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- 29. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Dos matrices A y B del mismo tama˜no son Iguales si las componentes correspondientes son iguales, es decir que si: A = (aij )n×m y B = (bij )n×m son dos matrices diremos que: A = B Martha C. Moreno MATRICES
- 30. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Dos matrices A y B del mismo tama˜no son Iguales si las componentes correspondientes son iguales, es decir que si: A = (aij )n×m y B = (bij )n×m son dos matrices diremos que: A = B si y s´olo si aij = bij para todo i = 1, ....n y todo j = 1, .....m Martha C. Moreno MATRICES
- 31. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Dos matrices A y B del mismo tama˜no son Iguales si las componentes correspondientes son iguales, es decir que si: A = (aij )n×m y B = (bij )n×m son dos matrices diremos que: A = B si y s´olo si aij = bij para todo i = 1, ....n y todo j = 1, .....m Ejercicio Martha C. Moreno MATRICES
- 32. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Dos matrices A y B del mismo tama˜no son Iguales si las componentes correspondientes son iguales, es decir que si: A = (aij )n×m y B = (bij )n×m son dos matrices diremos que: A = B si y s´olo si aij = bij para todo i = 1, ....n y todo j = 1, .....m Ejercicio A = 2 −1 4 5 4 2 y B = 2 x + 3 4 z y − 5 m Martha C. Moreno MATRICES
- 33. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa A = (aij )n×m Seg´un el tama˜no se clasifican en: Martha C. Moreno MATRICES
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- 39. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa A = (aij )n×m Seg´un el tama˜no se clasifican en: Matriz Fila Si n = 1 A = a11 a12 · · · a1m Matriz Columna Martha C. Moreno MATRICES
- 40. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa A = (aij )n×m Seg´un el tama˜no se clasifican en: Matriz Fila Si n = 1 A = a11 a12 · · · a1m Matriz Columna Si m = 1 Martha C. Moreno MATRICES
- 41. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa A = (aij )n×m Seg´un el tama˜no se clasifican en: Matriz Fila Si n = 1 A = a11 a12 · · · a1m Matriz Columna Si m = 1 A = a11 a21 . . . an1 Martha C. Moreno MATRICES
- 42. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa A = (aij )n×m Seg´un el tama˜no se clasifican en: Matriz Fila Si n = 1 A = a11 a12 · · · a1m Matriz Columna Si m = 1 A = a11 a21 . . . an1 Matriz Cuadrada Martha C. Moreno MATRICES
- 43. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa A = (aij )n×m Seg´un el tama˜no se clasifican en: Matriz Fila Si n = 1 A = a11 a12 · · · a1m Matriz Columna Si m = 1 A = a11 a21 . . . an1 Matriz Cuadrada Si n = m Martha C. Moreno MATRICES
- 44. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa A = (aij )n×m Seg´un el tama˜no se clasifican en: Matriz Fila Si n = 1 A = a11 a12 · · · a1m Matriz Columna Si m = 1 A = a11 a21 . . . an1 Matriz Cuadrada Si n = m A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann Martha C. Moreno MATRICES
- 45. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa A = (aij )n×m Seg´un el tama˜no se clasifican en: Matriz Fila Si n = 1 A = a11 a12 · · · a1m Matriz Columna Si m = 1 A = a11 a21 . . . an1 Matriz Cuadrada Si n = m A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann Diagonal Principal Martha C. Moreno MATRICES
- 46. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Martha C. Moreno MATRICES
- 47. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una Matriz A cuadrada, en la que todos los elementos que estan fuera de la diagonal principal son ceros se denomina una Matriz Diagonal Martha C. Moreno MATRICES
- 48. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una Matriz A cuadrada, en la que todos los elementos que estan fuera de la diagonal principal son ceros se denomina una Matriz Diagonal Es decir si aij = 0 para i = j Martha C. Moreno MATRICES
- 49. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una Matriz A cuadrada, en la que todos los elementos que estan fuera de la diagonal principal son ceros se denomina una Matriz Diagonal Es decir si aij = 0 para i = j Ejemplo Martha C. Moreno MATRICES
- 50. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una Matriz A cuadrada, en la que todos los elementos que estan fuera de la diagonal principal son ceros se denomina una Matriz Diagonal Es decir si aij = 0 para i = j Ejemplo C = 3 0 0 0 8 0 0 0 0 Martha C. Moreno MATRICES
- 51. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una Matriz A cuadrada, en la que todos los elementos que estan fuera de la diagonal principal son ceros se denomina una Matriz Diagonal Es decir si aij = 0 para i = j Ejemplo C = 3 0 0 0 8 0 0 0 0 D = 10 0 0 8 Martha C. Moreno MATRICES
- 52. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Martha C. Moreno MATRICES
- 53. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una matriz Diagonal en la que todos los elementos de la diagonal son iguales, se denomina Matriz Escalar Martha C. Moreno MATRICES
- 54. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una matriz Diagonal en la que todos los elementos de la diagonal son iguales, se denomina Matriz Escalar Ejemplo Martha C. Moreno MATRICES
- 55. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una matriz Diagonal en la que todos los elementos de la diagonal son iguales, se denomina Matriz Escalar Ejemplo C = 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 Martha C. Moreno MATRICES
- 56. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una matriz Diagonal en la que todos los elementos de la diagonal son iguales, se denomina Matriz Escalar Ejemplo C = 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Martha C. Moreno MATRICES
- 57. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una matriz Diagonal en la que todos los elementos de la diagonal son iguales, se denomina Matriz Escalar Ejemplo C = 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = I3 Martha C. Moreno MATRICES
- 58. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una matriz Diagonal en la que todos los elementos de la diagonal son iguales, se denomina Matriz Escalar Ejemplo C = 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = I3 Matriz Identidad o Id´entica Martha C. Moreno MATRICES
- 59. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Martha C. Moreno MATRICES
- 60. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estan debajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matriz Triangular Superior Martha C. Moreno MATRICES
