Mate cinco

Matemáticas V
PREPARATORIAABIERTA
-=- ~-.._- - - ~

El contenido académico de este texto es exclusiva responsabilidad del
- Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey y su índice
pertenece al programa correspondiente al plan de estudios del nivel medio
su.perior, para la materia de:
MATEMATICA
UNIDADESXVII-XX.
AUTORES: Humberto Cantú Salinas
Héctor Paz Estrada
REVISO: Jai me Navarro Cuevas
COMITE ACADEMICO: Gustavo Mendoza González,
Humberto Cantú Salinas,
Roberto García Martínez,
Moisés Galicia Arrambide,
Héctor Paz-Estrada.
COLABORO: Andrés Ramírez y Villa
... educación es una responsabilidad compartida y en consecuen.
cia invitamos atentamente a toda persona interesada en colabo-
rar para resolver la problemática educativa, a que remita sus
comentarios, críticas y sugerencias con respecto a esta obra a la
Dirección General de Educación Extraescolar de la SEP, CAllE
LAGOBANGUEOlO No. 24, COL. GRANADADELEGACiÓNMI-
GUELHIDALGO,C. P. 11520 MÉXICO,D. F.
Sus aportaciones serán apreciadas en todo loque valen y permiti-
rán perfeccionar y adecuar permanentemente estos materiales a
las cambiantes condiciones de la época actual.
@ SEP. 1983
DERECHOS RESERVADOS
.. - - - -----
Guías y exámenes para
Evaluarse correo
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WhatsApp 55 91038543

Indice
PROLOGO 11
Instrucciones para el Alumno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13
UNIDAD XV 11.La Ií!lea recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Objetivos Generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagrama temático estructural' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Glosario' . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . ',' . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . ., . . . .
Módulo 1 " . . . . . .
Objetivos Específicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .'. . . .
Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Inclinación y pendiente de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reactivos dé autoevaluación .............................
Módulo 2 ' 29
Objetivos Específicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29
Esquema-Resu.men : 29
2.1 Rectas paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
2.2 Rectas perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 32
Reactivos de autoevaluación 35
Módulo 3 37
Objetivos Específicos , 37
Esquema-Resumen' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-'. . . . . . . . .. 37
3.1 Angula entre dos rectas. . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38
3.2 Divisiónde un segmentode recta en una razón dada. . . . . .. 44
Reactivosde autoevaluación 52
Módulo 4 55
Objetivos Específicos .'. . . . ~. . " 55
Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 56
4.1 Definición de línea recta. . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . .. 57
4.2 EcuaCión punto-pendiente. . ~. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57
4.3 Ecuación dos puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60
'4.4 Ecuación simétrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61
4.5 Ecuación pendiente-ordenada al origen. . . . . . . . . . . . . . . ., 63
15
17
18
19
20
23
23
23
24
28

--- -- - '!'O"--
4.6 Ecuación general de la recta. . . . .'. . . . . .'. . . . . . . . . . . . .. 63
4.7 Distancia de una recta a un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66
Reactivos de autoeval uación 75
Paneles de v~rificadón .."... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 77
/
UNIDAD XVIII. Secciones Cónicas. Circunferencia. Parábola. Tras'la-
ción de ejes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85
ObjetivosGenerales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 86
Diagrama temático ~estructural 87
GIosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 88
Módulo 5 ...............................................
Objetivos Específicos. : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
'5.1 Definición de la circ;:unferencia .......................
6.2 Ecuación cartesiana de lacircunferencia. . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Ecuación general de la circunferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Circunferencia determinada por trescondiciones. . . . . . . . .
Reactivos de autoevaluación .............................
Módulo 6 , 101
Objetivos Específicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 101
Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 101
6.1 Definición de la parábola. . . . . . . . . . . . . . .-. . . . . . . . . . . ., 102
6.2 Ecuación cartesiana de la parábola. Directriz. Lado recto. ., 102
Reactivos de autoeval uaci ón - . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 110
Módulo 7 111
Objetivos Específicos. . . . . . . . . . . . . . . .".. . . . . . . . . . . . . . . .. 111
Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 111
7.1 Otras formas de la ecuación de la parábola. . . . . . . . . . . . .. 112
83
89
89
89
90
90
92
96
99
Módulo 8 , 123 "
Objetivos Específicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ." 123
Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . .' 123
8.1 Traslación de ejes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 124
Reactivos de autoeval uaci6n 129
Panelesde verificación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 131
UNIDAD XIX. Secciones Cónicas. Elipse. 139

Introducción ". . ., 141
Objetivos Generales. . . . . . . . . . . . . .. .. . . : . . . . . . . . . . . . ... . . . . ., 142
Diagrama temático estructural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Glosario 144
Módulo 9 145
ObjetivosEspecíficbs ' 145
Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 145
9.1 Definición de la elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 146
9.2 Construcción mecánica de la elipse. . . . . . . . . :.. . . . . . . . .. 148
9.3 Ecuación de la e!ips!3con centro en Oy focos ~n el eje X ... 149
9.4 Dominio de la relación{(x. y) I :: + ~: = 1}.. .. 151
9.5 Intersecciones 152
-
Módulo .10 157
Objetivos Específicos 157
Esquema-Resumen " 157
10.1 Excentricidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 158
10.2 Lado recto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . .. 160
10.3 Ecuación de 18elipse con centro en Oy focos en el eje Y. 162
Reactivos de AlJtoevaluación 166
Módulo 11 '. . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 169
Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 169
11.1 Otras formas de la ecuación de la elipse 170
Reactivos de autoevaluación - . . . . . . . .. 175
Módulo 12 177
Esquema-Resumen. . . . . . :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 177
12.1 Ecuación general de la elipse. . . . . . . . . . . . . ',' . . . . . . . . .. 178
Reactivosde autoevaluación 183 )
Paneles de verificación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '(' . . . . . . . . . . ."' 185
UNIDAD XX. Secciones Cónicas. Hipérbola. Rotación de Ejes. . . . . . ,203
Introducción. . . . . . . . . . . . . . ".. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 205
ObjetivosGenerales. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. 206
Diagramatemátko estructural. . . .: . . . . . . . . . . . . . . . . .". . . . . . . . .. 207
I... -

Glosario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 208
Módulo 13 211
Objetivos Específicos. . :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 211
Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 212
13.1 De~iniciónde la hipérbola. . . . '-' . .. .. . . . . . . . . . ., . . . ., 213
13.2 Ecuación de la hjpérbola con centro en Oy focos en X 214
13.3 Dominiode la relación{(XI y). I ~~ - ~: = 1}.. 215
, . X2 . y2-
13.31 Graflcade 2 - '2 - 1 217a b
13.4 Asíntotas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 217
13.5 Excentricidad 219
13.6 Ecuación de la hipérbola con centro en "O" y focos en el eje
Y. 221
13.7 Hipérbolas Conjugadas. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . . . 224
Reactivos de Autoevaluación 226
Módulo 14 229
Esquema- Resumen 229
14.1 Otras formas de la ecuación de la hipérbola. . . . . . . . . . . . . . 230
Reactivos de Autoevaluación 235
Módulo 15 237
Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : 237
15.1 Ecuación general d~ la hipérbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
, Módulo 16 -'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Objetivos Específicos. .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 245
16.1 Rotación de ejes. . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . " . . . . . . . . . . . . 246
Reactivos de autoevaluación , 257
Panelesdeverificación ... . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
::::.

.Prólogo j
La Geometría Anal ítica es el estudio o tratamiento anal ítico de la .
Geometría, y por primera vez fue presentado por René Descartes en su obra
Géométrie que se publicó en el año de 1637. En esta obra, Descartes.estable-
cíala relación expl ícita entre las curvas y las ecuaciones y podemos decir
que, además de'Descartes, todos los grandes matemáticos de los siglos XVII y
XVIII, de una forma o de otra contribuyeron al desarrollo de esta nueva
teoría. .
A la Geometría Anal ítica. también se le ha llamado Geometría por
Coordenadas o Geometría Carte$iana en honor de su fundador.
Cuando hacemos el estudio analítico de un problema de geometría, lo
podemos distribuir en los tres pasossiguientes:
1) Traducción del problema a expresiones algebraicas.
2) , Elaboración hasta llegar a una ecuación o a un sistema de ecuacio-
nesy resolución puramente analíticos.
3) Interpretación geométrica de los resultados obtenidos.
En este libro haremos, en la primera unidad un estudio detallado de la
línea recta y en las tres unidades restantes se estudiarán cuatro de las más
importantes curvas Que son: la Circunferencia, la Parábola, la Elipse y la
Hipérbola y se incluirá en las unidades XVIII y XX la traslación y rota-
ción de ejes.
11

Ins~ruccionesparael alumno.
El presente texto ha sido elaborado tomando en cuenta los diferentes
aspectos que caracterizan a los alumnos de Sistemas Abiertos de Enseñanza.. l. .
El texto ha sido estructurado de tal forma que le facilite al máximo su
estudio. Cuenta con varias unidades, cada una de las cuales contiene:, .
1)
2)
Objetivos generales: que le informan acerca de lo que se pretende
lograr con el estudio de dicha unidad.
Una introducción: independientemente de la que aparece dedicada
al texto.
Un glosario: que le indica el significado de los términos técnicos
empleados en el desarrollo de la unidad.
3)
Para el estudio del curso la unidad se ha dividido en partes llamadas
módulos. Cada texto consta siempre de 16 módulos. De esta manera, estima-
mos qÚe es posible aprobar las asignaturas del plan de estudios de un semes-
tre, en las 18 semanas. El módulo de cada asignatura está programado para
que lo estudie en un tiempo promedio de 4 a A:30 horas por semana. Sin
embargo, se le -recomienda que dedique a cada módulo, el tiempo que usted
considere necesario, de acuerdo con sus posibilidades.
El módulo cuenta ,con:
1)
2)
Objetivos específicos: que desglosan el objetivo general de la
unidad. .
Esquema-:resumen: donde se le presenta el contenido de cada mó-
dulo, en forma sinóptica.
Contenido: se refiere al desarrollo del tema o de los temas.
A~tividades complementarias: le servirán de refuerzo en el apren-
dizaje de una unidad o un módulo específico.
Reactivos de autoevaluación: al final de cada módulo se le dan una
serie de preguntas de autocomprobación, para que pueda verificar
por sí mismo, en qué grado ha logrado 16sobjetivos (propuestos al
principio del módulo). Las respuestas correctas las encontrará al
final de cada unidad o, en otros casos, al final del libro.
3) .
4)
5)
En la parte final del libro, podrá encontrar, cuando se estime necesario,
apén9ices que le ayudarán a la ampliación y profundización de algún tema.
13

Además, se le da en las unidades o al final del texto, una bibliografía
con la que puede complementar sus estudios o ampliar su horizonte culturál,
de acuerdo con sus inquietudes.
ADVERTENCIA:
Le-recomendamos la lectura cuidadosa y la comprensión de los objeti-
vos específicos al empezar cada m6dulo, para que tenga presente lo que se
espera de usted, con el trabajo que realice con cada uno de ellos. .
14

Introducción
En esta unidad iniciará el aprendizaje de la Geometría Anal ítica Plana,
haciendo un estudio detallado de la línea recta para posteriormente en otras
unidades, estudiar curvas tales como la circunferencia, elipse, parábola e
hipérbola.
Para iniciar el estudio de la línea recta, es necesario que vuelva a repasar
todo lo referente a las Coordenadas Cartesianas o Rectangulares.
17

ObjetivosGenerales
Al terminar de estudiar esta unidad, el alumno:
lo
2.
3.
4.
5.
Explicará el concepto de inclinación y pendiente de una recta.
Explicará los criterios de paralelismo y perpendicularidad entre rectas.
Definirá la línea recta. .
Deducirá las diferentes formas de la ecuación de la recta.
Identificará la ecuación de una línea recta en cualquiera de sus formas
equivalentes.
18
- ~ - - -- - - .. . - - .L-

Diagramatemátic,oestructural
Coordenadas
Rectangulares
en el Plano
Función
Lineal
, Lugar
Geométrico
La
Línea
Recta
Ecuación
de Ia
Línea Recta
Gráfica
19
- ...J

Glosario
.. Inclinación de una recta: Angula que forma una recta medido desde el eje X
en sentido contrario a como giran las manecillas de un reloj.
Pendiente de una recta: Tangente trigonométrica de su inclinación.
'nectas paralelas: Rectas que tienen. igual pendiente.
Rectas perpendiculares: Rectas con pendientes recíprocas y de signo con-
.trario.
Angulo entre dos rectas: El ángulo formado entre dos rectas ql)e se intersec-
tan en un punto.
Punto medio de un segmento: Es el punto que equidista de los dos extremos
del segmento.
Lugargeométri~D:Conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen ciertas
condiciones.
Ecuación de un lugar geométrico: Cualquier ecuación que es satisfecha por
todos los puntos del lugar geométrico y solamente por ellos.
Gráfica de un lugar geométrico: Es la representación geométrica del conjunto
de puntos que,forman el lugar geométrico.
't ínea recta: Es el lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos pun-
tos diferentes cualesquiera d.el lugar, el valor de la pendiente m resulta
siempre constante.
Ecuación punto pendient~: Toda ecuación de la línea recta de la forma
y - y1 = m (x - Xl)
Ecuación dos puntos: Toda ecuación ge la línea recta de la forma
X - Xl
20
---

, Ecuación simétrica: Toda ecuación de la línea recta de la forma
x + Y... = 1
a b
Ecuación pendiente-ordenadaal orgen: Toda ecuación de la línea recta de la
forma"
y=mx+b
'Ecuación generalde la recta: Tod ecuación de la línea recta de la forma
A 'x + B y + e = o
21

Módulo ,1
OBJETIVOSESPECIFICaS
Al terminar de estudiar este módulo, el a~umno:
1.
2.
Calculará la pendiente de una recta que pasapor dos puntos dados.
Determinará el ángulo de inclinación de una recta que pasa por dos
puntos dados.
Encontrará las pendientes de los lados de una figura geométrica plana
de vértices conocidos.
3.
ESQUEMA-RESUMEN
Cordenadas
Rectángulares
Angula de
inclinación
Pendiente
de la Recta
Pendiente
Positiva
Pendiente
Negativa
23

