Matrices

1. 1 MATRICES. GENERALIDADES
TEMA 1
Matrices y determinantes.
1. Matrices. Generalidades
Definici´on 1 Sea E ̸= ∅ un conjunto cualquiera, m, n ∈ IN.
Definimos matriz de orden m × n sobre E a una expresi´on de la forma:





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





con aij ∈ E, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n.
A los elementos aij se les denomina elementos de la matriz. Atendiendo a la disposici´on de los
elementos en la matriz, diremos que la matriz est´a compuesta por m filas (de n elementos) y n
columnas (de m elementos), siendo aij el elemento de la fila i y la columna j de la matriz. A la
matriz cuyos elementos son aij se denota por ((aij)), o simplemente por A.
Al conjunto de las matrices de orden m×n sobre E se denota por Mm×n(E). En el caso de que
una matriz tenga igual n´umero de filas que de columnas (m=n) se denomina matriz cuadrada
de orden n, y el conjunto de dichas matrices se denota por Mn(E). Si solamente tiene una fila
(m=1) se le denomina matriz fila, y si s´olo tiene una columna (n=1) se le denomina matriz
columna.
Definici´on 2 Dos matrices A, B ∈ Mm×n(E) son iguales si tienen los mismos elementos.
((aij)) = ((bij)) ⇔ aij = bij ∀i, ∀j.
Definici´on 3 Dada una matriz A, se denomina submatriz de A a toda matriz que resulte de
eliminar una o varias filas y/o columnas de la matriz A.
Definici´on 4 Sea A ∈ Mm×n(E) y k = min{m, n}. Al conjunto formado por los elementos
aii con i = 1, 2, . . . , k se le llama diagonal principal de la matriz A.
Y al conjunto {aij / i + j = n + 1} se le llama diagonal no principal de la matriz A.
Definici´on 5 Sea A ∈ Mm×n(E). Decimos que A es triangular superior si los elementos que
est´an por debajo de la diagonal principal son nulos.
Decimos que A es triangular inferior si los elementos que est´an por encima de la diagonal
principal son nulos.
La matriz A es diagonal si es triangular superior e inferior.
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2. 3 MATRICES FORMADAS POR BLOQUES O CAJAS. OPERACIONES
Definici´on 6 A la matriz Θ ∈ Mm×n(E) cuyos elementos son nulos se le denomina matriz
nula de orden m × n.
A la matriz diagonal In ∈ Mn(E) cuyos elementos de la diagonal principal son unos se le
denomina matriz identidad de orden n.
2. Operaciones con matrices
Definiremos suma de matrices, producto de una matriz por un escalar y producto de matrices.
Definici´on 7 (Suma de matrices) Sean A, B ∈ Mm×n(IK) con A = ((aij)) y B = ((bij)),
definimos A + B = ((aij + bij)) ∈ Mm×n(IK).
Definici´on 8 (Producto de una matriz por un escalar) Sea λ ∈ IK y
A = ((aij)) ∈ Mm×n(IK), definimos λA = ((λaij)) ∈ Mm×n(IK).
Definici´on 9 (Producto de matrices) A = ((aij)) ∈ Mm×n(IK), B = ((bjk)) ∈ Mn×l(IK),
definimos la matriz producto
A.B = ((
n∑
j=1
aijbjk)) ∈ Mm×l(IK).
Teorema 10 Respetando los ´ordenes de las matrices para que se puedan sumar y multiplicar,
se verifican las siguientes propiedades:
1. A.B ̸= B.A, en general.
2. A.B = Θ =⇒/ A = Θ o B = Θ. Y por tanto: A.B = A.C =⇒/ B = C.
3. A.(B + C) = A.B + A.C; (A + B).C = A.C + B.C
4. (A.B).C = A.(B.C)
5. Si A ∈ Mm×n(IK), A.In = Im.A = A
Teorema 11 El producto de matrices triangulares inferiores, superiores y diagonales son, re-
spectivamente, matrices triangulares inferiores, superiores y diagonales.
3. Matrices formadas por bloques o cajas. Operaciones
Si en una matriz hacemos divisiones en sus filas o columnas quedar´a dividida en submatrices
llamadas bloques o cajas.





