Trigonometría teoría completa, resumen.

TRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍA
(Primera parte)(Primera parte)
Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés

2
INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer
cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible
medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el
teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún
ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la
altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia
sombra medía tanto como su estatura
teodolito.

3
• NOCIONES PREVIAS
• SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN.
• RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO
AGUDO.
• R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º.
• RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA
• R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
• CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.

NOCIONES PREVIAS
1.1. a.a. Proporcionalidad de segmentos yProporcionalidad de segmentos y
semejanzasemejanza
b.b.TEOREMA DE TALESTEOREMA DE TALES
2.2. TEOREMA DE PITÁGORASTEOREMA DE PITÁGORAS

5
1.a. Proporcionalidad de1.a. Proporcionalidad de
segmentos y semejanzasegmentos y semejanza
Sombra del árbol grande (S)
S. árbol
pequeño (s)
H
h
Las sombras de los dos árboles son proporcionales a
las respectivas alturas
H
h
S
s
OA’
A
B’
B
)alidadproporcionderazón(k
'AA
'BB
'OA
'OB
==
H
h
S
s
=
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.)
en uno de sus viajes a Egipto
midió la altura de una pirámide
aprovechando el momento en
que su propia sombra medía
tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.)
en uno de sus viajes a Egipto
midió la altura de una pirámide
aprovechando el momento en
que su propia sombra medía
tanto como su estatura

6
Si varias paralelas determinan
segmentos iguales sobre una
recta r, determinan también
segmentos iguales sobre
cualquier otra recta r’ a la que
corten
Si varias paralelas determinan
segmentos iguales sobre una
recta r, determinan también
segmentos iguales sobre
cualquier otra recta r’ a la que
corten
TEOREMA DE TALES:
Los segmentos determinados por
rectas paralelas en dos rectas
concurrentes son proporcionales.
TEOREMA DE TALES:
Los segmentos determinados por
rectas paralelas en dos rectas
concurrentes son proporcionales.
O
A’A
B’
B
'OB
'B'A
OB
AB
tambieno
'OB
'OA
OB
OA
==
1.b. TEOREMA DE TALES1.b. TEOREMA DE TALES
O
A’
A
B’
B
C’
D’
E’
EDC
B’’
C’’
D’’
E’’
r
r’

7
Medida de ángulosMedida de ángulos
Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:
Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)
Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)
Radianes (En la calculadora MODE RAD)
Ángulo
completo
Ángulo
llano
Ángulo
recto
Un
grado
Un
minuto
SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60”
CENTESIMAL 400g
200g
100g
100m
100s
RADIANES 2π π π/2

8
Expresa los siguientes ángulos en los tres
sistemas de medida
S.sexagesimal 60 º 210º
S. centesimal 50g
60g
100g
Radianes 2π/3 5π/6
S.sexagesimal 140º 240º
S. centesimal 350g
90g
25g
Radianes 7π/8 3

9
Ángulos en los tres sistemas de medida
S.sexagesimal 60 º 45º 120º 54º 210º 90º 150º
S. centesimal 66g
66m
66s 50g 133g
33m
33s 60g 233g
33m
33s 100g 166g
66m
66s
Radianes
S.sexagesimal 140º 315º 157º 30’ 81º 240º 22º 30’
171º
53’14”
S. centesimal 155g
55m
55s 350g
175g
90g 266g
66m
66s 25g 190g
98m
59s
Radianes 3
3
π
4
π
10
3π
6
7π
2
π
3
2π
6
5π
8
7π
18
14π
4
7π
20
9π
3
4π
8
π

10
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)
Cˆsen
C"B
"B"A
C'B
'B'A
BC
AB
===
Cˆgcot
"B"A
C"A
'B'A
C'A
AB
AC
===
Cˆeccos
"B"A
C"B
'B'A
C'B
AB
BC
===
Cˆcos
C"B
C"A
C'B
C'A
BC
AC
===
Cˆtg
C"A
"B"A
C'A
'B'A
AC
AB
===
Cˆsec
C"A
C"B
C'A
C'B
AC
BC
===
Los triángulos ABC, A’B’C y A”B”C son
CA”
B”
A
B
A`
B` semejantes
porque tienen los ángulos iguales.
En consecuencia los lados son proporcionales :

11
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)
DE UN ÁNGULO AGUDO
a
c
hipotenusa
opuestocateto
Cˆsen ==
a
b
hipotenusa
adyacentecateto
Cˆcos ==
c
a
opuestocateto
hipotenusa
Cˆeccos ==
b
a
adyacentecateto
hipotenusa
Cˆsec ==
b
c
adyacentecateto
opuestocateto
Cˆtg ==
c
b
opuestocateto
adyacentecateto
Cˆgcot ==
Cˆcos
1
Cˆsec =
Cˆsen
1
Cˆeccos =
Cˆtg
1
Cˆgcot =
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
Se definen seis razones trigonométricas
C
A
B
a
b
c
Cateto adyacente o contiguo a C
CatetoopuestodeC

