2. • Sistemas de ecuaciones lineales
• Matrices
• Determinantes
• Espacio vectoriales
• Producto escalar
• Bases ortonormales
• Transformaciones lineales
• Formas cuadráticas y formas hermitianas
• Valores y vectores propios

3. El Álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia
los vectores, los espacios vectoriales, las transformaciones
lineales entre los espacios vectoriales y los sistemas de
ecuaciones lineales.
•Los espacios vectoriales son fundamentales en las matemáticas modernas; el
Álgebra lineal es ampliamente utilizada tanto en el álgebra abstracta como en el
análisis funcional.
•El Álgebra lineal tiene una representación concreta en la Geometría Analítica.
•Tiene aplicaciones importantes y vastas en las ciencias naturales y en las
ciencias sociales, ya que muchos modelos no lineales pueden ser aproximados
por modelos lineales

4. La historia del Álgebra lineal moderna se
remonta a los años de 1843 y 1844. En 1843,
William Rowan Hamilton (quien inventó el
nombre “Vector”) descubrió los cuaterniones.
En 1844, Hermann Grassman publicó su libro
Die lineale Ausdehnungslehre. Arthur Cayley en
1857, introdujo las matrices (2x2), una de las
ideas fundamentales del Álgebra Lineal.

6. 11 12 13
1 2 3
Dados los números complejos
, , , ...,
y
, , , ...,
podemos formar el siguiente
sistema de ecuaciones:
mn
m
n m m
a a a a
b b b b
× +

7. 11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
...
...
...
es el número de incognitas
n n
n n
i i i in n i
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n
+ + + =
+ + + =
+ + + =
+ + + =
es el número de ecuacionesm

8. 11 12 13 1 2 3
1 2 3
Dadas las constantes complejas
, , , ..., y , , , ...,
* ¿En qué condiciones existe un conjunto de
números complejos
, , ,...,
que satisfacen simultaneamente las ecuaciones?
* ¿Có
mn m
n
a a a a b b b b
x x x x
mo encontramos dicha solución?

9. 11 1 1 1
1 1
1 2
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
Si
... 0
el sistema es homogeneo
n n
m mn n m
m
a x a x b
a x a x b
b b b
+ + =
+ + =
= = = =

10. 11 1 1 1
1 1
11 1 1
1 1
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
Sistema homogeneo asociado
... 0
...
... 0
n n
m mn n m
n n
m mn n
a x a x b
a x a x b
a x a x
a x a x
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =

11. 11 1 1
1 1
El sistema homogeneo asociado
... 0
...
... 0
Solución trivial: 0 para todo
Solución notrivial: 0 para alguna
Un sistema homogeneo siempre tiene una solución
n n
m mn n
i
i
a x a x
a x a x
x i
x i
+ + =
+ + =
=
≠
trivial

12. 11 1 1
1 1
Teorema
Sea un sistema homogeneo de ecuaciones lineales
... 0
...
... 0
Si (más incognitas que ecuaciones) el sistema
tiene una solución no trivial.
n n
m mn n
a x a x
a x a x
n m
+ + =
+ + =
>

13. 11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
...
...
...
es el número de incognitas
n n
n n
i i i in n i
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n
+ + + =
+ + + =
+ + + =
+ + + =
es el número de ecuacionesm

14. 11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
Finalmente la cosa se reduce a tratar con los
coeficientes:
...
...
. .
y
. .
. .
...
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
   
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷ ÷  ÷
   

16. ( )
11 12 1
21 22 2
1 2
Un arreglo de números complejos
...
...
.
.
.
...
es llamado una matriz en
La matriz tiene renglones y columnas
n
n
ij
m m mn
a a a
a a a
a
a a a
m n C
m n
 
 ÷
 ÷
 ÷
= ÷
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 
×

17. ( )
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.
.
.
...
1,2,..., 1,2,...,
es una matriz
n
n
m m mn
ij
a a a
a a a
a a a
a i m j n
m n
 
 ÷
 ÷
 ÷
= ÷
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 
= = =
×
A
A
A

18. 1
Un vector
.
.
.
es una matriz 1
n
x
x
n
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
×

19. ( )1
Un vector
,...,
es una matriz 1
nx x
n×

20. ( )
0 0 ... 0
0 0 ... 0
.
.
.
0 0 ... 0
=0 para todo
Todos sus elemento
,
s son cero
ija i j
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 
∀

