PARABOLOIDE

1. PARABOLIODE

2. INTEGRANTES:
 Nicol Marian Abadie Herrera
 .Haide Choque Quispe
 Maria del Carmen Huanqui Zea
 Liz Carol Pacheco Mamani
 GRADO : 5to “A”
 PROFESORA:
 Cristina Lozada

3. TEORIA DE PARABOLOIDE
 CONCEPTO:
 Elparaboloide es,
cuando no se precisa,
un paraboloide de
revolución, es decir
la superficie
generada por la
rotación de
una parábola alreded
or de su eje de
simetría

4. Sedescribe mediante
ecuaciones cuya forma
canónica es del tipo:
Los paraboloides pueden ser
elípticos o hiperbólicos, según sea
que sus términos cuadráticos

5. Si el eje del paraboloide es el eje
z, entonces la ecuación del
paraboloide elíptico es:
y la ecuación del paraboloide hiperbólico

7.  Laintersección del
paraboloide
anterior por un
plano vertical (es
decir paralelo al
eje de simetría) se
obtiene una
parábola, mientras
que si se corta por
un plano horizontal
(ortogonal al eje
mencionado) se
obtiene un círculo

8. CARACTERISTICAS
El punto que coincide
con el origen de
coordenadas se llama
vértice del paráboloide.
Si la figura no coincide
con el origen de
coordenadas en el
vértice entonce la
ecuación es:

9.  Lassecciones
que se
obtienen al
cortar la
figura por
planos con el
eje Oz son
parabolas. Las
secciones que
se obtiene al Cuando a= b es el paraboloide
corta la figura elíptico es un Paraboloide en
Revolución.
por planos con

10. Paraboloide eliptico
•Sea el paraboloide
elíptico de ecuación:

11.  El paraboloide elíptico no es simétrico respecto al
origen de coordenadas.
 * El origen de coordenadas es el vértice del
paraboloide elíptico.
 * El paraboloide elíptico es simétrico respecto al
eje z.
 * El paraboloide elíptico es simétrico respecto a los
planos x-z e y-z.
 * Las secciones con planos paralelos a los
coordenados y al eje del paraboloide son parábolas.
 * Las secciones con planos perpendiculares al eje
del paraboloide elíptico son elipses.
* El paraboloide elíptico se extiende para todo
x, y, y z ≥ 0.

12. Paraboloide hiperbólico
Sea el paraboloide hiperbólico
de ecuación:

13.  El paraboloide hiperbólico no es simétrico respecto
al origen de coordenadas.
 * El paraboloide hiperbólico es simétrico respecto al
eje z.
 * El paraboloide hiperbólico es simétrico respecto a
los planos x-z e y-z.
 *Las secciones con planos paralelos a los
coordenados y al eje del paraboloide hiperbólico son
parábolas
 * Las secciones con planos perpendiculares al eje
del paraboloide hiperbólico son hipérbolas.
* El paraboloide hiperbólico se extiende
infinitamente.

14.  Si se escoge como
sistema de
coordenadas
DONDE:
O : es el vértice de la
parabola
: un vector
director del
eje de simetría
: base del plano
O
La ecuación de la
superficie es:

15. EJERCICIOS
 Analizar la superficie de ecuación:
 Ge) x2 + z2 = y
 * Es un paraboloide elíptico
 * El paraboloide elíptico corta a los ejes de coordenadas en el
origen: V(0, 0, 0)
 * Las secciones con planos paralelos a los coordenados son:
 con planos paralelos al x - y (z = k): parábolas de la forma:
 Ge) x2 = y - k2, z = k
 en las que k puede asumir cualquier valor real.
 con planos paralelos al x - z (y = k): circunferencias de la
forma:
 Ge) x2 + z2 = k, y = k
 en las que k puede asumir cualquier valor no negativo (|k| ≥ 0).
 con planos paralelos al z - y (x = k): parábolas de la forma:
 Ge) z2 = y - k2 , x = k
 en las que k puede asumir cualquier valor real.
 * El gráfico de este paraboloide hiperbólico es:

17.  Analizar la superficie de ecuación:
 Ge) y2 - x2 = z
 * Es un paraboloide hiperbólico
 * El paraboloide hiperbólico corta a los ejes de coordenadas en el
origen: O(0, 0, 0)
 * Las secciones con planos paralelos a los coordenados son:
 con planos paralelos al x - y (z = k): hipérbolas de la forma:
 Ge) - x2 + y2 = k, z = k
 en las que k puede asumir cualquier valor real. El eje focal de estas
hipérbolas depende del signo de k.
 con planos paralelos al x - z (y = k): parábolas de la forma:
 Ge) x2 = - z + k2, y = k
 en las que k puede asumir cualquier valor real.
 con planos paralelos al z - y (x = k): parábolas de la forma:
 Ge) y2 = z + k2, x = k
 en las que k puede asumir cualquier valor real.
 * El gráfico de este paraboloide hiperbólico es:

19. Aplicación
 Tiene la forma de las llamadas antenas
parábolicas.Entre otros usos de origen cotidiano.
Tiene la propiedad de reflejar (en caso de tener
una superficie reflactante) la luz hacia un punto.

20. Curiosidad
 Si mueves circularmente un vaso medio lleno la
superficie que forma la parte superior del
líquido es un Hipérboloide Elíptico.