12
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
a
c
Cˆsen =
a
b
Cˆcos =
Cˆsen
1
a
c
a
a
c
a
Cˆeccos ===
Cˆcos
1
a
b
a
a
b
a
Cˆsec ===
Cˆcos
Cˆsen
a
b
a
c
b
c
Cˆtg ===
Cˆsen
Cˆcos
a
c
a
b
c
b
Cˆgcot ===
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
C
A
B
a
b
c
Cateto adyacente o contiguo a C
CatetoopuestodeC
Cˆcos
1
Cˆsec =
Cˆsen
1
Cˆeccos =
Cˆtg
1
Cˆgcot =
Cˆcos
Cˆsen
Cˆtg =
Cˆsen
Cˆcos
Cˆgcot =

13
VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO
B
CA
a
b
C
1
a
c
Cˆsen0 ≤=≤
1
a
b
Cˆcos0 ≤=≤ 1
c
a
Cˆeccos ≥=
1
b
a
Cˆsec ≥=
+∞<=<
b
c
Cˆtg0 +∞<=<
c
b
Cˆgcot0
En todo triángulo rectángulo los catetos son
menores que la hipotenusa.
Es decir: 0 < c < a 0 < b < a
En consecuencia:

RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE 30º,
45º y 60º
1.1. R.T. DE 30º y 60ºR.T. DE 30º y 60º
2.2. R.T. DE 45ºR.T. DE 45º

15
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1)
A B
C
Sea ABC un triángulo equilátero
H
ll
l
l/2
x
B
C
H
l
60º
30º
Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide
En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide
Trazamos una altura CH
60º
Podemos calcular x en función de l, aplicando el
2
2
2
l
2
l
x =





+
Tª de Pitágoras
4
l
lx
2
22
−=
4
ll4
x
22
2 −
=
4
l3
x
2
2
=
4
l3
x
2
=
2
3l
x =
60º y el ángulo C mide 30º El lado BH mide l/2

16
B
C
H
l
l/2
2
3l
60º
30º
2
3
l2
3l
l
2
3l
º60sen ===
2
º60cos
1
º60sec ==
3
2
º60sen
1
º60eccos ==
3
3
3
1
º60tg
1
º60gcot ===
2
1
l2
l
l
2
l
º60cos ===
3
2
32
2
1
2
3
º60cos
º60sen
º60tg ====
2
1
l2
l
l
2
l
º30sen ===
2
3
l2
3l
l
2
3l
º30cos ===
3
3
3
1
32
2
2
3
2
1
º30tg ====
2
º30sen
1
º30eccos ==
3
2
º30cos
1
º30sec ==
3
3
33
3
3
º30tg
1
º30gcot ====
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2)
Observa que:
sen 60º = cos 30º
cos 60º = sen 30º
tg 60º = cotg 30º
cotg60º = tg 30º
sec 60º =cosec30º
Cosec 60º =sec30º

17
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1)
Sea ABCD un cuadrado
l
l
x
45º
Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos
mide
En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide
Trazamos la diagonal AC
90º
Podemos calcular x en función de l, aplicando el
222
llx +=
Tª de Pitágoras
22
l2x ⋅=
2
l2x ⋅=
2lx =
45º y el ángulo C mide 45º
A B
CD
lA B
C
l
45º

18
2
2
2
1
2l
l
º45sen ===
2
2
22
2
2
º45cos
1
º45sec ====
1
1
1
º45tg
1
º45gcot ===
1
l
l
º45tg ==
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2)
45º
l
A B
C
l
45º
2l
2
2
2
1
2l
l
º45cos ===
2
2
2
º45sen
1
º45eccos ===
Observa que:
sen 45º = cos 45º
tg 45º = cotg 45º
sec 45º =cosec45º

19
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
α
Si el ángulo B mide α grados,
el ángulo C mide α−º90
α−α º90y
α−º90
AB
C
b
a
c
α==α− cos
a
c
)º90(sen
( ) α==α− sen
a
b
º90cos
( ) α==α− gcot
b
c
º90tg
( )
( )
α=
α
=
α−
=α− eccos
sen
1
º90cos
1
º90sec
( )
( )
α=
α
=
α−
=α− sec
cos
1
º90sen
1
º90eccos
( )
( )
α=
α
=
α−
=α− tg
gcot
1
º90tg
1
º90gcot