21. ( )
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.
El orden de la matriz es
.
.
...
1,2,..., 1,2,.
Tiene el mismo número de renglones y de colum
..,
nas
n
n
n n nn
ij
a a a
a a a
n
a a a
a i n j n
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 
= =

22. ( )La matriz identidad está definida como
0 si y 1 para 1,...,
ij
ij ii
a n n
a i j a i n
= ×
= ≠ = =
A
1 0 ... 0
0 1 ... 0
.
.
.
0 0 ... 1
n
 
 ÷
 ÷
 ÷
= ÷
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 
I

23. ( )
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
Tiene 4 columnas, 4 renglones: 16
1,2,3,4
elem
1,2,3
en s
,4
to
ij
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a i j
 
 ÷
 ÷=
 ÷
 ÷ ÷
 
= = =
A
A

24. ( )
11 22 33
Sea una matriz cuadrada.
Los elementos
, , ,...,
constituyen los elementos de la diagonal.
ij
nn
a n n
a a a a
= ×A

25. ( )
11
22
Sea una matriz cuadrada.
Se dice que es diagonal si todos los elementos
"fuera" de la diagonal son cero, es decir,
0 si
0 ... 0
0 ... 0
.
.
.
0 0 ...
* Toda matriz diag
ij
ij
nn
a n n
a i j
a
a
a
= ×
= ≠
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 
A
onal es simétrica

26. ( )Sea una matriz cuadrada.
Se dice que es triangular si todos los elementos
"arriba ó abajo" de la diagonal son cero, es decir,
0 si
ó
0 si
ij
ij
ij
a n n
a i j
a i j
= ×
= >
= <
A

27. 1 0 0 0 0
3 0 0 0
4 2 2 0 0
1 1 0 3 0
2 8 4 2
i
i
i i
 
 ÷
− ÷
 ÷
 ÷
− − − ÷
 ÷− 

28. ( )
( )
Sea una matriz .
La matriz denotada como
tal que
es llam
Se intercambian ren
ada .
Se den
glones y
ota
columnas
.
ij
ji
ji ij
T
a m n
n m b
b a
transpuesta
= ×
× =
=
A
B
A

29. 1 1
1 0.5 1
0.5 2
1 2 0.5
1 0.5
T
− 
− −   ÷
= = − ÷  ÷−   ÷− 
A A

30. ( )Una matriz es simétrica si es
igual a su transpuesta, es decir, si .
ij
T
a m n= ×
=
A
A A
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 
Hay lo mismo arriba y abajo de la diagonal

31. ( )Una matriz es antisimétrica si es
igual al negativo de su transpuesta, es decir, si
.
ij
T
a m n= ×
= −
A
A A
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 

32. ( )
( )
ij
T
ij
T
A a
A A
A a
A A
=
=
=
= −
Una matriz cuadrada es simétrica
si
Una matriz cuadrada es antisimétrica
si

33. ( )
( )
( )
Sea una matriz .
Su matriz conjugada es la que se obtiene
tomando el complejo conjugado de todos y
cada uno de los elementos.
Si
1,2,..., 1,2,...,
entonces
1,2,...,
ij
ij
ij
a m n
a i m j n
a i m
∗
∗ ∗
= ×
= = =
= =
A
A
A
A 1,2,...,j n=

34. ( )
( )
( )
†
†
†
1,2,..., 1,2,...,
1,2,..., 1,2,...,
ij
ij
ji
A
A a
A
a i n j n
a i n j n∗
=
= = =
= = =
A
A
La adjunta o transpuesta conjugada de una matriz
es la transpuesta y conjugada.
Se denota como
Si
entonces

35. † 0 3 1
1 3 2
1 1
0 1 3 1
3 3 2
3 2 1 0
1 1
1 1
2 0 1
i
i i i
i i i i
i i i
i i
i
i i
i i i
i
 
− −   ÷
+ − + − ÷  ÷− − − ÷  ÷= −
 ÷− −  ÷
− − − ÷  ÷ ÷−   ÷
 

36. †
1 1 2 1
2 1 1 1 0
1 0 2 1 2
i i i
i i i
i i
−   − +
 ÷  ÷
+ − = − ÷  ÷
 ÷  ÷− −   