- 61. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estan debajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matriz Triangular Superior Es decir si aij = 0 para i > j Martha C. Moreno MATRICES
- 62. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estan debajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matriz Triangular Superior Es decir si aij = 0 para i > j Ejemplo Martha C. Moreno MATRICES
- 63. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estan debajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matriz Triangular Superior Es decir si aij = 0 para i > j Ejemplo Martha C. Moreno MATRICES
- 64. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estan debajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matriz Triangular Superior Es decir si aij = 0 para i > j Ejemplo M = 1 6 −2 0 4 15 0 0 6 Martha C. Moreno MATRICES
- 65. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estan debajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matriz Triangular Superior Es decir si aij = 0 para i > j Ejemplo M = 1 6 −2 0 4 15 0 0 6 S = 0 0 4 −9 0 3 4 6 0 0 1 3 5 0 0 0 17 Martha C. Moreno MATRICES
- 66. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Ejercicio Martha C. Moreno MATRICES
- 67. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Ejercicio ¿C´omo se define una matriz triangular inferior? Martha C. Moreno MATRICES
- 68. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Ejercicio ¿C´omo se define una matriz triangular inferior? ¿Una matriz cuadrada puede ser triangular inferior y triangular superior simult´aneamente? Martha C. Moreno MATRICES
- 69. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Operaciones Martha C. Moreno MATRICES
- 70. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Operaciones Martha C. Moreno MATRICES
- 71. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Operaciones Martha C. Moreno MATRICES
- 72. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Operaciones Suma: Martha C. Moreno MATRICES
- 73. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Operaciones Suma: Sean A = (aij ) y B = (bij ) matrices n × m Martha C. Moreno MATRICES
- 74. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Operaciones Suma: Sean A = (aij ) y B = (bij ) matrices n × m Entonces: Martha C. Moreno MATRICES
- 75. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Operaciones Suma: Sean A = (aij ) y B = (bij ) matrices n × m Entonces: A + B = C = (cij )n×m = (aij + bij ) Martha C. Moreno MATRICES
- 76. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Operaciones Suma: Sean A = (aij ) y B = (bij ) matrices n × m Entonces: A + B = C = (cij )n×m = (aij + bij ) Ejemplo Martha C. Moreno MATRICES
- 77. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Operaciones Suma: Sean A = (aij ) y B = (bij ) matrices n × m Entonces: A + B = C = (cij )n×m = (aij + bij ) Ejemplo 2 −1 4 5 4 2 + 5 2 −3 −8 1 4 = Martha C. Moreno MATRICES
- 78. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Operaciones Suma: Sean A = (aij ) y B = (bij ) matrices n × m Entonces: A + B = C = (cij )n×m = (aij + bij ) Ejemplo 2 −1 4 5 4 2 + 5 2 −3 −8 1 4 = 7 1 1 −3 5 6 Martha C. Moreno MATRICES
- 79. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la suma Martha C. Moreno MATRICES
- 80. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la suma Sean A, B, C matrices n × m Martha C. Moreno MATRICES
- 81. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la suma Sean A, B, C matrices n × m A + B = B + A Martha C. Moreno MATRICES
- 82. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la suma Sean A, B, C matrices n × m A + B = B + A Conmutativa Martha C. Moreno MATRICES
- 83. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la suma Sean A, B, C matrices n × m A + B = B + A Conmutativa A + (B + C) = (A + B) + C Martha C. Moreno MATRICES
- 84. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la suma Sean A, B, C matrices n × m A + B = B + A Conmutativa A + (B + C) = (A + B) + C Asociativa Martha C. Moreno MATRICES
- 85. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la suma Sean A, B, C matrices n × m A + B = B + A Conmutativa A + (B + C) = (A + B) + C Asociativa Existe una matriz 0n×m tal que: Martha C. Moreno MATRICES
- 86. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la suma Sean A, B, C matrices n × m A + B = B + A Conmutativa A + (B + C) = (A + B) + C Asociativa Existe una matriz 0n×m tal que: A + 0 = 0 + A = A Martha C. Moreno MATRICES
- 87. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la suma Sean A, B, C matrices n × m A + B = B + A Conmutativa A + (B + C) = (A + B) + C Asociativa Existe una matriz 0n×m tal que: A + 0 = 0 + A = A Modulativa Martha C. Moreno MATRICES
- 88. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la suma Sean A, B, C matrices n × m A + B = B + A Conmutativa A + (B + C) = (A + B) + C Asociativa Existe una matriz 0n×m tal que: A + 0 = 0 + A = A Modulativa Para cada matriz An×m = (aij ) existe −An×m = (−aij ) Tal que: Martha C. Moreno MATRICES
- 89. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la suma Sean A, B, C matrices n × m A + B = B + A Conmutativa A + (B + C) = (A + B) + C Asociativa Existe una matriz 0n×m tal que: A + 0 = 0 + A = A Modulativa Para cada matriz An×m = (aij ) existe −An×m = (−aij ) Tal que: A + (−A) = −A + A = 0 Martha C. Moreno MATRICES
- 90. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la suma Sean A, B, C matrices n × m A + B = B + A Conmutativa A + (B + C) = (A + B) + C Asociativa Existe una matriz 0n×m tal que: A + 0 = 0 + A = A Modulativa Para cada matriz An×m = (aij ) existe −An×m = (−aij ) Tal que: A + (−A) = −A + A = 0 Inverso Aditivo Martha C. Moreno MATRICES
- 91. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la suma Sean A, B, C matrices n × m A + B = B + A Conmutativa A + (B + C) = (A + B) + C Asociativa Existe una matriz 0n×m tal que: A + 0 = 0 + A = A Modulativa Para cada matriz An×m = (aij ) existe −An×m = (−aij ) Tal que: A + (−A) = −A + A = 0 Inverso Aditivo A − B = A + (−B) Martha C. Moreno MATRICES
- 92. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Martha C. Moreno MATRICES
- 93. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Producto por Escalar Martha C. Moreno MATRICES
- 94. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Producto por Escalar Sea A = (aij )n×m y k ∈ R Martha C. Moreno MATRICES
- 95. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Producto por Escalar Sea A = (aij )n×m y k ∈ R Entonces: Martha C. Moreno MATRICES
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- 98. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Producto por Escalar Sea A = (aij )n×m y k ∈ R Entonces: kA = (k aij )n×m Ejemplo 2 2 −1 4 5 4 2 = Martha C. Moreno MATRICES