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





=





A11 A12 . . . A1q
A21 A22 . . . A2q
...
...
...
...
Ap1 Ap2 . . . Apq





, 1 ≤ p ≤ m 1 ≤ q ≤ n
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3. 5 DETERMINANTES: DEFINICI ´ON Y PROPIEDADES
Las operaciones, suma y producto de matrices, las podemos realizar con los respectivos
bloques, siempre que estos sean sumables y multiplicables, resultando los elementos de la matriz
suma o producto el resultado de la suma o producto de los respectivos bloques como si estos
fueran escalares. Para comprobar que esto es cierto bastar´ıa considerar la matriz de bloques
descompuesta en suma de tantas matrices como bloques y tal que cada matriz sumando esta
formada por el bloque respectivo y el resto ceros.
4. Matriz traspuesta. Propiedades
Definici´on 12 Sea A ∈ Mm×n(E). Denominamos matriz traspuesta de A a la matriz At ∈
Mn×m(E) cuyas filas son las columnas de A y cuyas columnas son las filas de A.
Definici´on 13 Una matriz A cuadrada es sim´etrica si At = A. Y es antisim´etrica si At =
−A.
Teorema 14 Respetando los ´ordenes de las matrices para que se puedan sumar y multiplicar,
se verifican las siguientes propiedades:
1. (At)t = A (Propiedad Involutiva de la trasposici´on)
2. (A + B)t = At + Bt
3. (λA)t = λAt λ ∈ R
4. (A.B)t = Bt.At
Definici´on 15 Sea A ∈ Mm×n( C). Se denomina matriz conjugada de A a la matriz A =
((aij)).
Denotemos por A∗ a la matriz At.
Definici´on 16 Diremos que un matriz cuadrada, A ∈ Mn( C), es herm´ıtica si A∗ = A. Y
antiherm´ıtica si A∗ = −A.
5. Determinantes: definici´on y propiedades
Dada una matriz cuadrada A ∈ Mn(IK), pretendemos asignarle un escalar de IK, que lla-
maremos determinante de A y representaremos por det(A) o | A |, para obtener informaci´on
acerca de la matriz dada. Entre otras cosas dicho n´umero proporciona criterios de invertibilidad
de A y resulta ser tambi´en igual al volumen de un paralelep´ıpedo P en el espacio n-dimensional,
donde las aristas de P vienen de las filas de A.
Vamos a definirlo por inducci´on, para lo cual utilizaremos cierta terminolog´ıa. En concreto,
denotaremos por A(i | j) la matriz de orden n − 1 que resulta de suprimir en A la fila i y la
columna j.
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4. 5 DETERMINANTES: DEFINICI ´ON Y PROPIEDADES
Definici´on 17 Dada A = ((aij)) ∈ Mn(IK), se define el determinante de A como:
Si n = 1, det A = a11
Si n > 1, det(A) =
n∑
j=1
(−1)i+j
aijdetA(i | j) =
m∑
i=1
(−1)i+j
aijdetA(i | j)
Por ejemplo si n = 2, i = 1 det(A)= a11detA(1 | 1) − a12detA(1 | 2);
a11 a12
a21 a22
= a11.a22 − a12.a21
Si n = 3, i = 1 detA = a11det(A)(1 | 1) − a12detA(1 | 2) + a13det A(1 | 3);
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11
a22 a23
a32 a33
− a12
a21 a23
a31 a33
+ a13
a21 a22
a31 a32
=
= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 =
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33.
expresi´on que se puede recordar m´as f´acilmente con ayuda de la conocida regla de Sarrus.
Si se examina cualquiera de las expresiones obtenidas para el determinante de matrices de
orden 2 ´o 3, se ver´a que cada uno de los productos incluye un t´ermino de cada una de las filas
de A y un t´ermino de cada una de las columnas. En general, resulta que det(A) se puede definir
tambi´en como la suma de todos los productos posibles de n elementos de A, con los signos
adecuados, y donde en cada producto hay exactamente un t´ermino de cada fila y exactamente
uno de cada columna.
La primera fila jug´o un papel esencial en la definici´on de det(A). La primera propiedad
importante que vamos a ver es que la primera fila puede sustituirse por cualquier fila o cualquier
columna de A en la definici´on de det(A). Previamente para simplificar el enunciado damos la
siguiente:
Definici´on 18 Dado un elemento aij de A ∈ Mn(IK) se denomina cofactor o adjunto del
elemento aij al n´umero, que representaremos por Aij, definido por:
Aij = (−1)i+j
.detA(i | j) i, j = 1, 2, . . . , n
Notemos que los signos de la definici´on de adjunto tienen una disposici´on de tablero de ajedrez:




