR..TT.. DDEE 4455º

15. R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1)
C
l l
A B
15
Sea ABC un triángulo equilátero
H
l
l/2
x
B
C
H
l
60º
30º
Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide
Trazamos una altura CH
60º
En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide
60º y el ángulo C mide 30º El lado BH mide l/2
Podemos calcular x en función de l, aplicando el
2
2
x l = ÷øö çè
2 l
2
+ æ
Tª de Pitágoras
x l l
2
4
2 = 2 -
2 2
x 2 = 4l -
l
4
x 3l
2
4
2 =
x 3l
2
4
=
x =l 3
2

16. R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2)
l
l 3
2
tg30º = = = =
2
sec 30º = 1 =
cosec 30º = 1 =
cot g30º = 1 = = =
16
B
C
l 3
H
l
l/2
2
60º
30º
3
2
l 3
2l
l 3
l 2
sen60º = = =
3
tg60º = sen60º = = =
2
1
l
l
2
1
sec 60º = 1 =
cos60º
2 3
2
3
cosec 60º = 1 =
sen 60º
3
3
cot g60º = 1 = 1
=
3
tg60º
2
2l
l 2
cos60º = = =
3
2
2
cos60º
1
2
2l
l
l 2
sen30º = = =
3
2
2l
l 3
l 2
cos30º = = =
3
3
1
3
2 3
1
2
3
2
2
sen30º
3
cos 30º
3
3 3
3
3
3
tg30º
Observa que:
sen 60º = cos 30º
cos 60º = sen 30º
tg 60º = cotg 30º
cotg60º = tg 30º
sec 60º =cosec30º
Cosec 60º =sec30º

17. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1)
D C
45º
17
Sea ABCD un cuadrado
l
l
x
45º
Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos
mide
Trazamos la diagonal AC
90º
En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide
Podemos calcular x en función de l, aplicando el
Tª de Pitágoras
x2 = l2 + l2
x2 = 2×l2
x = 2×l2
x =l 2
45º y el ángulo C mide 45º
A B
C
l
A l B

18. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2)
18
2
2
sen45º = l = 1
=
2
l 2
2
cos45º = l = =
tg45º = l =
2
1
sec 45º = 1 = = 2 2
=
2
2
2
cos45º
cosec 45º = 1 = 2
=
1
cot g45º = 1 = 1
=
1
tg45º
1
l
45º
C
l
l 2
45º
A l B
2
2
l 2
2
2
sen45º
Observa que:
sen 45º = cos 45º
tg 45º = cotg 45º
sec 45º =cosec45º

19. R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
1
sec 90º 1
-a = cosec
1
cosec 90º 1
-a = sec
1
cot g 90º 1
-a = tg
19
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
α
Si el ángulo B mide α grados,
el ángulo C mide 90º-a
a y 90º-a
C
90º-a
b
a
B c
A
sen(90º ) c
-a = = cosa
a
cos 90º b
( -a) = = sena
a
tg 90º c
( -a) = = cot ga
b
( ) ( =
= a
cos 90º
-a
) sen
a
( ) ( =
= a
sen 90º
-a
) cos
a
( ) ( ) =
= a
tg 90º
-a
cot g
a

20. R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
1
æ p - a cosec
1
æ p - a sec
1
æ p -a tg
20
a p-a
2
y
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
Si el ángulo B mide α radianes,
el ángulo C mide
p-a
2
α
C
B A
b
a
c
p-a
2
) c
p - a = = cosa
a
2
sen(
b
æ p - a sen
ö çè
= = a a
÷ø
2
cos
c
æ p - a cot g
ö çè
= = a b
÷ø
2
tg
= a
a
=
ö çè
÷ø
æ p - a
ö çè
= ÷ø
sen
2
cos
1
2
sec
= a
a
=
ö çè
÷ø
æ p - a
ö çè
= ÷ø
cos
2
sen
1
2
cosec
= a
a
=
ö çè
÷ø
æ p -a
ö çè
= ÷ø
cot g
2
tg
1
2
cot g