- 99. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Producto por Escalar Sea A = (aij )n×m y k ∈ R Entonces: kA = (k aij )n×m Ejemplo 2 2 −1 4 5 4 2 = 4 −2 8 10 8 4 Martha C. Moreno MATRICES
- 100. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto por Escalar Martha C. Moreno MATRICES
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- 103. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto por Escalar Sean A, B matrices n × m y α, β n´umeros reales α(βA) = (αβ)A (α + β)A = αA + βA Martha C. Moreno MATRICES
- 104. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto por Escalar Sean A, B matrices n × m y α, β n´umeros reales α(βA) = (αβ)A (α + β)A = αA + βA Distributiva respecto a suma de escalares Martha C. Moreno MATRICES
- 105. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto por Escalar Sean A, B matrices n × m y α, β n´umeros reales α(βA) = (αβ)A (α + β)A = αA + βA Distributiva respecto a suma de escalares α(A + B) = αA + αB Martha C. Moreno MATRICES
- 106. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto por Escalar Sean A, B matrices n × m y α, β n´umeros reales α(βA) = (αβ)A (α + β)A = αA + βA Distributiva respecto a suma de escalares α(A + B) = αA + αB Distributiva respecto a suma de matrices Martha C. Moreno MATRICES
- 107. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto por Escalar Sean A, B matrices n × m y α, β n´umeros reales α(βA) = (αβ)A (α + β)A = αA + βA Distributiva respecto a suma de escalares α(A + B) = αA + αB Distributiva respecto a suma de matrices 1A = A Martha C. Moreno MATRICES
- 108. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Preguntas Sean A, B matrices n × n y α ∈ R Martha C. Moreno MATRICES
- 109. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Preguntas Sean A, B matrices n × n y α ∈ R Si A y B son diagonales, entonces A + B es diagonal? Martha C. Moreno MATRICES
- 110. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Preguntas Sean A, B matrices n × n y α ∈ R Si A y B son diagonales, entonces A + B es diagonal? Si A es diagonal, entonces αA es diagonal? Martha C. Moreno MATRICES
- 111. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Preguntas Sean A, B matrices n × n y α ∈ R Si A y B son diagonales, entonces A + B es diagonal? Si A es diagonal, entonces αA es diagonal? Si A y B son triangulares, entonces A + B es triangular? Martha C. Moreno MATRICES
- 112. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Preguntas Sean A, B matrices n × n y α ∈ R Si A y B son diagonales, entonces A + B es diagonal? Si A es diagonal, entonces αA es diagonal? Si A y B son triangulares, entonces A + B es triangular? Si A y B son triangulares superiores, entonces A + B es triangular superior? Martha C. Moreno MATRICES
- 113. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Preguntas Sean A, B matrices n × n y α ∈ R Si A y B son diagonales, entonces A + B es diagonal? Si A es diagonal, entonces αA es diagonal? Si A y B son triangulares, entonces A + B es triangular? Si A y B son triangulares superiores, entonces A + B es triangular superior? Si A es triangular, entonces αA es triangular? Martha C. Moreno MATRICES
- 114. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Martha C. Moreno MATRICES
- 115. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una Combinaci´on Lineal (c.l) de las matrices: A1, A2, ...., Ak es la matriz: Martha C. Moreno MATRICES
- 116. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una Combinaci´on Lineal (c.l) de las matrices: A1, A2, ...., Ak es la matriz: α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k Martha C. Moreno MATRICES
- 117. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una Combinaci´on Lineal (c.l) de las matrices: A1, A2, ...., Ak es la matriz: α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k Ejercicio Martha C. Moreno MATRICES
- 118. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una Combinaci´on Lineal (c.l) de las matrices: A1, A2, ...., Ak es la matriz: α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k Ejercicio Sean: I = 1 0 0 1 y D = 1 0 0 0 Martha C. Moreno MATRICES
- 119. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una Combinaci´on Lineal (c.l) de las matrices: A1, A2, ...., Ak es la matriz: α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k Ejercicio Sean: I = 1 0 0 1 y D = 1 0 0 0 Calcular la c.l −2I + 4D Martha C. Moreno MATRICES
- 120. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una Combinaci´on Lineal (c.l) de las matrices: A1, A2, ...., Ak es la matriz: α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k Ejercicio Sean: I = 1 0 0 1 y D = 1 0 0 0 Calcular la c.l −2I + 4D 3 0 0 2 es c.l de I y D? Martha C. Moreno MATRICES
- 121. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Una Combinaci´on Lineal (c.l) de las matrices: A1, A2, ...., Ak es la matriz: α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k Ejercicio Sean: I = 1 0 0 1 y D = 1 0 0 0 Calcular la c.l −2I + 4D 3 0 0 2 es c.l de I y D? 4 1 0 −3 es c.l de I y D? Martha C. Moreno MATRICES
- 122. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Transpuesta Martha C. Moreno MATRICES
- 123. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Transpuesta Sea A = (aij )n×m Martha C. Moreno MATRICES
- 124. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Transpuesta Sea A = (aij )n×m Entonces: Martha C. Moreno MATRICES
- 125. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Transpuesta Sea A = (aij )n×m Entonces: At = (aji )m×n Martha C. Moreno MATRICES
- 126. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Transpuesta Sea A = (aij )n×m Entonces: At = (aji )m×n Ejemplo Martha C. Moreno MATRICES
- 127. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Transpuesta Sea A = (aij )n×m Entonces: At = (aji )m×n Ejemplo 2 −1 4 5 4 2 t = Martha C. Moreno MATRICES
- 128. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Transpuesta Sea A = (aij )n×m Entonces: At = (aji )m×n Ejemplo 2 −1 4 5 4 2 t = 2 5 −1 4 4 2 Martha C. Moreno MATRICES
- 129. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la Transpuesta Martha C. Moreno MATRICES
- 130. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la Transpuesta Sean A, B matrices n × m y α ∈ R Martha C. Moreno MATRICES
- 131. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la Transpuesta Sean A, B matrices n × m y α ∈ R (At)t = A Martha C. Moreno MATRICES
- 132. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la Transpuesta Sean A, B matrices n × m y α ∈ R (At)t = A (A + B)t = At + Bt Martha C. Moreno MATRICES
