libro matematicas cuatro de prepa abierta plan de 33 asignaturas.

1. Matemáticas IV
PREPARATORIAABIERTA'

2. El contenido académico de este texto es exclusiva responsabilidad del
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores' de Monterrey y su índice
pertenece al programa correspondiente al plan de estudiGs del nivel medio
superior, para la materia de:
MATEMATICA
UNIDADESXIII-. XVI.
AUTORES: Humberto Cantú Salinas,
Moisés Galicia Arrambide,
Héctor Paz Estrada.
REVISO:
COMITE
ACADEMICO:
Jaime Navarro Cuevas.
Gustavo Mendo2;oGonzález,
Humberto Cantú Salinas, .
Roberto García Martínez,
.MoisésGalicia Arrambide,
Héctor Paz Es'trada. .
COLABORO: Andrés Ramírez y Villa.
Laeducación. es una responsabilidad compartida y en consecuen-
cia invitamos atentamente a toda persona interesada en colabo-
rar para resolver la problemética educativa, a que remita sus
comentarios, crfticas y sugerencias con respecto a esta Qbra a la
Dirección General de Educación Extraescolar de la SEP, CALLE
LAGOBANGUEOLONo. 24, COL GRANADADELEGACiÓNMI-
GUELHIDALGO,C. P. 11620 MÉXICO,D. F.
Sus aportaciones seré n apreciadas en todo loque valen y permiti-
rén perfeccionar y adecuar perm8nenteménte estos materiales a
las cambiante$ condiciones de la época actual.
@ SEP, 1983
DERECHOS RESERVADOS
Guías y exámenes para
Evaluarse correo
mv1980@live.com.mx
WhatsApp 55 91038543

3. Indice
PROLOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .'. 13
Instruccionesparael Alumno ., 15
UNIDAD XIII. Funciones circulares ., 17
Introducci ón '.. 19
Objetivos Generales. '. . . . . . , . . . . . . '. . . . .' . . . , . . . . . . . . . .. 20
Diagrama temática estructural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21
Glosario. . . . . . . . . . . . . . .' . :. . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22
Módulo 1 'C' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 23
Objetivos Espec íficos' ' 23
Esquema-Resumen. . ; . . . . . . . ! . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. 23
Contenido:
1.1. Lacircunferenciaunitar:ia l' .. 24
1-..1.1. Distanciaentre dos puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24
1.1.2. Circunferencia unitaria , 30
1.2. Funcionescirculares. . . . . . . . . . . .''. . . . . . .'. . . . . . .. 32
1.2.1. Localizaciónpuntos en C ' ,.. . . . .. 35
1.3. Definiciónde seno y coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . ',' .. 39
1.3.1. Signos de las funciones circulares en cada uno de
lo~cuatro cuadrantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 42
Reactivos de Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
MóduIo 2 ,. 47
ObjetivosEspecíficos. . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47
Esquema-Resumen. '. . .,' . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47
Contenido: .
.' 2.1. Valoresde las funciones circulares para los números realesO,
: ' 1T, 321T, 21T.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48
2.2. Valor de las funciones circulares para arcos y sus múltiplos 52
2.3. Dado el valor de una función encontrar el valor de tod9s las
demásfunciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62
Reactivosde Autoevaluación la
Módulo 3 73
ObjetivosEspecíficos- 73
E.squema-Resumen 73
Contenido: '
3.1. Grá'ficade lasfuncionesseno y coseno. . . . . . . . . . . . . .. 74
Módulo 4 '. . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 81
. ,Objetivos.Específi,cos , 81

4. Esquema-Resumen o o o o o o o o o o . . o o o . o o . . . o . . , ", . o . ., 81
Contenido:
4.1. Identidades Fundamentales. . . o . . . . . . . . . . o . . . . . o. 82
Reactivos' de Autoevaluación 'o... o . . . . o . . . . ."o . . o . . .. 88
Bibliografíade la Unidad 0 "0... o . . o o 90
Paneles de verificación. . . . . o . . . . . . . o . .. . . . . o . . o o . . o. 92
UNIDAD XIV. Funciones Circulares de suma y diferencia de números
,reales o... o. . , . . . . . o . . . . . . . . . . . . . o o . . . o o o. . . .. 101
Introducción. o . . . . . o . o o . . . . " . o . . . o . . o o . . . . o . . . . o . . " 103
Objetivos Generales" o . . . . . . o . . o . . . o o . ", o . o . o . . . . . . o o . ,. 104
Diagrama Temático Estructural. . o o . o . . o . o o o . o . . o . o o o o o .' 105
Glosario o o . o . o . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o. . . . .. 106
Módulo 5 o . . o . . . . o . . . . . . . . . . o o .". . . . . o . . o o . . , .107
ObjetivosEspecíficos. . . o. . . o . o o . . o o ."o o . . . . . . . . o . o 107
Esquema-Resumen o . . . . . o . . o . o . . o o 108
Contenido:
5.1, Coseno de la diferencia de dos números. o . . . o . o . . . . o . 108 .
5.2. Cofunciones ... o . . . o . . . . . . , . o . . . o . . o o o . . . . o. 112
5.2.1. Funciones de (- ~) en términos de ~ o... 114
Reactivos de Autoevaluación ... o . o , . . . . . . . . . . . . o . . . o 117
Módulo 6 '.. o . . . o . . . . . . . :. o . . . . . o . . o. . . . . . . . 119
ObjetivosEspecíficos o o. o'. 119
Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . o . . o o . . . . . . . . . . . 120
Contenido:
6.1. Funciones circulares de la suma de números reales. . . o . . o 121
6.2. Fórmulas de reducción. . . . o. . . . .'. . . . . . o. . . . . . . o 12J
Reactivosde Autoeváluación o . . . . . . . . . o. . . . 132
Módulo 7 . ~ . . . . . . .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . o. . . . . . o. . . . o 135
Objetivos Específicos . o o . . . . . . . . . . . o . . . . . . . ... , . , o o 135
Esquema-Resumen o, o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o. o o . .. 135
Contenido:
7.1. Funciones circulares del doble de un número. . . . . . . . . o 136
7.2. Funciones circulares de la mitad de un número en términos
del número. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . oo. . . . . . . . . .. 137"
Reactivosde Autoevaluación o. . . . . . . . o . 140
Módulo 8 oo o . . . . o. . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . 143
Objetivos Específicos. . . . . o. . o . .. o . o. . , . . . o. . . oo . . . 143
Esquema-Resumen . o . . . . . . . . . . . . . . . o. . , o. . . . . . . o . 143
Contenido:
8.1. Transformación de productos a sumas y viceversa" 144
Reactivos de Autoevaluación . o '. . . . . . o o. . . . . . . . . . . . o , 148
Bibliografía de la Unidad. . . . . . o. . . . . o. . . . . . . . . o. . . . 150

5. ')
Paneles de Verificación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '151
UNIDAD XV. Función Exponencial y Función Logarítmica 155
Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . .. 157
Objetivos Generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .". . . . . . . . . .. 158
Diagrama Temático Estructural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Glosario.. ' , 160
Módulo 9 -.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. 161
Objetivos Específicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 161
Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 162
Contenido:'
9.1: Funciones Exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . 163
9.1.1. .Funci.ones Exponenciales 163
9.2. ProgresionesGeométricas , 166
9.2.1. / ProgresionesGeométricasInfinitas. . . . . . . . . . . . . ., 170
Reactivo$de Autoevaluadón '. . . . . . . . . . . 172
Módulo 10 175
Objetivos Específicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . 175
Esquema-Resumen' .',' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Contenido:
10.LFunción Logarítmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . . .. 176
10.1.1.Propiedades de la función logarítmica 179
Reactivos de Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182
Módulo 11 . . . . . .,. . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 185
Objetivos Específicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . .. 185
Esquema-Resumen. . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 186
Con tenido: .11.1.Logarítmos Comunes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 187
11.1.1. Regla para obtener la característica del 10-
garitmo de un número. . . '. . . . . . . . . . . . .. 188
11.1.2. Uso de la tabla para obtener la mantisa del 10-
garitmo de un número. . . . . . . . . . . . . . . .. 189
~l.1.3. Dado el logaritmo de un número, obtener el .
número. . . . . . . . . . . , . . . . . . . . '. . . . . .. 190
11.2. Logaritmos de las funciones trigonométricas 190
11.3. Uso de los logaritmos comunes en operaciones aritméticas. 192
Reactiyos de Autbeval.uaci6n 197
Módulo 12 199
ObjetivosEspecíficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .! . . . . . . . .. 199
Esquema-Resumen. . ~. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 199
Contenido:'
12. Aplicacionesde la función exponencial 200
12.1. Interés compuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 200