21. sen2a+cos2 a=1
a b
21
RELACIÓN FUNDAMENTAL DE
TRIGONOMETRÍA
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de
Pitágoras, tenemos:
α
C
B c
A
b2 + c2 = a2
Si dividimos la expresión anterior por a2
2
2
2
b + =
2
2
2
a
a
c
a
a
Expresándolo de otra forma:
1
b 2 c
2
ö a
çè
æ
ö a
çè= ÷ø
æ + ÷ø
O lo que es lo mismo: (sena)2 + (cosa)2 = 1
sen2a + cos2 a = 1
Que normalmente expresaremos
de la forma:

22. C
OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES
a b
c
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de
Pitágoras, tenemos:
B A
2
b + =
22
Si dividimos la expresión anterior por b2 o por c2
2
2
2
b + =
2
2
2
a
b
c
b
b
Expresándolo de otra forma:
1+ (cot ga)2 = (cosec a)2
α
2
2
a
c
1+ tg2a = sec2 a
b2 + c2 = a2
2
2
2
c
c
c
1+ (tga)2 = (sec a)2
1+ cot g2a = cosec2a

23. R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
23
sen a
cos a
sen a
sen a
sen a
sen a
Y
1
Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno
va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto
sen 90º = 1
A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0
cos 90º = 0
Observa que al ir disminuyendo el
ángulo hasta 0º el seno va
disminuyendo, hasta llegar a ser 0,
mientras que el coseno va
aumentando hasta valer 1. Es decir,
sen 0º = 0
cos 0º = 1 radio=1
1
P(x,y)
a
O X

24. Circunferencia goniométrica
11.. RR..TT.. DDEE ÁÁNNGGUULLOO CCUUAALLQQUUIIEERRAA
22.. VVAALLOORREESS YY SSIIGGNNOO DDEELL SSEENNOO YY DDEELL CCOOSSEENNOO DDEE UUNN
ÁÁNNGGUULLOO
33.. VVAALLOORREESS YY SSIIGGNNOO DDEE LLAA TTAANNGGEENNTTEE YY DDEE LLAA
CCOOTTAANNGGEENNTTEE
44.. RR..TT.. DDEE ÁÁNNGGUULLOOSS SSUUPPLLEEMMEENNTTAARRIIOOSS
55.. RR..TT.. DDEE ÁÁNNGGUULLOOSS QQUUEE DDIIFFIIEERREENN EENN 118800º
66.. RR..TT.. DDEE ÁÁNNGGUULLOOSS QQUUEE SSUUMMAANN 336600º
77.. RR..TT.. DDEE ÁÁNNGGUULLOOSS OOPPUUEESSTTOOSS

25. CIRCUNFERENCIA
GONIOMÉTRICA
Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un
sistema de coordenadas
25
X
Y
O
a
Uno de los lados del ángulo
deberá coincidir con el
semieje positivo de las x, el
vértice en el origen de
coordenadas y el otro lado
donde corresponda
A esta circunferencia donde
situaremos los ángulos la
llamaremos circunferencia
goniométrica.
1

26. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
UN ÁNGULO CUALQUIERA
sena = ordenada = = =
cosa = abscisa = = =
tga = ordenada = =
26
y
y
1
y'
r
radio
x
x
1
x'
r
radio
y
x
y'
x'
abscisa
X
Y
O
a
P(x,y)
1
Q(x’,y’)
r
A partir de ahora trabajaremos
con la circunferencia de radio 1
(Circunferencia goniométrica)

27. SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO
CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
El seno y el coseno de cualquier
ángulo toma valores mayores o
iguales a –1 y menores o iguales a 1
27
X
Y
a
A
sen a
cos a
1
O 1
sen b
cos b
sen g
cos g
sen d
cos d
b
B
g
C
d
D
-1 0
1
-1£ sena £ 1
-1 -1£ cosa £ 1
-1
+ +_
_
_ _
++
SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO

28. TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO
CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
28
X
Y
A
a
tg a
O 1
cotg a
tg b
cotg b
tg g
cotg g
tg d
cotg d
g
C
d
D
B
b
La tangente y la
cotangente de un
ángulo puede tomar
cualquier valor .
- ¥ £ tga £ +¥
- ¥ £ cot ga £ +¥
_ +
+ _
TANGENTE Y
COTANGENTE

29. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 120º
En la circunferencia goniométrica dibujamos
Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.
y sen120º = y = sen60º =
y - tg60º =
tg120º y - =
cot g120º = - 3
29
A’ A
120º (quitamos 60º a 180º)
60º
1
120º
-1
-1
X
Y
O 1
60º
x
y
-x
3
cos120º = -x = - cos60º =
=
-
=
x
x
2
- 1
2
- 3
cosec120º = 2 3
sec120º = -2 3
3

30. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 135º
En la circunferencia goniométrica dibujamos
135º (quitamos 45º a 180º)
Dibujamos el ángulo de 45º y las
líneas que representan sus razones
trigonométricas.
y sen135º = y = sen45º =
- 2
y - tg45º =
tg135º y - =
30
A
45º
1
135º
-1
-1
X
Y
O 1
A’
45º
x
y
-x
cos135º = -x = - cos45º =
=
-
=
x
x
2
2
2
-1
sec135º = - 2 cosec135º = 2 cot g135º = -1

31. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 150º
En la circunferencia goniométrica dibujamos
150º (quitamos 30º a 180º)
y sen150º = y = sen30º =
1
- 3
y - tg30º =
tg150º y - =
sec150º = - 2 3 cosec150º = 2 cot g150º = - 3
31
1
150º
-1
-1
X
Y
A
30º
x
y
O 1
A’
30º
-x
cos150º = -x = - cos30º =
=
-
=
x
x
2
2
- 3
3
3
Dibujamos el ángulo de 30º y las
líneas que representan sus razones
trigonométricas.

32. tg 180º y
32
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
a
A
1
180º-a
-1
-1
X
Y
O 1
a y 180º- a
a y p-a
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 180º- a
A’
a
x
y
-x
y
sen(180º-a) = y = sena
cos(180º-a) = -x= -cosa
( )
x
-
-a =
= - y = -tga
x
sen(p - a) = sena cos(p - a) = cosa tg(180º-a) = -tga

33. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 210º
En la circunferencia goniométrica dibujamos
210º (añadimos 30º a 180º).
Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.
- 1
- 3
= y = tg30º =
sec 210º = - 2 3 cosec 210º = -2 cot g210º = 3
33
-1
1
210º
-1
X
Y
30º
A
x
y
O 1
A’
-x 30º
-y
sen210º = -y = -sen30º =
cos210º = -x= -cos30º =
tg210º y
x
= -
-
x
2
2
3
3
3

34. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 225º
- 2
y tg45º =
tg225º y =
34
-1
1
225º
-1
X
Y
45º
O 1
-x
45º
-y
En la circunferencia goniométrica dibujamos
225º (añadimos 45º a 180º).
Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.
sen225º = -y =- sen45º =
cos225º = -x = - cos45º =
=
= -
-
x
x
2
- 2
2
1
sec 225º = - 2 cosec 225º = - 2 cot g225º = 1

35. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 240º
En la circunferencia goniométrica dibujamos
240º (añadimos 60º a 180º).
Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.
cot g240º = 3
35
-1
1
240º
-1
X
Y
O 1
sen240º = - sen60º =
- 3
cos240º =- cos60º =
tg240º = tg60º =
2
- 1
2
3
cosec 240º = - 2 3
sec 240º = -2 3
3

36. tg 180º +a = -
y
36
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
a
A
-1
1
-1
X
Y
O 1
a y 180º+ a
a y p+a
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 180º+a
A’
180º+a
a x
y
-x
-y
sen(180º+a) = -y= -sena
cos(180º+a) = -x= -cosa
( )
x
-
= y = tga
x
sen(p + a) = -sena cos(p + a) = -cosa tg(p + a) = tga

37. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 300º
cot g300º = - 3
37
-1
1
-1
X
Y
O 1
300º
En la circunferencia goniométrica
dibujamos 300º (quitamos 60º a 360º).
sen300º = - sen60º =
- 3
2
cos300º = cos60º =
1
2
tg300º = - tg60º = - 3
cosec 300º = - 2 3
sec 300º = 2 3
3

38. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 315º
sen315º = - sen45º =
38
-1
1
-1
X
Y
O 1
315º
En la circunferencia goniométrica
dibujamos 315º (quitamos 45º a
360º).
tg315º = - tg45º = -1
- 2
2
cos315º = cos45º =
2
2
sec 315º = 2 cosec 315º = - 2 cot g315º = -1

39. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 330º
En la circunferencia goniométrica
dibujamos 330º (quitamos 30º a
360º).
sen330º = - sen30º =
sec 330º = 2 3 cosec 330º = -2 cot g330º = - 3
39
(las mismas que las de –30º)
-1
1
-1
X
Y
O 1
cos330º = cos30º =
- 1
2
3
2
tg330º = - tg30º =
- 3
3
3

40. tg 360º-a = - y
40
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE SUMAN 360º
a
A
-1
1
-1
X
Y
O 1
a y 360º-a
a y 2 p-a
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 360º- a
A’
360º-a
a x
y
-y
sen(360º-a) = -y= -sena
cos(360º-a) = x = cosa
( )
x
= - y = -tga
x
sen(2p - a) = -sena cos(2p - a) = cosa tg(2p - a) = -tga

41. tg - a = - y
41
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
OPUESTOS
a
A
-1
1
-1
X
Y
O 1
a y - a
En la circunferencia
goniométrica dibujamos a y - a
A’
-a x
y
-y
sen(- a) = -y = -sena
cos(- a) = x = cosa
( )
x
= - y = -tga
x
sen(- a) = -sena cos(- a) = cosa tg(- a) = -tga

42. a+360ºk, k Î Z
a+2kp, k Î Z
Las razones trigonométricas de un
ángulo mayor que una circunferencia
( a+360ºk, donde k es un número
entero) son las mismas que las del
ángulo a
42
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO MAYOR DE
UNA CIRCUNFERENCIA
a
A
-1
1
2p+a
-1
X
Y
x
y
O 1
sen(2p + a) = sena
cos(2p + a) = cosa
tg(2p + a) = tga
sen(360º+a) = sena cos(360º+a) = cosa tg(360º+a) = tga

43. a p + a
tg 270º+a = - x
2
= - x = -cot ga
÷ø
cos 3 tg æ 3
p + a = - cot g
a 2
43
-1
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 270º
1
-1
X
Y
a
A
O 1
a y 270º+a
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 270º+ a
A’
270º+a
a
x
y
sen(270º+a) = -x= -cosa
cos(270º+a) = y = sena
( )
y
y
y 3
y
-x
sen æ 3 p + a ö ÷ø
= - cos
a æ p 2
çè
+ a ö = sen
a ÷ø
çè
2
ö çè

44. a p - a
2
tg 90º-a = x = cot ga
æ p - a cot g
2
ö çè
44
-1
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
1
-1
X
Y
a
A
O 1
a y 90º - a
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 90º- a
A’
90º-a
a
x
y
sen(90º-a) = x = cosa
cos(90º-a) = y = sena
( )
y
y
y
x
æ p - a cos
2
ö çè
æ p - a sen
2
sen = a ÷ø
= ÷ø
a ö çè
÷ø
cos tg
= a

45. SENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno
va creciendo, de 0 a 1.
sen 0º = 0 sen 90º = 1
45
-1
-1
1
X
Y
O 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno
va decreciendo, de 1 a 0.
sen 180º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno
va decreciendo, de 0 a -1.
sen 270º = -1
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0.
sen 360º = 0

46. COSENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a
90º el coseno va decreciendo, de 1 a 0.
cosen 0º = 1 cosen 90º = 0
46
-1
-1
1
X
Y
O 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el
coseno va decreciendo, de 0 a -1.
cosen 180º = -1
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el
coseno va creciendo, de -1 a 0.
cosen 270º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a 1.
cosen 360º = 1

47. TANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y
360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º
a 90º la tangente va decreciendo, de 0 a + ∞.
tg 0º = 0 tg 90º ® + ∞.
47
-1
-1
1
X
Y
O 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la
tangente va creciendo, de - ∞. a 0.
tg 90º ® - ∞ tg 180º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el
tangente va creciendo, de 0 a +∞. .
tg 270º ® + ∞.
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el
coseno va creciendo, de - ∞ a 0.
tg 270º ® - ∞ tg 360º = 0