37. ( )
†
†
ij
A
A
A
A
a
=
=
La adjunta de una matriz cuadrada
es la transpuesta
Una matriz es hermitiana ó autoadjunta, si
conjugada

38. *
†
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
T
i
i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
+ 
 ÷
− 
+ −   
= ÷  ÷
− +   
− +   
= ÷  ÷
+ −   
+ +   
= ÷  ÷
− −   

39. 0 1 0
1 0 0
1 0
0 1
x y
z
i
i
σ σ
σ
−   
= = ÷  ÷
   
 
=  ÷
− 
Las matrices de Pauli:

40. ( )
†
†
ijA
A A
A
a=
=Una matriz es hermitiana ó autoa
- Las matric
La adjunta de una matriz cuadrada
es la transpu
es hermitianas ó autoadjuntas
son cuadradas
- La d
djun
iago
esta c
nal de
ta,
la
on
s
jug
mat
a
r
d
i
si
a
ces hermitianas
es real

41. ( )
†
†
ij
A
A a
A A= −
=
La adjunta de una matriz cuadrada
es la transp
Una matriz es antihermitiana,
uesta conjug
si
ada

42. *
2 1
2 2 0
1 0
2 1 2 1
2 2 0 2 2 0
1 0 1 0
2 1 2 1 2 1
2 2 0 2 2 0 2 2 0
1 0 1 0 1 0
T
i
i
i
i i
i i
i i
i i i
i i i
i i i
 
 ÷
− − ÷
 ÷− − 
− −   
 ÷  ÷
− − = − ÷  ÷
 ÷  ÷− − −   
− − − − −     
 ÷  ÷  ÷
− = = − − − ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷− − −     

43. ( )
†
†
ij
A
A a
A A= −
=
Una matriz es antihermitiana, si
- Las matrices antihermitianas
La adjunta de una matriz cuadra
son cuadradas
- Los elementos dia
da
es
gonale
la transpues
s de una mat
ta
ri
conjug
z
antih
ada
ermitiana son imaginarios puros

44. ( )
( )
†
†
ij
ij
T
T
A a
AA I
a
I
A
A
AA
A
=
=
=
=
=
Una matriz cuadrada es unitaria si
Una matriz cuadrada es
Una matriz real unitaria es ortogonal, ya q
ortogonal
ue
si

45. ( )
( )
1 †
1
ij
ij
T
A a
A A
A a
A A
−
−
=
=
=
=
Una matriz cuadrada es unitaria si
Una matriz cuadrada es ortogonal si

47. •La suma de dos matrices
•Multiplicación de una matriz por
un escalar
•Multiplicación de dos matrices

48. ( ) ( )
( )
Solo se pueden sumar matrices de la misma forma,
es decir, que ambas sean .
Sean y dos matrices ,
la suma es
para todo ,
ij kl
ij ijij
m n
a b m n
a b
i j
×
= = ×
+ = +
A B
A B

49. 11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
... ...
... ...
. .
B
. .
. .
... ...
n n
n n
m m mn m m mn
a a a b b b
a a a b b b
a a a b b b
   
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
= = ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷ ÷  ÷
   
A
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
...
...
.
B
.
.
...
n n
n n
m m m m mn mn
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
+ + + 
 ÷
+ + + ÷
 ÷
+ = ÷
 ÷
 ÷
 ÷ ÷+ + + 
A

50. ( )
( )
Sea una matriz
y
un escalar,
el producto se define como
para todo ,
ij
ijij
a m n
r
r
r ra
i j
= ×
=
A
A
A

51. ( )
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.
.
.
...
1,2,..., 1,2,...,
n
n
m m mn
ij
ra ra ra
ra ra ra
r
ra ra ra
r ra i m j n
 
 ÷
 ÷
 ÷
= ÷
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 
= = =
A
A

52. 11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
... ...
... ...
. .
. .
. .
... ...
n s
n s
m m mn n n ns
a a a b b b
a a a b b b
a a a b b b
m n n s
   
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
= = ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷ ÷  ÷
   
× ×
A B
( )
1
n
ij jkik
j
a b
m s
=
=
×
∑AB

53. ( )
1
n
ij jkik
j
a b
m s
=
=
×
∑AB
La multiplicación no es conmutativa
El número de columnas del primer factor
debe ser igual al número de renglones del
segundo factor
•
•

54. 0 2 1 2 6 2
1 3 3 1 8 1
− −    
= ÷ ÷  ÷
− − −    
1 2 0 2 2 8
3 1 1 3 1 9
− −    
= ÷ ÷  ÷
− − −    

55. 1 2 0 2
3 1 1 3
0 2 1 2
1 3 3 1
−  
 ÷ ÷
− −  
−  
 ÷ ÷
− −  
≠
≠

56. ¡La multiplicación de matrices
no es conmutativa!

57. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
1 1 1 3 1 2
1 2 2 1 1 1
5
2
×
− 
− = − + − = −
 
×

×
÷
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 1 3 13 3 3
1 1
2 1 2 1
1 1
2
2
2 2
2 2
 − − −− −   
− = = ÷ ÷  ÷−
× ×
−   
×


58. 3 4 1 5
1 3
1 2 3 5
1 1
2 1 1
3 2 2 2 3 2
5
−   
  ÷  ÷
− = − − ÷ ÷  ÷− −  ÷  ÷
  
× × ×


59. 3 4
1 3
1 2
1 1
2 1
?
 
  ÷
− = ÷ ÷− −  ÷
 
No se pueden multiplicarNo se pueden multiplicar
El número de columnas del primer factor
debe ser igual al número de renglones del
segundo factor

60. ( )
( ) ( )
Si , , son matrices
Si es un número
Claro, siempre y cuando las sumas y los
productos puedan realizarse
r
r r=
A B C
A B + C = AB + AC
A B AB

61. ( ) ( )
Si , , son matrices tales que y pueden
ser multiplicadas y y pueden ser multiplicadas.
Entonces , pueden ser multiplicadas.
También , y se tiene
A B C A B
B C
A BC
AB C
AB C = A BC

62. Sea una matriz
es invertible o no singular si existe una
matriz de rango tal que
La matriz se llama inversa de y se denota
Cuando existe la matriz inversa es única
n
n n
n n
−
×
×
•
•
1
A
A
B
AB = BA = I
B A A

63. 0
Sea una matriz
Se pueden formar los productos
...
Si es un entero 1
...
Se define
m
n n
m
×
≥
=
=
A
A
AA
AA A
A AA A
A I

64. ( )
Sean y matrices que pueden ser multiplicadas.
Entonces y pueden ser multiplicadas yT T
T T T
=
A B
B A
AB B A

65. ( ) ( ) ( )
11 1 1 1
1 1
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
1 1
n n
m mn n m
ij i j
a x a x b
a x a x b
a m n b m x n
+ + =
+ + =
= × = × = ×A b x
Ax = b

67. 11 12 1
21 22 2
1 2
Toda matriz cuadrada tiene asociado
un que es un número complejo.
El determinante de la matriz se escribe
...
...
.
det
determinante
.
.
...
n
n
n n nn
n n
a a a
a a a
A
a a a
×
= =
A
A

68. ( ) ( ) ( )
{ } ( )
,
1
det sgn
La suma se calcula sobre todas las permutaciones
de los números 1,2,3,..., y sgn es 1 se la
permutación es par ó 1 si es impar.
n
n
i i
S i
a
n
σ
σ
σ
σ
σ
∈ =
=
+
−
∑ ∏A

69. ( ) ( ) ( )
{ } ( )
( ) ( )
,
1
det sgn
La suma se calcula sobre todas las permutaciones
de los números 1,2,3,..., y sgn es 1 se la
permutación es par ó 1 si es impar.
*Permutaciones del 1 y el 2:
1,2 , 2,1
así que
det
n
n
i i
S i
a
n
σ
σ
σ
σ
σ
∈ =
=
+
−
∑ ∏A
( ) 11 22 12 21a a a a= −A

70. 11 12
11 21 21 12
21 22
En el caso de una matriz cuadrada 2 2
el determinante es el número complejo
det
a a
a a a a
a a
×
= = = −A A