6. 12.2. Crecimiento natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
12.3. Cálculo del Jogaritmo de u'n número respecto a
Gualqu1!3rbase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
12.4. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 206
ReactivosdeAutoevaluación .' .,..208
Bibliogra,fía de la Unidad.'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 210
Paneles de Verificac,ión ...' ,211
, UNIDAD XVI. Resolución de triángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217
Introducción : 219
ObjetivosGenera'les '.. . . . .-' .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 220
Diagramatemático estructural. . . . . . :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Glosario. . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . : 222 '
Módulo 13 , ',' .. ... .. . .'.. . .'.. ., .. . . . 223
Objetivos Específicos. . . . . . . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '. ." . . . . . . . . 224
Contenido:
13.1. Valores de las funciones circulares de un número real cual-
quiera. '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . 225
13.2. Manejo de tabla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : 226
13.3. Aplicaciones de las funciones Gircularesa ángulos. . . .', . 231
13.4. Medidasde ángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Reactivosde Autoevaluación . . . . . . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . 237
Módulo 14 241
Objetivos i=specíficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Esquema-Resumen- ..." 241
Contenido:
'14.1. Fuocionescircularesde ángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
14.2. Interpretación geométrica de funciones circulares de án-
, gulos.,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24'8
Reactivosde Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25l
Módulo 15 ' -. . . . . . . . . . . . . 255
ObjetivosEspecíficos . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . 255
Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Contenido:
15. Aplicación de las funciones circulares a la resolución de
triángulos. . . . . . . . . . . . '.'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
15.1. Teore'made lossenos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
15.2. Resoluciónde triángulosrectángulos. . . . . . . . . . 258
Reactivosde Autoevaluación 263
Módulo 16 : '. . . . . . . . . . . . . '. . . 265
ObjetivosEspecíficos . . .'. . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Esquema-Resumen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

7. Contenido: '
16.1. Teoremq de los cosenos .......................
16.1.1. Solución de triángulos oblicuángulos . . .
16.2. Primer teorema de las tangente~ :........
16.3. Resolución de triángulos cualesquiera: . . . . . . . . . . . . .
Reactivos de Autoevaluación " .-'o. . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografía de la unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Panelesde verificación. . . . . . . . . . . . . . . " . . . . . . . . . . . .
Apéndice': . . . . . . . . . : . . . . . :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tabla 1. Logaritmos de los Números. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tablq 11.Antilogaritmos de los Números. . . . . .:. . .'. '. . . . . .
Tabla 111.Valores de las Funciones Trigonométricas ........
T~bla IV. Logaritmos de'las Funciones Trigonométricas ......
266,
267
269
270
276
278
, 279 - .
285
285
287
289
294

8. Prólogo
Es interesante hacer notar que un número real tiene muchas y muy
variadas interpretaciones. Puede representar la distancia entre dos semáfo-
ros, el tiempo transcurrido entre la salida y puesta 'del sol, así como el
área de un círculo, si en cada caso el número se acompaña de la unidad de
medida, la cual puede ser de tiemp,o,longitud o área, etc. '
Existe una relación entre el número real uSpdo para representar el
área de un círcu'lo y el número real asignado a la longitud de su radio.
Ejemplos de este tipo nos conducen a la idea de "Relaci6'n" de la cual la
"Función" es un caso especial.,
Aunque en el ejemplo se menciona una asociación entre números
reales, podemos generalizar y considerar asociaciones entre elementos de
dos conjuntos cualesquiera.
Si A es el conjunto de automóviles registrado en un municipio
determinado y 'B el conjunto de números de registro,en'tonces cada carro
en A está asociado a un número en B. También con cada automovilista
registrado está, asociado el' número de licencia del conductor o con cada
individuo, sus huellas digitales, etc.
Nuestro objetivo fue abstraer de estos ejemplos un concepto que fue
estudiado por sí mismo, sin referencia a una aplicación espec íficq, y en
donde se estableció un tipo de asociación entre los elementos de dos
conjuntos A y B, donde A y B son conjuntos de números reales. En
particular estudiaremos funciones expo'nenciales, logarítmicas y circulares.
Debemos tomar en cuenta que existe otro tipo de funciones como las
hiperbólicas, las de B€3Sel,las,de Legendre, etc., que desde un punto de
vista más amplio o sea de Matemática Superior; se pueden clasificar como
algebraicas y trascendentes, citando entre estas últimas las circulares, con
las cuales vamos a iniciar esta parte del curso.
A medida que vaya avanzando en Matemática, su repertorio de
funciones conocidas será mayor, así como el conocimiento de sus propie-
dades y aplicaciones.
Una de las características ,importantes del concepto de función está
13

9. en su clasificación de tal manera que podamos deriva.r teoremas válidos
para todas las funciones de una clase particular. Entonces en el futuro,
cuando conozc'a una nueva función de esa clase, no necesitará ¡:nvertir
horas, días, semanas, meses o aun años, para Ile.gar a familiarizarse con
ella; porque ya conoce las propiedades de esa familia.
A pesar de sus variadas aplicaciones, la idea de función ~s en sí
misma, extraordinariamente simple como podrá comprobarlo al seguir
estudiando Matemática.
HISTORIA
Tales de Mileto vivió durante la primera mitad del siglo VI antes qe
Cristo, y se dice que la primera parte de su vida transcurrió siendo él
mercader y amasó una fortuna tan grande que tuvo oportunidad de pasar
el resto de su vida en viajes y estudio. A él se le acredita el haber
descubierto una forma de encontrar la altura de la gran Pirámido de
Egipto. Dijo haber puesto en el. suelo una estacay espe.rarhélsléJque la
longitud de la sombra de la' estaca y la eStaca fueran iguales. En este
momento Tales razonó, la longitud de la sombra de la pirámide sería igual
a la altura de la pirámide y fue así que pudo determinar I'aaltura de ésta,
por medio de este proceso de medición indirecta.
Muchos historiadores pretenden que la Geometría Demostrativa se
inició con Tales de Mileto y a él se le reconoce el mérito de haber logrado
gran número de descubrimientos elementales' cómo estos:
Los ángulos de fa base de un triángulo isósceles.son iguales.
Un ángulo Inscrito en un semic(rculo, es un ángulo recto.
Cualquier diámetro de un círculo, biseca ese círculo.
14

10. , I
Instrucci,ónparael alumno
El presente texto ha sido elaborado tomando en cuenta los diferentes
aspectos que caracterizan a los' alumnos dé Sistemas Abiertos de Enseñan-
za.
El texto ,ha sido estructurado de ',tal forma que le facilite al máximo
su estudio. Cuenta con varias unidades, cada una de las cuales contiene:,
1)
2)
o bjetivos generales: que le informan acerca' de lo que se
pre~ende lograr' con el estudio de dicha unidad. '
Una introducción: independientemente de I~ que aparece dedica-
da al tex to.
Un glosario:, que le indica el significado de los términos técnicos
empleados en el desarroll o de la un¡dad.
Not,ació.n: en los textos referentes a las ciencias naturales y
formales, tales como la Matemática, 'se encontrarán expl icaciones
relacionadas con la simbología empleada (fórmulas, 'tablas,,
simQolos, etc.).
3)
~.)
Para el estudio del curso la unidad se ha dividido' en ,partes llamadas
módulos. Cada texto consta siempre de 16 módulos. De esta manera,
estimamos que es posible aprobar las asignaturas del plan de estudios' de
un. semestre, en las' 18 semanas. 'El ,módulo de cada asignatura está
programado para ,que lo estudie en un tiempo promedio de 3 a 4:30 horas
por sema'na. Sin embargo, se le recomienda que dedique a cada 'módulo, el
tiempo que usted considere necesario, de acuerdo con sus posibflidádes. '
El módulo cuenta con:
1)' Objetivos específicos: que desglosan el objetivo general de la
unidad.' ,
.2) Esquema-resumen: donde ,se le presenta el contenido de cada
/ módulo, en forma'sinóptica. .
3) Contenido: se refiere al desarrollo del tema o de los temas. .
4) Actividades complementarias: le servirán de refuerzo en el
aprendizaje de una unidad q u'n módulo específico.
5) Reactivos de ~utoevaluación: al final de cada módulo, se le dan
una serie de pregl.Jntas de autocomprobación, para que pueda
verificar por sí mismo, en qué grado ha logrado los objetivos
15

11. (propuestos al principio del módulo). Las respuestas correctas las
encontrará al final de cada un'idad o, en otros casos, al final del
libro.
En la parte final del libro, podrá encontrar, cuando se estime
necesario, apéndices que le ayudarán a la ampliación y profund"ización de
algún tema.
Además, se le da en las unidades o al final del texto, una bibliografía
con la que puede complementar sus estudios o ampliar su horizon"te
cultural, de acuerdo con sus inquietudes.
ADVERTENCIA:
Le recomendamos la "lectura cuidadosa y la comprensión de los
objetivos específicos al empezar cada módulo, para que tenga presente lo
que se espera de usted, con el trabajo que reaiice,con cadauno de ellos.
16