48. COTANGENTE DE 0º , 90º,180º,
270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º la
cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0
cotg 0º ® + ∞ cotg 90º =0
48
-1
-1
1
X
Y
O 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la
cotangente va creciendo, de 0 a - ∞
cotg 180º ® - ∞
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º la
cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0
cotg 180º ® + ∞ cotg 270º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º la cotangente va decreciendo, de
0 a - ∞ cotg 360º ® - ∞

49. VALORES Y SIGNO QUE TOMAN LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO
-1£ sena £ 1
-1£ cosa £ 1 sec a ³ 1
- ¥ < tga < +¥ - ¥ < cot ga < +¥
cosec a £ -1 cosec a ³ 1
49
sec a £ -1
+ +__
SIGNO DEL SENO Y
DE LA COSECANTE
_ _
++
SIGNO DEL COSENO
Y DE LA SECANTE
_ +
+ _
SIGNO DE LA
TANGENTE Y
COTANGENTE

50. FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
11.. FFUUNNCCIIÓÓNN SSEENNOO
22.. FFUUNNCCIIÓÓNN CCOOSSEENNOO
33.. FFUUNNCCIIÓÓNN TTAANNGGEENNTTEE
44.. FFUUNNCCIIÓÓNN CCOOTTAANNGGEENNTTEE
55.. FFUUNNCCIIÓÓNN SSEECCAANNTTEE
66.. FFUUNNCCIIÓÓNN CCOOSSEECCAANNTTEE

51. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO
5p
7p
0
p
p
p
7p p
2p
5p p 4p
11p 2p 4
6
3p
5p
5p
0 3 1 0 -1 - 3
0
51
f(x)=sen x
p
6
p
3
p
2
2p
3
5p p
6
7p
6
4p
3
3p
2
3
11p 2p
3
p
4
3p
4
5p
4
4
3
2
2
2
1
2
0
- 1
2
- 2
2
- 3
2
1
-1
a
sen a 2
- 2
- 2
2
2
2
2
2
- 1
2
- 1
2
1
2
1
2
2
- 3
2
3
2
2
6
4
3
2
3
6
7p
3
2
3
3
3p
4
4

52. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO
52
f(x)=sen x

53. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO
p 2p
7p
3
11p 2p 4
0
5p
7p - 1
p
6
p
p
p
2p
5p p 6
4p
3p
5p
1 3 0 -1 0 1
53
f(x)=cos x
p
2
p
3
p
6
4
11p
3
4
5p
2p
3
3p
4
5p p
6
7p
6
5p
4
4p
3
3
2
2
2
1
2
0
- 1
2
- 2
2
- 3
2
1
-1
3p
2
a
- 2
- 2
2
2
- 1
1
1
- 3
3
COS a 2
2
2
2
2
2
2
2
- 3
2
2
2
2
4
3
2
3
6
7p
3
2
3
3
3p
4
4

54. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO
54
f(x)=cos x

55. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
3
3
0 5p
7p
55
f(x)=tg x
- 3
3
1
-1
p
6
p
3
p
2
2p
3
5p p
6
7p
6
4p
3
3p
2
3
11p 2p
3
p
4
3p
4
5p
4
4
3
- 3

56. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
56
f(x)=tg x

57. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE
3
3
0 5p
7p
57
f(x)=cotg x
- 3
3
1
-1
p
6
p
3
p
2
2p
3
5p p
6
7p
6
4p
3
3p
2
3
11p 2p
3
p
4
3p
4
5p
4
4
3
- 3

58. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE
58
f(x)=cotg x

59. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE
0 5p
7p
59
f(x)=sec x
1
-1
p
6
p
3
p
2
2p
3
5p p
6
7p
6
4p
3
3p
2
3
11p 2p
3
p
4
3p
4
5p
4
4

60. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE
60
f(x)=sec x

61. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE
0 5p
7p
61
f(x)=cosec x
1
-1
p
6
p
3
p
2
2p
3
5p p
6
7p
6
4p
3
3p
2
3
11p 2p
3
p
4
3p
4
5p
4
4

62. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE
62
f(x)=cosec x

63. TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRÍÍAA
((SSeegguunnddaa ppaarrttee))
Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés

64. 64
IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer
cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible
medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el
teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún
ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la
altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia
sombra medía tanto como su estatura