- 133. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la Transpuesta Sean A, B matrices n × m y α ∈ R (At)t = A (A + B)t = At + Bt (αA)t = αAt Martha C. Moreno MATRICES
- 134. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matrices Sim´etricas y Antisim´etricas Sea A = (aij )n×n Martha C. Moreno MATRICES
- 135. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matrices Sim´etricas y Antisim´etricas Sea A = (aij )n×n Si At = A, entonces la matriz A es Sim´etrica. Martha C. Moreno MATRICES
- 136. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matrices Sim´etricas y Antisim´etricas Sea A = (aij )n×n Si At = A, entonces la matriz A es Sim´etrica. Si At = −A, entonces la matriz A es Antisim´etrica. Martha C. Moreno MATRICES
- 137. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matrices Sim´etricas y Antisim´etricas Sea A = (aij )n×n Si At = A, entonces la matriz A es Sim´etrica. Si At = −A, entonces la matriz A es Antisim´etrica. Ejemplo Si A y B son matrices cuadradas del mismo tama˜no y sim´etricas, qu´e se puede decir de: ¿ A + B? Martha C. Moreno MATRICES
- 138. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matrices Sim´etricas y Antisim´etricas Sea A = (aij )n×n Si At = A, entonces la matriz A es Sim´etrica. Si At = −A, entonces la matriz A es Antisim´etrica. Ejemplo Si A y B son matrices cuadradas del mismo tama˜no y sim´etricas, qu´e se puede decir de: ¿ A + B? ¿ αA con α ∈ R? Martha C. Moreno MATRICES
- 139. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matrices Sim´etricas y Antisim´etricas Sea A = (aij )n×n Si At = A, entonces la matriz A es Sim´etrica. Si At = −A, entonces la matriz A es Antisim´etrica. Ejemplo Si A y B son matrices cuadradas del mismo tama˜no y sim´etricas, qu´e se puede decir de: ¿ A + B? ¿ αA con α ∈ R? Si C es una matriz cuadrada, las matrices C + Ct y C − Ct ¿son sim´etricas o antisim´etricas? Martha C. Moreno MATRICES
- 140. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Multiplicaci´on Martha C. Moreno MATRICES
- 141. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Multiplicaci´on Martha C. Moreno MATRICES
- 142. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Multiplicaci´on Producto Punto: Martha C. Moreno MATRICES
- 143. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Multiplicaci´on Producto Punto: Sean A = a11 a12 · · · a1n 1×n y B = b11 b21 . . bn1 n×1 Martha C. Moreno MATRICES
- 144. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Multiplicaci´on Producto Punto: Sean A = a11 a12 · · · a1n 1×n y B = b11 b21 . . bn1 n×1 Entonces: Martha C. Moreno MATRICES
- 145. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Multiplicaci´on Producto Punto: Sean A = a11 a12 · · · a1n 1×n y B = b11 b21 . . bn1 n×1 Entonces: A • B = a11b11 + a12b21 + ..... + a1nbn1 Martha C. Moreno MATRICES
- 146. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Multiplicaci´on Producto Punto: Sean A = a11 a12 · · · a1n 1×n y B = b11 b21 . . bn1 n×1 Entonces: A • B = a11b11 + a12b21 + ..... + a1nbn1 A • B ∈ R Martha C. Moreno MATRICES
- 147. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Producto entre Matrices Martha C. Moreno MATRICES
- 148. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Producto entre Matrices Sean An×m y Bm×p Martha C. Moreno MATRICES
- 149. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Producto entre Matrices Sean An×m y Bm×p Denotemos por Ai las filas de A Martha C. Moreno MATRICES
- 150. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Producto entre Matrices Sean An×m y Bm×p Denotemos por Ai las filas de A y por Bj las columnas de B Martha C. Moreno MATRICES
- 151. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Producto entre Matrices Sean An×m y Bm×p Denotemos por Ai las filas de A y por Bj las columnas de B Entonces: Martha C. Moreno MATRICES
- 152. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Producto entre Matrices Sean An×m y Bm×p Denotemos por Ai las filas de A y por Bj las columnas de B Entonces: AB = Martha C. Moreno MATRICES
- 153. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Producto entre Matrices Sean An×m y Bm×p Denotemos por Ai las filas de A y por Bj las columnas de B Entonces: AB = A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . An • B1 An • B2 · · · An • Bp Martha C. Moreno MATRICES
- 154. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Producto entre Matrices Sean An×m y Bm×p Denotemos por Ai las filas de A y por Bj las columnas de B Entonces: AB = A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . An • B1 An • B2 · · · An • Bp Si C = (cij ) = AB, entonces: Martha C. Moreno MATRICES
- 155. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Producto entre Matrices Sean An×m y Bm×p Denotemos por Ai las filas de A y por Bj las columnas de B Entonces: AB = A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . An • B1 An • B2 · · · An • Bp Si C = (cij ) = AB, entonces: cij = Ai • Bj Martha C. Moreno MATRICES
- 156. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Producto entre Matrices Sean An×m y Bm×p Denotemos por Ai las filas de A y por Bj las columnas de B Entonces: AB = A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . An • B1 An • B2 · · · An • Bp Si C = (cij ) = AB, entonces: cij = Ai • Bj = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aimbmj Martha C. Moreno MATRICES
- 157. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Producto entre Matrices Sean An×m y Bm×p Denotemos por Ai las filas de A y por Bj las columnas de B Entonces: AB = A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . An • B1 An • B2 · · · An • Bp Si C = (cij ) = AB, entonces: cij = Ai • Bj = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aimbmj = m k=1 aikbkj Martha C. Moreno MATRICES
- 158. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Nota El producto AB esta definido si el n´umero de columnas de A coincide con el n´umero de filas de B Martha C. Moreno MATRICES
- 159. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Nota El producto AB esta definido si el n´umero de columnas de A coincide con el n´umero de filas de B An×mBm×p = Cn×p Martha C. Moreno MATRICES
- 160. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Nota El producto AB esta definido si el n´umero de columnas de A coincide con el n´umero de filas de B An×mBm×p = Cn×p ¿El producto de dos matrices del mismo tama˜no esta definido? Martha C. Moreno MATRICES