12. , .
'. U.NIDAD XIII
FUNCIONESCIRCULARES
17

13. Introducció.n.
. .
En los cuatro módulos que comprende la.presente unidad, se presenta
el cOrlcepto de circunferencia unitaria y las funciones -circulares de un
. ángulo. .
Además se inicia el estudio de las identidades trigonornétricas funda-
mentales 'y su empleo en las expres.iones matemáticas.
Hemos considerado de gran importancia, que el alumno aprenda a
graficar las funciones circulares así como hallar su valor para un cierto
ángulo y la -interpretación de su signo dependiendo del cuadrante en donde
se localice.
19

14. Objetivosgenerales
Al terminar de estudiar esta unidad, el alumno:
1.
2.
3.
4.
5.
. .
Manejará el concepto de circunferencia un¡taria.
Determinará las funciones circulares de un ángulo dado. . .
Construirá gráficas de funciones circulares.
Describirá las propiedades de las funciones circulares a partir de su
gráfica. .
Justificará la validez de expresiones matemáticas utilizando las identi-
dades trigónpmétricas fundamentat~s.
20

15. Diagramatemáticoestructural
Función
Igualdad
Funciones
'Circulares.
Manejo de
las funciones
circulares.
Ecuación.
Identidad.
Identidades
trigonométricas.
Ap Iicac iones.
21

16. Trigonometría:
o istancia entre
d,os puntos:
Circunferencia
Unitaria:
Glosario
Rama de la matemática que estudia las propiedades y
aplicaciones de las funciones circulares o trigonométri-
caso
Son dos puntos cualesquiera la distancia d
es~á dada po r:
d= Pl P2 = ~(Xl - X2)2+ (Yl -- Y2)2I
Circunferencia con centro en el origen
definida por el conjunto
~~(:1y) IX2 + y2 ='1}
entre ellos
y radio 1,
Funci6n Circular: La función P: 8 ... P (8) cuyo recorrido es el
coniunto de todos los puntos o pares ordenados
t(x, y) I x2, + y2 = 1} .
Función Seno: Sen: (J + y donde y es la ordenada de P (8) o sea
y =. sen 8
Funci6n Coseno: Cos: (J x donde' x es la abscisa de P (8) b sea
. x = cos 8
Funci6n Tangente: Si el punto terminal P (O) tiene las coordenadas'
rectangulares (x, y) entonces
Gráfica de una
Funci6n: .
22
tan 8 = 'i
x (x *" O)
Empleo de un sistema rectangular de coordenadas para'
mostrar la asociación ent.re dos var.iables'cualesquiera
(x I y) en el caso de una función parti9ular.

17. M6dulo1
OBJETIVOSESPECIFICOS
Al terminar de estudiar este m6dulo, el alumno:
lo
2.'
3.
, .4.
Calculará la distancia entre dos puntos, dadas sus coordenadas.
Explicaráel concepto de circ~nferenciaunitaria. .
Demostratá algunas propiedades de figuras geométricas dada"s,aplican-
" do la fórmula de la distancia entre dos puntos.
Localizará sobre la circunferencia unitaria el punto terminal de un
, arco de longitud dada. .
Identificará el signo de las funciones circulares en cada uno de los
cuatro cuadrantes. .
5.
ESQUEMA- RESUMEN
23
Coordenadas Distancia Propiedades
de un punto .. entre dos ..
de figuras.... ...
en un plano. e
puntos. geométricas.
,Ir
Circunferen- Localización
cia .... del pun to...
termi nal de
unitaria.
un arco.
, .
Identificación- . Funciones del signo de.- -.., circulares. ...
las funciones
circulares.

18. ¿Qué significa
trigonometrfa?
El dominio
de las funciones
trigonométricas
85...
¿Por qué se
necesita conocer
la distancia entre
dos puntos?
24
1.1 LA CIRCUNFERENCIAU,NITARIA.
¿Qué es la Trigonometría? Trigonometría significa
"medici6n del triángulo" .y los antecedentes históricos de
su estudio surgieron de la necesidad de medir y delimitar.
tierras. Estudiaremos seis funciones trigonométricas que
llegaron a tener muchas otras aplicaciones, y en la
Matemática avanzada, de la que forma parte el cálculo,
apenas sé les reconoce que estén relacionadas con el
triángulo.
Con excepción de la Geometría, los ángulos tienen
escasa importancia en la Matemática y las funciones
trigonométricas que tienen un conjunto de ánguloscomo
dominio, se reemplazan por las funciones circulares que
tienen como dominio al conjunto de los números reales.
Actualmente la Trigonometría es el estudio de las funcio-
nes circulares que son funciones de números reales,sobre
números reales. La razón para Ilamarlascircul,aresse hará
evidente a medida que progrese en -el estudio de este
libro, y para que pueda iniciar ese estudio, es necesario
obtener la fórmula para la distancia entre dos puntos,
9uyas coordenadas rectangularesse conocen, así como fa
ecuación de la circunferencia unitaria con centro en el
origen de un plano cartesiano, ya que estos dos concep-
. tos le serán 'de mucha utilidad., .
1.1.1DISTANCIAENTREDOSPU'NTOS.
Tomemos dos puntos cualquiera en el plano carte-
siano A(XI,yd y B(X'2,Y2) (y el segmento que los une);
para localizar estos puntos en el plano hemos utilizado la
misma escala en ambos ejes de coordenadas (ver Figura
1).
v
/BIX2. y21A (XI, yd
O
x
Figura 1

19. Tracemos un segmentq de recta paralelo al eje X y
que pase por A (ver 'Figura 2).
y
X
o
Figura2
Después, tracemos otro segmentQ de recta, paralelo
. al eje V y que pase por B (ver Figura,3).
V
X
o
Figura 3
. Si superponemos las dos figuras anteriores tendre-
mos la siguiente figura, en la' que podemos ver que las
dos rectas que trazamos paralelas a los ejes por los
puntos A y B, sé intersectan en D formando un ángulo
recto cuyas coordenadas son (X2,vd.
25

20. y
"
x
o
Figura4
, ,
La figura que se ha f,ormado es un triángulo rectán-
gulo con catetos AD y BD e hipotenusa AB; podemos'
u.sar el Teorema de Pitágoras para encontrar la distancia
AB que es la que nos interesa. Encontramos primero las
disÚmcias AD y BD que son los catetos del triángulo
rectángulo; puesto que B y D ,tienen la misma abscisa, la
distanciade B a D será: '
y puesto que A y D tienen la misma ordenada, la
distaÍ)cia de A a D.será:
AD = .J(X2 - XI)l ó AD = IX2 - X¡ I'
Recordemos ahora el Teorema de P'itágoras que
ap'licado al triángulo de la figura dice:
,(ABf = (AD)2 + (8D)2
Si sustituimos AD y BD en la expresión anterior, se
tiene: .'
y puesto qu~
(X2 - XI)2 = (XI - X2)2
AD significa la distancia del punto A al punto 'S.
, 26

21. también se puede escribir:
(AB)2= (XI - X~)2 + (YI - Y2)2
Como puede verse, no importa en qué orden se Ordendelas
tomen las diferencias de las abscisas y la diferencia de las diferenc'ias
ordenadas, la distancia AS es la misma. A esta expresión de abscisas
se acostumbra escribirla de la siguiente ma'nera: V ordenadas.
y se conoce ~omo fórmula de la distancia entre dos
puntos en el pianO'cartesiano.
Ejemplo 1. Encontrar la distancia entre los puntos
A (2,3) 'y B (5,7).
Solución:
Tomando A como punto 1 y B como punto. 2
tenemos:
AS = .J (5. - 2)2 + (7 - 3)2
= .J 32 + 42
= ,,' 9 + 16
=
= 5
invirtiendo el 'orden de los puntos se tiene:
AS = .J (2 - 5)2 + (3 - 7)2
= J (-3)2 + (-4)2
..¡ 9 + 16=
=
= 5
Como se puede ver, ambos resultados son iguales.
27

22. 28
Ejemplo 2. Encontrar la di.stancia entre los pun tos
A h-3, -2) Y B (4, 6).
Solución:
AB = J [4 - (-3))2 + [6 - (-2))2
= J (4 + 3)2 + (6 + 2)2
= J 72 + 82
= J 49 + 64
Tomados en otro orden:
AB = J (-3 -4)2 + (-2 7G)2
J (-7)2 + (-8)2
= J 49 + 64
= J113
Ejemplo 3. Encontrar la distancia enue los puntos
A(5, -2) Y B(-4, 7)
Solución:
AB = J (-4 -5)2 + [7 -(-2)]2
= J (-4 -5)2 + (7 + 2)2
= J (-9)2 + (9)2
= .J. 81 + 81 ~
= J162
= 9 J-Y