+ − + · · ·
− + − · · ·
+ − + · · ·
· · ·




Teorema 19 (Desarrollo del det(A) por una fila o columna) Sea A ∈ Mn(IK), entonces
el det(A) se puede calcular desarroll´andolo con respecto a cualquier fila o a cualquier colum-
na,mediante
detA =
n∑
j=1
aijAij = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · + ainAin ∀i = 1, · · · , n
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5. 6 MENORES DE UNA MATRIZ
detA =
n∑
i=1
aijAij = a1jA1j + a2jA2j + · · · + anjAnj ∀j = 1, · · · , n
5.1. Propiedades de los determinantes
Como consecuencia del Teorema [19] obtenemos una serie de propiedades de los determi-
nantes que recogemos a continuaci´on y que facilitan su c´alculo.
Teorema 20 Sea A ∈ Mn(IK). Entonces:
1. det(A) = det(At).
2. Si denotamos por Ci a las columnas de la matriz A, entonces:
det(C1, C2, · · · , αCi + βC′
i, · · · , Cn) =
=αdet(C1, C2, · · · , Ci, · · · , Cn) + βdet(C1, C2, · · · , C′
i, · · · , Cn) ∀α, β ∈ IK
∀i = 1, · · · , n (V´alido tambi´en por filas).
Casos particulares importantes se producen cuando α = β = 1 y cuando β = 0.
3. Si se permutan entre s´ı dos l´ıneas (filas o columnas) de un determinante, ´este cambia de
signo.
4. Al sumar a una l´ınea una combinaci´on lineal de las restantes l´ıneas paralelas el determi-
nante de A no var´ıa.
Esta propiedad se utiliza a menudo en la pr´actica para calcular el determinante de una
matriz de una forma m´as simple. Se toma un elemento de una l´ınea distinto de cero como
pivote y con ´el, utilizando la anterior propiedad, se hacen ceros el resto de elementos de
dicha l´ınea, con lo cual el determinante de orden n se reduce al c´alculo de un determinante
de orden n − 1
5. Si una l´ınea de la matriz A es combinaci´on lineal de otras l´ıneas paralelas a ella, el
det(A) = 0
6. El producto de los elementos de una fila (o columna) por los adjuntos de otra fila (o
columna) es nulo.
7. Si B ∈ Mn(IK), entonces
det(A.B) = det(A).det(B) = det(B.A).
6. Menores de una matriz
Definici´on 21 Sea A ∈ Mm×n(IK). Se llama menor de orden p de la matriz A al determi-
nante de la matriz cuadrada obtenida por la intersecci´on de p filas y p columnas de A.
Definici´on 22 Se llama rango por menores de A, y lo denotamos por r(A), al mayor orden
de sus menores no nulos.
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6. 7 MATRICES INVERSAS
C´alculo del rango
Vamos a dar un m´etodo para calcular el rango de una matriz.
Definici´on 23 Se llama orlar un menor de orden p a obtener un menor de orden p + 1
a˜nadi´endole una fila y una columna al menor original.
El m´etodo se basa en la propiedad siguiente:
“Si un menor de orden p de una matriz A es distinto de cero, y todos los menores
de orden p + 1, que pueden formarse orlando ´este con la fila h de la matriz y cada
una de las columnas que no figuran en el menor, son nulos, entonces la fila h es
combinaci´on lineal de las filas de la matriz que figuran en el menor.”
El m´etodo de los orlados consiste:
1. Se suprimen todas las l´ıneas de la matriz A que sean combinaci´on lineal de otras.
2. Se busca en la matriz un menor de orden uno no nulo.
3. Orlamos dicho menor con una fila determinada y con el resto de las columnas de la matriz
A.
a) Si todos los orlados son nulos, se suprime dicha fila y se repite la operaci´on con otra
fila determinada.
b) Si alg´un orlado es no nulo se vuelve a repetir el proceso con dicho menor desde el
punto (3).
4. Una vez agotadas todas las filas, el orden del ´ultimo menor no nulo es el rango de la matriz
A.
7. Matrices inversas
Definici´on 24 (Matriz inversa) Sea A ∈ Mn(IK). A es invertible si
∃ B ∈ Mn(IK), A.B = B.A = In.
A la matriz B se le denota por A−1 y se denomina matriz inversa de A.
Es f´acil demostrar que la inversa de una matriz invertible es ´unica.
Teorema 25 Son ciertas las siguientes proposiciones:
1. Si A es invertible, A−1 tambi´en y (A−1)−1 = A.
2. Si A, B ∈ Mn(IK) son invertibles, A.B tambi´en y (A.B)−1 = B−1.A−1
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7. 8 EJERCICIOS RESUELTOS.
3. Si A es invertible, entonces At tambi´en y (At)−1 = (A−1)t.
4. Si A es invertible, entonces det(A) ̸= 0, (A es no singular), y
det(A−1
) =
1
det(A)
= (det(A))−1
.
Teorema 26 Las matrices diagonales, triangulares superiores o triangulares inferiores son in-
vertibles si y s´olo si los elementos de la diagonal son distintos de cero. Adem´as las inversas de
estas matrices siguen siendo diagonales, triangulares superiores o triangulares inferiores.
C´alculo de la inversa
Queremos calcular una f´ormula expl´ıcita para la matriz inversa de A, supuesto que existe.
Definici´on 27 Dada una matriz A ∈ Mn(IK), a la matriz cuadrada de orden n, adj(A) =
((Aij)) se le llama adjunta de la matriz A.
Teorema 28 Sea A ∈ Mn(IK). A es invertible si y s´olo si , det(A) ̸= 0. En dicho caso es:
A−1
=
1
det(A)
.adj(A)t
8. Ejercicios resueltos.
1. Sea una matriz de orden m × n, demostrar que At · A y A · At son matrices sim´etricas.
Una matriz A ∈ Mm×n(R) es sim´etrica si cumple que A = At.
Sea B = At · A, Bt = (At · A)t = At · (At)t = At · A = B por tanto es sim´etrica.
2. Sea A =