- 161. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Nota El producto AB esta definido si el n´umero de columnas de A coincide con el n´umero de filas de B An×mBm×p = Cn×p ¿El producto de dos matrices del mismo tama˜no esta definido? Si A es una matriz 3 × 5 y AB es una matriz 3 × 7. ¿Cu´al es el tama˜no de B? Martha C. Moreno MATRICES
- 162. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Nota El producto AB esta definido si el n´umero de columnas de A coincide con el n´umero de filas de B An×mBm×p = Cn×p ¿El producto de dos matrices del mismo tama˜no esta definido? Si A es una matriz 3 × 5 y AB es una matriz 3 × 7. ¿Cu´al es el tama˜no de B? ¿Cu´antas filas tiene la matriz B si BA es de tama˜no 2 × 6? Martha C. Moreno MATRICES
- 163. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Ejemplo Consideremos las matrices: A = 2 1 3 4 , B = 1 2 6 5 , C = 1 −1 3 2 , D = 1 1 2 −1 −3 2 , E = 1 0 0 −2 1 −1 Martha C. Moreno MATRICES
- 164. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Ejemplo Consideremos las matrices: A = 2 1 3 4 , B = 1 2 6 5 , C = 1 −1 3 2 , D = 1 1 2 −1 −3 2 , E = 1 0 0 −2 1 −1 ¿Cu´ales de los siguientes productos est´a definido?: Martha C. Moreno MATRICES
- 165. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Ejemplo Consideremos las matrices: A = 2 1 3 4 , B = 1 2 6 5 , C = 1 −1 3 2 , D = 1 1 2 −1 −3 2 , E = 1 0 0 −2 1 −1 ¿Cu´ales de los siguientes productos est´a definido?: AB, Martha C. Moreno MATRICES
- 166. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Ejemplo Consideremos las matrices: A = 2 1 3 4 , B = 1 2 6 5 , C = 1 −1 3 2 , D = 1 1 2 −1 −3 2 , E = 1 0 0 −2 1 −1 ¿Cu´ales de los siguientes productos est´a definido?: AB, BA, Martha C. Moreno MATRICES
- 167. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Ejemplo Consideremos las matrices: A = 2 1 3 4 , B = 1 2 6 5 , C = 1 −1 3 2 , D = 1 1 2 −1 −3 2 , E = 1 0 0 −2 1 −1 ¿Cu´ales de los siguientes productos est´a definido?: AB, BA, ACt, Martha C. Moreno MATRICES
- 168. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Ejemplo Consideremos las matrices: A = 2 1 3 4 , B = 1 2 6 5 , C = 1 −1 3 2 , D = 1 1 2 −1 −3 2 , E = 1 0 0 −2 1 −1 ¿Cu´ales de los siguientes productos est´a definido?: AB, BA, ACt, CtA, Martha C. Moreno MATRICES
- 169. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Ejemplo Consideremos las matrices: A = 2 1 3 4 , B = 1 2 6 5 , C = 1 −1 3 2 , D = 1 1 2 −1 −3 2 , E = 1 0 0 −2 1 −1 ¿Cu´ales de los siguientes productos est´a definido?: AB, BA, ACt, CtA, AD, Martha C. Moreno MATRICES
- 170. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Ejemplo Consideremos las matrices: A = 2 1 3 4 , B = 1 2 6 5 , C = 1 −1 3 2 , D = 1 1 2 −1 −3 2 , E = 1 0 0 −2 1 −1 ¿Cu´ales de los siguientes productos est´a definido?: AB, BA, ACt, CtA, AD,DA, Martha C. Moreno MATRICES
- 171. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Ejemplo Consideremos las matrices: A = 2 1 3 4 , B = 1 2 6 5 , C = 1 −1 3 2 , D = 1 1 2 −1 −3 2 , E = 1 0 0 −2 1 −1 ¿Cu´ales de los siguientes productos est´a definido?: AB, BA, ACt, CtA, AD,DA,DE, Martha C. Moreno MATRICES
- 172. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Ejemplo Consideremos las matrices: A = 2 1 3 4 , B = 1 2 6 5 , C = 1 −1 3 2 , D = 1 1 2 −1 −3 2 , E = 1 0 0 −2 1 −1 ¿Cu´ales de los siguientes productos est´a definido?: AB, BA, ACt, CtA, AD,DA,DE, DEt, Martha C. Moreno MATRICES
- 173. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Ejemplo Consideremos las matrices: A = 2 1 3 4 , B = 1 2 6 5 , C = 1 −1 3 2 , D = 1 1 2 −1 −3 2 , E = 1 0 0 −2 1 −1 ¿Cu´ales de los siguientes productos est´a definido?: AB, BA, ACt, CtA, AD,DA,DE, DEt, EtD. Martha C. Moreno MATRICES
- 174. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Ejemplo Martha C. Moreno MATRICES
- 175. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Ejemplo Un constructor ha aceptado pedidos para 5 casas con estilo r´ustico, 7 con estilo moderno y 12 con estilo colonial: Martha C. Moreno MATRICES
- 176. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Ejemplo Un constructor ha aceptado pedidos para 5 casas con estilo r´ustico, 7 con estilo moderno y 12 con estilo colonial: P = 5 7 12 Martha C. Moreno MATRICES
- 177. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Ejemplo Un constructor ha aceptado pedidos para 5 casas con estilo r´ustico, 7 con estilo moderno y 12 con estilo colonial: P = 5 7 12 Supongamos ahora que las materias primas que se utilizan en cada tipo de casa son acero,madera, vidrio, pintura y mano de obra, Martha C. Moreno MATRICES
- 178. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Ejemplo Un constructor ha aceptado pedidos para 5 casas con estilo r´ustico, 7 con estilo moderno y 12 con estilo colonial: P = 5 7 12 Supongamos ahora que las materias primas que se utilizan en cada tipo de casa son acero,madera, vidrio, pintura y mano de obra,en la matriz M se dan el n´umero de unidades de cada materia prima que se utilizar´a en cada tipo de casa: Martha C. Moreno MATRICES
- 179. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Ejemplo Un constructor ha aceptado pedidos para 5 casas con estilo r´ustico, 7 con estilo moderno y 12 con estilo colonial: P = 5 7 12 Supongamos ahora que las materias primas que se utilizan en cada tipo de casa son acero,madera, vidrio, pintura y mano de obra,en la matriz M se dan el n´umero de unidades de cada materia prima que se utilizar´a en cada tipo de casa: M = Acero Madera Vidrio Pintura Manodeobra rustico 5 20 16 7 17 moderno 7 18 12 9 21 colonial 6 25 8 5 13 Martha C. Moreno MATRICES
- 180. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa M = 5 20 16 7 17 7 18 12 9 21 6 25 8 5 13 Martha C. Moreno MATRICES
- 181. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa M = 5 20 16 7 17 7 18 12 9 21 6 25 8 5 13 Determinar la cantidad de cada materia prima necesaria para satisfacer los pedidos: Martha C. Moreno MATRICES
- 182. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa M = 5 20 16 7 17 7 18 12 9 21 6 25 8 5 13 Determinar la cantidad de cada materia prima necesaria para satisfacer los pedidos: PM = 5 7 12 5 20 16 7 17 7 18 12 9 21 6 25 8 5 13 = Martha C. Moreno MATRICES
- 183. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa M = 5 20 16 7 17 7 18 12 9 21 6 25 8 5 13 Determinar la cantidad de cada materia prima necesaria para satisfacer los pedidos: PM = 5 7 12 5 20 16 7 17 7 18 12 9 21 6 25 8 5 13 = 146 526 260 158 388 Martha C. Moreno MATRICES
- 184. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Determinar el valor que se tendr´a que pagar por estas materias primas si los costos por unidad del acero, la madera, el vidrio, la pintura y la mano de obra son respectivamente: 2500, 1200, 800, 150y1500 Martha C. Moreno MATRICES