20
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
Si el ángulo B mide α radianes,
el ángulo C mide
α−
π
α
2
y
α−
π
2
α
AB
C
b
a
c
α−
π
2
α==α−
π
cos
a
c
)
2
(sen
α==





α−
π
sen
a
b
2
cos
α==





α−
π
gcot
b
c
2
tg
α=
α
=






α−
π
=





α−
π
eccos
sen
1
2
cos
1
2
sec
α=
α
=






α−
π
=





α−
π
sec
cos
1
2
sen
1
2
eccos
α=
α
=






α−
π
=





α−
π
tg
gcot
1
2
tg
1
2
gcot

21
RELACIÓN FUNDAMENTAL DE
TRIGONOMETRÍA
α
AB
C
b
a
c
222
acb =+
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de
Pitágoras, tenemos:
Si dividimos la expresión anterior por a2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
c
a
b
=+
Expresándolo de otra forma:
1
a
c
a
b
22
=





+





( ) ( ) 1cossen
22
=α+αO lo que es lo mismo:
1cossen 22
=α+α
1cossen 22
=α+α
Que normalmente expresaremos
de la forma:

22
Si dividimos la expresión anterior por b2
o por c2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
c
b
b
=+
Expresándolo de otra forma:
( ) ( )22
eccosgcot1 α=α+
α=α+ 22
sectg1
α
AB
C
b
a
c
222
acb =+
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de
Pitágoras, tenemos:
2
2
2
2
2
2
c
a
c
c
c
b
=+
( ) ( )22
sectg1 α=α+
α=α+ 22
eccosgcot1
OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES

23
R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
senα
cos α
senα
senα
senα
senα
1
Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno
va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto
sen 90º = 1
A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0
cos 90º = 0
Observa que al ir disminuyendo el
ángulo hasta 0º el seno va
disminuyendo, hasta llegar a ser 0,
mientras que el coseno va
aumentando hasta valer 1. Es decir,
sen 0º = 0
cos 0º = 1radio=1
1
P(x,y)
O X
Y
α

Circunferencia goniométrica
1.1. R.T. DE ÁNGULO CUALQUIERAR.T. DE ÁNGULO CUALQUIERA
2.2. VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UNVALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN
ÁNGULOÁNGULO
3.3. VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LAVALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA
COTANGENTECOTANGENTE
4.4. R.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOSR.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
5.5. R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180ºR.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
6.6. R.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360ºR.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º
7.7. R.T. DE ÁNGULOS OPUESTOSR.T. DE ÁNGULOS OPUESTOS

25
CIRCUNFERENCIA
GONIOMÉTRICA
Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un
sistema de coordenadas
X
Y
O
a
Uno de los lados del ángulo
deberá coincidir con el
semieje positivo de las x, el
vértice en el origen de
coordenadas y el otro lado
donde corresponda
A esta circunferencia donde
situaremos los ángulos la
llamaremos circunferencia
goniométrica.
1

26
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
UN ÁNGULO CUALQUIERA
y
1
y
r
'y
radio
ordenada
sen ====α
x
1
x
r
'x
radio
abscisa
cos ====α
x
y
'x
'y
abscisa
ordenada
tg ===α
X
Y
O
a
1
P(x,y)
Q(x’,y’)
r
A partir de ahora trabajaremos
con la circunferencia de radio 1
(Circunferencia goniométrica)

27
SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO
CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
X
Y
O 1
a
A
senα
cos α
senβ
cos β
senγ
cos γ
senδ
cos δ
b
B
g
C
d
D
-1 0
1
El seno y el coseno de cualquier
ángulo toma valores mayores o
iguales a –1 y menores o iguales a 1
1sen1 ≤α≤−
1cos1 ≤α≤−-1
-1
1
++_ _
SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO
_
_ +
+

28
TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO
CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
X
Y
O 1
A
a
tgα
cotg α
tgβ
cotg β
tgγ
cotg γ
tgδ
cotg δ
g
C
d
D
B
b
La tangente y la
cotangente de un
ángulo puede tomar
cualquier valor .
+∞≤α≤∞− tg
+∞≤α≤∞− gcot
+
_
+
_
TANGENTE Y
COTANGENTE

29
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 120º
A
60º
120º
-1
-1
1
X
Y
O 1
En la circunferencia goniométrica dibujamos
120º (quitamos 60º a 180º)
A’
60º
x
y
-x
y
== yº120sen =º60sen
=−= xº120cos =− º60cos
=
−
=
x
y
º120tg =−
x
y
=− º60tg
2
3
2
1
−
3−
2º120sec −=
3
32
º120eccos =
3
3
º120gcot −=
Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.

