2. Definición de la circunferencia
• Definición: La circunferencia representa al conjunto de todos
los puntos 𝑃(𝑥, 𝑦) equidistantes a un punto 𝐶(ℎ, 𝑘) por una
distancia 𝑟 (usando la fórmula de distancia / teorema de
Pitágoras)
• Equidistantes: Que tienen la misma distancia.
• Teorema de Pitágoras: La suma de los cuadrados de los catetos de
un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Imagen tomada de:
http://teoremadepitagoras.info/wp-
content/uploads/2016/03/pythagorean_t
heorem11.gif, el 4 de julio de 2017
3. Entendiendo la circunferencia
Usando el
Teorema de
Pitágoras en la
figura,
𝑎!
+ 𝑏!
= 𝑟!
Cuando: 𝑎 = 𝑥 y 𝑏 = 𝑦,
entonces:
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝒓𝟐
si el centro es C(0,0).
*Esto representa la
ecuación estándar de
la circunferencia.
4. Definición y ecuación estándar
• Pero si el centro no está en C(0,0), entonces la ecuación
estándar es:
• Donde 𝑟 es el radio, y el centro se encuentra en las
coordenadas 𝐶(ℎ, 𝑘), además de que x, y son las variables.
( ) ( )
2 2 2
x h y k r
- + - =
5. Elementos de la circunferencia
Centro: 𝐶(ℎ, 𝑘)
Diámetro: Un segmento
de línea que atraviesa
el centro y toca dos
puntos cualesquiera de
la circunferencia.
Radio: Distancia entre
el centro y cualquier
punto en la
circunferencia.
6. Otros elementos de la circunferencia
• Recuerda que:
• Perímetro (circunferencia): 𝑃 = 2𝜋𝑟
• Área: 𝐴 = 𝜋𝑟(
• Diámetro = 2𝑟
• El centro es el punto medio
del diámetro.
• Y que existen otras líneas
importantes en la
circunferencia:
7. Ecuación general de la circunferencia
• Recuerda la ecuación general de 2do grado:
• A diferencia de la parábola, para que esta ecuación
represente una circunferencia, los valores de A y B deben ser
exactamente iguales y diferentes de cero. Es decir,
𝐴 = 𝐵, siendo 𝐴, 𝐵 ≠ 0
2 2
0
Ax By Dx Ey F
+ + + + =
8. Convertir de ecuación
estándar a general
• Para obtener la forma general de la forma estándar, uno
debe simplemente expandir (resolver) los binomios
cuadrados e igualar a 0.
( ) ( )
2 2 2
x h y k r
- + - =
Resuelve los binomios al cuadrado: 𝒂 + 𝒃 𝟐
= 𝒂𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
9. Convertir de ecuación general
a estándar
• Para obtener la forma estándar de la general, usa el método de
Completar el Cuadrado:
• Pasa la constante del otro lado.
• Divide cada término por el coeficiente del término cuadrático O factoriza
por cada binomio.
• Agrupa los términos con x y los de y.
• Completa el cuadrado por cada binomio agrupado, i no olvides de
balancear la ecuación.
• Simplifica.
• *Te recomendamos revisar el Ejemplo 7, Soporte 2b
10. Casos degenerados de la circunferencia
• Importante: No en todos los casos al transformar de general a
estándar se obtendrá una circunferencia.
• Si resulta que el lado derecho da 0 (cero), entonces 𝑟 = 0, así que la
ecuación en forma estándar representa un punto.
• Si el lado derecho da un número negativo, entonces no hay radio
(no hay distancias negativas) y no hay gráfica (es un conjunto
vacío).
Ambos casos se les llama casos degenerados de la circunferencia.
11. Referencias bibliográficas:
• Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S. (2007). Precalculus:
Mathematics for Calculus. 6th Edition. Brooks Cole. Belmont,
CA, EU.