Angulode
inclinación
de una recta.
1.1 INCLlNACIONV PENDIENTEDELA RECTA
Al ángulo que forma una recta dirigida o no, medido
desde el eje X en sentido contrario a como giran las mane-
cillas de un reloj, se le llama inclinación de la recta y lo
representaremos con la letra griega e (se lee teta); su medi-
da estará comprendida entre por 00 ~ e ~ 1800. (Fi-
gura 1). -
y
Fórmula para
la.obtención
de la pendiente.
24
I
y
x x
Figura1 .
Tracemos ahora una recta / (figura 2) no paralela
al eje Y, y sean Pl(Xl,Yl) y P2(X2,Y2) dos puntos que
están sobre ella (P1 + P2). La pendiente de la recta (m)
estará definida por la igualdad.
Como se puede observar, las diferencias de las abscisas
y de las ordenadas se pueden tomar en cualquier orden; sin
embargo, al formar el cociente sí tiel1en que tomarse am-
bas en el mismo orden. ¿Por qué?

y
Figura 2
Tomemos dos puntos diferentes Pl '(Xl' 'Yl') y
P2' (X2',Y2') sobre la mismarecta, y formemoslostriángu..
los rectángulos P1AP2 y Pl' Al' P2' los cuales son seme-
jantes y debido a esta semejanza podemos escribir que:
Y2' - Yl '
=
X2' - XI '
o sea que, para una recta dada, la pendiente m defini-
da por la ecuación (1) es independiente de como se tomen
los puntos P1 y P2, por lo que podemos decir que esta
ecuación asocia a cada recta no paralela al eje y, un solo
número m al cual llamamos pendiente de la recta.
Si e es el menor ángulo que for'ma la recta con el
eje X medido en sentido contrario a las manecillas de un
reloj (sentido positivo), podemos ver, como se muestra en
la figura 2, que:
I y, - y. I
tan 9 = =m
X2 - X1
o sea que m = tan 9, para 0° ~ 9 ~ 180°
Lo anterior lo-podemos definir como: La pendiente
de una recta es igual a la tangente trigonométrica de su
inclinación.
Y2'-y.'
x
¿Que
signficam?
m= tane
25

26
Como casos particulares de esta definición tenemos
que, si una recta es paralela .al eje X, su inclinación es 0°
y por lo tanto m = o. Si es perpendicular al eje X, su
inclinación es igual a 90°, por lo que m=tan 90° no
está definiqa.
Ejemplo 1:
Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los
puntos p. (3,5) Y P1(6,9).
Solución:
, .
Usando la fórmula (1) tenemos que:
Y1 - Y. 9 - 5 4m - =-=-X1 - x. 6 - 3 3
Ejemplo 2:
Encontrar la pendiente de la recta que pasa por
P.(-5,4) y P1(7,-6)
Solución:
-6-4
m ::;:: 7 - (-5)
-6-4
7+5
-10 5
-12 = -7
=
Ejemplo3:
Encontrar la inclinación e de la recta que pasapor
los puntos P.(4,5) y P1(6,7)
Solución:
Por la fórmula (2) tenemos que:
m = tan e = Y1 - Y.
X1 - x.
así que:
7-.~ -..:...= 1
tane=6-4-2

como tan 45° = 1, la inclinación de ta recta esde 45°.
Ejemplo 4:
Encontrar la incl inación e de la recta que pasapor
Pl(-4,-S) y p¡ (-16, 7).
Solución:
tan a - Y¡ - Yl = 7-(-5)
X¡ - XI -16-(-4)
= 7 + 5 12
= -= -1
-12
como tan 135° = -1, la inclinación de la recta es de 135°.
En los ejemplos 3 y 4, no fue necesario usar tablas
trigonométricas para encontrar el valor de a, ya que
eran valores "conocidos" En caso de que esto no suceda,
haremos uso de las tablas trigonométricas para encontrar el
valor de 9.
Ejemplo5:
Encontrar la incl inación a de la recta que pasa por
P1(4,4) Yp¡ (8,S).
Solución:
Y¡ - Yl 5 - 4
tan a = =-
X¡ - xI¡ 8 - 4
En la tabla de tunciones; trigonométricas* buscamos
en la columna de las tangentes el valor de .2500 y encon-
tramos que el más aproximado es .2493; para este valor de
la tangente el ángulo es de 140, por lo que el valor de la
inclinación de la recta es de 1-40aproximadamente. (1402'
usando interpolaciÓn).
EjemplO 6: ~Encontrar las pendientes de los lados del triángulo
cuyasvérticessonlos puntos P1(3,-4), p¡ (-1,7) YP3 (-s,l).
1
-¡-= .2500
Solución:
7 - (-4)
-1-3
= 7+4
-4
11---
4
* Tabla I del libro "Matemática" Unidades XIII-XVI.
27

1-( -4)
m =Pl P3 -5-3
= 1+4
-8
5
- --
8
1-7
m =
P2P3 -5-(-1)
= 1-7
-5+1
-6 3- -----
-4 2
Ejemplo7:
Encontrar la pendiente e inclinación de la recta que
pasa por P1(3,1) y P2(-1,4)
Solución: .
4-1 3 3
m = = - = ---1-3 -4 4
Puesto que la pendiente es negativa, la inclinación de
la recta es mayor de 900, luego,
3 f 3
si tan e = -- => e = aretan (-~)
4 4
3
e = 180° - aretan-
4
e = 180- 36°52'
I
REACTIVOSDEAUTOEVALUAclON
En los siguientes problemas' encuentre el valor de la pendiente (m) y la
inclinación (e) de la recta que pasa por los pares de puntos que se dan. Para
la inclinación e use la tabla I del libro "Matemática Unidades XIII-XVI".
1. (3,2), (5,8)
2. (3,6), (6,-2)
3. (-4~ 1), (-1.5)
4. (-6,9), (0,7)
5. (-7,0), (0,-5)
6. (-5,-4), (4,-3)
7. . (-6,0), (0,-6)
8. (1,-5), (-1,-5)'I
9. (2,5), -(2,-5)
10. 0,8), (-8,0)
28

.Módulo2
Al terminar de estudiar este módulo, el alumno:
Demostrará por medio de pendientes, el paralelismo entre dos rectas
dadas. .
Demostrará por medio de pendientes, la perpendicularidad entre dos
rectas dadas.
Verificará algunas propiedades de figuras geométricas planas, empl~an-
do el-concepto de pendiente. . . -
1.
2.
3.
EsnuEMA-RESUMEN
Pendiente
de la Recta
Rectas
Paralelas
Rectas
Perpendiculares
Aplicaciones
29

¿Cuándose
diceque
dosrectas
son paralelas? .
30
2.1 RECTASPARALELAS
Las rectas l., con pendiente mI, Y 12 con pen-
diente m2 no verticales;,son paralelassi, y sólo si, sus
pendientes son iguales: Se denotará como 1111/2 para indi-
car qu~ /1 es paralela a /2 .
.(3)
Para la demostración usaremos la figura 3
y
x
Figura 3 .
Primero demostramos que si I1 1112~ mI = m2
1111/2
el = e2
tan el = tan e2
mI = tan el
m2 = tan e 2
mI = m2
Hipótesis.
los ángulos correspondientes son iguales.
ángulos iguales tienen tangentes iguales.
definición de pendiente.
Sustitución.
En seguida demostramos que si mI = m2 ~ /11112
mI = m2
mI = tan el
m2 = tan e 2
tan el = tan e2
el = e2
Hipótesis.
Sustitución.
Los ángulos son iguales si sus tan-
gentes son iguales, cuandoOo ~ e ~ 180°
-- - - - - - --- -

Ejemplo1:
Las rectas son paralelas si sus án-
gulos de inclinación son iguales.
Demostrar que los puntos PI(6,1), P1(5,7>,P3 (-4,3)
YP4(-3.-3) son los vértic~s de un paralelogramo.
Dibujar el cuadrilátero. (Figura 4).
Solución: y
p. (6. l)
-3
P4(-3,-3) -4
Figura 4
Primero encontramos las pendientes de los cuatro la-
dos:
7~1 -~= -6
mI = 5 - 6 - -1
1-( -3)
m2 6-( -3)
m3 -
m4=
= 1+3
6.+3
4
9
'7-3
5-( -4)
7-3 4- -----
5+4 9
3-( -3)
-4-( -3)
= 3+3 -~=-6
- -1
x
31

La condición
para que dos
rectas sean
perpendiculares
es...
32
y m2 = m3 =>P2P3 IIP1P4
Como sus lados opuestos son paralelos, se concluye
que es un paralelogramo.
Ejemplo2:
Demostrar que la recta 11, que pasa por los puntos
P1(-4,-5) y~~~ es paralela a la recta 12,que pasa por
los puntos P3 (tt'-10) y P4 (7,3). ,
Solución:
La pendiente de la recta 11es:
8-(-5) 8+5 13
mI = 3-(-4) = 3+4 =7
La pendiente de la recta 12 es:
3-(-10) 3 + 10
m2=7-0=7
13
7
22 RECTASPERPENDICULARES
Las rectas /1 con pendiente mI Y/2 con pendiente m2
no verticales, son perpendiculares. si, y sólo si, sus pen-
dientes son recíprocas y de signo contrario. (Figura 5)
y
Figura S
x
--- - - - -- -

Demostración: Suponemos que /1 y 12 son per-
pendiculares (Figura 5) y que /1 tiene inclinación el, y
12inclinación 82.
Primero demostramos que si
11'.L/2 Hipótesis.
8:z = 90° + el /1 .L /:z
tan é2 = tan(900+9d Angulosiguales/tienentangentes
iguales. 0° ~ e ~ 180°
Fórmulas de reducción.tan e 2 = - cot el
tan e2
1
---
tan el
mi = tan el
m2 = tan e:z
1
m:z=--
1
cote1 =-
tan el
Definición de pendiente.
, Sustitúción.
En seguida se demuestra que si mlm2 = -1 ó mI = -2- => /1 .L /2
, .m2
de la figura 5 tenemos que: 0° < 81' < 90° Y90° < e2 < 180"
I '
Esto impl¡ca que tan 82 es negativa y tane 1 es positiva.
mI m2 = -1 Hipótesis
mI = tan el
m2 = tan e2
tan el. tan e:z = - 1
1
tan el
tan e 2 =
tan e2 = - cot el
Sustitución.
1
Si m1. = - m2
entonces. . .
Multiplicandoambos ladospor ~tan el
1
cot el = tan el
tan e2 = tan(900+e 1) Fórmulas de reducción.
e:z = 90°+ e 1 Los ángulos son iguales si sus
tangentes son iguales. 0° ~ e ~ 180°
Restan.do a ambos lados el.
El ángulo entre ambas rectas es de 900. I~
e2 - el = 90°
/1 .L /2
33

-ll -10 -9 -8
34
-- ---- - -- - - --
Ejemplo1:
Demostrar que la recta /1 que pasa por los puntos
P¡(1,3) yP1(-3,-5) es perpendicular a la recta 11
que pasa por los puntos P3 (3,2) YP4(-5,6).
Solución:
La pendiente de la recta /1 , es:
3 - (-5) 3 + 5 8
mi = 1-(-3) - 1 +3 =4'= 2
La pendiente de la recta /2 es:
6-2 4 1
m2 = - = ---5 -3 -8 2
Como m2 es recíprocay de signocontrario de mi, las
dos rectas son perpendiculares.
Ejemplo2:
Demostrar que los puntos P1(3,1), P1(-2,5) Y
P3 (-10,-5) son los vértices de un triángulo rectángulo.
Trazar el triángu Io.
Solución:
PI (3, 1)
x
6 7 8
-3
-4
-5
-6
Figura 6
.. - - --- ...

5-(-5) 10 5 5-1/ 4
mi = -2-(-10) = 8 =4 .m2 = -2-3=-5
Como m2 esrecíprocay de signo contrario de mi.,
el lado P2Pa es 1. al lado PIP2, por tanto, el triángulo
es rectángu Io.
REACTIVOSDEAUTOEVALUACION
1. Demuestre por medio de pendientes que los puntos P1 (-3,-1), P2 (3,2)
YP3 (7,4) quedan en Ií'nea recta.
2. Demuestrepor medio de pendientesque lospuntos P1 (3,5), P2 (1,-1) Y
P3(-4,-.16) quedan en línea recta.
3. Demuestre por medio de pendientes que los puntos A(O,O), 8(5,2),
C(6,5) y D(1,3) son los vértices de un paralelogramo.
4. Demuestre por medio de pendientes que los puntos A(-6,0); 8(0,-6),
C(8,6) y 0(2,12) son los vértices de un paralelogramo.
5. Usando la fórmula de la distancia entre dos puntos, demuestre que los
puntos que se dan en el problena 3 son los vértices de un paralelo-
gramo.
6. Demuestre por medio de pendientes que los puntos P1 (4,3), P2 (6,-2) Y
P3(-11,-3), son los vértices deun triángulorectángulo.
7. Demuestre por medio de pendientes que los puntos A(6,-3), 8(7,6) Y
C(2,2) son los vértices de un triángulo rectángulo.
8. Demuestre por medio de pendientes que los puntos P1(0,9), P2(3,1),
P3(11,4) YP4(8,12) son los vértices de un rectángulo.
9. Usando la fórmula de la distancia entre dos puntos, demuestre que los
puntos que se dan en el problema 6 son los vértices de un triángulo
rectángulo.
10. Demuestre que las diagonales del cuadrilátero que se dan en el problema
8 son iguales. ;
35

Módulo3
1.
2.
Determinará el ángulo entre dos rectas conocidas sus pendientes.
Calculará la pendiente de una recta que se interseca con otra recta,
dados el ángulo entre las dos rectas y la pendiente de la otra recta.
Encontrará los ángulos internos de figuras geométricas planas cuyos
vértices se conocen.
Deducirá las expresiones que determinan las coordenadas de un punto
que divide a un segmento de recta en una raz6n dada.
Encontrará las coordenadas de un punto que divide a un segmento de
recta en una razón dada, conocidos dos puntos de esa recta.
Determinará las coordenadas del punto medio de.un segmento de recta,
dado por dos puntos.
3.
4.
5.
6.
ESQUEMA-RESUMEN
37
Pendiente AnguIo
Aplicacione$entre dos
de la recta
rectas
División de Punto medioCoordenadas
un segmento -- de'unde un --
en una raz6n
segmentopunto
I dada