30
A
45º
135º
-1
-1
1
X
Y
O 1
A’
45º
x
y
-x
y == yº135sen =º45sen
=
−
=
x
y
º135tg =−
x
y
=− º45tg
2
2
2
2
−
1−
2º135sec −= 2º135eccos = 1º135gcot −=
Dibujamos el ángulo de 45º y las
líneas que representan sus razones
trigonométricas.

31
150º
-1
-1
1
X
Y
O 1
A
30º
x
y
A’
30º
-x
y == yº150sen =º30sen
=
−
=
x
y
º150tg =−
x
y
=− º30tg
2
1
2
3
−
3
3
−
3
32
º150sec −= 2º150eccos = 3º150gcot −=
Dibujamos el ángulo de 30º y las
líneas que representan sus razones
trigonométricas.

32
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
a
A
180º-a
-1
-1
1
X
Y
O 1
a y 180º- a
a y p-a
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 180º- a
A’
a
x
y
-x
y
( ) yº180sen =α− α= sen
( ) xº180cos −=α− α−= cos
( )
x
y
º180tg
−
=α−
x
y
−= α−= tg
( ) α=α−π sensen ( ) α=α−π coscos ( ) α−=α− tgº180tg

33
-1
-1
1
X
Y
O 1
210º
30º
A
x
y
A’
30º-x
-y
yº210sen −= =−= º30sen
xº210cos −= =−= º30cos
x
y
º210tg
−
−
=
x
y
= == º30tg
210º (añadimos 30º a 180º).
2
1
−
2
3
−
3
3
3
32
º210sec −= 2º210eccos −= 3º210gcot =

34
-1
-1
1
X
Y
O 1
225º
45º
45º
-x
-y
=−= yº225sen =− º45sen
=
−
−
=
x
y
º225tg =
x
y
=º45tg
2
2
−
2
2
−
1
2º225sec −= 2º225eccos −= 1º225gcot =

35
-1
-1
1
X
Y
O 1
240º
=º240sen =− º60sen
=º240cos =− º60cos
=º240tg =º60tg
2
3
−
2
1
−
3
2º240sec −=
3
32
º240eccos −=
3
3
º240gcot =

36
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
a
A
-1
-1
1
X
Y
O 1
a y 180º+ a
a y p+a
dibujamos a y 180º+a
A’
180º+a
a x
y
-x
-y
( ) yº180sen −=α+ α−= sen
( ) xº180cos −=α+ α−= cos
( )
x
y
º180tg
−
−
=α+
x
y
= α= tg
( ) α−=α+π sensen ( ) α−=α+π coscos ( ) α=α+π tgtg

37
-1
-1
1
X
Y
O 1
300º
dibujamos 300º (quitamos 60º a 360º).
2
3
−
=º300cos =º60cos
2
1
=º300tg =− º60tg 3−
2º300sec =
3
32
º300eccos −=
3
3
º300gcot −=

38
-1
-1
1
X
Y
O 1
315º
dibujamos 315º (quitamos 45º a
360º).
=º315tg 1º45tg −=−
2
2
−
=º315cos =º45cos
2
2
2º315sec = 2º315eccos −= 1º315gcot −=

39
(las mismas que las de –30º)
-1
-1
1
X
Y
O 1
dibujamos 330º (quitamos 30º a
360º).
=º330cos =º30cos
2
1
−
2
3
=º330tg =− º30tg
3
3
−
3
32
º330sec = 2º330eccos −= 3º330gcot −=

40
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE SUMAN 360º
a
A
-1
-1
1
X
Y
O 1
a y 360º-a
a y 2 p-a
A’
360º-a
a x
y
-y
( ) yº360sen −=α− α−= sen
( ) xº360cos =α− α= cos
( )
x
y
º360tg
−
=α−
x
y
−= α−= tg
( ) α−=α−π sen2sen ( ) α=α−π cos2cos ( ) α−=α−π tg2tg

41
TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
OPUESTOS
a
A
-1
-1
1
X
Y
O 1
a y - a
En la circunferencia
goniométrica dibujamos a y - a
A’
-a x
y
-y
( ) ysen −=α− α−= sen
( ) xcos =α− α= cos
( )
x
y
tg
−
=α−
x
y
−= α−= tg
( ) α−=α− sensen ( ) α=α− coscos ( ) α−=α− tgtg