- 185. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Determinar el valor que se tendr´a que pagar por estas materias primas si los costos por unidad del acero, la madera, el vidrio, la pintura y la mano de obra son respectivamente: 2500, 1200, 800, 150y1500 C = 2500 1200 800 150 1500 Martha C. Moreno MATRICES
- 186. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Determinar el valor que se tendr´a que pagar por estas materias primas si los costos por unidad del acero, la madera, el vidrio, la pintura y la mano de obra son respectivamente: 2500, 1200, 800, 150y1500 C = 2500 1200 800 150 1500 MC = Martha C. Moreno MATRICES
- 187. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Determinar el valor que se tendr´a que pagar por estas materias primas si los costos por unidad del acero, la madera, el vidrio, la pintura y la mano de obra son respectivamente: 2500, 1200, 800, 150y1500 C = 2500 1200 800 150 1500 MC = 5 20 16 7 17 7 18 12 9 21 6 25 8 5 13 2500 1200 800 150 1500 = Martha C. Moreno MATRICES
- 188. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Determinar el valor que se tendr´a que pagar por estas materias primas si los costos por unidad del acero, la madera, el vidrio, la pintura y la mano de obra son respectivamente: 2500, 1200, 800, 150y1500 C = 2500 1200 800 150 1500 MC = 5 20 16 7 17 7 18 12 9 21 6 25 8 5 13 2500 1200 800 150 1500 = 75850 81550 71650 Martha C. Moreno MATRICES
- 189. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa El costo total de cada tipo de casa ser´a: Martha C. Moreno MATRICES
- 190. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa El costo total de cada tipo de casa ser´a: PMC = P(MC) = Martha C. Moreno MATRICES
- 191. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa El costo total de cada tipo de casa ser´a: PMC = P(MC) = 5 7 12 75850 81550 71650 = Martha C. Moreno MATRICES
- 192. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa El costo total de cada tipo de casa ser´a: PMC = P(MC) = 5 7 12 75850 81550 71650 = 1,8099 × 106 Martha C. Moreno MATRICES
- 193. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa El costo total de cada tipo de casa ser´a: PMC = P(MC) = 5 7 12 75850 81550 71650 = 1,8099 × 106 Si adicionalmente el contratista desea tener en cuenta el costo de transportar la materia prima al lugar de la construcci´on, as´ı como el costo de compra y los datos estan en la matriz: Martha C. Moreno MATRICES
- 194. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa El costo total de cada tipo de casa ser´a: PMC = P(MC) = 5 7 12 75850 81550 71650 = 1,8099 × 106 Si adicionalmente el contratista desea tener en cuenta el costo de transportar la materia prima al lugar de la construcci´on, as´ı como el costo de compra y los datos estan en la matriz: C′ = Compra Transporte Acero 2500 45 Madera 1200 20 Vidrio 800 30 Pintura 150 5 Manodeobra 1500 0 Martha C. Moreno MATRICES
- 195. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa El costo total de cada tipo de casa ser´a: PMC = P(MC) = 5 7 12 75850 81550 71650 = 1,8099 × 106 Si adicionalmente el contratista desea tener en cuenta el costo de transportar la materia prima al lugar de la construcci´on, as´ı como el costo de compra y los datos estan en la matriz: C′ = Compra Transporte Acero 2500 45 Madera 1200 20 Vidrio 800 30 Pintura 150 5 Manodeobra 1500 0 MC′ Martha C. Moreno MATRICES
- 196. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa El costo total de cada tipo de casa ser´a: PMC = P(MC) = 5 7 12 75850 81550 71650 = 1,8099 × 106 Si adicionalmente el contratista desea tener en cuenta el costo de transportar la materia prima al lugar de la construcci´on, as´ı como el costo de compra y los datos estan en la matriz: C′ = Compra Transporte Acero 2500 45 Madera 1200 20 Vidrio 800 30 Pintura 150 5 Manodeobra 1500 0 MC′ Qu´e representa PMC′? Martha C. Moreno MATRICES
- 197. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto de Matrices Martha C. Moreno MATRICES
- 198. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto de Matrices Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R Martha C. Moreno MATRICES
- 199. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto de Matrices Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R El producto de matrices en general NO es conmutaivo. Martha C. Moreno MATRICES
- 200. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto de Matrices Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R El producto de matrices en general NO es conmutaivo. Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC) Martha C. Moreno MATRICES
- 201. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto de Matrices Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R El producto de matrices en general NO es conmutaivo. Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC) Asociativa Martha C. Moreno MATRICES
- 202. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto de Matrices Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R El producto de matrices en general NO es conmutaivo. Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC) Asociativa Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC Martha C. Moreno MATRICES
- 203. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto de Matrices Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R El producto de matrices en general NO es conmutaivo. Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC) Asociativa Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC Distributiva a Izquierda Martha C. Moreno MATRICES
- 204. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto de Matrices Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R El producto de matrices en general NO es conmutaivo. Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC) Asociativa Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC Distributiva a Izquierda (Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BC Martha C. Moreno MATRICES
- 205. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto de Matrices Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R El producto de matrices en general NO es conmutaivo. Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC) Asociativa Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC Distributiva a Izquierda (Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BC Distributiva a Derecha Martha C. Moreno MATRICES