a 0 0
1 a 0
0 1 a

 , a ̸= 0. Calcular Am, m ∈ N
Calcularemos primero una expresi´on para Am y posteriormente utilizando el m´etodo de
inducci´on completa demostraremos que dicha expresi´on es la verdadera.
A2
= A · A =


a 0 0
1 a 0
0 1 a

 ·


a 0 0
1 a 0
0 1 a

 =


a2 0 0
2a a2 0
1 2a a2


A3
= A2
· A = A · A2
=


a2 0 0
2a a2 0
1 2a a2

 ·


a 0 0
1 a 0
0 1 a

 =


a3 0 0
3a2 a3 0
3a 3a2 a3


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8. 8 EJERCICIOS RESUELTOS.
A4
= A3
· A = A · A3
=


a3 0 0
3a2 a3 0
3a 3a2 a3

 ·


a 0 0
1 a 0
0 1 a

 =


a4 0 0
4a3 a4 0
6a2 4a3 a4


A5
= A4
· A = A · A4
=


a4 0 0
4a3 a4 0
6a2 4a3 a4

 ·


a 0 0
1 a 0
0 1 a

 =


a5 0 0
5a4 a5 0
10a3 5a4 a5


podemos suponer que la soluci´on ser´a:
Am
=


am 0 0
mam−1 am 0
m(m−1)
2 am−2 mam−1 am


Para comprobar que es la soluci´on correcta aplicamos el Principio de Inducci´on Completa.
Primer paso Comprobamos que se verifica para m = 1.
A1
=