42
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO MAYOR DE
UNA CIRCUNFERENCIA
a
A
-1
-1
1
X
Y
O 1
Las razones trigonométricas de un
ángulo mayor que una circunferencia
( a+360ºk, donde k es un número
entero) son las mismas que las del
ángulo a
x
y
( ) =α+π2sen αsen
( ) =α+π2cos αcos
( ) =α+π2tg αtg
( ) α=α+ senº360sen ( ) α=α+ cosº360cos ( ) α=α+ tgº360tg
Ζ∈π+α k,k2
Ζ∈+α k,kº360
2p+α

43
-1
-1
1
X
Y
O 1
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 270º
a
A
a y 270º+a
dibujamos a y 270º+ a
A’
270º+a
a
x
y
( ) xº270sen −=α+ α−= cos
( ) yº270cos =α+ α= sen
( )
y
x
º270tg
−
=α+
y
x
−= α−= gcot
α+
π
α
2
3
y
y
-x
α−=





α+
π
cos
2
3
sen α=





α+
π
sen
2
3
cos α−=





α+
π
gcot
2
3
tg

44
-1
-1
1
X
Y
O 1
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
a
A
a y 90º - a
A’
90º-aa
x
y
( ) xº90sen =α− α= cos
( ) yº90cos =α− α= sen
( )
y
x
º90tg =α− α= gcot
α−
π
α
2
y
y
x
α=





α−
π
cos
2
sen α=





α−
π
sen
2
cos α=





α−
π
gcot
2
tg

45
SENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno
va creciendo, de 0 a 1.
sen 0º = 0 sen 90º = 1
-1
-1
1
X
Y
O 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno
va decreciendo, de 1 a 0.
sen 180º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno
va decreciendo, de 0 a -1.
sen 270º = -1
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0.
sen 360º = 0

46
COSENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a
90º el coseno va decreciendo, de 1 a 0.
cosen 0º = 1 cosen 90º = 0
-1
-1
1
X
Y
O 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el
coseno va decreciendo, de 0 a -1.
cosen 180º = -1
coseno va creciendo, de -1 a 0.
cosen 270º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a 1.
cosen 360º = 1

47
TANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y
360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º
a 90º la tangente va decreciendo, de 0 a + ∞.
tg 0º = 0 tg 90º → + ∞.
-1
-1
1
X
Y
O 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la
tangente va creciendo, de - ∞. a 0.
tg 90º → - ∞ tg 180º = 0
tangente va creciendo, de 0 a +∞. .
tg 270º → + ∞.
coseno va creciendo, de - ∞ a 0.
tg 270º → - ∞ tg 360º = 0

48
COTANGENTE DE 0º , 90º,180º,
270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º la
cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0
cotg 0º → + ∞ cotg 90º =0
-1
-1
1
X
Y
O 1
cotangente va creciendo, de 0 a - ∞
cotg 180º → - ∞
cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0
cotg 180º → + ∞ cotg 270º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º la cotangente va decreciendo, de
0 a - ∞ cotg 360º → - ∞

49
VALORES Y SIGNO QUE TOMAN LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO
1sen1 ≤α≤−
1cos1 ≤α≤−
1sec ≥α
+∞<α<∞− tg +∞<α<∞− gcot
1sec −≤α
1eccos ≥α1eccos −≤α
++_ _
SIGNO DEL SENO Y
DE LA COSECANTE
SIGNO DEL COSENO
Y DE LA SECANTE
_
_ +
+
+
_
+
_
SIGNO DE LA
TANGENTE Y
COTANGENTE

FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
1.1. FUNCIÓN SENOFUNCIÓN SENO
2.2. FUNCIÓN COSENOFUNCIÓN COSENO
3.3. FUNCIÓN TANGENTEFUNCIÓN TANGENTE
4.4. FUNCIÓN COTANGENTEFUNCIÓN COTANGENTE
5.5. FUNCIÓN SECANTEFUNCIÓN SECANTE
6.6. FUNCIÓN COSECANTEFUNCIÓN COSECANTE

51
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO
f(x)=sen x
6
π
3
π
2
π
3
2π
6
5π π
6
7π
3
4π
2
3π
3
5π
3
11π π2
4
π
4
3π
4
5π
4
7π
2
1
2
1
−
2
3
2
3
−
1
1−
2
2
2
2
−
0
a
sen a
2
2
−
2
2
−
2
2
2
2
2
1
−
2
1
−
2
1
2
1
2
3
−
2
3
−
2
3
2
3
0 1 0 01−
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
6
5π
π 6
7π
3
4π
2
3π
3
5π
3
11π
π24
3π
4
5π
4
7π
0