23. Tomados en otro orden:
AS = -Jl5n~(-4)]2 + (-2 -7)2
= ,,/ (S + 4)2 + (-2 -7)2
= v 81 + 81
= v'162
9..[2=
Ejemplo 4. Encontrar la distancia del origen O (O, O) ~
a un punto cualquiera P (x, y). ~
Solución:
OP .=. v' (x - 0)2 + (y - 0)2
= v' X2 + y2
Ejemp'lo 5. Demostrar que el triángulo cuyos vérti-
ces son A(S, S), 8(2,1) Y' (-2, 4) es isósceles. (Figura
5).
Solución:
e (-2,4)
-'
-5 -4 -3 -2 -1
y.
6
5
1
S (2, 1)
O 1 2 4
Figura 5
A (S, S)
5
x
6
29

24. Unconjunto
de puntos 'es.. .
Circunferencia
unitaria.
30
AC = J (5 -(-2)]2 + (5-4)2
= J49+1
AB = ~ {5-2)2 +' (5-1)2
= J 9 +:,16
= 5 .I
BC =. J [2 -{-2~)2 + (1-4)2
.J 16 + 9 .=
= 5
'puesto ql,.le A.S y BC son iguales eJ triángulo ABC es
isósceles. .
1.1.2CIRCUNFERENCIAUNITARIA.
Una curva es un conj~nto de puntos que satisfacen
una cierta 'condición y viceversa, todo punto que satisfa-
ce dicha condición pertenece a la curva. .
Definición: . .
La circunfereneia es el conjunto de 'puntos del
plano que están, a una misma distancia (radio) de ún
punto fijo Il,amado centro'.
La circunferencia que nos interesa es conocida como
unitaria, y como su nombre lo indica,su' radio es iguala.
uno, por conveniencia el cen tro lo consideramos en el
origen de los ejes coordenadas. '

25. Si usamos la fórmula que hemos deducido para la Empleode
distancia entre dos puntos, podemos obtener la ecua- lafórmúla
ción* de la circunferencia unitaria. parala distancia
, entredospuntos.
Tornemos el centro como el punto O (O,O) Y el
radio como 1 (Figura 6).
y
x
.
Figura6
Ent9nces, la condición que debe satisfacer cualquier
punto P(x, y) que pertenezca a la circunferencia es
OP =1
pero como OP= .J (X-0)2 + (Y-0)2 por la fórmula de la
distancia entre dos puntos, tenemos que
.J (x-O)2 + (y-O)2 :c: 1
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igual- Ecuaciónde
dad y simplificando, obtenemos f,malmente lacircunferencia
unitaria.X2 + y2 = 1
Ecuación, es una igualdad que es verdadera para las coordenadas de
todos los puntos de la curva que representa.
31

26. UnpuntoP
describeun
arcode
circunferencia.
Unarcoo
longitudse
indicamediante
unnúmeroreal.
32
que es la ecuación de la circunferencia unitaria con
centro en el origen. (Esta ecuación representa la condi-
ción que deben s~tisfacer las, coordenadas de todos los
puntos que pertenecen a la circunferencia).
Si' usamos la notación de conjuntos, el conjun.to
e = {(x,y) I x:z + y'l = 1}
representa ,la circunferencia unitaria con centro en el
origen de los ejes coordenados.
1.2 FUNCIONESCIRCULARES.
Consideremos una circunferencia unitaria con centro
en el origen O de un sistema de coordenadas rectangula-
res y un punto P que puede desplazarse sobre la circunfe-'
rencia, iniciando cada desplazamiento en el puntp A(1,
O); en cada desplazamiento el punto.,P describe un arco
de circunferencia, cada uno de estos arcos tiene una
longitud Q, ('Q E R~. Representaremos por Q tanto al arco
como a su longitud. Si. un~arco, o su longitud se indica
mediante un número real, está convenido que este núme-
ro es po~itivo si el punto P se mueve en el sentido
anti-horario (contrario al de las manecillas de un reloj).
(Ver Figura 7).
y
-.....
Q> OQ
"
A (1, O)
x
Figura 7

27. El arco o su longitud se indica con un númerQ,real
negativo si el punto p se mueve en el sentido horario'
(sentido en el que se mueven las manecillas del reloj).
(Ver Figura 8).
y
Q < O
IA(1,0)'
I
/
/,
~ /
"' Q
--."".
Figura 8
¿Quésigno
tienesisemueve
contrarioa las
manecillas
delreloj?
x
Si el punto P no se desplaza ni en" sentido positivo' Esunarco
ni en sentido negativo, debemos pensar en él como un de longitud
arco de longitud cero. (Ver Figura 9). . cerocuando..~
y
Q = O
A(1, O)
x
F¡gura 9
33

28. Lalongitud
deuna
~ircunferencia
es...
Longitud
deuna
circunferencia
unitaria.
34
La longitud de una circunferencia está dada por la
expresión e = 211'r,donde "r" es la medida del radio
correspondiente; esta expresión nos permite determinar la
longitud de la circunferencia unitaria sustituyendo en ella
a "r" por 1.
e = 211'. 1 unidades
e = 211'unidades
Siendo 211'unidades la longitud de la circunferencia
,unitaria, un' arco de longitud la I > 211' (a > 211"Ó a <
-211') se genera cuando p después de recorrer las 211''
unidades de la circunferencia continúa su movimiento
hasta completar las a unidades en el único punto termi-
nal correspondiente a a. (Ver Figura 10).
Cada arco (a) en la circunferencia unitaria tiene un
punto terminal; designémoslo por P(a}, (P de alfa). (Ver
Figura 11).
v v
Figura10
- - ---..... '-.
. /............ - .......", -- -....... "/'
" Q > O // ',a <o/
I I /
I
I ,
X
I I X
I I I
, / " /1 I
/ " .; /........
- ....... ..... - /'
......- _/

29. y
Figura 11
Habrá notado que dicho punto se simboliza de la
misma manera que hizo con un elemento del contradomi-
'n,io de una función, yeso es precisamente lo que
representa.
Cada arco. tiene un punto termi nal y cada arco se
representa por un único número real; entonces a cada
número real le podemos asociar el único punto terminal
del arco correspondiente, generando así una función
cuyo domi nio es el conjunto de los números reales (a E
R), Y su contradominio el conjunto de puntos en la
circunferencia unitaria [P(a:)]. Con esto, estamos estable-
ciendo dos formas distintas de representar a los puntos
de la circunferencia unitaria: .a) mediante un par ordena-
do (x, y) que nos indica su posición respecto a los ejes
coordenados, b) por la notación funcional p(a) que ubica
cada punto indicando que su distancia a (1, O) (medida
sobrela circunfere.nciaes) la I . Esto lo podemos resumir
mediante la igualqad p(a) = (x, y).
1.2.1 LOCALIZARPUNTOSEN C.
1f es un número irracional y no tiene representación
..
x
A cada punto
terminal 10
podemos
asociar con un
número real. '
Establecemos
dos formas
distintas de
representar los
puntos de la
circu nferencia.
35

30. 1res un número
irracional.
36
decimal exacta; en aplicaciones prácticas se acostumbra.
representarlo por alguna "aproximación" racional, es
decir por urt número racional "próximo" a 1r. Dicho
número racional depende de la exactitud requerida en
cada aplicación, así, en ocasiones 1r = 3.1416, otras '3.14,
otras 22 Sea cual sea el número racional util izado. debe
7
quedarnos claro que la única manera de representar
exactamente este número, es mediante el símbolo 1r;
cualquiera otra representación numérica del mismo es
sólo una "aproximación"..
Ejemplo 1: localizar' en qué cuadrante se encuentra
el punto terminal del arco con longitud ex;:: 2, o "sea '
P.(2), (P de dos).
Solución: . antes que nada debemos recordar que la
longttud ,de la circunferencia unitaria es e = 21r (Ver
Figura 12). ,
y
11
~ /'-
/
/
I '
I
'
" "
ex= 21r
"1
I
/
/
/'
-
x,
. .
" .
" ......-
111 IV
Figura 12
. Ahora bien, los' ejes coordenados dividen la circunfe-
rencia en cuatro partes iguales por lo que la medida del
d
.
f
.
d d
2-rr 1T
arco e clrcun erencla en ca a cua rante es '4 = "2
(Ver Figura 13).