71. ( ) ( ) ( )
{ } ( )
( ) ( ) ( )
,
1
det sgn
La suma se calcula sobre todas las permutaciones
de los números 1,2,3,..., y sgn es 1 se la
permutación es par ó 1 si es impar.
Permutaciones del 1, 2 y 3
1,2,3 , 1,3,2 , 2,1,3 , 2
n
n
i i
S i
a
n
σ
σ
σ
σ
σ
∈ =
=
+
−
∑ ∏A
( ) ( ) ( )
11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 22 31 13 21 32
,3,1 , 3,2,1 , 3,1,2
así que
a a a a a a a a a a a a a a a a a a− − + − +

72. 11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 22 33 12 23 31 13 21 32
11 23 32 12 21 33 13 22 31
En el caso de una matriz cuadrada 3 3
el determinante es el número complejo
det
a a a
a a a
a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
×
= = =
= + +
− − −
A A

73. 5 3 3 5 3 3
3 1 0 det 3 1 0
4 2 3 4 2 3
5 3 3
3 1
5 3 3
3 1 0
0
4 2 3
Truco que solo sirve para matrices 3x3
1) Se duplican los renglones 1 y 2
− − 
 ÷
− = − ÷
 ÷− −
−
−

−
−

−

74. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 3 3
3 1 0
15 185 1 3
3
3 0
124 2 3
27 0 1
2 3 4
3 3 5 2 0 4 1
5 3 3
3 1 0
3 0
3 2
2) Se multiplican diagonalmente hacía abajo con signo +
y diagonalmente hacía arriba con signo -
−
−
− +
=
− − −
= =−
+ − −
− −
− − −
−
+
−
− +

75. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 0 2
4 1 5
1 1 2
1 0 2 1 0 2
4 1 5
4 3
det 4 1 5
2 3 2 2 3 2
1 0 2
4 1 5
2 3 2
2 24 0
0 15
2 2 0
4 0 2 1 3 5 2 1
5
4
2
33
+ − − −
− −
− − =
−
− −
− −
− −
−
− −
=−
− +
− − − − −
− −
−
−
=
− +
+
= −

76. 1.- Si todos los elementos de una fila o de una columna de
una matriz son cero, entonces su determinante es cero
2.- Si todos los elementos de una fila o de una columna de
una matriz se multiplican por el mismo número , entonces
su determinante se multiplica por .
3.- Si una par de filas o de columnas de una matriz se
intercambian, el determinante cambia de signo
k
k

77. 4.- Si una fila o una columna de una matriz es
proporcional a otra fila o a otra columna, el
determinante es cero.
5.- Si todos los elementos de una fila o de una
columna se pueden expresar como la suma de
dos términos, entonces el determinante puede
escribirse como la suma de dos determinantes,
cada uno de los cuales contiene uno de los
términos en la fila o columna correspondiente.

78. 6.- Si a todos los elementos de una fila o de una columna
se le añade veces el elemento correspondiente de otra
fila o columna, el valor del determinante no cambia.
k

79. ( ) 11 22 33
Si la matriz es triangular,
entonces
det ...
es decir, el determinante es el
producto de los elementos
diagonales.
nna a a a=
A
A

80. Usando las propiedades 1 a 6 expuestas
arriba, se lleva la matriz original a una
forma triangular cuyo determinante es
el producto de los elementos de la
diagonal

81. ( ) ( )
1
Sea una matriz cuadrada .
Eligimos una fila, la ,
entonces
det 1
donde es el determinante de la matriz
que resulta de quitar la fila y la columna
n
i j
ij ij
j
ij
n n
i
a M
M
i j
+
=
×
= −∑
A
A

82. 11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.
.
.
...
n
n
ij
ij
m m mn
a a a
a a a
M
a
a a a
 
 ÷
 ÷
 ÷
=  ÷
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 

83. ( ) ( )
1
Sea una matriz cuadrada .
Eligimos una columna, la ,
entonces
det 1
donde es el determinante de la matriz
que resulta de quitar la fila y la columna
n
i j
ij ij
i
ij
n n
j
a M
M
i j
+
=
×
= −∑
A
A

84. 5 3 3
3 1 0
4 2 3
1) Se escoge un renglón.
Elegimos el primero.
2) Se toman los elementos de ese renglón uno por uno.
Empecemos por el elemento 5.
3) Se crea un nuevo determinante quitando el renglón
y la colum
−
− =
−
-1 0
2 3
na del elemento escogido, es decir
A este determinante se le llama menor
−