52
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO
f(x)=sen x

53
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO
f(x)=cos x
2
π
3
π
4
π
6
π π2
3
11π
4
7π
3
5π
3
2π
4
3π
6
5π π
6
7π
4
5π
3
4π
2
1
2
1
−
2
3
2
3
−
1
1−
2
2
2
2
−
0
2
3π
a
COS a
2
2
−
2
2
−
2
2
2
2
2
1
−
2
1
−
2
1
2
1
2
3
−
2
3
−
2
3
2
3
01 0 11−
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
6
5π
π 6
7π
3
4π
2
3π
3
5π
3
11π
π24
3π
4
5π
4
7π
0

54
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO
f(x)=cos x

55
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
f(x)=tg x
3
3
−
1
1−
6
π
3
π
2
π
3
2π
6
5π π
6
7π
3
4π
2
3π
3
5π
3
11π π2
4
π
4
3π
4
5π
4
7π0
3
3
3−
3

56
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
f(x)=tg x

57
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE
f(x)=cotg x
3
3
−
1
1−
6
π
3
π
2
π
3
2π
6
5π π
6
7π
3
4π
2
3π
3
5π
3
11π π2
4
π
4
3π
4
5π
4
7π0
3
3
3−
3

58
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE
f(x)=cotg x

59
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE
f(x)=sec x
1
1−
6
π
3
π
2
π
3
2π
6
5π π
6
7π
3
4π
2
3π
3
5π
3
11π π2
4
π
4
3π
4
5π
4
7π0

60
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE
f(x)=sec x

61
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE
f(x)=cosec x
1
1−
6
π
3
π
2
π
3
2π
6
5π π
6
7π
3
4π
2
3π
3
5π
3
11π π2
4
π
4
3π
4
5π
4
7π0

62
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE
f(x)=cosec x

TRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍA
(Segunda parte)(Segunda parte)
Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés

64
INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN
teodolito.
teodolito.

1.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMARAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA
Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOSY DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS
2.2. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.
3.3. R.T. DEL ÁNGULO MITADR.T. DEL ÁNGULO MITAD
4.4. TEOREMA DEL SENOTEOREMA DEL SENO
5.5. TEOREMA DEL COSENOTEOREMA DEL COSENO
6.6. ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DEÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE
HERONHERON

66
SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
A
O X
Y
N
M
β α+β
P
B
α
α
Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b.
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB.
Trazamos MN y BM.
( ) ==β+α
OB
BP
sen
=
α⋅β⋅+α⋅β⋅
=
OB
sencosOBcossenOB
=
α⋅+α⋅
=
OB
senOAcosAB
( ) β⋅α+β⋅α=β+α sencoscossensen
Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el
triángulo rectángulo OAB.
=
+
OB
ANAM

67
COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
A
O X
Y
N
M
β α+β
P
B
α
α
Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b.
Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el
triángulo rectángulo OAB.
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB.
Trazamos MN y BM.
( ) =
−
=
−
==β+α
OB
BMON
OB
NPON
OB
OP
cos
=
α⋅β⋅−α⋅β⋅
=
OB
sensenOBcoscosOB
=
α⋅−α⋅
=
OB
senABcosOA
( ) β⋅α−β⋅α=β+α sensencoscoscos

68
COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
(otra forma de deducir la fórmula)
( ) =β+αcos
β⋅α−β⋅α= sensencoscos
( ) =





β+α−
π
2
sen ( ) =





β−+





α−
π
2
sen=





β−α−
π
2
sen
( ) ( ) =β−⋅





α−
π
+β−⋅





α−
π
= sen
2
coscos
2
sen
( ) =β−⋅α+β⋅α= sensencoscos

69
TANGENTE DE LA SUMA DE DOS
ÁNGULOS
( ) =β+αtg =
β⋅α−β⋅α
β⋅α+β⋅α
sensencoscos
sencoscossen
=
β⋅α
β⋅α
−
β⋅α
β⋅α
β⋅α
β⋅α
+
β⋅α
β⋅α
=
coscos
sensen
coscos
coscos
coscos
sencos
coscos
cossen
β⋅α−
β+α
tgtg1
tgtg
( ) β⋅α+β⋅α=β+α sencoscossensen
( ) =
β⋅α−
β+α
=β+α
tgtg1
tgtg
tg
Si dividimos numerador
y denominador por
cosa.
cosb
Simplifi-
cando
( )
( )
=
β+α
β+α
cos
sen