31. y
'11'
2
'11'
2
/-
'11' /
2" /
I
x
I
/ '11'
/ 2
./
-
Figura 13
y estos puntos terminales sobre los ejes coordena-
das son los indicados en la siguiente figura:
y
Pbr)
pea)
P(21T)
x
Figura 14
37

32. . 'Ir
Si 'Ir = 3.1416. '2 = 1.5708 Y como 1.5708
< 2 < 3.1416 el punto P(2) es un punto en el segundo
cuadrante (Ver Figura 15). También si dividimos 2 entre
~.= 1.5708 tenemos que 2 = 1 x 1.5708 + 0.4292.
y y
'a = 2
,
,
x x
Figura15 I .
Ejemplo 2: localizar el punto pC:")
Solución: en este caso el punto P se mueve en el
mismo sentido que lo hacen las manecillas del reloj, ya
que el número es' negativo. Para locarizar el punto
-5 Jr 5 ft' Jr .
P(4) observe que "4 = 5 . 4"' o sea CinCOveces
} ; también 'Ir es la medida de una semicircunferencia,
luego cada una de las semicircunferencias se divide en
cuatro partes iguales y a partir de A (1,0) contamos 5
de ellas para llegar a p(- !!.). (Ver Figura 16).4 .
Y
,. '
.
'.,
'.....-
IA(1.0)
I
I
/
/
."
- "'".
x
Figura16
38

33. 1.3 DEFINICIONDE SENOY COSENO
Con cada a E R, está asociado un punto termi nal
p'(a) en la drcunferencia unitaria; cada punto termina,l
está definido por un único par ordenado con componen-
tes reales (x, y). Si a cada ex(número real) se le asocia la
única "x" (abscisa) del punto termi nal del arco corres-
pondiente se genera una función llamada coseno (cos),
que tiene como dominio al conjunto de los números,
reales y como contradominio al conjunto de las "x" de
los puntos en la circunferencia unitaria; estas '.x" (absci-
sas) indican la separación entre cada punto de la circun-
ferencia y el eje vertical, siendo la longitud del radio
igual a 1 (r =1) es fácil comprender que los puntos de la
circunferencla más alejados del eje "v" (vertical), puntos
A(1, O) Y E(-1, O), están a una unidad del mismo, de
ah í que el contradomi nio de esta' función sea
{x E R 1-1~ x ~ 1} (Ver Figura 17).
v
E(-1.0t
x
A(1,ot
Figura 17
Un elemento del contradominio de una ,función, se
puede representar mediante un símbolo que combina el
nombre de la fu~ción con su correspondiente elemento
del dominio; así, si f es el nombre de la función, y a un
, elemento del dominio "f(a)" (efe de alfa) es el elemen-
to del contrado"minio asociado con a. Dado que coseno
Unpar
ordenado
defineal
puntoterminal.
Funci6ncoseno.
,39

34. Funciónseno.
40
se abrevia "cos" y que ex representá a cualquier elemen-
to del dominio de esta función, entonces "cos (a)"
(coseno de alfa) es el elemento del .cOntradominio asocia-
do con ex . .
Definición: Si P(exl=.(x, y) ~s un punto de la
circunferencia unitaria
x =cos (cx) cxE R - 1 ~ cos(ex)~ 1
es la ecuación que define a la. función coseno.
E.ri la práctica se presciende del paréntesis. que
contiene a la variable del dominio. quedando
x = cos ex ,exER
si ~I arco o su longitud está precedido de signo negativo
es necesario escribirlo dentro tlel paréntesis.
Si ahora,' a cada número real cx, se le asocia con la
"v" (ordenada) del punto terminal que le corresponde,
obtenemos la función llamada Seno (sen) cuyo dominio
es también el conjunto de los números reales (R) y su
contra dominio está constituido por las "y" (ordenadas)
de los puntos en la circunferencia unitaria, para .esta
función; si cxes un elemento del dominio,. "sen ex," (s~no
de. alfa) es su correspondiente elemento en el .Gontrado-
minio. .
Definición: Si P(cx)= (x, y) es un punto de la
circunferencia unitaria
y = sen ex , cx E R
es la ecuación que define a la función seno.
De la figura 18 podemos notar que los valores de y
varían desde 1 en el punto D hasta 1 en el punto B.

35. v
Figura 18'
o sea que - 1 :5 y :5 1 ó - 1 :5 sen a :5 1
Definición: Si P(a) = (x, y) , es un punto de
la circunferencia unitaria tga ="t x =1=Ox'
es la ecuación que defi(1e a la función tangente
Como para todo p(a) en la circunfetencia unitaria,
x = COSQ, y = sen a, la' ecuación que define a la
función tangente puede escribirse también como
I tg '" = se" '" cos '" " O I
cos o: . .
tg o: no está definida cuando x = O Ócoso:= O, en
estos casos decimos que tga no existe,' ya que la
división entre Eero no es un número real.
Otras tres funciones circulares llamadas cotangente
{cot}, secante (sec), y cosecante (csc), son defi nidas en
seguida.y al igual. que las tres primeras, estas définiciones
están dadas en términos de las coordenadas del punto
terminal P(a)
.
V lafunción
tangente es. . .
Podemosdefinir
otras tres
funciones.
41
B(O, 1)
-1-'
./ ,
/1 "-/ .
¡Ivl< 1.
I l. I .. X
II
I
Ivl<1 /
" 1/" ".
-- -D(O,- 1)

36. Determinación
delasfunciones.
recíprocas.
x
cota=y
1
seca="
y 4= O
.1
csca=y y 4=O
como x = cos a, y = sen a
x cosa 1 -1-
cot a = y = sena = sen a = qp
cosa
El principio de sustitución nos permite expresar
estas igualdades de la siguiente manera:
Enque
condiciones
'lasfunciones
trigonométricas
sonpositivas,.
negativaso cero.
42
Estas deti'niciones nos permi ten entender por qué a
estas funciones se les llaman 'funciones recíprocas.
1.3.1 SIGNO DE LAS FUNCIONESCIRCU.LARESEN CADA
UNO DE LOS CUATROCUADRANTES.
Considerando que a las fun<;iones circulares las
hemos definido en .términos de las coordenadas de un
" punto en el plano cartesiano, es fácil notar que los
valores de estas funciones son números reales, negativos,
cero o positivos. Esto depende del cuadrante en que se
encuentre el punto considerado. Presentamos una tabla
con el cuadrante en que está el punto p(a) y los signos
que corresponden a las funciones seno, coseno y tangen-
te. Los signos de las funciones recíprocas los obtenemos
fácilmente si recordamos que un número y su recíproco
deben tener el mismo signo para que su producto pueda
ser 1.
Si sen a 4= O;
cos a
Ó
1
cot a = SiñQ cota=-o tg a cot Q = 1
tgQ
Si COI Q 4= O;
1
Ó I8C Q= 1I8C a = COS'Q
COS Q
.
Si sen Q 4= O;
1
Ó esc Q = 1esc Q =le" a sen Q

37. REACTIVOSDE AUTOEVALUACION
L-
a) Encontrar la distanCia r:>ntrelos puntos dados.
1) (5,7) Y (3,1)
2) (-1>, 3) Y (2, -3)
3) (-4 -5) Y (3; 7)
4) (-3, 5) y. (4, -2)
b) Demostrar que' los puntos A(2, -1), 8(6, 1) Y C(-2, 7) son los
vértic8s de un triánqulo rectángulo. ¿Cuál es su área?-
c) Demostrar que los puntos A(-1, 6), 8(2, 2) Y C(3, 3) son los vértices
de un triángulo isósceles.
d). Enc0ntrar las longitudes de las diagonales del cuadrilátero cuyos
vértices son A(-4, 5), 8(0, 10), C(4, 1) y D(1, -7).
e) Encontrar las abscisas de los puntos cuya ordenada es 4 y cuya
distancia al origen es 10.
f) Demostrar que los puntos A(1, 1), 8(6, 2) Y C(-4. O) están sobre la
misma recta.
g) Encontrar las coordenadas del punto sobre el eje V que equidista de
los puntos A(-5, 5) Y 8(5, 10).
h) Considérese una circunferencia c;on centro en el origen y radio igual a
1. ¿Por cuál de los siguientes puntos pasa?
(- 1 .,.
) (
1 J3
) (
1 1
)
'
(1, O), JT ' -.JT ' 2' z- ' -, - --= . '
. ~ ~ 2
(- .J2 -L
)
.
2 ' ~ .
43
Cuadranteen que tga=,x* Ose localiza P(a) sena=y cosa = x
I + + +
11 + -
111 - +
IV - +