Dosrectas
que se
intersecan
forman un
ángulo
38
1
3.1 ANGULOENTREDOS,RECTAS
Dos rectas que no se intersecan forman un ángulo
de 0° y se les llama paralelas. En el caso de dos rectas no
paralelas y que por tanto se intersecan en un punto, no
encontramos el ángulo directamente sino que encontramos
la tangente de dicho ángulo, y ya conociendo este valor,
con ayuda de las tablas trigonométricas encontr.amos el
valor del ángulo.
Sea /. una de las rectas y su inclinación e. y /2 la
otra recta con incl'inación e2 . (Figura 7).
y
x
Figura 7
En este caso estamos considerando 92 >e., así tenemos
que e = e1 - e.. .De la figura 7 podemos ver también
quee + e' = 180°por lo que nos bastaencontrare para
conocer el valorde e. que estará dado por 180°- e~
Para encontrar el valor de la tangente de e procedemos
como sigue:
Hipótesis.
m. = tane. Definición de pendiente.
m1 = tane1 Definición de pendiente.
- --- ---

tana = tan(a1 - 0.) Angulos iguales tienen
tangentes iguales.
tana1 - tana. Valor de la tangente de la
tana = 1 + tana. tana1 diferenciade dos ángulos.
Sustitución.
A esta fórmula se le conoce como fórmula de la tangente Fórmulapara
del ángulo comprendido entre dos rectas que se intersecan hallarel
en función de sus pendientes. ánguJoentre.
dosrectas.
Conociendo el valor de la tangente, a estará dado por la
fórmula:
mz - m.
S = are tan 1 + m. m"
Es interesante observar que si el numerador m1 - m. = O
~ m" = m. la recta /. es paralela a /" y si el denominador
1+m. m1=0 =>m. m1 = -1 la recta /. es perpendicular a
la recta /1.
También es interesante observar que si en el numera-
dor tomamos m. - m1 en lugar de m" - m., entonces
obtene.mos la tanS' .
Ejemplo1:
Una recta con pendiente m. = 2
1 intersecta' a otra,
).. c.
recta cQn pendiente m1 = 2. Encontrar el ángulo a
que se forma entre las dos rectas. (Figura8)
f~,~
(5)
(6)
39

y
x'
Figura 8
Solución:
Usando la fórmula (5) para encontrar la tana
1
2--
2
1
1 +-.2
2
4-1
2
1 + 1
=
=
3
4
3
tan e =4
3
e = are tan-
4
Si buscamos en las tablas de funciones trigonomé-
tricas en la columna de tangente, encontramos que para
3
'4 = .7500'Selee un ángulo e = 36°52'Ycon el valorde e
podemos encontrar e' que es igual a
180°- e = 180° - 36°52' = 143°8'
40
/

Ejemplo2:
El ángulo entre dos rectas es de 45° y la pendiente de
una de ellas es 2. Encontrar la pendiente de la otra. Si hay
dos soluciones posibles encontar ambas.
Solución:
Trazamos una recta por cualquier punto del plano
con pendiente 2, y arbitrariamente a la pendiente la llama-
mos m1; después trazamos otra recta de tal manera que
forme un ángulo de 45° con la recta de pendiente 2 y a
.su pendiente la llamamos m. (Figura 9).
Figura 9
Con los datos de la figura 8 y usando la fórmula (.5)tene-
mos que:
2-m.
,tan 45 o = 1 + m.' 2,
pero como tan 450 = 1 tenemos: .
2 - mi
1 =
1 + 2m.
Resolviendo para mi esta ecuación se tiene que m. = ~
x
41

42
De la figura 9 vemos que hay otra recta con pendien-
te m3 que forma también un ángulo de 45° con la recta
de pendiente 2; si usamos la fórmula (5) para este otro
caso tenemos:
resolviendoesta ecuaciónpara m3 se tiene 'm3 = -3.
Independientemente de los sub índices que se usan en
las pendientes de las dos rectas, cuando se usa la fórmula
(5) para encontrar la tangente del ángulo que forman las
.dos rectas como m'J se toma la pendiente de la recta que
esta a la izquierda del ángulo y como m1 la pendiente de la
recta que está ;é3la derecha del ángulo.
Ejemplo3:
Encontrar los ángulos internos del triángulo cuyos
vértices son A(1,l), B(4,2) YC(2,S). (Figura 10).
Figura 10
5
4
3
2 8(4,2)
--(J
A ( J .J ) "'
J 2 3 4 5

De la figura se tiene que las pendientes de los tres lados
son:
5-1-!...=4
mI = - - - 1
2-1
m" = 4-1
1.
3
5-2 3 3
m3 = = -= --
2 - 4 -2 2
Usando la fórmula (5) para encontrar cada uno de los
3 ángulos tenemos:
=
1
4-3
~
1+43
11
3--
7
3
- 11 = 1.571
- 7
A = are tan 1.571 = 57°30'
4-(-T)
1 3
1 +---
3 2
43

¿A quésele
llamarazón
dedivisiónde
un segmento?
44
I- - - -- --- - - -
=
.!.~~3 2
3
1--
6
11
6--
3
6
11 = 3.666
=3
B = are tan 3.666 = 74045'
Como la suma de los ángulos internos de un triángulo su-
man 180°, el ángulo e se obtiene por diferencia, así
A + B + e = 180
e = 180 - (A + B)
= 180 - (57°30' + 74°45')
= 180 - 132°15'
= 47°45'
3.2 DIVISIONDEUNSEGMENTODERECTAENUNARAZON
DADA.
Vamos a considerar un segmento de recta que está
definido por dos puntos:P1(Xl,Yl)yP:¡(X:¡,y:¡).Supongamos
que un punto P(x,y) se coloca sobre este segmento. No
import? dónde se coloque el punto P se obtendrá un'3pro-
porción que se conoce y que llamaremos y. Si el punto P
queda dentro del segmentoP1P:¡la razón y será positiva, y
si el punto P queda fuera del segmento P1p:¡la razón y
será negativa.
, Para obtener las coordenadas del puntoP,procedemos
como sigue: (F,igura 11).

y
x -xl
C(X'Yl )
Se trazan dos segmentos de rectas paralelos a los ejes
de coordenadas que pase.n por los puntos Pt y P2 (figura
11); estos segmentos se intersecan formando un ángulo
recto en el punto A y sus coordenadas son (X2,Y1),por lo
que el triángulo P1AP2 es un triángulo rectángulo.
Trazamos el segmento PB paralelo aPtA y el seg-
mentoPCparalelo aP2A;Vc3scoordenadas de B son{x2,Y)ylas
del punto C, (X,Y1)'
Luego, los triángulos P1CP y PBP2 que se forman
son semejantes, y haremos uso de este hecho para obtener
las coordenadas del punto P.
Definimos y de la siguiente manera:
P1P
Y =-PP2
Al definir y es muy importante que consideremos la
direcciónde los segmentosP1P y PP2.
Haciendo uso de los dos triángulos semejantes que se
formaron, obtenemos primero la abscisa x del punto P (ver
figura 11).
x
(7)
Obtención de las
coordenadas del
punto de
división de
un segmento.
45

Sustituyendo P1P por y, P1C por X-Xl y P B por
Pp"
X2 - X tenemos:
X -Xl
'y =
X2 -X
Multiplicando ambos lados de la igualdad por X2 - X Y
. efectl:lando, tenemos:
Y(X2 - x) = X - Xl
YX2 - yx = X - Xl
Sumando a ambos lados Xl y yx se tiene:
YX2 + Xl . = yx + X
=X(y + 1)
Multipliquemos ambos lados por Y~l" se tiene:
YX2 + Xl
y + 1 = X
Usando la propiedad de simetría de la igualdad y la propie-
dad conmutativa para la suma, podemos escribir finalmen-
te la fórmu la para X co.mo:
X = (8)
que esel valor de la abscisadel punto P.
Para obtener y seusa la siguiente relación en los trián-
gulossemejantesPl CP y PBP2: .
P1P eP
pp; =...,-p;
Sustituyendo ~por y,CPporY-Yl Y BP2 por Y2-Y queda:
46

y = y -. Yl
Y2 -y
-De donde resolviendo para y setiene que:
Yl + YY2
y = 1 + y
Que esel valor de la ordenada del punto P.
Ejemplo 1:
Dados los puntos P1(2,3) Y P2(5,6), encontrar las
coordenadas del punto p(x,y) que está colocado a una dis-
tancia doble aP1que aP2.( Figura 12). .
y
6 ,'v~
'"~./~ P,/5.b)
P. P/x.y)
p¡ (2.3j ..
5
4
3
2
o 1 2 3 4 6 75
Figura 12
Solución:
Primero encontramos el valor de y; comoP1P=2PP2
entonces
P1P 2L
y=-=-=-=2
PP2 lL
(9)
Fórmulas parala
determinación
de losvalores
de la absisa y
la ordenada del
punto de di)llsión.
(
x
47

48
Usando las fórmulas(8)y(9)tenemos:
- 2 + 2(5) - 2 + 10 - 4
x-1+2-3 -
- 3 + 2(6)- 3 + 12 - S
Y-1+2-3 -
Ejemplo2:
Dados los puntos P1(-3.5) y P(2.-4), encontrar
las coordenadas del punto P(x.y) que está colocado a una
distancia que es el triple a P1que aP1.(Figura 13).
y
4
3
-5 -4 -3 2 '] 4" 5 6 x
-4
-5
Figtlra 13
Solución:
P1P 1L
y=-=-=-PP1 3L
1 2
-3 +-(2) -3 +-
3 3
x= =
1 +2.. !.."
3 3
7
3
4
3
7
4

1 ' 4 11
5 +-(-4) 5 -3 3" 113 --=-
y= 1 = 4 -.!.. 4
1 +3 3' 3
Ejemplo3:
Dados los puntos P1(1,4) YP2(6,6), encontrar
las coordenadas del punto P(x,y) que está colocado fuera
del segmento P1P2 y que está a una distancia tres veces
mayor a P1que a P2.
Solución:
P1P 3L
y =-=- =-PP2 -L
Aquí debe observarse que el sentido de la distancia
P1P se consi~era positivo, mientras que el de la distancia
de PaP2seconsideranegativo.(Verfigura 14).
y
8
7
6
5
4
3
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura '14
1 + (-3)6 1 - 18x= =
1 + (-.-3) 1-3
-17 17
= -2 =T
4+ (-3)6 4 -18 -14
Y = = =-= 7
1 + (-3) 1.- 3 -2
/
x
49

¿Cómose
determina
el punto medio
de un segmento?
50
Ejemplo ~:
Dados los puntos P1(Xl,Yl) y p;¡(x;¡,y;¡),encontrarlas
coordenadas del punto p(x,y) que equidista de los puntos
P 1 Y P'1. .( F igura 1 5) .
y
.. P P,Ix,. 1'» .
'J..ij P(x,y)(
~ punto medio)
P1(XI, YI) ,
x
Figura 15
Solución:
- -. P1P
ComoP1P = PP,-se tiene que y =-p¡r= 1,entonces,
A las fórmulas (10) Y (11) se les llamafórmulaspara
¡ascoordenadas del punto medio de un segmento.
Ejemplo5:
Encontrar las coordenadas del punto medio del seg-
mento que une los puntos P1(3,5) YP2(7,7).
Xl + l' X;¡ Xl +X2
(10)x= =
1+1 2
Yl + Y2
I
Yl + l'Y2 (11)Y = 1 + 1 2'

Solución:
x 3 + 7 = 10 = 5
2 2
y = 5 + 7 = 12 = 6
2 2
Ejemplo6:
Encontrar las coordenadas del punto medio del seg-
mento que une los puntos Pt (-3,5) y P2(5,-4).
Solución: /
x = -3 + 5
2
2
"2=1
y=
5 + (-4)
2
1
2
5-4
2
Ejemplo7:
Uno de los extremos de un segmento es Pt (-3,-4)
y su punto medio es P(2,3). Encontrar las coor denadas
de,jotro extremo.
Solución:
En este caso se conocen las coordenadas de UIIextre-
mo del segmento y su punto medio, por lo que podemos
usar las fórmulas (10)y (11)para encontrar el otro extremo
que llamaremos P2(X2,Y2).
Sustituyendo en (10) tenemos:
'i -;.-:¡-
';:) -.. (e
Multiplicando por 2 ambos lados se ti'ene:
4 = -3 + X2
51

Sumándole 3 a ambos lados:
Sustituyendo en (11) tenemos:
I
-4=3+Y1
2
Multiplicando por 2 ambos 1ados:
-8=3+Y1.
restándole 3 a ambos lados:
- 11 = Y1 =>Y1 = - 11
El otro extremo del segmento es P1 (7, -11).
1. Cada uno de los siguientes pares de números son las pendientes de dos
rectas. En cada caso encuentre el ángulo que forman:
1 3
e) -5' "2a) 2,5 b) 2,--3
2. El ángulo entre dos rectas de 45° y la pendiente de una de ellas es 3.
Encuentre la pendiente de la otra. Si existen dos soluciones encuentre
ambas. 1
3. La pendiente ,de una recta es -2 y la inclinación de la otra es 60°
Encuentre el valor del ángulo agudo entre el.las.
4. Las pendientes de dos rectas son -; y ~ respectivamente: halle la
pendiente de la bisectriz. del ángulo que forman.
5. Encuentre los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son A(3,1),
B(-3,-2) YC(-4,4).
6. Encuentre los ángulos internos del triángulo cuyos vérticess.onA(-6,4),
B(-4, -6) YC(2,-8).
52

7. Los vértices de un paralelogramo.son A(O,O),B(5,2), C(6,5) y D(1,3).
Encuentre los ángulos inter,nos.
8. Los extremos de un.segmento son P1(-2~3) YP2(S,-2). Encuentre las
coordenadas de su punto medio.
9. Los extremos de un segmento son Pl(-4,--6) y P2(8,lO). Encuentre
, las coordenadas de su punto medio.
10 Si el punto P(x,y) está a una distancia 4 veces mayor a Pl (5,3) que a
P2(-6,-10) y queda entre P2 y P2. Encuentre las coordenadas de P.
11. Si Pl (-3, -4) Y P2(2,1) Y P. P2 se prolonga hasta P de ta I manera
que la longitud de p. P sea tres veces la longitud de P1P2. Encuentre
as coordenadas de P.,
12. Si el punto medto de un segmento es P(6,3) y un extremo del seg-
mento es P. (-4, -7). .¿Cuáles son las coordenadas del otro extremo?
13. Un punto P(7,2) está entre p. (3,-2) YP2(9,4). ¿En qué proporción
(y) divide al segmento P1P2?
14. Demuestre anal íticamente que las coordenadas del centro de gravedad
del triángulo cuyos vértices son (Xl' Yl), (X2, Y2) y (X3, Y3 ) son
1 1
x =3 (Xl + X2 + X3) yy = 3"(vI + Yz + Y3).
15. Demuestreque los segmentosque unen los puntos medios de los lados
opuestos del cuadriláteroA(3,0),B(7,8),C(5,-9) yD(0,-4), se bisectan
mutuamente. .
16. Dos de los vértices de un triángulo son A(O,-4) y B(6,O) y las
medianas se intersecan en (2,0). Encuentre las coordenadas del tercer
vértice del triángulo.
17. Los vértices de un triángulo rectángulo sonA(2,-1), B(6,1) y C(-2,7).
Demuestre que el punto de la hipotenusa equidista de los 3 vértices.
53,