65. 11.. RRAAZZOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEE LLAA SSUUMMAA
YY DDEE LLAA DDIIFFEERREENNCCIIAA DDEE ÁÁNNGGUULLOOSS
22.. RR..TT.. DDEELL ÁÁNNGGUULLOO DDOOBBLLEE..
33.. RR..TT.. DDEELL ÁÁNNGGUULLOO MMIITTAADD
44.. TTEEOORREEMMAA DDEELL SSEENNOO
55.. TTEEOORREEMMAA DDEELL CCOOSSEENNOO
66.. ÁÁRREEAA DDEE UUNN TTRRIIÁÁNNGGUULLOO.. FFÓÓRRMMUULLAA DDEE
HHEERROONN

66. SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el
triángulo rectángulo OAB.
AM AN
+ =
OB
AB cos OA sen
= × a + × a =
OB
OB sen cos OB cos sen
66
M
A
Y
B
sen BP
O N
X
b a+b
P
a
a
Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b.
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB.
Trazamos MN y BM.
(a + b) = =
OB
= × b × a + × b× a =
OB
sen(a + b) = sena × cosb + cosa × senb

67. COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
ON NP
OA cos AB sen
= × a - × a =
OB
OB cos cos OB sen sen
67
M
A
Y
B
cos OP
O N
X
b a+b
P
a
a
Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b.
Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el
triángulo rectángulo OAB.
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB.
Trazamos MN y BM.
(a + b) = = - = ON - BM
=
OB
OB
OB
= × b × a - × b× a =
OB
cos(a + b) = cosa ×cosb - sena × senb

68. COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
(otra forma de deducir la fórmula)
é
ö çè
ù
ép - a - b
2
sen ( ) = úû
sen
( ) ( ) = b - × ÷ø
= æ p - a sen
68
cos(a + b) =
ù
ép - a + b
2
( ) = úû
êë
æ a - p + b - × ÷ø
= cosa × cosb - sena × senb
ù
êë
b - + ÷ø
æ p - a
2
sen = úû
êë
ö çè
ö çè
2
cos cos
2
sen
= cosa × cosb + sena × (- senb) =
cos(a + b) = cosa × cosb - sena × senb

69. TANGENTE DE LA SUMA DE DOS
69
ÁNGULOS
sen cos cos sen
a × b + a × b
a + b
sen
tg(a + b) = =
cos cos sen sen
a × b - a × b
=
cos sen
+ a × b
sen sen
- a × b
a × b
sen cos
a × b
cos cos
a × b
a × b
a × b
a × b
=
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
tg tg
a + b
1 tg tg
- a × b
sen(a + b) = sena × cosb + cosa × senb
cos(a + b) = cosa ×cosb - sena × senb
tg ( a + b ) = tg a + tg
b
=
1 tg tg
- a × b
Si dividimos numerador
y denominador por
cosa.cosb
Simplifi-cando
( )
( ) =
a + b
cos

70. R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
sen(a - b) = sen[a + (- b)] = sena ×cos(- b) + cosa × sen(- b) =
( ) tg tg
( ) =
a + - b
1 tg tg
tg tg
= a - b
1 tg 70
tg
1
= sena ×cosb + cosa × (- senb) =
= sena × cosb - cosa × senb
cos(a - b) = cos[a + (- b)] = cosa ×cos(- b) - sena × sen(- b) =
= cosa × cosb - sena × (- senb) =
= cosa × cosb + sena × senb
tg(a - b) = ( )
( ) =
- a × - b
tg[a + (- b)] = tg tg
a + - b
1 tg tg
- a × - b
=
+ a × b

71. R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS
71
ÁNGULOS
sen(a + b) =
sena × cosb + cosa × senb
sen(a - b) =sena × cosb - cosa × senb
cos(a + b) =
cosa × cosb - sena × senb
cos(a - b) = cosa × cosb + sena × senb
tg(a + b) =
tg(a - b) =
tg tg
a + b
1 tg tg
- a × b
tg tg
a - b
1 tg tg
+ a × b

72. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
72
sen(a + a) =
cos(a + a) =
tg(a + a) =
sen2a = sena ×cosa + cosa × sena =
cosa × cosa - sena × sena =
=
tg tg
a + a
1 tg tg
- a × a
2× sena ×cosa
cos2a = cos2 a - sen2a
tg2a =
2tg
a
1 tg2
- a
sen2a = 2× sena ×cosa
cos2a = cos2 a - sen2a
tg2a =
2tg
a
1 tg2
- a

73. R.T. DEL ÁNGULO MITAD
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble)
1- sen2a - sen2a = 1- 2sen2a
sena = ± 1- cos2a
cosa = ± 1+ cos2a
1 cos2
± - a
1 cos2
73
cos2a =cos2 a - sen2a =
tga =
2sen2a = 1- cos2a
sen21- cos2a
a =
2
2
cos2a =cos2 a - sen2a = cos2 a -1+ cos2 a =2cos2 a -1
2cos2 a =1+ cos2a
cos2 a =
1+ cos2a
2
2
+ a
1 cos
sen a = ± - a
2
2
1 cos
cos a = ± 1 + cos
a + a
2
2
a = ± - a
1 cos
2
tg

74. 11.. TTeeoorreemmaa ddeell sseennoo
22.. TTeeoorreemmaa ddeell ccoosseennoo

75. a = =
b a
75
TEOREMA
DEL SENO
ˆ
Los lados Cde un triángulo son proporcionales a
los senos de los
c
ángulos opuestos. sen
Bˆ
b
sen
Aˆ
sen
El Teorema del seno sirve para relacionar los
lados de un triángulo con los ángulos opuestos.
Consideremos un triángulo ABC.
þ ý ü
= ×
= ×
Bˆ
h a sen
Aˆ
h b sen
C
C Þ × = × Þ Bˆ
sen a Aˆ
b sen
Bˆ
b
sen
Þ a =
Aˆ
sen
Del mismo modo, si trazamos la altura
correspondiente al vértice A:
þ ý ü
= ×
= ×
Bˆ
h c sen
Cˆ
h b sen
A
c
Þ b =
A Bˆ
sen c Cˆ
sen b × = × Þ Cˆ
sen
Bˆ
sen
hC
hA
C
A B
c H
Trazamos la altura correspondiente al vértice C.
Los triángulos AHC y BHC son rectángulos.
Entonces:

76. Medida de los ángulos en una
76
circunferencia
 Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo  Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo c ceenntrtaral lc coorrreressppoonnddieienntete
A
B
C
a
180º-2 a
b
O a
180º-2b
b
2(a+b)
360º-(180º-2 a+180º-
2 b)= =360º - 360º +
2 a+2 b = = 2 a+2 b = 2 (a
+ b)
O
a+b
2(a+b)
g
2 g

77. Medida de los ángulos en una
 Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia,
son iguales
 Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia,
son iguales
 Todos los ángulos
inscritos que abarcan
un diámetro, son
rectos.
77
g
2g
g
g
g
180º
90º
 Todos los ángulos
inscritos que abarcan
un diámetro, son
rectos.
circunferencia

78. Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
a = b
= c
=
Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con
B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo
ángulo que abarca un diámetro es recto).
a = 2R
= 2R
=
Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan
el mismo arco son iguales). Luego:
a
a =
La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo y
los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la
circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
78
2R
Cˆsen
Bˆ
sen
Aˆ
sen
Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la
circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
=
Aˆ
sen
A
a
C
B
A’
2R
1
sen90º
' Aˆ
sen
2R
' Aˆ
sen

79. Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
C
S = 1 ×
b a
79
Área de un triángulo
hC
A B
c H
La superficie del triángulo ABC es:
c c h
2
En el triángulo AHC :
h Aˆ
sen C Aˆ
h b sen C = ×
= Þ
b
Sustituyendo en la primera expresión:
Aˆ
S = 1 × ×
c b sen
2

80. Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
b a
80
Área de un triángulo
Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R.
La superficie del triángulo ABC es:
S = 1 × ×
Por el Teorema del seno :
a
a Aˆ
sen =
Sustituyendo en la primera expresión:
Aˆ
c b sen
2
C
A B
c
R
= 2R Þ
Aˆ
sen
2R
c b a
2
2R
S = 1 × ×
S = a ×b × c
4R