70
R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
( )[ ] =β−+αsen( ) =β−αsen ( ) ( ) =β−⋅α+β−⋅α sencoscossen
1
( ) =β−⋅α+β⋅α= sencoscossen
β⋅α−β⋅α= sencoscossen
( )[ ] =β−+αcos( ) =β−αcos ( ) ( ) =β−⋅α−β−⋅α sensencoscos
( ) =β−⋅α−β⋅α= sensencoscos
β⋅α+β⋅α= sensencoscos
( ) =β−αtg
( )
( )
=
β−⋅α−
β−+α
tgtg1
tgtg( )
( )
=
β−⋅α−
β−+α
tgtg1
tgtg
( )[ ] =β−+αtg
=
β⋅α+
β−α
=
tgtg1
tgtg

71
R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS
ÁNGULOS
( ) =β+αsen
( ) =β+αcos
( ) =β+αtg
( ) =β−αsen β⋅α−β⋅α sencoscossen
( ) =β−αcos β⋅α+β⋅α sensencoscos
( ) =β−αtg
β⋅α+
β−α
tgtg1
tgtg
β⋅α+β⋅α sencoscossen
β⋅α−β⋅α sensencoscos
β⋅α−
β+α
tgtg1
tgtg

72
R.T. DEL ÁNGULO DOBLE
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
( ) =α+αsen
( ) =α+αcos
( ) =α+αtg
=α2sen =α⋅α+α⋅α sencoscossen
=α⋅α−α⋅α sensencoscos
=
α⋅α−
α+α
tgtg1
tgtg
α⋅α⋅ cossen2
=α2cos α−α 22
sencos
=α2tg
α−
α
2
tg1
tg2
=α2sen α⋅α⋅ cossen2
=α2cos α−α 22
sencos
=α2tg
α−
α
2
tg1
tg2

73
R.T. DEL ÁNGULO MITAD
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble)
=α2cos =α−α 22
sencos
=αtg
=α−α− 22
sensen1 α− 2
sen21
=α2
sen2 α− 2cos1
=α2
sen
2
2cos1 α−
2
2cos1 α−
±=αsen
=α2cos =α−α 22
sencos =α+−α 22
cos1cos 1cos2 2
−α
=α2
cos2 α+ 2cos1
=α2
cos
2
2cos1 α+
2
2cos1 α+
±=αcos
α+
α−
±
2cos1
2cos1
2
cos1
2
sen
α−
±=
α
2
cos1
2
cos
α+
±=
α α+
α−
±=
α
cos1
cos1
2
tg

1.1. Teorema del senoTeorema del seno
2.2. Teorema del cosenoTeorema del coseno

75
TEOREMA
DEL SENO
Los lados de un triángulo son proporcionales a
los senos de los
ángulos opuestos. Cˆsen
c
Bˆsen
b
Aˆsen
a
==
El Teorema del seno sirve para relacionar los
lados de un triángulo con los ángulos opuestos.
Consideremos un triángulo ABC.



⋅=
⋅=
Bˆsenah
Aˆsenbh
C
C
⇒⋅=⋅⇒ BˆsenaAˆsenb
Bˆsen
b
Aˆsen
a
=⇒
Del mismo modo, si trazamos la altura
correspondiente al vértice A:



⋅=
⋅=
Bˆsench
Cˆsenbh
A
A BˆsencCˆsenb ⋅=⋅⇒
Cˆsen
c
Bˆsen
b
=⇒
hC
hA
C
BA
ab
c H
Trazamos la altura correspondiente al vértice C.
Los triángulos AHC y BHC son rectángulos.
Entonces:

76
Medida de los ángulos en una
circunferencia
 Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente
A
B
C
Οα
α
180º-2 α
β
β
180º-2β
360º-(180º-2 α+180º-
2 β)= =360º - 360º +
2 α+2 β = = 2 α+2 β = 2 (α
+ β)
2(α+β)
Ο
2(α+β)
α+β
γ
2 γ

77
 Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia,
son iguales
 Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia,
son iguales
γ
2γ
γ
γ
γ
180º
90º
 Todos los ángulos
inscritos que abarcan
un diámetro, son
rectos.
 Todos los ángulos
inscritos que abarcan
un diámetro, son
rectos.
Medida de los ángulos en una
circunferencia

78
Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo y
los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la
circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
R2
Cˆsen
c
Bˆsen
b
Aˆsen
a
===
Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la
circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
=
Aˆsen
a
Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan
el mismo arco son iguales). Luego:
A
a
C
B
A’
R2
1
R2
º90sen
R2
'Aˆsen
a
===
Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con
B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo
ángulo que abarca un diámetro es recto).
R2
'Aˆsen
a
=

79
Área de un triángulo
hC
C
BA
ab
c H
La superficie del triángulo ABC es:
chc
2
1
S ⋅=
En el triángulo AHC :
⇒=
b
h
Aˆsen C
AˆsenbhC ⋅=
Sustituyendo en la primera expresión:
Aˆsenbc
2
1
S ⋅⋅=