M6dulo4
OBJETIVOSESPECIFICOS
1. Encontrará la ecuaciónde una rectadadassupendientey lascoordena- I
das de un punto de la mi'sma.
Determinará la ecuación de una recta, dadas las coordenadas de dos
puntos de la misma.
Determinará la ecuación de una recta conocidos sus puntos de intersec-
ción con los ejes coordenadas".
Determinará la ecuación de una recta dadas su pendiente y su intersec-
, ci6n con el eje' Y.
Deducirá la ecuación general de la recta.
2.
3.
4.
5.
55

ESQUEMARESUMEN
La línea
recta
Definición
de línea
recta
Ecuación
punto-pendiente
Ecuación
dos puntos
Ecuación
Simétrica
Ecuación
pend iente-
ordenada
al origen
Coordenadas
de un
punto
Distancia de
un punto a
una recta
56
Ecuación
General
de Ia
recta

4.1. DEFINICIONDELlNEARECTA
En la Unidad IX, estudió la función lineal y aprendió que
la gráfica' de toda función lineal es una recta; en esta lec-
ción estudiará las difereQtes formas de la e'cuación de una
línea recta.
Las tres definiciones siguientes le serán útiles en el estudio
de la ecuación de la línea recta así como en el estudio de
otras curvas que verá en temas posteriores.
Definición: Lugar geométrico es el conjunto de puntos
cuyas coordenadas satisfacen ciertas condicio-
nes.
Definición: Ecuaciónde un lugargeométrico es cualquier
ecuación que es satisfecha por las coordenadas
de cada uno de los puntos del lugar geomé-
trico y solamente por ellos.
Definición: Gráficade un lugargeométricoes larepresen-
tación geométrica del conjunto de puntos que
forman el lugar geométrico.
Los casos particulares de rctas paralelas al eje X o al
eje Y, los estudió en el módulo 1 de la Unidad IX por lo
que aquí estudiaremos el caso general de una rectaque no
es paralela a ninguno de los ejes.
Definición: Llámase línea .recta al lugar geométri"co de
los puntos tales que tomados dos 'puntos diferentes
cualesquiera del lugar, el valor de la pendiente m re-
sulta siem'pre constante. .
4.2 ECUACIONPUNTO-PENDIENTE.
Sea L una recta no paralela a ninguno de los ejes y
que pasa por el punto Pt (Xt Yt) con pendiente m. (Figura
16).
¿Que esuna
Iínearecta?
57

Obtención
delaecuación
deunarecta
conocidosun
puntoy la
pendiente.
58
..,
y
x
Figura 16
Supongamos un punto P(x,y) cualquiera diferente
de PI , entonces P pertenece a L si, y s610 si, la pendiEm-
te de P1 a P es m. Luego si obtenemos m usando las
coordenadas de los dos puntos tenemos:
y - Yl = m
x -XI
y como L no es paralelaal eje Y por suposición,X :1= Xl'
por lo que, para todo P{x,y) diferente .de Pl (Xl,Yt) la
ecuaci6n anterior se puede escribir como:
y - Yt = m (x - x.) (12)
A esta ecuación se le conoce como ecuaci6n punto - pen-
diente, ya que se conoce un punto por donde pasala recta
V su pendiente. '
De la ecuación vemos que el punto P1(Xl,Yt) satis-
face la ecuación, y que cualquier punto que no esté so-
bre la recta no lo satisface.
Ejemplo1:
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el
punto P(5,2) con pendiente igual a 3
Se conocen Xt r 5, Yt = 2 Y m = 3

-sustituyendo estos valores en la ecuación (12) tenemos:
y - 2 = 3(x - 5)
Efectuando:
y - 2 = 3x - 15
- 3x + y + 13 = O
- 3x + y + 13 = Oes la ecuación d.ela recta que pasa por
P(5,2) con pendiente 3.
Ejemplo 2: ~Encontrar la ecuación de la recta que pasa por P(-3,5)
d
' .
I 4 . 4
con pen lente Igl:laa -3se tiene Xl = -3, Yl = 5 Ym = -3
Sustituyendo estos valoresen laecuación (12) tenemos:
4
y - 5 = --(x + 3)3
3y - 15 = - 4x - 12
4x + 3y-3 = O
Luego,laecuación pedidaes 4x + 3y - 3 = O
Ejemplo3:
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por Pl (2,4)
YP;¡(-3,-6).
Como no conocemos la pendiente de la recta es necesario
encontrarla usando la fórmula m Y2 - Yl luego:
X;¡ -Xl
- 6 - 4 - - 10 = 2
m=-3-2--5

Si se conocen
dos puntos de
la recta
¿Cuál es su
ecuación? ;
60
Sustituyendo losvalores Xl = 2, Yl = 4 Ym. = 2 en la
ecuación(12)tenemos: .
y - 4 = 2(x - 2)
y-4 =2x-4
-2x+y=O
Para encontrar la ecuadón de la recta también' 'po-
díamos haber sustituido los valores X2 = -3, Y2 = -6 Y m = 2.
Haciéndolo as"í,tenemos:
y - (-6) = 2[ X - (-3)]
y + 6 = 2(x + 3)
y+6 =2x+6
-2x + y = O
Como se puede' ver, la ecuación a que se llega es la
misma, por lo que podemos tomar las coordenadas de los
puntos Pl Ó P2 para sustituir en la ecuación de la
recta quedándonos la misma ecuación.
4.3ECUACIONDOSPUNTOS
En general si se conocen dos puntos por donde pasa la
recta, siendo .~stos P1(Xl, Yl) YP2(X2:Y2) podemos
escribir la ecuación de la recta como:
A estas dos ecuaciones que son equivalentes .se les llama
ecuación dos puntos y podemos también escribirlás como:
y. - y, I
y - Yl = (x - x.)
X2 - Xl
- - - -- -
y - Yl - Y2 - Yl
(13)X -Xl X2 - Xl
Ó
y - y _)'2 -)'1
(14)X-X2 X2 - Xl

Ejemplo:
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por Pl (-4, 7)
YP2(3,-8).
Se tiene Xl = -4, Yl = 7, X2 = 3 y Y2 = -8
Sustituímos estos valores en la ecuación (13) ó (14);
lo hacemos en la (13) Y tenemos
y-7
X - (-4)
-8-7
3 - (-4)
y - 7 = - 15
x+4 3+4
y - 7 - - 15
x + 4 -~
7(y - 7) = -15(x + 4)
7y- 49 = -15x - 60
15x + 7y + 11 = O
Sustituya los valores de Xl, Yl, X2, Y2 en la ecua-
ción (14) y obtendrá la misma ecuación.
4.4 ECUACIONSIMETRICA
Usando la ecuación (13) ó (14). podemos llegar a una
forma muy útil de la ecuación de la recta. Si la recta no es
paralela a ninguno de los ejes, interseca a los ejes en un
punto. Si (a,O) es la intersección con el eje X y(O,b)la
intersección con el eje 1': entonces conocemos dos puntos
por donde pasa la recta y podemos -encontrar su ecuación
sustituyendo los valores de. las coordenadas de los puntos
en la ecuación (13)ó (14),
Consideramos al punto (a,O)como Pl y a (O,b)como
P2y sustitu ímos en la ecuación (13)
Si conocemoslas
intersecciones
de una recta
con los ejes
coordenados
también
podremos
determinar
su ecuación. .
61

62,f
y-O
x-a
b-O
O-a
=
x-a a
ay = ":-b(x - a)
ay = -bx + ab
bx + ay = ab
bx + ay = ab
ab ab ab
(15)
A la ecuación.:..+L = 1 se le llama ecuación intersec-
. a b
ciones con los ejes ó forma simétrica.
Esta ecuación no se puede usar si la recta pasapor el
origen (0,0). ¿Por qué?
Ejemplo1:
Encontrar la ecuación de la recta que intersecta al eje
X en (5,0) y al eje y en (O,-6).
Se tiene a = 5 Y b = -6, sustituyendo estosvalores en la
ecuación (15), tenemos': .
x Y
--+-= 1
5 -6
x -1...= 1
5-6

6x - 5y = 30
6x - 5y - 30 = O
4.5 ECUACIONPENDIENTE- ORDENADAAL ORIGEN
Si conocemos la intersección con el eje Y, (O,b) Y Ecuaciónde
conocemos la pendiente (m) de la recta, usando la ecua- la recta
ción (12), tenemos: I cohocidasmy!l
y - b = m(x - O)
y-b = mx
y = m:x+b (16)
a la ecuación y = m:x + b se le conoce comopendiente-
.ordenadaal origen.
Ejemplo1:
Encontrar la ecuación de la recta que interseca al eje
Yen (0,4) con pendiente -3.
m = -3 Yb = 4, sustituyendo estos valores en (16)
tenemos:
y = -3x + 4
Ó
3x + y - 4 = O
4.6 ECUACIONGENERALDELA RECTA
Para terminar el estudio de la ecuación de la línea
recta vamos a considerar la ecuación lineal o ecuación de
primer grado en x,y de la forma Ax + By + C = O,
donde A, B YC son constantes reales tales que A y B no
sean ambas cero y probar que toda ecuación de esta forma
es el lugar geométrico de una recta.
1. Si B = O,A no puede ser cero por definición, por lo
que la ecuaciónse puedeescribircomo:
A:x+C=O
63
/

¿Cuálesla
formageneral
dela recta?
64
Resolviendo para x tenemos:
C
x = - A
que es la ecuaciÓn de una recta paralela al eje Y e inter
sectando al eje X en (._E.., O)
A
2. Si B :1=O, tenemos:
Ax+By+C=O
Resolviendo para y se tiene:
A C
y = --x--B B
Si comparamos esta ecuación con la ecuación (16),
A .
vemos que representa una recta con m = -li e intersec-
ción con el eje Y igual a - E-
B
En ambos casos hemos encontrado que la ecuación
Ax + By + C = O representa la ecuación de una recta.
A la ecuación Ax + By + C = Osele conoce como
forma general de la recta.
Ejemplo1:
Una recta pasa por P.(1,3) y ,P2(-2,~5).
Encontrar la ecuación de la recta y escribirla en todas las
formas que se han estudiado en esta lección. .
Usando la ecuación (13), tenemos:
y-3
x-1
= -5-3
-2-1
y-3
x-1
-8--
-3
--- ...- - - - ...

y-3
x-1
8
3
(Ecuación dos puntos)
y - 3 = i (x - 1) (Ecuación punto - pendiente)
3
3(y - 3) = 8(x - 1)
3y-9=8x-8
-8x + 3y - 1 = O (Ecuación forma general)
-8x+3y=1
-x y 1-+-=-
3 8 24
x y- +- = 1
3 8-- -
24 24
(Ecuación forma simétrica)
Resolviendo para y de la forma general se tiene:
y =~x +L (Ecuaciónpendiente - ordenada al origen).
3 3
Ejemplo2:
Encontrar la pendiente y las intersecciones con los
ejes de la recta cuya ecuación es 4x - 3y = 24.
Reso!viendo para y la ecuación, tenemos:
4 24
Y =-x --3 3
Luego
4
~ =3
Para obtener la forma simétrica de la ecuación dividi-
mos ambos miembros entre 24
65

¿Aqué
llamamos
distancia
deunpunto
a unarecta.?
66 .
4x - 3y = 24
24 24 24
~ + ~= 1
6 -8
luego a = 6, b = - 8
4.7 DISTANCIA DE UNA RECTA A UN PUNTO.
Uno de los conceptos de gran utilidad cuando se trabaja
con puntos y rectas y las relaciones entre ellos, es la distan-
cia de una recta a un punto, distancia que consideraremos
siempre como la mínima, es decir la distancia medida sobre
la perpendicular a la recta dada y que pasa por el punto'
dado.
'El primer caso que consideraremos es la distancia de
una recta paralela al eje Y al punto Pl (Xl, Yl); si la ecua-
ción de la recta esX = e y las.coordenadas del punto son
(Xl,Yl) la distancia de la recta al punto es IXl - el ya
sea que el pun,to esté a la derecha o a la izquierda de la
recta. (Figura 17).
y ,Y
d
d
x =c x =c
x x
Figura 17
El segundo caso que consideramos es el de la distancia
de ,una recta con ecuación y = mx + b al origen.

y
Figura 18 .
x
Tracemos por O una perpendicular a la recta 1,' Ysea
N el punto de intersección. Puesto que O N es perpendi-
cular a 1 y pasa por el punto (0,0), su ecuación es:
1
Y = --xm
Si resolvemos el sistema formado por las ecuaciones
y=mx+b
1
- --x,
Y y - m
las coorde-
nadas del punto N son:
-bm b
x = m2 + 1 ' Y = m2 + 1
Para encontrar la distancia entre N y O usamos la Obtención
fórmula de la distancia entre dos puntos (Unidad XIII), de lafórmula
luego: dela distancia.
~ ,
67
NO
j( -bm O)2 + (m2 b+ 1 0)2= m2 + 1
Áb' m' b'= (m2 + 1)2 +. (m2 + 1)2

¿Qué esuna
rectadirigida?
68
= b2 m2 + b2
(m2 + 1)2
= b2(m2 + 1)
(m2 +- 1)2
= ~b
..¡m2 + 1
La distancia de la recta 1 al punto Oes la distancia
dirigida * N o. De la figura se ve que el signo de N O es
opuesto al signo de b(b = OB). Considerando esto tenemos
que:
. -bN O = d. = -
~+1
El tercer caso que consideramos es el de la distancia
de una recta cuya ecuación es y = mx + b a un punto
Pl (Xl' yd. (Figura 19).
y
x
Figura 19
*Una recta está dirigida si la distancia en un sentido es
positiva, y en sentido contrario es negativa.