81. C
b a
m c-m
81
TEOREMA DEL
COSENO
h
Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC:
A B
c H
a2 = h2 + (c -m)2 =
= h2 + c2 - 2cm+m2 =
(en AHC)
= b2 -m2 + c2 - 2cm+m2 =
= b2 -m2 + c2 - 2cm+m2 =
= b2 + c2 - 2cm
(Como en AHC m = b . cos A) Aˆ
a2 = b2 + c2 - 2bc ×cos
Bˆ
b2 = a2 + c2 - 2ac ×cos
Cˆ
c2 = a2 + b2 - 2ab × cos
Análogamente (trazando las
otras alturas) obtendríamos:
El cuadrado de un lado es igual a la suma de
los cuadrados de los otros dos lados menos
el doble producto de estos lados por el
coseno del ángulo correspondiente

82. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO
En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que: Aˆ
a2 < b2 + c2
a b
82
Clasificación de triángulos
A
C
c
B
b
a
C
B A
c
a2 > b2 + c2
a2 = b2 + c2 - 2bc ×cos
Si A < 90º Þ cos A >0 Þ
Si A = 90º Þ cos A = 0 Þ a2 = b2 + c2
C
b a
A c B
Si A > 90º Þ cos A < 0 Þ
( Teorema de Pitágoras )

83. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO
Área de un triángulo. Fórmula de Herón
S = 1 × ×
La superficie del triángulo ABC es: Aˆ
c b sen
( 2 2 2 ) 2
=
c b c b b c a
× - × × + - 2 2
4 c b b c a 2 2 2 2 2 2
( )( ) = + + - - - + =
2bc b2 c2 a2 2bc b2 c2 a2
(( ) )( ( ) ) = + - - - =
C
b a
Por el Tª del coseno
2 + 2 - 2 =
a c b Aˆ
cos
83
2
Aˆ
2S = c ×b × sen
ˆ
A4 S 2 = c 2 × b 2 × sen 2 = c2 × b2 × ( 1 - cos2
ˆ
A) = = × × - × = Aˆ
c2 b2 c2 b2 cos2
2bc
× ×
2 2 2 2
4 b c
( ) = × × - + - =
4
4
b c 2 a2 a2 b c 2
4
hC
A B
c H

84. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO
Área de un triángulo. Fórmula de Herón
(( = b + c ) 2 - a2 )( a2 - ( b - c ) 2
) =
b a
A B
84
S = 1 × ×
La superficie del triángulo ABC es: Aˆ
c b sen
...
b c a b c a a b c a b c
= 2p × 2 ( p - a ) × 2 ( p - c ) × 2 ( p - b
) =
Si a+b+c=2p
2
Aˆ
2S = c ×b × sen
= × × = Aˆ
4S2 c2 b2 sen2
( )( )( )( ) = + + + - + - - + =
4
C
hC
c H
Þ b+c-a=2p-2a=2(p-a) ....
4
= 4p × (p - a) × (p - c) × (p - b) =
S2 = p × (p - a) × (p - c) × (p - b) Þ S = p × (p - a) × (p - b) × (p - c)
(p será el semiperímetro)
FFÓÓRRMMUULLAA
DDEE HHEERRÓÓNN
4

85. Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones
entre los lados y los ángulos de un triángulo.
La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede
acceder directamente.
Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene
aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el
estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el
flujo de la corriente alterna,...
La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y
se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A
partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los
conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.
La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en
Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el
escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac
Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.
Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones
entre los lados y los ángulos de un triángulo.
La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede
acceder directamente.
Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene
aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el
estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el
flujo de la corriente alterna,...
La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y
se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A
partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los
conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.
La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en
Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el
escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac
Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.
85

86. 86
PÁGINAS WEB
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigonometria.htm
http://www.eneayudas.cl/trigentrada.htm#ejyej
http://www.sectormatematica.cl/proyectos/como_aprender.htm
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_04/
APPUNTI.HTM
http://www.dm.unibo.it/matematica/Trigonometria/trigono.htm
http://www.vialattea.net/eratostene/cosmimetria/metodo.htm
http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/trig/trig.html
http://descartes.cnice.mecd.es/
http://www.nauticoartiglio.lu.it/trigsfer/trigsferica.htm
http://astro.if.ufrgs.br/trigesf/trigesf.htm