80
Área de un triángulo
Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R.
La superficie del triángulo ABC es:
Por el Teorema del seno :
Sustituyendo en la primera expresión:
Aˆsenbc
2
1
S ⋅⋅=
C
BA
ab
c
R
⇒= R2
Aˆsen
a
R2
a
Aˆsen =
R2
a
bc
2
1
S ⋅⋅=
R4
cba
S
⋅⋅
=

81
TEOREMA DEL
COSENO
h
C
BA
ab
c H
m c-m
( ) =−+=
222
mcha
Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC:
=+−+= 222
mcm2ch
=+−+−= 2222
mcm2cmb
(en AHC)
=+−+−= 2222
mcm2cmb
cm2cb 22
−+=
(Como en AHC m = b .
cos A) Aˆcoscb2cba 222
⋅−+=
Bˆcosca2cab 222
⋅−+=
Cˆcosba2bac 222
⋅−+=
Análogamente (trazando las
otras alturas) obtendríamos:
El cuadrado de un lado es igual a la suma de
los cuadrados de los otros dos lados menos
el doble producto de estos lados por el
coseno del ángulo correspondiente

82
A
C
c
B
b
a
C
B A
b
a
c
222
cba +<
222
cba +>
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO
Clasificación de triángulos
En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que: Aˆcoscb2cba 222
⋅−+=
Si A < 90º ⇒ cos A >0 ⇒
222
cba +=Si A = 90º ⇒ cos A = 0 ⇒
Si A > 90º ⇒ cos A < 0 ⇒
ab
c BA
C
( Teorema de Pitágoras )

83
Área de un triángulo. Fórmula de Herón
Por el Tª del coseno
La superficie del triángulo ABC es: Aˆsenbc
2
1
S ⋅⋅=
AˆsenbcS2 ⋅⋅=
=⋅⋅= AˆsenbcS4 2222
( ) =−⋅⋅ Aˆcos1bc 222
=⋅⋅−⋅= Aˆcosbcbc 22222
cb2
acb
Aˆcos
222
−+
=
( ) =
⋅⋅
−+
⋅⋅−⋅ 22
2222
2222
cb4
acb
bcbc
( ) =
−+−⋅⋅
=
4
acbbc4
222222
( )( )=
+−−−++
=
4
acbbc2acbbc2 222222
( )( ) ( )( )=
−−−+
=
4
cbaacb
2222
hC
C
BA
ab
c H

84
Área de un triángulo. Fórmula de Herón
Si a+b+c=2p
La superficie del triángulo ABC es: Aˆsenbc
2
1
S ⋅⋅=
AˆsenbcS2 ⋅⋅=
=⋅⋅= AˆsenbcS4 2222
( )( )( )( ) =
+−−+−+++
=
4
cbacbaacbacb
...
⇒ b+c-a=2p-2a=2(p-a) ....
( ) ( ) ( ) =
−⋅−⋅−⋅
=
4
bp2cp2ap2p2
( ) ( ) ( )=−⋅−⋅−⋅= bpcpapp4
=2
S ( ) ( ) ( ) ⇒−⋅−⋅−⋅ bpcpapp ( ) ( ) ( )cpbpappS −⋅−⋅−⋅=
(p será el semiperímetro)
FÓRMULAFÓRMULA
DE HERÓNDE HERÓN
FÓRMULAFÓRMULA
DE HERÓNDE HERÓN
hC
C
BA
ab
c H
( )( ) ( )( )=
−−−+
=
4
cbaacb
2222

85
Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones
entre los lados y los ángulos de un triángulo.
La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede
acceder directamente.
Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene
aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el
estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el
flujo de la corriente alterna,...
La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y
se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A
partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los
conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.
La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en
Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el
escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac
Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.
Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones
entre los lados y los ángulos de un triángulo.
La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede
acceder directamente.
Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene
aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el
estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el
flujo de la corriente alterna,...
La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y
se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A
partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los
conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.
La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en
Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el
escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac
Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.

86
PÁGINAS WEB
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigonometria.htm
http://www.eneayudas.cl/trigentrada.htm#ejyej
http://www.sectormatematica.cl/proyectos/como_aprender.htm
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_04/
APPUNTI.HTM
http://www.dm.unibo.it/matematica/Trigonometria/trigono.htm
http://www.vialattea.net/eratostene/cosmimetria/metodo.htm
http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/trig/trig.html
http://descartes.cnice.mecd.es/
http://astro.if.ufrgs.br/trigesf/trigesf.htm
http://www.nauticoartiglio.lu.it/trigsfer/trigsferica.htm

Trigonometría teoría completa, resumen.

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