Por el punto PI (XI, YI) trazamos una recta [' paralela
a 1,por Ouna recta perpendicular a 1 y por lo tanto perpen-
dicular al'; sean N y N los puntos de intersección con 1
y /' respectivamente.
Dado que [' es paralela a 1, su ecuación es:
y = mx + b'
y puesto que l' pasa por PI(Xl, YI), su ecuación la pode- Interpretación
mas escribir como: delsignode la
distancia.
ó
La distancia d, desde 1 hasta PI es igual a N N Yesta
distancia espositiva si PI queda arriba de 1,y negativa si PI
queda abajo de l. Como O,N Y N son puntos sobre una
recta dirigida, en todos los casos tendremos que:
d = NN = NO+ON
pero NO
=NO-N'O*
-b=
y NO=
- b'
Sustituyendo estos valores en d, tenemos
d = NN = -b
Vm2 + 1
- b'---
= - b + b'
V m2 + 1
* O N = - N' O por ser rectas dirigidas.
69

~",' , ,', ¡,.
~~. ,
f-,', "
70
-.
b' - b=
pero b' = YI - mXI, entonces:
I d = N N - y, - mx, - b I
V m2 +-1
. ,
A esta expresión se le conoce como fórmula de la
distancia de una recta a un punto.
(17)
Ejemplo1:
Encontrar la distancia de la recta 2x - 3y + 6 = O
al punto PI (5,3).
Primer9 resolvemos para y para que la ecuación que-
de de la forma y = mx + b, así:
2
~=~x+2
2
De los datos tenemos que Xl = 5, YI = 3, m =3Y b =' 2r
sustituimos éstos valores en la fór.Q1ula (17) quedando:
- 2' . .
3,-(T)(S)-2
d=
le), + 1
" ~
10'
3 2'
3
j ;+1
9- 10 -6
3
'14+9
3

'"
= -7
Vi3
Por el'signo de d sabemosque el punto p. (5,3) queda
debajo de la recta.
Ejemplo2:
Encontrar la distancia de la recta y = - 4x - 27 al
punto P. (-6,3).
De los datos tenemos que XI = -6, Yl = 3, m = - 4 Y b = - 27.
Sustituímos estos valores en la fórmula (17) y nos queda:
3 - (-4) (-6) - (-27)d=
V (-4)2 + 1
3 - 24 + 27
V 16 + 1
= 6
ViT
. En este eiemplo el punto queda arriba de la re~tapor
ser d positiva.
Cuando la ecuación de ~ recta es de la forma Ax + By + C = 01
la distancia de la recta al punto P.(x., Y.) está dada por:
d = IAx. + By. + CI
VA2 + B2
. (18)
Dado que el numerador es un valor absoluto, esta
fórmula considera la distancia siempre positiva.
71

72
Ejemplo 3:
Encontrar la distancia de la recta 3x + 4y + 5 = O
al punto Pl (1,4); sustituyendo en la fórmula (18)tene-
mos:
d = 13(1)+ 4(4) + 51
= 13 + 16 + 51
/ 9 + 16
L2il
ViS
24
-- r
Ejemplo4:
Encontrar la distanciade la recta 2x - 3; - 4 = O
al punto Pl (-4,2).
Sustituyendo en la fórmula (18) tenemos
12(-4) - 3(2)- 41d=
/ 22 + (-3)2
= I - 8 - 6 - 41
/4+9
1-181
= Vi3
= 18
VT3

Ejemplo5:
Encontrar el área del triángulo cuyos vértices son
A (2,1), B(8,3) YC(4,9) Ver figura 20.
El área de un triángulo está dada por la fórmula:
1 .
Area ="2(base) (altura)
Entonces, se puede tomar cualquier lado como base y
se traza una recta perpendicular desde ese lado, al vértice,
opuesto que nos representa la altura (h). En este ejemplo
tomamos como base el lado AB y h es la altura, por lo que:
1 -
Area ="2 (AB~ h

y
/
9
~
7
6
C(4,9)
B (8,3)
5
4
3
2
J
01 J 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 20
Para encontrar la altura h se necesita la ecuación del
lado AB, la que obtenemos por medio de los puntos A y B.
y-1
x-2
3-1
8-2
2 1- ----
6 3
=
3y-3=x-2
-x+3y-1=O
x
73

Usando la fórmula (18) de la distancia de una recta a
un punto, tel1emos:
h = I - 4 + 3(9) - 1 J
V (-1)2 + 32
- I - 4 + 27- 1I
V1+9
= l.EJ
vrrr
22
, = V 10
Para obte'ner la longitud AB, usamos la fórmula de la
distancia entre dos puntos, quedando:
A B = V(8 - 2)2 + (3 -1)2
= ..¡36 + 4
= V40
= 2'¡¡¡¡
Luego, ej área del triángulo es:
1 22 )
Area =- (2 ViO> ( V 102 .
= 22
74

En los problemas del 1 a 18, escriba las ecuaciones de las rectas determi-
nadas por I~ssiguientes condiciones:
1. Pasapor (-4,5) y (7,9).
2. Pasapor (3,0) y (6,-4).
3. Pasapor (O,8)'y (-4,-5).
4. Pasapor (1,3) y tiene pendiente 1:..
2.
5. Pasapor (-5, -3) Y tienependiente- ;.
6. Pasapor (0,0)y tiene pendiente ,~.
7. a = 4 Y b = 5. .
8. Pasapor (0,5) y tiene incl inación de 45°.
9. Pasapor (-3,2) y tiene inclinación de 135°.
10. Pasapor (4,4) y esparalela al eje X.
11. Pasapor (-3,6) Y es paraleia al eje Y.
12. Esparalela al eje Y y está 5 unidades a la izquierda de él.
13. Su intersección con el eje X es 6 y su incl inación esde 60°.
14. Su ordenada al origen es 4 y su inclinación esde 45°.
15. Pasa por (2,5) y se eleva 3 unidades por cada unidad que se incre-
menta ia x.
. 16. Pasa por (-3,2) y desoiende 2 unidades por cada unidad que se in-
cremen-~ala.x. '. . .
. 17. Pasapor (3,7)y esparaleia a la recta con ecuación 2x - 3y+ 4 = o.
l..
18. Pasapor (-1,-6) Y es perpendicular a la recta con"ecuación x - 5y
+ 6 == o.
19. Demuestre que la recta que pásapor fos puntos (5,-4) y'(~2,7) esperpe
ndicular y bisecta al segmento de recta determinado por lospuntos
(-4, -2) y {7,S). .
20. Encuentre !as ecuaciones de los lados del triángulo cuyos vértices son
A(-3,2), B(5,6) YC(l,-4).
En los problemas del 21 al 28 encuentre la distancia de la recta dada al
punto dado y diga sin trazar la recta y el punto, si el punto está arripa o
debajo de la recta.
75

21. P(S,7),'3x - Sy + 4 :::;: O.
22. P(-1,3),' x + y - 4 = O.
23. P(2,-4),' 2x + 3y - 6 = O.
24. P(-S,8),' x + 2y + S = O.
25. P(3,1),' x - y = O.
26. P(4,O),'x + y = O.
27. P(O,O);3x + 2y - 12 = O.
28. P(O,3),'x - 3y + 3 = O.
29. Encuentre la altura correspondiente al lado B C del triángulo cuyos
vértices son A(1,-2), B(7,O)y C(3,3).
30. Determine el área del triángulo cuyos vértices son A(-4,-4), B(6,-6)
C(O,3).
76
- - - ---- - ---- -- --

Panelesdeverificación
MODULO 1 - VALlDACION
1. m = 3 ,. e = 710.33'
2. m = - ~ ; e =:=1800 - 690 30' = 110030'
3. m = i.. e = 530 6'
3 ;
1
4. m = - '3; e = 1800- 18° 26' = 161° 34'
5. m = - ~ ; e = 180°- 35030' = 1.4030'
6. m = ~ ; e = 60 22' ,
7. m = - 1 ; e = 1800- 45° = 135°
.8. m = O ; e = 0°
9. m no definida; e = 900
1O. m = 1 ; e = 45°
1---
2
Luego. Pl, P1.,P3 están en línea recta.
2. m de P1 a P1. = 3 ; m de P1. a P3 = 3.
Luego, P1, P1., P3 están en línea recta.
2
3. mAB ="5
y
2
mnc - 5
77

mAD = 3 y
Luego, ABIIDC y ADIIBC, por tanto, ABCD esun paralelogramo.
Luego ABIIDC y ADIIBC, por tanto ABCD es un paralelogramo.
5. A B = V29
AD = ViO
y DC = V29
B C = y¡¡¡-y
Como los lados opuestos en el cuadrilátero son iguales, ABCD es un
paralelogramo.
6. y
5
- -2
ComompIP3 y mp1P2 son recíprocas y de signo contrario P1P3 J.P1P2
Y por tanto, el triángulo P1P2P3 esrectángulo.
7.
5 4
mAC = -7 y mBC =T
Como mAC Y mBC son recíprocas y de signo contrario
V por tanto, el triángulo ABC es rectángulo.
AC .l BC
Como las pendientes de los lados que son adyacentes son recíprocas y
de signo contrario, estos lados son.perpendiculares, por tanto, el cuadri-
látero esun rectángulo~
Usando el teorema de Pitágoras tenemos:
c:-
7~ "..
.... 1
0r...."..¡ .~~
. .
4. mAB = -1 Y mDC = - 1
. 3 3
mAD = 2' y 1hBC = "2
8.
8 3
mp1P2 = -3 V mp2P3 .8
8 3
mp3 P 4= -y
y
mp1P 4=8

Si sustitu ímos la longitud de los lados se tiene:
?
(v'29)2+ (Y261)2= {Y290)2
?
29 + 261 ~ 290
290 = 290
Como sí se cumple el teorema de Pitágoras, concluimos que el triángulo
PtP2P3 es un triángulo rectángulo.
10. Longitud de la diagonal Pt_P3 = Y146
Longitudde la diagonal P2P4 = Y146
1. ~) 15° 12'
2. iÓ -2
3. 86° 24'
~ 1
4. 2 0-"2
5. 49° 46' , 72° 54' , 57° 20'
6. 22° 22' , 119° 45' , 37° 53'
7. 49° 30' , 130° 30' , 49° 30' , 130° 30'
3 1
8. x ="2' y = 2"
9. x = 2 , y = 2
19 37
1O. x = - 5" ' .y= - 5
11. x = 12 , Y = 11
12. x = 16 , Y =' 13
13. r = 2
16. x = '0, y = 4
b) 45° e) 67° 36'
,,:,' . ... .t.'
79

MODUL04 VALlDACION
1. 4x - 11y +' 71 = O
2. 4x + 3y - 12 = O
3. 13x - 4y + 32 = O
4. x - 2y + 5 = O
5 4x + 3y + 29 = O
6. x..-:. 3y = O
7. 5x + 4y - 20 = O
8. x ~ y + 5 = O
9. x + y + 1 = O
1O. y = 4
11. x=-3
12. x = - 5
13. V3x - y - 6 V3 = O
14. x - y + 4 = O
15. 3x - y - 1 = O
16. 2x + y + 4 = O
17. 2x - 3y + 15 = O
18. 5x + y + 11 = O
20. Ecuación delladoAB : x - 2y + 7 = O
Ecuación delladoAC : 3x'+ 2y + 5 = O
Ecuación delladoBC : 5x - 2y - 13 = O
16
21. d = Vf4
2
22. d = V2
14 ; debajo.
23. d = Vi3
; arriba.
; debajo.
24
16. 'b. d = - I arn a.
VS
80

25. d =~ ; debajo.
V2
2
4 .
6. d =- ; arnba.
Vi"
12
d b
.
27. d =; - ; e aJo.
Vii
6 .
b28. d =- ; arn a.
y¡¡¡
-
26
29. Altura =-
5
30. Area ~ 39
f
81

UNIDAD XVIII
SECCIONESCO~ICAS.CIRCUNFERENCIA. '.
PARABOLA.TRASLACION DE EJES.

lótroducción"
~:.==::=~ ",,=..;;:=: -- -'" e;;- ~
:o:- Enuni.c!~desanteriores ha estudiado las gráficasde alguTIaS'~~~ . "'
~ ~ esta unidadltas=cm-_rá cuatro curvasque por su impor-
tarfcta~~~aplicacionesque tienen en alguna~- .' es necesario
estudiarlas éñforma exhaustiva. Cada una de estas curvas se-describirá com ~--
un lugar geornétricO:y""demQstraremos que cada una de ellas es la gráfica de
una eC4ación cuadrática en x V/o y, ecuación que se puede representar como
un caso especial de la ecuación general
Ar +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F=O
donde A. B V C no todos son cero.
- Estas cuatro curvas que son: circunf..~rencia,parábola, elipse e hipér-
bola, se les llama cónicas debido a que se punden describir como la.curva que
se genera aJ intersectar un plano con un cono recto circular.
Estudiaremos en esta unidad la traslación de ejes con objeto de que
comprenda las ecuaciones de las curvas cuando su centro no coincide con el
origen de los ejes coordenadas.
85

ObjetivosGenerale's.
~ !!!!!
~-::;;!!':
':' ~ ~~
, 86
!!!i '= ~"'!: '"
Al terminar de estudiar esta unidad, el alumno:
1.
2.
3.
Identificará las secciones cónicas.
Definirá la circunferencia.
Deducirá la ecuación cartesiana de una circunferencia con centro en el
origen y. radio conocido.
Definirá la parábola.
Identificará los elementos de la parábola.
Expl icará el proceso conocido como traslación de ejes.
4.
5.
6.

- - - - - - - - ---- -- - -- - --
Diagramatemáticoestructural
87
Secciones La
Cónicas ..
circunferencia
La
Parábola
Transformación Traslación
de
.
de,
Coordenadas Ejes

Glosario
Cónicas: Cuatro curvas que se general al intersectar de cierta manera un
plano a un cono recto circular; siendo estas curvas la circunferencia, la
elipse, la parábola y la hipérbola.
Circunferencia: Geométricamente se describe como la curva que resulta de la
intersección de un cono recto circular y un plano paralelo, a la base del
cono.
Circunferencia: Es el lugar geométrico de. todos los puntos en el plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro.
Ecuación de la circunferencia: Toda ecuación de la forma
(x - h)2 + (v - k)2 = r2
o de la formaAx2 + Bv2 + Dx + Ey + F = O
Radio de i"acircunferenc'ia: Distancia del centro de la circunferencia a cual-
quier punto de la misma. Se representa por r.
Parábola: Geométricamente se -describe como la curva que resulta a! inter-
sectar un cono recto circulary un plano paraleloa lageneratrizdelcono.
Parábola: Es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un
punto fijo dado (foco) y de unq recta fija dada (directriz) que no pase
por ~I punto. .
Directriz de la parábola: Recta perpendicular al'eje de la parábola.
Lado recto: Cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la
parábola. '
,
Radio fo.cal: Distancia que hay entre el foco de una parábola y cualquier
punto de la misma.
Traslación de ejes: Desplazamiento de uno o ambos ejes de un sistema de
coordenadas rectangulares de tal manera que, el origen quede en una
nueva posición, pero permaneciendo cada eje paralelo a los ejes origi-
nales. '
88
'"- -- - . -- -- - - - - -- - -- --- -

Módulo5
'Q-BJETIYOSESPECIFICOS
1.
Al terminar"deestudiarestemódulo, elalu~ ---
-----
Determinará la ecuación cartesiana de una circunferencia dadas las coár-
denadas de su centro y su radio.
Encontrará las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia
dada su ecuación.
Representará gráficamente una circunferencia a- partir de su ecuación
cartesiana.
Determinará la ecuación de una circunferencia dadas las coordenadas de
tres de sus puntos.
- -
2.
-,.
3.
4.
ESQUEMA-RESUMEN
89
Definición
La
dela
Circunferencia
,
circunferencia
'v
E:cuación
Ecuación
....generalcartesiana de la r
dela
circunferencia
circunferencia
..,11'
Circunferencia
Coordenadas
determi nada
""deun ,
por tres
punto
condiciones.