38. 2,- Localizar aproximadamente los siguientes puntos en la circunferencia
unitaria:
~.
'
'?
"
~ .
)
t :(1."
,
l --
1..~,"
/"
Haciendo" =3.1418 localizar aproximadamente los siguientes
puntos: ---....
i) P (7) I
1
..'1.
a)
p()
b) p(- i) ,
c) P(34") -
d) p(211r)
e)
p( - 7;)
,"
f)
p(21t)
j). P(-15)
.
,-
k) P (- 5J
1) P (32)
m) P (- 4)
n) P (9)
44

39. o) P (27)
3.- En la siguiente tabla, llene los huecos con el signo correspondiente a
cada función,
4.- Ubique aproximadamente cada uno de los siguientes puntos en la
circunferencia u~itaria y determine los signos de sus funcjones circulares
45
11' 11' 11' 211' 311' 5" 711' 511' 411' 5/1' 7n 11n
6 ¡ 3 3 4 6 6 4 3 3 4 6
-:. - -
I Sl'no J
-
Coseno
- +
Tangente
-'1 -
Cotanentl' I
-
-+
Secante -r +
Cosecanle ""1 -
a) P (0.5)
b) P'(3)
c) P (3.27)
. d) P(- 6.33)
e) P (- 0.9)
f) P (17.32)
g) P (- 10.54)

40. Módulo2
OBJETIVOSESPECIFICOS
Al terminar de. estudiar este módulo, el aj~mno:
1.
2.
5.
Calculará los valores de las funciones circulares de arcos cuadrantales.
Calculará las coordenadas de puntos terminales de arcos cuyas longitu-
desson múltiploso submúltiplosde 1T.
Determinará el valor' exacto de la función de un arco, conocidas las
coordenadas correspond.ientes del punto terminal en la circun'ferencia
unitaria, asociado, al arco de longitud dada.
Determinará el valor de las seis funciones circulares para el respectivo
valor del ángulo, conociendo .el punto de intersecciQn de la recta que
une el origen con el punto indicado y la circunferencia unitaria.
Determinará el valor de las cinco funciones circulares faltantes para
un 'ángulo, c9nociendo el valor de una de ellas y el cuadrante en que
queda localizado el punto terminal.
3. '
4.
ESQUEMA- RESUMEN
Funciones
circulares.
Funciones
+1 circularesde arcos
múltiplos de 1T
Determinación
del valor exacto
de las func'iones
circulares.
Cálculo de
las coordena-
das de s.us
puntos termi nales.
Determinación
del valor de
todas las ecuaciones
circulares de un
arco dado.
47

41. 2.1 VALORESDELASFUNCIONESCIRCULARESPARALOSNUMEROSREALES
O
' 1f 31f
2, 2' 1f, '2' 1f.
Paracada
númeroreal
{3seasocia
u,nparde
. coordenadas.
Siel punto
terminal
coincidecon
uno delosejes
coordenados.. .
48
Antes de establecer asociaciones entre ciertos ele-
mentos del dominio (nú,meros reales) de las f~..Jnciones
circulares, con los de su contradominio (números reales)
es importante que recuerde que para cada número real
(Jexiste un par de coordenadas (x, y) asociadas al punto
termi nal del arco (Jque parte de A (1, O) en la circunfe-
rencia unitaria. Por tanto, las coordenadas x y y son los
valores funcionales del número real (J~donde cos(J=x~ .
sen (J=y. (Ver Figura 1).
v
A(1,O) x
Figura1
Ahora vamos a calcular los valores de las funciones
circulares de arcos cua~rantales. Este nombre lo reciben
por' encontrarse el punto termi nal en la frontera de 2
cuadrante~ (coincide con uno de l-osejes coordenados).
Tomando en cuenta que la longitud de la circunfe-
rencia unitaria es igual a 211',vemos"como ilustración que
cuando la longitud del- arco (l = .¡ ,su pu.nto termi
nal asociado es P(O, 1). (Ver Figura 2L

42. y
P(13) = (0',1)
A(1, O)
x
Figura.2
En la figura 3 se localizan los puntos terminales
3 '
cuando (3 = 0,11",¡ 11", Y 211".
y y
A(1, O)
..x
P(O)
P(n) A(1, O)
X
y y
A(1, O)
X
A(1, O)
X
pe2") = (1,0) .
, FIgura 3
mediante las cuales puede verificar los valores que se dan
en la siguiente tabla:
49

43. Ejemplo 1. Encontrar el valor .exacto de t 9 11'.
Solución: primeramente establecemos las coordena-
~as del punto terminal en la circunferenGia unitaria
correspondiente a una longitud del arco de 11'unidades
como se muestra en la Figura 4.
v
P(lI') = (-1, O) X.
Figura 4
Ahora mediante la identidad trigonomét~ica
tg {3 = se" {3cos {3
calculamos el valor pedido, esto es:
tg 1T = sen 11'= ~ = O; por tanto t 9 11'= ÓCOS11' -1
50
{3 p (x, y) cos {3 sen {3
o (1, O) 1 O
11'
(0,.1) O
. 12
11' (-1, O) -1 O
31T
(O, -1) O -1
2
..
21T (1, O) 1 O

44. Ejemplo 2. Encontrar el valor exacto de sec 31f2
Solución: Ubicamos el punto terminal en la circun-
ferencia unitaria correspondiente al arco 3; con sus
coordenadas respectivas, según se muestra en la Figura 5.
y
x
1~~1f) = (O,-1)
Figura 5
y usando la identidad trigonométrica' sec{3= -1-
. eos {3
sustituimos valores
31T 1 - !
see "2 =' 31T - o
eos "2
Este cociente indicado es una forma indefinida en
R es decir, no se permite la div'isión por cero, por lo que
decimos que
31T
see "2
NO EXISTE
Ejemplo 3. Encontrar el valor exacto de esc 31T2
.
Solución: Seguimos el mismo procedimiento discuti.
do en los ejemplos anteriores, es decir, primero se ubica
el punto terminal en la circunferencia unitaria que corres-
ponda al arco dado estableciendo sus coordelladas y
luego se apl¡ca la identidad trigonométrica respectiva.
Para este ejemplo se tiene la Figura 6.
.
~1

45. Coordenadasde
arcosmúltiplos
o submúltiplos
de 7r.
52
v
x
~32")= (0,-1)
Figura 6
la identidad respectiva es ese fj = se~ fj ;
tuyendo valores numéricos se tiene
y susti-
311' 1 - ~ = -1
ese "'2 = '37T - -1
sen 2"
311' '.
por tanto ese 2" =. -1
2.2 VALORES DE LAS FUNCION'ESCIRCVLARESPARA AR-
11' 11' 7r .
.COS 4'6'3 YSUSMULTIPLOS.
En el tema anterior hemos determinado ciertos
puntos de la circunferencia unitaria en los que hemos
visto que sus coordenadas son números enteros. Estos
, n 3"
puntos corresponden al arco (3= ?, 2 ~ 2" 211'.
Ahora vamos a calcular las coordenadas de otros
puntos termina'les de arcos cuyas longitudes son algunos
múltiplos o ,submÚltiplos de 11'. Calcularemosen primer
lugar las coordenadas del punto terminal correspondiente
al arco de longitud ¡. Trácese una circunferencia
unitaria y localícese p(i). (Figura 7).

46. v
A(1,Olx
Fip;ura7
Puesto que este valor es exactamente la mitad de
j, queda localizado en el punto medio del arco de
circunferenciaen el primer cuadrante.
Trácense segmentos de recta perpendiculares a am-o
bos .ejes, pasando por el punto p(i), resultando un
cuadrado, lo cual se justifica mediante la geometría
plana. (Figura 8).
v
x
Figura8
Ahora bien, si trazamos una diagonal como se
muestra en la Figura 9, se forma un triángulo reétángulo.
53

47. Eltriángulo
tienedos
catetos iguales.
Empletmosel
teoremade
'Pitágoras.
54
v
Figura 9
Dicho triángulo tiene dos catetos iguales: Si designa-
mos por z la longitud de cada cateto V aplicamos el
Teorema de Pitágoras,se establece que: '
Z2 + Z2 = 12; luego ,2 Z2 = 1; por tanto
z = jf =-/i = ,;;
Ó sea que la longitud de cada cateto es ~. De esta
manera, ya tenemos determi nadas las coordenadas del
'punto' P(!!.) que son .J2 .J2 ' / /
4 2' 2
v
x
Figura'10