- 206. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto de Matrices Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R El producto de matrices en general NO es conmutaivo. Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC) Asociativa Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC Distributiva a Izquierda (Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BC Distributiva a Derecha α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB) Martha C. Moreno MATRICES
- 207. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto de Matrices Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R El producto de matrices en general NO es conmutaivo. Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC) Asociativa Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC Distributiva a Izquierda (Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BC Distributiva a Derecha α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB) Asociativa con el producto por escalar Martha C. Moreno MATRICES
- 208. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto de Matrices Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R El producto de matrices en general NO es conmutaivo. Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC) Asociativa Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC Distributiva a Izquierda (Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BC Distributiva a Derecha α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB) Asociativa con el producto por escalar Am×nIn = A Martha C. Moreno MATRICES
- 209. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto de Matrices Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R El producto de matrices en general NO es conmutaivo. Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC) Asociativa Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC Distributiva a Izquierda (Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BC Distributiva a Derecha α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB) Asociativa con el producto por escalar Am×nIn = A Modulo a derecha Martha C. Moreno MATRICES
- 210. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto de Matrices Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R El producto de matrices en general NO es conmutaivo. Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC) Asociativa Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC Distributiva a Izquierda (Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BC Distributiva a Derecha α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB) Asociativa con el producto por escalar Am×nIn = A Modulo a derecha ImAm×n = A Martha C. Moreno MATRICES
- 211. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades del Producto de Matrices Sean A, B y C matrices con tama˜nos apropiados y α ∈ R El producto de matrices en general NO es conmutaivo. Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC) Asociativa Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC Distributiva a Izquierda (Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BC Distributiva a Derecha α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB) Asociativa con el producto por escalar Am×nIn = A Modulo a derecha ImAm×n = A Modulo a izquierda Martha C. Moreno MATRICES
- 212. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Martha C. Moreno MATRICES
- 213. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa An×nIn = InAn×n = A Martha C. Moreno MATRICES
- 214. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa An×nIn = InAn×n = A Modulativa Martha C. Moreno MATRICES
- 215. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa An×nIn = InAn×n = A Modulativa (An×mBm×p)t = BtAt Martha C. Moreno MATRICES
- 216. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Nota Martha C. Moreno MATRICES
- 217. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Nota Sean A = −2 3 2 −3 y B = 3 6 2 4 Martha C. Moreno MATRICES
- 218. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Nota Sean A = −2 3 2 −3 y B = 3 6 2 4 Calcule AB Martha C. Moreno MATRICES
- 219. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Nota Sean A = −2 3 2 −3 y B = 3 6 2 4 Calcule AB Si A = −2 3 2 −3 B = −1 3 2 0 y C = −4 −3 0 −4 Martha C. Moreno MATRICES
- 220. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Nota Sean A = −2 3 2 −3 y B = 3 6 2 4 Calcule AB Si A = −2 3 2 −3 B = −1 3 2 0 y C = −4 −3 0 −4 Calcule AB y AC Martha C. Moreno MATRICES
- 221. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Nota Sean A = −2 3 2 −3 y B = 3 6 2 4 Calcule AB Si A = −2 3 2 −3 B = −1 3 2 0 y C = −4 −3 0 −4 Calcule AB y AC Si A = 1 2 0 1 Martha C. Moreno MATRICES
- 222. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Nota Sean A = −2 3 2 −3 y B = 3 6 2 4 Calcule AB Si A = −2 3 2 −3 B = −1 3 2 0 y C = −4 −3 0 −4 Calcule AB y AC Si A = 1 2 0 1 Encontrar B2×2 que conmute con A Martha C. Moreno MATRICES
- 223. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Nota Sean A = −2 3 2 −3 y B = 3 6 2 4 Calcule AB Si A = −2 3 2 −3 B = −1 3 2 0 y C = −4 −3 0 −4 Calcule AB y AC Si A = 1 2 0 1 Encontrar B2×2 que conmute con A Si A = −2 3 2 −3 Martha C. Moreno MATRICES
- 224. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Nota Sean A = −2 3 2 −3 y B = 3 6 2 4 Calcule AB Si A = −2 3 2 −3 B = −1 3 2 0 y C = −4 −3 0 −4 Calcule AB y AC Si A = 1 2 0 1 Encontrar B2×2 que conmute con A Si A = −2 3 2 −3 Calcular: A2 + 2A − 3I Martha C. Moreno MATRICES
- 225. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Nota Sean A = −2 3 2 −3 y B = 3 6 2 4 Calcule AB Si A = −2 3 2 −3 B = −1 3 2 0 y C = −4 −3 0 −4 Calcule AB y AC Si A = 1 2 0 1 Encontrar B2×2 que conmute con A Si A = −2 3 2 −3 Calcular: A2 + 2A − 3I Si A y B son matrices cuadradas de tama˜no n × n Martha C. Moreno MATRICES
- 226. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Nota Sean A = −2 3 2 −3 y B = 3 6 2 4 Calcule AB Si A = −2 3 2 −3 B = −1 3 2 0 y C = −4 −3 0 −4 Calcule AB y AC Si A = 1 2 0 1 Encontrar B2×2 que conmute con A Si A = −2 3 2 −3 Calcular: A2 + 2A − 3I Si A y B son matrices cuadradas de tama˜no n × n AB + 3A = Martha C. Moreno MATRICES
- 227. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matrices Ortogonales Sea A = (aij )n×n Martha C. Moreno MATRICES
- 228. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matrices Ortogonales Sea A = (aij )n×n Si AAt = AtA = In, entonces A es Ortogonal Martha C. Moreno MATRICES
- 229. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matrices Ortogonales Sea A = (aij )n×n Si AAt = AtA = In, entonces A es Ortogonal Ejemplo Martha C. Moreno MATRICES
- 230. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matrices Ortogonales Sea A = (aij )n×n Si AAt = AtA = In, entonces A es Ortogonal Ejemplo I es ortogonal? Martha C. Moreno MATRICES