a 0 0
1 a 0
0 1 a


Segundo paso Suponemos que es cierta la expresi´on para m = k.
Ak
=


ak 0 0
kak−1 ak 0
k(k−1)
2 ak−2 kak−1 ak


Tercer paso Demostramos que se cumple para m = k + 1
Ak+1
= Ak
· A =


ak 0 0
kak−1 ak 0
k(k−1)
2 ak−2 kak−1 ak

 ·


a 0 0
1 a 0
0 1 a

 =
=


ak+1 0 0
(k + 1)ak ak+1 0
(k+1)k
2 ak−1 (k + 1)ak ak+1


efectivamente se satisface para m = k + 1 y por tanto para todo m ∈ N.
Am =


am 0 0
mam−1 am 0
m(m−1)
2 am−2 mam−1 am


3. Demostrar que toda matriz cuadrada de orden n que verifica la ecuaci´on:
a0In + a1A + a2A2
+ · · · anAn
= Θ, a0 ̸= 0
es invertible. ¿Cual es su inversa?
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9. 8 EJERCICIOS RESUELTOS.
Como a0 ̸= 0 podemos despejar In,
In = −
1
a0
(
a1A + a2A2
+ · · · + anAn
)
si sacamos factor com´un la matriz A (se obtendr´ıa el mismo resultado a la derecha o a la
izquierda), quedar´ıa:
In = −
1
a0
(
a1In + a2A + · · · + anAn−1
)
A
por tanto tenemos que la matriz unidad In es el producto de una matriz A por otra
B = − 1
a0
(
a1In + a2A + · · · + anAn−1
)
. Esto quiere decir que la matriz A es invertible y
que su inversa es B, por tanto ser´a:
A−1 = − 1
a0
(
a1In + a2A + · · · + anAn−1
)
4. Sin desarrollar, demostrar que
1 a2 a3
1 b2 b3
1 c2 c3
=
bc a a2
ca b b2
ab c c2
En primer lugar multiplicamos la primera columna por abc y dividimos el determinante
por abc para mantener la igualdad; posteriormente sacamos factor com´un a de la primera
fila, b de la segunda fila y c de la tercera, obteniendo el resultado pedido seg´un vemos a
continuaci´on:
1 a2 a3
1 b2 b3
1 c2 c3
=
1
abc
abc a2 a3
abc b2 b3
abc c2 c3
=
abc
abc
bc a a2
ac b b2
ab c c2
=
bc a a2
ac b b2
ab c c2
.
5. Calcular al rango de la matriz:




1 1 1 0 2
2 0 1 1 2
3 1 1 3 2
4 3 −2 1 1




Orlando menores calcularemos el de mayor orden distinto de cero que nos dar´a el rango
de la matriz.
Comenzamos con el menor de orden dos formado por las dos primeras filas y columnas:
1 1
2 0
= −2 ̸= 0
orlamos con la siguiente fila y columna:
1 1 1
2 0 1
3 1 1
= 2 ̸= 0
continuamos orlando con la siguiente fila y columna:
1 1 1 0
2 0 1 1
3 1 1 3
4 3 −2 1
C2,1(−1)
C3,1(−1)
−→
1 0 0 0
2 −2 −1 1
3 −2 −2 3
4 −1 −6 1
= 1 ·
−2 −1 1
−2 −2 3
−1 −6 1
= −21
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10. 9 EJERCICIOS PROPUESTOS.
El rango de la matriz es 4 pues no podemos construir un menor de mayor orden.
9. Ejercicios propuestos.
1. Calcular A y B sabiendo:
A + B =


1 2 3
4 5 6
7 8 9

 A + At =


0 0 0
0 0 0
0 0 0

 B − Bt =


0 0 0
0 0 0
0 0 0


2. Hallar At.A y A.At siendo A =
(
1 2 −1
0 1 −2
)
3. Demostrar que:
a) La inversa de una matriz, de existir, es ´unica.
b) Si A y B son invertibles, tambi´en lo es AB y se verifica (AB)−1
= B−1A−1.
c) Si A es invertible, A−1 tambi´en y que (A−1)
−1
= A.
4. Sin desarrollar, demostrar que:
a)
1 1 1
a b c
b + c a + c a + b
= 0
b)
a + b b + c a + c
m + n n + l m + l
x + y y + z x + z
= 2
a b c
m n l
x y z
c)
1 6 9
1 8 2
0 4 1
+
1 1 1
5 6 8
4 9 2
=
1 6 9
1 8 2
1 9 5
5. Sea A una matriz cuadrada de orden impar y antisim´etrica (A = −At). Probar que
det(A) = 0.
6. Demostrar que:
a)
−1 1 2 −1
3 2 1 6
0 1 2 0
2 1 3 5
= −12 b)
0 −1 1 −1 1
−1 0 −1 1 −1
0 1 −2 2 −1
−2 1 −1 −1 2
−3 3 −2 2 0
= 12
7. Calcular el rango de las siguientes matrices:
A =


2 −1 0 −5
1 0 1 −1
3 2 7 3

, B =


1 −5 −3
−5 5 −1
4 0 4

,
Sol: rg(A) = 2, rg(B) = 2.
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11. 9 EJERCICIOS PROPUESTOS.
8. Calcular la inversa, mediante determinantes, de las siguientes matrices:
A =


1 2 −1
0 1 1
0 0 1

 B =


2 1 2
1 0 1
0 −1 3

 C =




1 1 0 0
0 1 0 1
−1 0 1 0
1 0 0 0




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