48. Con un procedimiento similar usted puede calcular las
coordenadas de los puntos terminales asociados a los
3
1T 1T 1T. ,
arcos 4' 5 4' y 7 4' pero esto seria un gasto
innecesario de tiempo, ya que por inspección nos damos
cuenta que son numéricamente las mismas coordenadas
de i sólo que con signos distinto~, de acuerdo con el
cuadrante donde esté ubicado el punto terminal.
Llene en la Figl,Jra 11 que se muestra en seguida las
coordenadas de los puntos terminales anotados.
y
p(¡)=(~ ' .Jf )
x
) .
Figura 11
Ahora vamos a calcular las coordenadas del punto
terminal correspondiente al arco de longitud ¡, para lo
cual es necesario .considerar lo siguiente:
En una circunferencia unitaria cuyo centro coincide
con el origen de un sistema de coordenadas rectangulares,
se traza una cuerda AB de longitud igual a la. unidad.
(Figura 12). y
A x
Figura 12
El procedimiento
puedeaplicarse
a otrospuntos
terminales.
Obtellgamos
P.cuandoel
arcodelongitud
es11
3
55

49. A partir de B, trácese otra de longitud unitaria, BC.
Desde C trácese otra cuerda CD de longitud unitaria V'
continúese con las cuerdas contiguas de longitud unitaria
DE, EF V FA. (Figura 13).
D A x
Figura13
Lo que hemos construido de acuerdo con la Geome-
tría Plana es un hexágono regular inscrito en una circún-
ferencia. (La longitud de los lados de un hexágono
regl,Jlar inscrito en una circunferencia es .igual a I'a
longitud de su ra~io). Es importante que verifique el
siguiente argumento: ' , '
Como tenemos 6 cuerdas de igu'aí lopgitud, entonces
'tenemos 6 arcos de igual longitud. En::i~é~brisecuencia,la
longitud del arco AB es la sexta parte de, la distancia 'qUE;l'.J
se ,mide alrededor de la circunferenda.,' Esto es: ,'!a':.,¡ ,,',
longitud del arco AB =r(21r) =¡. ' "
Ahora bien, de la figura 13, tomemos sólo la cuerda
AB y tracemos el r~dio'OB (Figura 14).
y B
A
x
Figura ]4
56

50. De esta manera se obtiene el triángulo equilátero
OAB (por construcción), pues que OA = OB = AB = radio
= 1 unidad de longitud. Tracemos la perpendicuiar desde
8 hasta el eje de las x y. Ilarhemos H al punto de
intersección con dicho eje. (Figura 15).
y
A
x
Figura15
Puede darse. cuenta qU!3OH = ~ y.que aplicando el
Teorema de Pitágoras, se calcula la longitud entré los
puntos 8 y H (Figura 16).
y
x
Figura16
-') -2 -2
siendo para este caso: 08- = OH + BH
.
-') -2 -"
8H~ = 08 - OH~
BH = V 082 - OH2
57

51. 58
y sustituyendo los valores numéricos se t'iene:
por tanto
--- J3BH =-, 2
De este modo, hemos obtenido las longitudes de los
catetos del triángulo rectángulo OBHy consecuentemente
las coordenadas del punto B las cuales se muestran en la
F igu ra 1 7.
. '
.-
v
.X
Figura 17
Podríamos calcular en forma similar las coordenadas
de los puntos terminales para arcos de 2 ¡, 4 ¡ Y 5 ¡
unidades, pero esto constituiría un gasto de tiempo
innecesario. En todos estos casos las coordenadas sqn
iguales en valnr absoluto, y sólo, cambian de signo~
Veamos el siguiente ejemplo 'cuando la longitud del .arco
es ~1r. (Figura 18).
y
x,
Figura 18
(1

52. Ahora, puede establecer las coordenadas de los otros
dos valores de arcos: 2; y 5;, Y anotarlos en la
Figura 19.
y
x
, )
Figura 19
En seguida estableceremos ,las coordenadas del pun-
to terminal as'Ociado al arco de, longitud ~, para I~ cual
colocamos el triángulo equilátero OAB'en la forma que
abajo se muestra: (Figura 20).
y
x
Figura 20
El eje X intersecta 'al arco en su punto medio y
consecuentemente la cuerda se divide en 2 partes iguales,
esto es BI= lA = ~ unidades de longitud, y aplicando el
Teorema, de PitágoréJs se calcu la que 01 = .J3. ósea2 '
59

53. 60
que las coordenadas del punto terminal asociado con el
arco!. son ( ~ 1 )6 2 ' 2 .
, Así se puede calculBr en' forma similar las coordena-
5 7 11 "
das de i 11',i 11',6"11', pero esto seria un gast~ de
tiempo innecesario; ya. que ~puede observar que única-
mente cambia'n los signos de acuerdo con el cuadrante en
que esté el punto termi nal.
Ahora usted puede establecer por inspección, las
coordenadas de los puntos terminales correspondientes a
I
5 7 11
I F
. .
21
0 .
os arcos 6' 1f, 6" 1f Y 61f, en a Igura 0. '
y
)
x
Figura 21 ..
- 3
,Ej~mpl o 4. Encontrar el valor exacto de sen ¡ 11
Solución: Se establecen primero ¡'ascoordenadas del
punto terminal en la circunferencia unitaria asociado al
arco de longitud ~ 1f unidades como se muestra en la
Figura 22. y
x

54. po~ tanto, sen ~ 'Ir = .v2" 2
Ejemplo 5. Encontrar el valor exacto de tg ¡'Ir
Solución: En I'a Figura 23 se muestran las coordena-
das correspondientes al punto terminal en la circunferen-
cia unitaria, asociado al arco 541T
y
x
Figura 23
y usando la identidad trigonométrica respectiva, se tiene:
I
tg 511 - sen ~ 11 - .J24 - 5 =~
cos i 'Ir _.J2 = 1
2
" 5
por tanto, tg i 'Ir = 1
Ejemplo 6. Encontrar el valor exacto de see i'Ir
.. Solución: Se si"gueun procedimiento similar al ejem-
plo anterior.
v
.
x
Figura 24
61

55. Otra forma
de encontrar
el valor de
lasfuociones
cireulares.
62
y usando la identidad correspondiente se tiene que
5
sec 3" 1r = 15
COS3" 1r
1
=:¡-=2
2
5
por tanto, sec 3" 1r = 2
Ejemplo 7. Encontrar el valor exacto. de ctg 1~ 1r
Solución: En la Figura 25 se muestran las coordena-
das correspondientes al punto terminal en la circunferen-
cia unitaria asociado al,arco de longitud ~1r unidades.
v
x
p(~11r)=(1 ,-~).
Figura25
Y utilj'zando la identidad trigométrica respectiva, se
obtiene:
Ctg
!..!. cos !! 1r - ~
61r= 6 -11 = ~
sen- "" 1 = - ...;--3
3
6 11 --2
2'.3 DADO EL VALOR DE UNA FUNCION,ENCONTRAREL
. VALOR DETODASLASDEMASFUNCIONES.
'Si conAocemos el valor de una de l<;Isfunciones
cireulares y el cuadrante en el que queda localizado el
punto terminal p(8), podemos determi nar el valor de las
demás funciones circulares. A continuación se presentan
varios ejemplos que le ilustrarán cómo hacerlo.

56. Ej,emplo: Para un valor dado de (J el punto P(())
queda local izado sobre el segmento de recta que une los
puntos (O, O)Y (3,4) (Figura 26). Encontrar el valor de
todas ras funciones circulares de (J.
y
5:
4
3
2
x
4 5 6
Figura26
L8 distancia de (O, O) á (3, 4) está dada por
J (3-0)2 +(4-0)2 =.J 9 + 16 =.J~ = 5
Necesitamos determi nar las coordenadas, ~, y del
punto P«(J)que queda localizado sobre la circunferencia
unitaria, y sobre la recta que une los puntos (O,O) Y (3, 4).
Por triángulos semejantes* tenem<?sque: '
f = ~; y =.~
L I . 3 4
uego, as coordenadas de P(()) son: x = 5" y y = ¡,
Usando la definición de las funciones circulares
tenemos:
. Si dos triángulos son sernéjantes sus lados homólogos** son proporcionales entre sí,
Partes homóiogas de dos figuras' son las que están dispuestas en forma semejante.
1
63

57. 64
4
sen6=Y=¡
3
cot6=~-6 3
y --¡-= -- 4
5
cos6=x=l 5
1 1 - ~
sec6=X=~ -3
5
1 1... ~
csc6=y=~-4
5
Ejemplo. Si sen (J= - ~ y tg 6 > O,.,---¡-encontrar el
valor de las demás funciones circulares.
3
Puesto que sen (J=- 5" la V de P(6) sobre el
círculo unitario es igual a _! (definición de seno).5
Sustituimos este valor en la ecuación del círculo unitario
y tenemos:
x2 +"v;' = ,
X2 +, (-/ i)2 = ,
- 9, - "1 + -'-X; "26,,
" ,"': 9
X2 = , -:-26
16
X2 = 26
4x =+--6
Pero como sen (J < O Y tg (J > O, P«(J) queda
localizado en el tercer cuadrante, por lo, que x = - i,
así que P«(J)=(- ~, - ~) (Figura 27) usando las
coordenadas de este punto determinamos el valor de las
demás funciones circulares que son:
cos(1=-~ 5
1 - - ~
sec (1 = --¡- - 4
5