- 231. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matrices Ortogonales Sea A = (aij )n×n Si AAt = AtA = In, entonces A es Ortogonal Ejemplo I es ortogonal? A = √ 3 2 −1 2 1 2 √ 3 2 es ortogonal? Martha C. Moreno MATRICES
- 232. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matrices Idempotentes, Nulipotentes Sea A = (aij )n×n Martha C. Moreno MATRICES
- 233. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matrices Idempotentes, Nulipotentes Sea A = (aij )n×n Si Ak = A con k ∈ N, entonces A es Idempotente Martha C. Moreno MATRICES
- 234. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matrices Idempotentes, Nulipotentes Sea A = (aij )n×n Si Ak = A con k ∈ N, entonces A es Idempotente Si Ak = ⊘, para alg´un k ∈ N entonces A es Nulipotente o Nilpotente, Martha C. Moreno MATRICES
- 235. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matrices Idempotentes, Nulipotentes Sea A = (aij )n×n Si Ak = A con k ∈ N, entonces A es Idempotente Si Ak = ⊘, para alg´un k ∈ N entonces A es Nulipotente o Nilpotente, el menor k que satisface la condici´on se denomina Indice de nilpotencia Martha C. Moreno MATRICES
- 236. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matrices Idempotentes, Nulipotentes Sea A = (aij )n×n Si Ak = A con k ∈ N, entonces A es Idempotente Si Ak = ⊘, para alg´un k ∈ N entonces A es Nulipotente o Nilpotente, el menor k que satisface la condici´on se denomina Indice de nilpotencia Ejemplo Martha C. Moreno MATRICES
- 237. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matrices Idempotentes, Nulipotentes Sea A = (aij )n×n Si Ak = A con k ∈ N, entonces A es Idempotente Si Ak = ⊘, para alg´un k ∈ N entonces A es Nulipotente o Nilpotente, el menor k que satisface la condici´on se denomina Indice de nilpotencia Ejemplo A = −1 1 −2 2 es idempotente? Martha C. Moreno MATRICES
- 238. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matrices Idempotentes, Nulipotentes Sea A = (aij )n×n Si Ak = A con k ∈ N, entonces A es Idempotente Si Ak = ⊘, para alg´un k ∈ N entonces A es Nulipotente o Nilpotente, el menor k que satisface la condici´on se denomina Indice de nilpotencia Ejemplo A = −1 1 −2 2 es idempotente? A = 0 0 0 1 es idempotente ´o nilpotente? Martha C. Moreno MATRICES
- 239. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Martha C. Moreno MATRICES
- 240. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Sea An×n una matriz cuadrada, se dice que A es No singular o invertible, si existe Bn×n talque: Martha C. Moreno MATRICES
- 241. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Sea An×n una matriz cuadrada, se dice que A es No singular o invertible, si existe Bn×n talque: AB = BA = In Martha C. Moreno MATRICES
- 242. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Sea An×n una matriz cuadrada, se dice que A es No singular o invertible, si existe Bn×n talque: AB = BA = In Ejercicio Martha C. Moreno MATRICES
- 243. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Sea An×n una matriz cuadrada, se dice que A es No singular o invertible, si existe Bn×n talque: AB = BA = In Ejercicio Es B la inversa de A ? Martha C. Moreno MATRICES
- 244. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Sea An×n una matriz cuadrada, se dice que A es No singular o invertible, si existe Bn×n talque: AB = BA = In Ejercicio Es B la inversa de A ? A = 4 2 3 1 B = 1 −2 3 4 Martha C. Moreno MATRICES
- 245. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Definici´on Sea An×n una matriz cuadrada, se dice que A es No singular o invertible, si existe Bn×n talque: AB = BA = In Ejercicio Es B la inversa de A ? A = 4 2 3 1 B = 1 −2 3 4 A = 3 5 1 2 B = 2 −5 −1 3 Martha C. Moreno MATRICES
- 246. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la Inversa: Martha C. Moreno MATRICES
- 247. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la Inversa: Sean A, B matrices cuadradas del mismo tama˜no y no singulares y α ∈ R − {0} Martha C. Moreno MATRICES
- 248. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la Inversa: Sean A, B matrices cuadradas del mismo tama˜no y no singulares y α ∈ R − {0} La inversa es ´unica Martha C. Moreno MATRICES
- 249. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la Inversa: Sean A, B matrices cuadradas del mismo tama˜no y no singulares y α ∈ R − {0} La inversa es ´unica (A−1 )−1 = A Martha C. Moreno MATRICES
- 250. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la Inversa: Sean A, B matrices cuadradas del mismo tama˜no y no singulares y α ∈ R − {0} La inversa es ´unica (A−1 )−1 = A (At )−1 = (A−1 )t Martha C. Moreno MATRICES
- 251. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la Inversa: Sean A, B matrices cuadradas del mismo tama˜no y no singulares y α ∈ R − {0} La inversa es ´unica (A−1 )−1 = A (At )−1 = (A−1 )t (AB)−1 = B−1 A−1 Martha C. Moreno MATRICES
- 252. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la Inversa: Sean A, B matrices cuadradas del mismo tama˜no y no singulares y α ∈ R − {0} La inversa es ´unica (A−1 )−1 = A (At )−1 = (A−1 )t (AB)−1 = B−1 A−1 (αA)−1 = 1 α A−1 Martha C. Moreno MATRICES
- 253. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Propiedades de la Inversa: Sean A, B matrices cuadradas del mismo tama˜no y no singulares y α ∈ R − {0} La inversa es ´unica (A−1 )−1 = A (At )−1 = (A−1 )t (AB)−1 = B−1 A−1 (αA)−1 = 1 α A−1 (An )−1 = (A−1 )n = A−n Martha C. Moreno MATRICES
- 254. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matriz Involutiva Sea A = (aij)n×n no singular Martha C. Moreno MATRICES
- 255. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matriz Involutiva Sea A = (aij)n×n no singular Si A−1 = A, entonces A es Involutiva Martha C. Moreno MATRICES
- 256. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matriz Involutiva Sea A = (aij)n×n no singular Si A−1 = A, entonces A es Involutiva Ejemplo Martha C. Moreno MATRICES
- 257. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matriz Involutiva Sea A = (aij)n×n no singular Si A−1 = A, entonces A es Involutiva Ejemplo I es involutiva? Martha C. Moreno MATRICES
- 258. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matriz Involutiva Sea A = (aij)n×n no singular Si A−1 = A, entonces A es Involutiva Ejemplo I es involutiva? A = 3 −4 2 −3 es involutiva? Martha C. Moreno MATRICES
- 259. Introducci´on Matrices Clases de Matrices Operaciones Matriz Inversa Matriz Involutiva Sea A = (aij)n×n no singular Si A−1 = A, entonces A es Involutiva Ejemplo I es involutiva? A = 3 −4 2 −3 es involutiva? Nota ¿Una matriz ortogonal An×n es no singular? Martha C. Moreno MATRICES