¿Quéesuna
circunferencia?
90
5.1 DEFINICIONDELACIRCUNFERENCIA.
De las cuatro cónicas, la circunferenciaes lamássim-
ple y geométricamentese describecomo la il1terseooiónde.
un cono recto circular y un plano p-araléTo-a la base del
cono. (Figura 1.) ~=;:.---
Figura 1
Definición.- La circunferencia es el lugargeométrico
de todos los puntos en el plano que equidistan de un
punto fijo llamado centro.
5.2 ECUACIONCARTESIANADELA CIRCUNFERENCIA.
Para deducir la ecuación de Ié circunferencia, hace-
mos uso de la (Figura 2.) .
y
x
Figura 2

Sea P(x,y) un punto cualquiera de ia~circunferencia .
~Qr:1.centro" en (h,k) y radio igüai a r. Puesto que por la
definición el radio es GOiistante,tenemos que para todas las
posiciones d§._Pst>brela circunferencia.
--
,--:;;'--CP= r
Usando la fórmula de la distancia entre dos puntos
tene mas: .
v(x - h)2 + (y - k)2 = r
-
-r'
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad Lacircunferencia
nos queda estád_eterminada
por uña ecuación.
(x - h)2 + (y- k)2 = r2
A esta ecuación se le llama ecuación cartesiana de la
circunferencia y se puede usar para escribir la ecuación de
cualquier circunferencia, cuando se conocen lascoordenadas
del centro y el radio de la circunferencia.
Ejemplo 1: .
Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro
en (5,,2)y radio igual a 4.
Como el centro está en (5,2) entonces
h=5,k=2 Y r=4
Sustituyendo estos valores en la ecuación (1), tene-
mos: .
(x - 5)2 + (y - 2)2 = 42 ,
(x - 5)2 + (y - 2)2 = 16
Ejemplo 2
Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro
en (-3,4) y radio igual a 5. En este caso .
(1)

:---
h=-3, k"~
Sustituyendo en la ecuación (1) t~s~
- =
[ x - (-3)] 2 + [ y - 4] 2 = 52
(x + 3)2 + (y - 4)2 = 25
;:
Si el centro está en el origen h = O Yk = O la ecuación
(1) se reduce a:
--~'-o iiii
(x - 0)2 + (y - O)~.'= ,.,.
x2 + y2 = ,.,.
Esta ecuación la estudió en la Unidad XIII.
La posición y tamaño de la circunferencia dependen
de tres constantes arbitrarias h, k Y r dado que (h,k) son
las coordenadas del centro pueden ser positivas o negativas
en tanto que r es necesariamente positivo.
5.3 ECUACIONGENERALDE LA CIRCUNFERENCIA
Si desarrollamos la ecuación (1) y agrupamos los tér-
minos semejantes, tenemos:
'y dado que -2h, -2k y h2 + k2 -,.,. son constantes,
podemos escribir la ecuación anterior como:
x2 +y2 +Dx+Ey+F=O (2)
en donde D = - 2h, E = -2k y F = h2 + k2 - ,.,.
A la ecuación (2) se le llama forma general de la
ecuación de la circunferencia. Si la ecuación de la circunfe-
rencia tiene la forma (2) podemos reducirla a la forma (1)
completando cuadrados en x y y proceso que estudiare-
mos más adelante.
92
--

Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F=O
Laecuación
generalde
segundogrado
representauna
circunferencia
cuando...
Puesto que la ecuación general de segundo grado
en x y y es
esta ecuación puede reducirse a la forma general de la ecua-
ción de una circunferencia si. y sólo si, B = O Y A = C.
Cuando B = O.A = C -y A. C =1=1 la ecuación general pue-
de reducirse a la forma (2) dividiendo la ecuación por
A ó C ya que A = C.
Probaremos en seguida que si la ecuación (2) es satis-
fecha por las coordenadas de más de un punto, es la ecua-
ción de una circunferencia.
Demostración:
x2 +y2 +Dx+EY+F=O Hipótesis.
x2 + y2 + Dx + Ey =- F Se sumó a ambos lados
d~ la igualdad. -F.
D2 W D2 W
x2 + Dx +- + y2 + Ey +~ =- +- -F Se sumó a ambos lados
4 I 4 4 4 de la igualdad D2 E2
'4 '4
gue son los cuadrados de
la mitad de los coeficien-
tes de x y y, con el obje-
to de completar el cua-
drado perfecto en x y. y
= D2 + F! - 4F
4
El lado izquierdo seescri-
bió como binomios al
cuadrado y se efectuó la
operación indicada en el
lado derecho de la igual-
dad.
D2 + F! - 4F .
4 (3)
93

94
. D~ + W - 4F
h d d d 1
,
SI 4 <O, no ay coor ena as e a gun
punto que satisfagan la ecuación puesto que del lado iz-
quierdo de la igualdadse tiene una suma de cuadrados.
Si D2 + W - 4F = O las coorde~adas de un solo punto
4
satisfacen la ecuación, sierid0 este pun.to
(
1J E
)
. ~ + El - 4F
- 2" '-"2 ,.SI 4 >O,
tenemos la ecuación de una circunferenciacon centro en
(- ~,- ~) y.radio igual - a ~ V~ ,+ W -' 4F.
Ejemplo1:
Encontrar el centro y el radio de la circunferencia
cuya ecuaciónes2x2 + 2y2 + 8x + 12y- 24 =O.Trazar la
circunferencia.
Dividiendo entre 2 la ecuación de la circunferencia,
tenemos:
x2 + y2 + 4x + 6y- 12 = O
Se ,suma a ambos miembros de la igualdad + 12 y se
completan cuadrados quedando:
x2 + 4x + 4 + y2 4-6y + 9 = 12.+ 4 + 9
(x + 2)2 + (y + 3)2 = 25
. (x + 2)2 + (y + 3)2 = 52
Si comparamos esta última ecuación con la ecuación
(1) tenemos que h = -2, k = - 3 yr = 5 por lo que el
centro es C(-2, -3) y radio = 5.( Figura 3.)

Figura 3
, Ejemplo2:
Encontrar el centro y el radio de la circunferencia
cuya ecuación es 3x2 + 3y2 + 10x - 12y + 5 = O.
Dividiendo entre 3 la ecuación, nos queda:
10 5
x2 + y2 .+ - x - 4y +- = O
3 3
Sumando a ambos miembros de la ecuación - ~ y
completando cuadrados tenemos: 3
10 25 5 25
x2 +-x+-+y2-4y+4=--+-+4
3 9 3 9
-15 + 25 + 36
9(x + 1)2 +
(x +])2 +
(y - 2) 2 =
(y - 2)2 = 46
. 9
5Luego h =-- k = 2 y r =
, 3 ' 46 - 1 V46
9- 3
/

¿Cuálessonlas
tres condiciones
que determinan
una
circunferencia?
96
: --............
'- ~ 5 1
por lo que el centro eS.(-- 3
' 2) Y radio =- /46.
~ 3
5.4 ClRCUNt=ERENCIADETERMINA.DAPORTRES.CONDI-
CIONES - - ~ =--
Si consideramos la ecuación (1) (x- h)2+ (y - k)2= r
ó la ecuaciÓn (2) x2 + y2 + Dx + Ey + F = O, en 9mbos
casos tenemos tres constantes independientes que son
h, k Y r para la ecuación (1) 6 D, E Y F para la ecuación
(2); esto representaimplícitamenteque laecuaciónde una
circunferencia queda _determinada por tres condicionesin-
dependientes, como severá en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1:
Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa
por los puntos (5,1), (4,6) Y (2,-2). Encontrar su cen-
tro y su radio. Podemos usar la ecuación (1) ó (2) para
encontrar la ecuación de la circunferencia, usamos la (2):
x2 + y2 + Dx + Ey + F :::; O
Dado que todo punto que pertenezca a la curva satis-
face su ecuación, sustituyendo los tres puntos dados en la
ecuación,tenemos: ~
, Para(5,1)
52 + 12 + D(S) + E(1) + F = O
sD+E+F;=-26
Para(4,6)
42 + 62 + D(4) + E(6) + F = O
ó
4D + 6E + F = - 52
Para (2,-2)
-- . - -- --- - ------------

22 + (-2)2 + D(4) + E(-2) + F = O
o
2D-2E+F=-8
por tanto, tenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas: '
5D +E+F= -26
4D + 6E + F = - 52
2D-2E+F=-8
Resolviendo este sistema por el método que se dio en
el módul04 de la Unidad IX, se tiene que:
Sustituyendo estos valores en la ecuación (2) tene-
mos:
Multi"plicando por 3 ambos miembros de la ecuación,
se tiene
3x2 + 3y2 - 2x - 16y- 52 = O
que es la ecuación de la circunferencia que pasa por los 3
puntos dados, (Verifique que los tres puntos dados satisfa-
cen la ecuación obtenida).
Para encontrar el centro y el radio usamos el método.
de completar cuadrados.
3~ + 3y2 -.2x - 16y- 52 = O
Dividiendo entre 3 tenemos:
. x2 +.y2 -~x _16 y - 52 = O
, .. 3 3 3
97

Completando cuadrados se ti~ne,
, ¡
2 1 2 16 64 52 1 64
x2--x+-+y --y+-=-+-+-3 9 3 9399
entonces, c( 1, -}) y radio = '12213
Si en lugar de completar cuadrados usamos la ecua-
ción (3) para encontrar el centro y el radiotenemosque:
, - D E
j D2 + W - 4F
- h = -2' k = -"2 y, r = 4
D I
.,
D
. 2
E
16
e a ecuaclOn tenemos que =-- =--3 ' 3
y F == - 52 sustituyendo' estos valores en h, k Yr se tiene3
2 16
, -3 '1' . -3 8
h=--=- 'k=--=-
2 3' ," 2 3
r =
,
(
1 8
)
'. '1221 .
Luego e "3'"3 y radio = ~ que es lo mismo
que habíamos encontrado.
98

REACTIVOSDEAUTOEVALUACIOr
1. Encuentre la ecuación de la cirClll1ferenciaen Laforma cartesian~ y
redúzcala a la forma general.
a) Centro en (3,4), radio 5.
b) Centro en (-4,6), radio 6.
c) Centro en (0,-5), radio 8.
2. Encuentre el centro y el radio de las siguientes circunferencias:
a) (x - 6)2 + (y + 4)2 = 49
b) (x + 3)2 + (y - 1)2. = 64
c) x2 + y2 - 20x + 40, + 379 = O
d) 3x2 + 3y2 + 36x - 12y = O
3. Encuentre las ecuaciones de las circunferencias que cumplen las siguien-
tes condiciones: .
a) Tiene su centro en (~4, -2) Y pasa por (1,3). ,
b) Tiene su centro en (-5,6) y es tangente al eje X. .
c) Tiene su centro en (3,4) y es tangente a la recta cuya ecuación es
4x - 2y + 10 = O.
d) Tiene su centro sobre la recta y = x, es tangente a ambosejesy
radio igual a 4.
e) Tiene su centro en el origen y es tangente a la recta x + y = 6.
4. Grafique las drcunrerencias que se dan en los mcisos b, e, o y e del
problema 3.
5. Describa el lugar geométrico que representa cada una de las'siguientes,
ecuaciones:
a) x2 + y2 - 10x+ 8y + 5 = O
b) x2 + y2 - 6x - 8y + 25 = O
c) x2 + y2 - 10x - 6y + 90 = O
d) 2X2 + 2y2 + 4x - 12y - 30 ~O
6. Encuentre las ecuadones de las circunferencias que pasan por los pun-
tos:
a) A(3,4), B(-1, -4) YC(S,2).
b) A(7,9), B(12, -3) YC(-5, -7).
7. Encuentre la, ecuación de la circunferencia con radiQ = VTf y tan-
gente a la recta 4x - 6y + Z= Oen (1,1). .
8. Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por A(2,3) y
B(-1,6> Y su centro está sobre la recta 6x + 15y + 3 = O.
9. Encuentre la ecuación del lugar geométrico del vértice de un triángulo
rectángulo para el cual los extremos de la hipotenusa son (-2,1) y (8,3).
10. Encuentre la ecuación del lugar geométrico de un punto cuya distancia
al orígen es siempre el triple de su distancia al punto (8,0).
11. Demuestre que los puntos (5,0), (5,-8), (4,1) Y(V5,2) están sobre una
misma circunferencia. .
.'
.'
99

Módulo6
1. Obtendrá las coordenadas del foto y la ecuación de la directriz de una
parábolaa partir de su ecuación.
"Representará gráficamente una parábola dada su ecuación cartesiana.
Obtendrá la ecuación cartesiana de una parábola que satisface ciertas
condiciones dadas.
2.
3.
ESQUEMA-RESUMEN
La parábola ~
Características
de la parábola.
101
Definición
de la parábola
.
,
.-
"
Ecuación
cartes!ana de
....
..
la parabola .