58. 1
3
5" 3
tg 8=-¡-=¡
5
1 - - ~
csc8=--¡-- 3
5
4
cot 8 = .--!. - 43 --- 3
5
y
(O,1)
(-1, O) (1, O)
(O,-1)
Figura 27
. Ejemplo: Si (J es un número real asociado al punto
P(~) que queda localizado en la intersección de la recta
que une los puntos (O,O)Y (12, -5), Y la circunferen-
cia un¡taria, enCQntrar el valor de todas las funciones
circulares. (Figura 28).
y
(j
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
-2
-3
-4
-5
. . 'Figura 28 (12, -5)
65

59. La distancia de (O, O) a (12, -5) está dada por
. .J (12-0)2 + (-5 -0)2 =.J 144 + 25 = J169 = 13
P .,
l
. 12
or tnangu Os semejantes tenemos que x = 1>3 Y
1
(
12 5
)Y = - - . luego p(8) = - - - Y el valor de
13 ' , 13 ' 13
las funciones circulares es:
6
sen O =- 13
12
cot O = --1.L - 125 - --- 5
13
12
cos O =13
1 13
secO =1"2=12
13
1 13
esc O =--S=-S-
- '13
5
13 5
tan O = 1""2 = - 12
13
Ejemplo: Si cot O='- ~5', encontrar el valor de
todas lasdernásfunciones circulares si P(O) está en el
segundo cJadra'lte.
En e5,3 ejemplo no conocemos ní x ni y deP(O), ,
pero sabemos que cot O está definido como ~ con x
y'
negativa y y positiva por ,e~tar P(O) en el segundo
cuadrante. Para encontrar estos valores procedemo~ cQmo
sigue:
Hagamos r = .J82 + 152 =.J 64 + 225 =.J 289 = 17
. 8
_..!.. podemos escribirlo en forma equivalente como - 17
15 '--vs8 --- 17
. 17
por lo que cot O =~
17
Y dado que por defini~ión cotO=~, con.cluimos que x =
- 1~Y Y= ~~ ' así PíO)=(- 1~ ' ~~) y los valores de las
funciones drcu'lares que faltan serán:
15
sen O = 17 secO=-!! 8
66
'/

60. 8
cos O = - 17
17
ese O = 15
tg O = - 158
Ejemplo: 'Si O es un número real asociado al punto
terminal P(O) que se localiza en la intersección del
segmento de recta que une el punto (O, O) con el
(3, -4), Y la circunferencia unitaria, encontrar los valores
de las funciones de O + ~ (Figura 29).
-3
-4
(3, -4)
Figura 29
semejantes determi namos' que P(O)
triángulos congruentes* P({} + i} =
luego los valores de las funciones circulares
Por triángulos
.
(
3 4
)= 5'- 5 y por
4 3
(5' 5),
son:
sen
(O + ! )
~ 3
2 - 5 cot
(O + ! )
- 4
2 --3.
cos(O .+ i) = ~
see
(O+ !!)
- 5
2 -¡
* Dos triángulos son congruentes si se pueden hacer coincidir en todas sus partes.
67
y
.10
"
/X 7
1 "
O/ " O+ i. . XI I I
.
-1 "" I1J 2 3 4 5

61. '68
Ejemplo: Con los datos del ejemplo anterior,' encon-
trar los valores de las funciones de 8 + 1T (Figura 30).
y
2 t 2.
8
- 3 . .-2 -1
-2
-3
x
2 33 2
)p(8) =(5" .- 5"
.
-5
Figura 30
5
(3, 4)
Por triángulos congruentes encontramos que P(8 + 11')
=(-~, ~), luego.los valores de las funciones son:
seo (8 + 11') =~5
co~ (8 + 11') =- ~5
tg (8 + 7T) = - !3
3
cot (8 + 7T)=- ¡
5
see (8 + 7T) = - 3
ese (8 + 7T).=
5
4"
Si a e 3e le aumenta o disminuye un múltiplo
enter.o de 21TPIO+ k(27T)] coincidirá con el punto
termi nal otlglrIdl P(8), Y ambos puntos termi nales ten-
drán las mismas coordf;r1dddS.'por lo que podemos dar la
siguiente defini( :Ón.

62. Para toda () E R Y k E I tenemos que:
sen [() + k(21T)] =sen () sen [() + k(21T)]= see ()
cos [() + k(2~r)] = cos () ese [() + k(21T)] = ese ()
De esto podemos concluir que estas cuatro funcio-
nes circulares son periódicas*en 21T.
Las funciones tangente y cotangente difieren del
seno, coseno, secante y cosecante en cuanto al período
y -y, -y y ()
. x - x
ya que tg (J= - =-- 'O tg () =- =- y ~ot =- =-. x -x x -x y -y
ó eot () =~ =2!...; por lo que el valor de estas dosy -y
funciones circulares en P(()) es igual al valor de las
mismas en P(()+ k1T), así que podemos dar la siguiente
definición:
Para toda () E R y. k El, tenemos que
tg (() + k1T) = tg (J
.oot (() + k1!) = cot ()
Luego, las funciones tangente ycontángente son
periódicas en 1T.
* Una función 1 es periódica con período P si para toda ti E R 1(8 + p) - 1(8), es
decir el valor de la función 1(8) se repite cuando a ti se le suma P.
69

63. REACTIVOSDEAUTOEVALUACION
E~ los ejercicios del 1 al 11 se recomienda hacer la gráfica de la
,circunferencia unitaria con las coordenadas del punto terminal respectivo.
7f
1. Encontrar el valor exacto de ctg 2'
2. Encontrar el valor exacto de cos 27T
37f
3. Encontrar el,valor exacto de ctg 2"
4. Encontrar el valor exacto de sen 27f
, 7f
5. Encontrar. el valor exacto de tg 2"
6. Encontrar .el valor exacto de cos 327f
7.- Encontrar el valor exacto de ctg 7f
8. Encontrar el valor exacto de sec 7f
7f
9. Encontrar el valor exacto de ese2"
37f
10. Encontrar el valor exacto. de ese "2
11. Ehcontr~r el valor exacto de tg O.
En 'Ios ejercicios del 12 al 27 se recomienda hacer la gráfica de la
circunferencia unitaria con las coordenadas del punto terr;ninal respectivo.
. 5
12. Encontrar el valor exacto de eos ¡ 7f
.5
13. Encontrar el valor exacto de ese ¡ 7f
14. Determin~r el valor exacto de sec ¡. 7f
15. De.termi~ar el valor exacto de ctg ~ 'Ir
, 7f .
16. Determinar el valor exacto de see ¡
7
17. Encontrar el valor exacto de cqs 6' 7f
4
18. Encontrar el valor exacto de ese 3" 7f
7f
19. Encontrar .el valor exacto de tg 6'
7
20. Encpntrar el valor exacto -de ctg ¡ '7f
70

64. 21. Determinarel valor exacto de ese ~ 1f
. . . 5
22. Encontrar el valor exacto de sec ¡ 1f
23. Encontrar el valor exacto de sen 1611f
5
24. Encontrar el valor exacto de cos i 1f
1f
25. Encontrar el valor exacto de tg 3"
, 1f
26. Encontrar el valor exacto de ese 3"
27. Determinar el v~lor exacto de tg i 1f
En los problemas del 28 al 32 el punto P(8) está
localizado en la intersección' del segmento de recta que
Une el origen con el punto indicado y la circunferencia
unitaria. Determinar el valor de las seis funciones circula-
res para el respectivo valor de 8. Para resolver todos los
probl.e.mas de este ejercicio es muy conveniente que
construya una gráfica en cada uno de ellos.
28. (-4, 3) "
29. (12, 5)
30. (5, -6)
31. (-:-24, -7)
32. (10, 10)
En los problemas del 33 al 3.7 encontrar, el valor de
las' cinco funciones circulares que faltan si se conocen las
siguientes cO'ndiciones: .
En los problemas del 38 al 42, P(8) está localizado
en la intersección del segmento de recta que une el
origen con el punto (15, 8) Y la circunferencia unitari.a.
Determinar las funciones circulares de:
.71
33.
. 2
P(O) en el tercer cuadrante. 38. 8+1f'tg 0=3;
34.
5
39, 8 - 1fsee (J = - ¡ P«(J)en el segundo.cuadrante.
35.
cos (J = o; P(8.)en el primer cuadrante. 40. '8+..1L 2
36.
/
eot (J =2 sen O negat ivo
4't 8 - 1t
12 2'
37. sen 8 = - 13 ; tg (Jpositiva
8 + -42. 2