85. ( )
( )
1 1
5 3 3
3 1 0
4 2 3
-1 0
-1 5
2 3
Número de columna+Número de renglón
4) El determinante obtenido (el menor) se
multiplica por el elemento y se pone como
signo -1
En este caso
+
−
− =
−
−

86. 5 3 3
3 1 0
4 2 3
5) Se hace lo mismo con todos los
elementos del renglón escogido.
−
− =
−

87. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 1 3
5 3 3
3 1 0
4 2 3
1 0 3 0 3 1
1 5 1 3 1 3
2 3 4 3 4 2
5 3 3 9 3 10 15 27 30 12
+ + +
−
− =
−
− −
= − + − + − − =
− −
= − − − = + − =

88. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 2 1 3
1 0 2
4 1 5
2 3 2
1 5 4 5 4 1
1 1 1 0 1 2
3 2 2 2 2 3
1 5 4 1
0 2 2 15 2 12 2
3 2 2 3
13 20 33
+ + +
−
− − =
−
− − − −
= − + − + − − =
− −
− −
= + − = − − − =
− −
= − − = −

89. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 1 3
2 5 3 2 5 3
1 1 3 det 1 1 3
2 2 0 2 2 0
1 3 1 3 1 1
1 2 1 5 1 3
2 0 2 0 2 2
2 6 5 6 3 0 12 30 0 42
+ + +
− − 
 ÷
− − = − − = ÷
 ÷− − 
− − − −
= − + − + − − =
− −
= − − − = + − =

90. ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 2
1 3 1 4
0 3 4 2
1 0 2 2
1 3 2 1
3 2 3 1
0 2 2 1 2 2
1 0 3 2 1 1 3 1 2 1
2 3 1 3 3 1
1 0 2 1 0 2
1 4 1 3 1 1 2 1 3 2
3 2 1 3 2 3
1 2 2 1 2 2 1 0 2
3 1 2 1 4 1 2 1 2 1 3 2
3 3 1 3 3 1 3 2 3
+ +
+ +
− −
− −
=
−
− −
− − − −
= − + − − +
− − −
− −
+ − − − + − − − =
− − −
− − − − −
= − − − − + − =
− − −

91. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2
2 1 1 1 1 2
1 2 1 1 2 2 1 5 2 2 2 9 9
3 1 3 1 3 3
3 3 1
1 0 2
3 1 1 1 1 3
1 3 1 1 0 2 1 1 0 2 2 7 13
2 1 3 1 3 2
3 2 1
1 0 2
3 2 1 2 1 3
1 3 2 1 0 2 1 13 0 9 2 7 27
2 3 3 3 3 2
3 2 3
− −
− −
− = − − + − = − + − − − =
− −
−
−
− −
− = − + − = − − − − − =
− − − −
− −
−
− −
− = − + − = − − − − =
− −
−

92. ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 2
1 3 1 4
0 3 4 2
1 0 2 2
1 3 2 1
3 2 3 1
0 2 2 1 2 2
1 0 3 2 1 1 3 1 2 1
2 3 1 3 3 1
1 0 2 1 0 2
1 4 1 3 1 1 2 1 3 2
3 2 1 3 2 3
3 9 4 13 2 27 25
+ +
+ +
− −
− −
=
−
− −
− − − −
= − + − − +
− − −
− −
+ − − − + − − − =
− − −
= − − + = −

93. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 1 3
1 1 3
2 2 0
1 3 1 3 1 1
1 2 1 5 1 3
2 0 2 0 2 2
2 6 5 6 3 0 12 30 0 42
2 5 3
+ + +
− − =
−
− − − −
= − + − + − − =
− −
= − − − = + − =
−
Escogemos un renglón, el primero

94. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 2 2 3
2 5 3
2 2 0
5 3 2 3 2 5
1 1 1 1 1 3
2 0 2 0 2 2
6 6 3 4 10 6 6 3 14 4
1 3
2
1
+ + +
−
−
− −
= − − + − + − −
− −
= + − + + = − =
− −
+
Ahora escogemos el segundo renglón,

95. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 3 2 3 3 3
2 5
1 1
2 2
1 1 2 5 2 5
1 3 1 3
3
1 0
2 2 2 2 1 1
3 0 3 14 0 42
3
0
+ + +
−
−
−
= − − + − − + −
− − −
=
−
−
− + + =
Ahora escogemos la tercera columna,