¿Aqué
llamamos
" parábola?
- Elementosde
la parábola.
102
'---
6.1 DEFINICIONDELA PARABOLA
. '
Esta cónica llamada parábola, se describe geométricamente
como la curva que resulta al intersectar un" cono recto
circular y un plano paralelo a la generatriz del cono. (Figu-
ra 1.)
Figura 1.
,
Definición: Parábola es el lugar geométrico de todos
los puntos que equidistan de un puntó fijo dado V de
una recta fija dada, que no pase por el punto~
Al punto fijo se le llama foco y lo representaremos
con F, a la recta fija se le llama directriz. La distancia entre
el foco y la directriz la representaremos por 2p (p > O).
. La recta perpendicular a la directriz y que pasa por eJ foco-
se llama eje de la parábola.
Basándonos en la definición de parábola," el punto
medio entre la directriz y el foco pertenece al lugar geomé-
Úico y este punto se llama vértice. (Figura 2.)
6.2 ECUACIONCARTESIANADE LAPARABOLA.
DIRECTRIZ.LADO,RECTO.
Para obtener la ecuacrón de la parábola empezaremospor
el caso más simple haciendo que el vértice coincida con el
origen del sistema de coordenadas y que el eje de la pará-
bola sea el eje X ó el eje 1': Puesto que las ramas de la

. parábolase pueden extender haciaarriba o hacia abajo,a la
derecha o a la izquierda, tendremos una ecuación para cada
caso. Empezaremos por el caso de una parábola en la que
sus ramas se extienden hacia la derecha, con vértice en el ,
origen y su eje es el eje X. (Figura 2).
y
N (-p,ly)
EJE
x =-p
Figura 2
Dado que la distancia de la directril al,fóco es 2p, las
coordenadas del foco son (p,O) y la ecuación de la directriz
es x = - p (ver figura 2). Tomemos un punto cualquiera
p(x,y) del ¡'ugargeométrico; trazamo.s una recta PN per-
pendicular a la directriz y siendo perpendicular a la direc-
triz, es paralela al eje X por lo que las coordenadas de N
son (~p,y). Se traza la recta PF.
Usando la definición de la parábola, tenemos que
PN = PF
Usando la fórmula de la distancia entre dos puntos
para encontrar PN y PF. tenemos:
PN = V'[-x - (-p)P + [ y - y)2
103

Obtención de la
ecuación
cartesianade la
parábola. .
Cuandolas
ramasdela
parábola.se
extiendenhacia
laizquierda
¿Cuálessu
ecuat'ón?
104
=" V(x + .p)2 + (p
= V(x + p)2
y PF = Y(x - p)2 + (y - 0)2
= Y(x - p)2 + y2
SustituyendoPN y PF en PN = PF,se tiene:
y(x + p)2 = V(x - p)2 + y2
. (x + p)2 = (x - p)2 + y2 . Se.elevaron al cuadrado
ambos miembros.
x2 + 2px + p2 = x2 - 2px + p2 + y2 Efectuando.
y2 = 4px
]
Simplificando.
Entonces, la ecuación x2 = - 4py;es la ecuación de
una parábola con vért.ice en (0,0), foco en (P,O), y
ecuación de la directriz x = - p. Las coordenadas de to-
do punto que pertenece a la parábola satisfacen esta ecua-
ción y viceversa; si las coordenadas de un punto satisfacen
esta ecuación el punto pertenece a la parábola.
Si las ramas de la 'parábola se extienden hacia la iz-
quierda, queda la siguiente figura:
-------

y
p (x, y)
Figura 3
V(O,O)
N (p, O)
Laecuaciónde una parábola de este tipo esy2I = - 4px;
la deducdón de esta ecuación se le deja como
ejercido (problema 1 de los Reactivos de Autoevaluación,
Módulo 6.
Deduciremos ahora la ecuación de una parábola con
las ramas hacia arriba. (Figura 4.)
y
y=-p
N (x. -p)
Figura 4
Puesto que PN ~s paralela al eje Y, por ser perpendi-
cular a la directriz, las coordenadas de N son (x. -p).
x
¿y si lasramas se
extienden hacia
arriba?
x
105

¿Quéesel lado
recto?
106.
.
Usando la definición de parábola, tenemos:
PN.= PF
V[ x - x] 2 + [ y - (-p] 2 = V(x - 0)2'+ (y - pj2
y2 + 2py +'p2 = x2 +.y2 - 2py + p2
I x' = 4py I
Entonces, la ecuación x2 = 4py es. la ecuación de
una parábola con las ramas hacia arriba, vértice en(O,O)
foco en (O,p) y ecuación de I.adirectriz y = - p.
Si las ramas de la parábola se extienden hacia abajo,
-qu~dala siguientefigura: .
y
y =p
N (x, p)
x
Figura S
La ecuación de una parábola de este tipo, es x2 =
-4py; la deducción completa se le deja como ejercicio. (pro-
blema 2de los Reactivos de Autoevaluación, Módulo 6.
La cuerda que pasa .por el foco y es perpendicu-
lar al eje de la parábola, se le llama lado recto de la
parábola.

A la distancia que hay entre el foco de una pará-
bola y cualquier punto de la misma, se le llama radio
focal.
Ejemplo1:
Encontrar las coordenadas del foco y la ecuación de
la directriz para la parábola y2 = 8x.
Comparando esta ecuación con y2 = 4px, tenemos
que
4p = 8 =>p = 2
Entonces las coordenadas del foco son (2,0) y la
ecuación de I? directriz es x =- 2.
Ejemplo2:
la directriz para la parábola y2 = - 16x. -
Compara-ndo esta, ecuación con y2 = - 4px, tene-
mos q~e
4p = 16 =>.p = 4
Como el signo menos del coeficiente de la x nos
indica que las ramas de la parábola son hacia la izq~ierda,
entonces las coordenadas del foco son (-4,0) y la ecua-
ción de la directriz es x = 4.
Ejemplo 3:
- -
la directriz para la parábola x2 = 6y. -
Comparando esta .ecuación con XZ = 4py, tenemos
que
6 3
4p =6 => p =4=2
107

108
3
Entonces, las coordenadas del foco son (O,}) y la
ecuación de la directriz es y =- ~ .
Ejemplo4:
Escribir la ecuación de la parábola con foco en (0,5)
y directriz y ~ - 5. Hacersu gráfica.
Como el foco está sobre el eje Y .en' (0,5), entonces es
una parábola vertical con ramas hacia arriba y vértice en
(0,0) por loque su ecuaciónes de la forma x2 = 4py,Por
definición, p es la distancia del vértice al foco, entonces
p = 5, sustituyendo estevaloren ~2 = 4py. tenemos
x2 = 4py
x2 = 4(5)y
x2 = 20y
Por tanto, la ecuación de la parábola con fOGOen (0,5) y
directriz y = - 5 es' x2 = 2Oy. Para hacer la gráfica,
tabulamos algunos puntos; en este caso conviene darle va-
lores a la y y encontrar los correspondientes valores de la
x. (y = O,x = O,: y = 5, x = -:tlO;...) (Figura 6). '
y
.JO -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3'.2 -1' 1 2 3 4 5 6 7/ 8 9 10
x
y=-5
Figura 6
--- -- .

. Ejemplo 5:
Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en
(0,'0);foco en el eje X y pasa por el punto (3,2).
Encontrar el foco y la ecuación de la directriz. (Figura 7).
y
1
X=-j
x
Figura7
De la figura vemos que es una parábola horizontal con
las ramas hacia la derecha por lo que su ecuación es de la
forma y1 = 4px. Como sabemos que pasa por el punto'
(3,2), las coordenadas de este punto satisfacen esta ecua-
ción. Su~tituyendox = 3y y. = ~en laecuación, tenemos:
22 = 4p(3)
4 = 12 p
4
- = p =>,
12
1
p=}
S
. 1 4
4
I I ., :1 4
lp =3 => :p = 3Por o que a ecuaclon es y = }X,
el foco e¡stáen ( }-'O)Y la ecuación de la directriz esx = -]..
109 .

1. Deduzca la ecuación de una parábola con vértice en el origen, eje el eje
X y ramas hacia la izquierda.
.2. Deduzca la ecuaci'ón de una parábola con vértice en el origen, eje el eje
Yy ramas hacia abajo. .
En los problemas 3 al 8, encuentre las coordenadas del foco y la ecua-
ción de la directriz para cada una de las parábolas dadas.
3. y2 = 16x "
4. x2 + 12y = O
5. 3x2 - 27y = O
6. 4y = 24x2 .
7. 12x = -:-3y2
8. y2 = - 16x
En los problemas del 9 al 14, escriba la ecuación de la parábola que
satisface las condiciones dadas.
9. Foco en (O,-3), directriz y = 3
10. Vértice en (0,0), directriz x = 2.
11. Vértice en (0,0), pasa por (-4,-3). Eje vertical.
-12. Vértice en (0,0), foco en el eje X y pasa por (4,6).
3 F
2
d
.. 2
1. ocoen'(3' O), Irectnz x =-3
14. Vértice en (0,0) y pasa por (5,2).
15. Demostrar que para cualquier punto p(x,y) sobre la parábola y2 = 4px,
la longitu~ del radio focal es Ix + pl.
16. Demuestre que la longitud del lado recto para cualquier parábola es
igual a 4p. - - -
17. Encuentre al lado recto de las parábolas dadas en los problemas 3, S, 7.
18. Encuentre el radio focal' al punto (-1,6) para la parábola dada en el
problema 8.
19. Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y por
los extremos del lado r-ecto de la parábola y2 = 8x.
20. Uno de los extremos de una cuerda que pasa-por el foco de una parábo-
la es el"punto (4,-4). La parábola tiene como eje el eje X y el vértice
en el odgen. Encuentre las coordenadas del otro extremo de la cuerda.
21. Demuestre que la circunferencia en cuyo diámetro es el radio focal de la
parábola. y2 = 4px, es tangente al eje Y.-
22. Si AB representa la cuerda que pasa por el foco en la parábola y2 = 4px,
- demuestre que la circunferencia con diámetro igual a A B es tangente
a la directriz de la parábola.
110
-- -- --- --- ---- --- - -

Módulo7
1. Obtendrá. el vértice, lado recto, foco y la ecuación de la directriz de una
parábolacuyo vértice esté en el punto de coordenadas (h, k). .
Encontrará la ecuación de una par~bola cuyo vértice no está en el
origen y satisface ciertas condiciones dadas.
Resolverá algunos problemas de aplicad6n donde intervengan parábo-
las. '
2.
3.
ESQUEMA-RESUMEN
Ecuación
cartesiana de
la parábola
Función
cuadrática
~
Otras formas
de la ecuación
de la parábola
~I Aplicaciones
111

, .
Veamosel caso
enqueel
vérticeno
estáenel origen.
112
1.1OTRASFORMASDELA ECUACIONDELA PARABOLA.
Las ecu_acionesde la parábola que estudiaste en la lección
anterior, son válidas solamente para el caso bastante res-
tringido, de que el vértice esté en el origen y que el eje de
la parábola sea el eje X ó el eje Y.
Estudiaremos en esta lección un caso más general en
el que el vértice está en un punto cualquiera que no es el
origen y el eje de la parábola es paralelo al eje X ó al eje Y.
Para deducir IpSecuaciones de este tipo de parábolas,
háremos uso de la definición que se dio en la lección ante-
rior. El vértice de la parábola es ahora el punto (h.k) y la
distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz,
seguirá siendo p. (Figura 1.)
f
x
N(h-p,y)
Figura 1
De la definición de la parábola, tenemos que:
NP = PF
V[ x - (h - p)] 2 + (y - y)2
= V[ X - (h + p)] 2 + (y - k)2 Sustitución.
-'~ -- -. --- -- - ----

[ x - (h - p)] + 02
= [ X - (h + p)] 2 + (y - k)2 Elevando al cuadrado
ambos miembros,de la
igualdad.
(X - h + p)2 = (x - h - p)2 + (y - k)2 Eliminando lJaréntesis.
x2 + h2 + p2 - 2hx + 2px - 2hp
= x2 + h2 + p2. - 2hx - 2px + 2hp
+ y2 -2ky + k2
4px - 4hp = y2 - 2ky + k2
y2 - 2ky + k2 = 4px - ~hp
I (y - k)' = 4p (x - k) I
Efectuando.
Simplificando.
Simetría
.Sustitución y
propiedad distributiva
por la izquierda.
Entences la ecuación (y - k)2 = 4p (x - h) es la
ecuación de una parábola horizontal con vértice en (h,k),
foco en (h + p, k) Ydirectriz x = h - p.
Si la parábola es horizontal con vértice en (h,k), y sus
ramas se extienden hacia la izquierda, su ecuación es (y - k)2
= - 4p (x - h).
Deduciremos ahora la ecuación de una parábola con
vértice en (h,k) y ramas hacia arriba. (Figura 2',)
113

Aplicando la
definición de
parábola.
114
y
V (h. k)
y=k-p
o
Figura 2
De la definición de parábola tenemos que:
PN = PF
v(x - X)2 + [y - (k - p)] 2
V(X - h)2 + [ y - (k + p)] 2
=
p (x. y)
N (x. k - p)
x
Sustitución
(x - X)2 + [ y - (k - p)] 2 = Elevando al cuadrado
(x + h)2 + [ y - (k + p)} 2 ambos miembros de la I
igualdad.
(J2+ (y_k+p)2 = (X-h)2 + (y-k-p)2
y2 + k2 + p2 - 2/ey = X2 - 2xh + h2
+ 2py ,- 2kp + y2 + k2 + p2
- 2/ey - 2py -t-.2kp
4py- 4kp = X2 - 2hx + h2
x2 - 2hx + h2 = 4py - 4kp
- - - ----
Eliminando
paréntesis.
Efectuando.
Simplificando.
Sirretría.

propiedad distributiva
por la izquierda.
Entonces, la ecuación (x - h)2 = 4p(y - k) eS.la
ecuación de una parábola vertical con vértice en (h,k),
foco en (h, k + p) y directriz y = k-p.
(x - h)2 = -:f;4p(y- .k),
Si la parábola es vertical con vértice en (h,k) y sus
ramas se extienden hacia abajo, la ecuación de la parábola
es (x - h)2 = - 4p(y ,- k).
Si resolvemospara x de la ecuación (y - k)2 = -:f;4p
(x - h), la ecuación toma la forma.
x = ay2 + by + e
y si se resuelve para y de la ecuación (x - h)2 = 4p(y - k),
la ecuación toma la forma y = ax2 + bx + e; esta ecua
ci6n la estudió en la Unidad XI.
Si a es positiva, la parábola se extiende hacia la dere- .Interpretación
cha o hacia arriba y si a es negativa,la parábolase ext.ien- delsignodea
de hacia la izquierda o hacia abajo.
Ejemplo 1:
Hallar vértice, lado recto, foco, ecuación de la direc- ~triz y trazar la parábola cuya ecuación es x2 - 4x - 4y - 4 = o.
Solución:
Dejamos del lado izquierdo de la igualdad los térmi-
nos en x ; haciendo ésto, nos queda:
x2 - 4x. = 4y + 4
Sumamos 4 a ambos lados de la igualdad, para que del lado
izquierdo quede un trinomio cuadrado perfecto:
x2 - 4x + 4 = 4y + 4 + 4 = 4y+ ~
115

116
L--- - --
Esta igualdad la podemos escribir como:
(x --2)2 == 4(y ~ 2)
Luego el vértice está en (2,--2) Y el lado recto es
igual a 4. (Ver problema 16 de los Reactivos de Auto-
evaluación Módulo 6. Como 4p == 4, tenemos que p == 1
por tanto, la ecuación de .Ia directriz es y == -- 3 Y las
coordenadas del foco son (2,--1).. La gráfica dela parábo-
la es la siguiente:
y
x
V (2, - 2)
y =-3
Figura 3
Ejemplo2:
Hallar vértice, lado recto, foco, ecuación de la direc-
triz y trazar la parábola cuya ecuación es
y2 ~ 6y ~ 8x -- 7 == O.
Solucibn:
Escribimos la ecuación dejando los términos en y del
lado izquierdo de la igualdad.
y2 ~ 6y == -- 8x ~ 7
Completando un cuadrado perfecto el lado izquierdo de fa
igualdad se tiene

y2 +6y+9=-8x+7+9
(y + 3)2 =- 8x + 16
(y + 3)2.= - 8(x - 2)
Como el coeficiente del término en x es negativo,las ra-
mas de la parábola se extienden hacia la izquierda.
De la ecuación, tenemos que 4p = 8 ~ p = 2, luego,
Ladorecto = 4p = 4(2)= 8
El vértice está en (2.-3), foco en (O,-3) Y la
ecuación de la directriz es x = 4~ La gráfica de la pará-
bola es la siguiente:
y
x =4
,2 3 41 5 6 7
-2
t /'~,
-3 y~' 1V(2,-3)
-4
-5
Figura 4
Ejemplo3:
Encontrar la ecuación de una parábola horizontal que
pasa por (-2,4), (-3,2) Y (2,-4). Encontrar el,
vértice, lado recto, toco, extremos del lado recto y ecua-
ción de la directriz. (Figura 5.)
x
117

y
(
37 3
)F. -24 ' "2
x12345678
Figura S
La ecuación de una parábola con eje paraleto al eje X
es (y - k)2:z4p(x - h) Óx = ay2 + by + c. Si sustituímos
en esta última ecuación las coordenadas de los 3 puntos
por donde pasa la parábola, tenemos:
- 2 = a(4)2 + b(4) + c para el punto (-2,4)
- 3 = a(2)2+ b(2)+ c para el punto (-3,2)
2 = a(-4)2 + b(--'-4)+ c parael punto (2,-4).
Si efectuamos operaciones y ordenamos las tres ecua-
dones, tenemos el siguiente sistema:
16a + 4b + c = - 2
4a+2b+c=-3
16a - 4b + c = 2
Resolviendo este sistema por el método que se estu-
dió en el Módulo 4 de la Unidad IX, tenemos que:
1 1 8
a =6' b = - 2" y c = -3

118
-- -- - --- -- ---

Por tanto, la ecuación de la parábola es:
1 2 1 8
x =-y - --y--6 2 3
Si transformamos esta ecuación a la forma (y - k)2 = :1:4p
(x - h), nos queda:
(y - ~)2' = 6 (x + ~~)
L I
l' I
(
73 3'
) d
uego e vertace esta en 24' '2 ' La o recto = 6, foco
(
37 3
) I .I
d I d" 109
en --,- y a ecuaclon e a Irectnz es x = --.24 2 24
como 4p = 6, 2p = 3 por lo que los extremos del
lado recto son
(
73 3
) (
73 9
)-24'-'2 Y -24'2
Ejemplo4:
Encontrar la ecuación de una parábola con foco en
(2,-2) y ecuación de la directriz y = 4. Figura 6.)
-6 -5 -4 -3 -2 -1o
.
!
-~
-3
-4
Figura 6
y
6
5
4 A (2, 4) y =4
3
2
1 V (2, 1)
x
119

...-------
Como el eje de la parábola es perpendicular a la direc-
triz, la parábola es vertical. El eje de la parábola intersecta a
la directriz en A(2,4) por lo que el vértice está en el punto
medio de AF, luego el vértice es el punto (2,1), siendo p
la distancia de! foco al vértice, entonces p = 3.
Corno conocemos el vértice, P y sabemos que las ramas de
la parábola se extienden hacia abajo, su ecuación es:
(x - h)'I.= - 4p(y - k)
Sustituyendo valores nos queda:
(x - 2)'1.= - 4(3) (y - 1)
Simplificando, queda finalmente:
(x - 2)'1.= - 12(y - 1)
REACTIVOSDEAUTOEVAlUACION
1: Para cada una de las siguientes parábolas, encuentre las coordenadas del
vértice, foco, ecuación d~ la directriz y longitüd del lado recto.
a) y'l.- 6y - 8x + 17 = O
b) 4xZ + 4x + 24y + 25 ==O
c) 3yZ + 24y + 30x + 38 = O
d) XZ - 4y + 8 = O
Encuentre la ecuación de la parábola vertical que pasa por los puntos:
a) (1,0), (-3,28), (2,3)
b) (-1,0), (-2,-5), (3,0)
Encuentre la ecuación de la parábola horizontal que pasa por los pun-
tos:
a) (-1,1), (-1,-1), (-5,0)
b) (1,0), (-19,-2), (-14,3)
Encuentre la ecuación de la parábola que satisface las siguientes condi-
ciones:
a) Directriz y = 8 ,Foco en (3,-2)
b) Directriz y = - 5 , Foco en (-4,3)
c) Directriz x = 4 ,Foco en (8,6)
d) Directriz)t = - 1, Foco en(-5,-3)
e) Vértice en (4,2), longitud del lado recto = 6, eje horizontal.
2.
3.
4.
120
- ---- - -- --- -- -- --- -

5.
6.
Encuen'tre la ecuación de la parábola con foco en (2,2) y directriz la
recta 3x + 4y + 12 = O. (Use la definición de parábola.)
La trayectoria de un proyectil lanzado por un mortero es la parábola
y = 4x - x2; la unidad es un kilómetro y el punto de lanzamiento
es el-origen.
a) ¿Cuál es el punto más alto que alcanza el,proyectil?
b) ¿Cuál es el alcance máximo del proyectil?
El cable de suspensión de un puente, toma forma paraból ica si el peso
del puente más el del cable está uniformemente distribu ídg en sentido
horizontal. Considera un puente cuyas torres son de 20 m de alto ,y
están separadas entre sí 100 m y en el cual el punto más bajo-del cable
de suspensión está 10 m arriba del puente. ¿Cuál es la ecuación de la
parábola que forma el cable de suspensión? (origen en el centro del
puente) .
Verifique la siguiente construcción geométrica de la parábola cuando se
dan las coordenadas del foco y la directriz, Dibuje una recta que pase
por el foco(F)y sea perpendicular a la directriz, llame D al punto donde
se intersecta esta recta con la directriz. Localice el vértice sobre la recta
DF de tal 'manera que DV = VF. Tome cualquier punto A sobre
VF del mismo lado de V o de F y trace por A una recta paralela a la
directriz. Con centro en F y radio igual a DA dibuje un arco que
intersecte a la recta que se trazó por A en los puntos P y p' .Entonces
estos puntos P y P' , son puntos de la parábola. Repita el proceso por
otros puntos A', A" etc.
7.
8
121

Módulo8
1. Referirá la ecuación de unf] cónica dada en un sistema de dos dimensio-
nes a otro sistema que resulte de trasladar" paralelamente los ejes a un
nuevo origen cuyas coordenadas estén definidas.
Simplificará la ecuación de una superficie dada, eliminando los términos
de primer grado, mediante una traslación de ejes.
2.
ESQUEMA-RESUMEN
123
Coordenadas Traslación T ransformaci ón
de
-
rectán gu Ia res
... .. de
ejes ecuaciones.

¿Cómose
efectúauna
traslación
deejes?
124
--- -- ---
8.1TRASLACION DE EJES
En todos los temas que hemos tratado en relación con la
línea recta, circunferencia o parábola, se ha considerado el
sistema de coordenadas rectangulares; sin embargo pode-
mos referir la ecuación a un sistema rectangular determina-
do y si cambiamos los ejes coordenados, obtener algunas
simplificaciones en la ecuación de la curva que estamos
considerando. Estos cambios pueden consistir en una tras-
lación de ejes, una rotación de ejes, o bien ambos cambios,
efectuando uno primero y después el.otro.
En este tema trataremos solamente el caso de
traslación de ejes, el cual se define como sigue: Trasla-
ción de ejes, es el desplazamiento de uno o ambos ejes
de un sistema de coordenadas rectangulares de tal ma-
nera que. el origen quede en una nueva posición pero
permaneciendo cada eje parale/o a los ejes 'origina/es.
Usaremos la siguiente figura para ilustrar en qué con-
siste la traslación deejes.
y y'x
y
x'
Figura 1
0(0,0) x
Designamos por O' un punto cuyas coordenadas son
(h,k), referidos al sistema de coordenadas x, y, por este
punto O' trazamos rectas paralelas al eje X y al eje ~ las
-- - - -. ----

que tomaremos como los nuevos ejes y las Ilamare"mosX y
Y respectivamente. Todo punto P con coordenadas (x,y)
en el sistema original tendrá coordenadas (x', y') referidas
al nuevo sistema de ejes.
- De la figura 1, podemos ver la relación que hay entre
las coordenadas (x,y) y las coordenadas (x', y'). Para la
traslación de los ejes a .O'(h,k); esta relación está dada
por: .
x' = x - h ,y' =y - k
o también como
x.= x' + h, y = y' + k I
, La demostración de las ecuaciones (1) se ve claramen-
te a partir de la figura y las ecuaCiones (2) se obtienen
. directamente de la (1).
, Con el uso de las ecuaciones (2) podemos transformar
cualquier ecuación en x y y en otra ecuación en x' y y' .
La curva de la ecuación en el sistema de coordenadas xy
coincide con la curva de la nueva ecuación referida al nue-
vo sistema x' y', es decir .Iacurva no se ha trasladado, los
que se han trasladado son los ejes.
Si la ecuación de una curva referida a un sistema de
coordenadas xy, es x2 - 10x - 4y + 9 = O, en~ontrar
la ecuación de esta misma curva referida a un nuevo siste-
ma de ejes x' y' con el origen en (S, -4). Graficar la
curva y trazar los ejes X, ~ YX', Y.
Solución:
Como O' es (5~ -4), de aqu í tenemos que h= 5yk=-4
Y puesto que las coordenadas de todo punto p(x,y) satisfa-
(1)
Ecuacionesde
traslación de
ejes.
(2)
125

cen la ecuación x2 - 10x ---4y + 9 = O,sus nuevascoor-
denadas son: (usando la ecuación (2»
, x = x' + 5 y Y =y' - 4
Estas dos últimas ecuac'iones, nos dan las coordenadas
originales en térmi nos de las nuevas coordenadas, por tan-
to, sustituyendo estas expresiones en la ecuación tenemos:
, .
(x' + 5)2-10(x' + 5) - 4(y' - 4) + 9 = O
x' 2 + 10x' + 25 - JOx' - 50 - 4y' + 16 + 9 = O
Simplificando, se tiene:
x' 2 - 4y' = O
ó
x' 2 = 4y'
Esta última ecuación que es más simple que la origi-
nal, es la ecuación de la misma curva referida al nuevo
sistema de coordenadas x' y' con el origen en (5. -4).
La gráfica de la curva y ambos sistemas de coordenadas
se dan en la figura 2.
y y'
.5 -4 -3 x
.2
-3
.4
-5
.6
Figura 2 .7
o' {5.-}
x'
126
-- - ---- -- ----

Ejemplo2:
Determinar la traslación qu~ elimina los términos en
x y y en la ecuación 4x2 + 16y + 9y2 + 18y - 119 = o.
Encontrar la ecuación resultante de esta traslación y
graficar la ecuación mostrando ambos ejes.
Solución 1:
Usando el método de completar cuadrados, tenemos:
4(x2 + 4x + 4) + 9(y2 + 2y + 1) = 119 + 16 + 9
4(x + 2)2 + 9(y+ 1)2 = 144
Dividiendo la ecuación por 144, se tiene:
4(x + 2)2 + 9(y + 1)2
144 144
144--
,144
(x + 2)2 + (y + 1)2 = 1
36 16
Haciendo x' = x + 2 yy' =y + 1 de tal forma que h' =-2
Y k = - 1, la ecuación referida' al nuevo sistema de coor-+-
denadas nos queda:
x' 2 y' 2
36 + 16 = 1
donde O'es (-2, -1).
Solución 2:
Como se desea encontrar la traslación necesaria para
que desaparezcan los términos en x y y, representamos
,esta traslación como h y k, luego:
x = x' + h . Y Y =y' + k
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación 4x2 + 16x
+ 9y 2 + 18y - 119 = O ~enemos:
127

4(x' + h)2 + 16(x' + h) + 9(y' + k)2 + 18(y' + k)
- 119 = O
Efectuando, se tiene:
4x' 2 + 8x' h + 4h2 + 16x' + 16h + 9y'2 + 18y'k
+ 9k2 + 18y' + 18k - 119 = O
Asociando términos semejantes, obtenemos
4X'2 + (8h + 16)x' + (18k + 18)y' + 4h2 + 16h
+ 9k2 + 18k - 119 = O
Como se desean eliminar los términos en x' y y' sus coefi-
cientes deben ser cero, entonces: .
8h + 16 = O => h;:= - 2
y
18k + 18 = O => k = - 1
por lo que la traslación requerida es x = x' -2 YY = y' -1,
que es la misma que encontramos en la Solución 1.
Si estos valores se sustituyen en la ecuación original, obte-
nemos:
x' 2 y' 2
36 + 16 = 1
La gráfica de la ecuación, así como los dos sistemas de
coordenadas, se muestran en la figura 3.
128
- - - - -- - -

y' y
Figura 3
x
X'
En los problemas del 1 al 5, transforme la ecuación dada, trasladando
los ejes de coordenadas al nuevo origen que se Lndica.
1.x2 + y2 - 4x + 4y = O , (2, -2)
2. y2 - 6x + 9 = O , (~, O)
3. 4x2 - 16x + 5y2 - 4 = O , (2, O)
4. 12x2 - 12x - 16y2 - 48y - 29 = O , ( ~,- ~ )
. 3 1
5. 75x2+ 90x- 375y+ 152 = O , (-5'3)
En lo? problemas del 6 al 9, transforme la ecuación dada a otra que no
tenga términos en x y y por medio de una trasl'ación de los ejes de coorde-
nad<Js.Obtenga la coordenadas del nuevo origen.
6. x2 - 2x - 12y + 25 = O.
7. y2 + 4y+ 20x+ 4 = O.
8. x2 + 9y2 + 4x.- 18y- 23 = O.
9. 4x2- 12x + 4y2+ 12y+ 2 = O
129

1
En los problemas 10, 11 Y 12 grafique (mostrando los ejes X,1': Y
X'IY) lascurvasde losproblemas7, 8 Y9: .
10. Curva del problema 7.
130
II

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